ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเชิงตรรกะเชบิเชฟคือลำดับของฟังก์ชันที่ทั้งเป็นฟังก์ชันเชิงตรรกะและตั้งฉากกันชื่อของฟังก์ชันนี้ตั้งตามชื่อของปาฟนูตี เชบิเชฟฟังก์ชันเชิงตรรกะเชบิเชฟดีกรีnนิยามได้ดังนี้:

${\displaystyle R_{n}(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ T_{n}\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)}$

โดยที่T _n ( x )คือพหุนามเชบิเชฟชนิดแรก

คุณสมบัติหลายอย่างสามารถอนุมานได้จากคุณสมบัติของพหุนามเชบิเชฟชนิดแรก ส่วนคุณสมบัติอื่นๆ นั้นเป็นเอกลักษณ์เฉพาะของฟังก์ชันเหล่านั้นเอง

${\displaystyle R_{n+1}(x)=2\left({\frac {x-1}{x+1}}\right)R_{n}(x)-R_{n-1}(x)\quad {\text{สำหรับ}}\,n\geq 1}$

${\displaystyle (x+1)^{2}R_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n-1}(x)\quad {\text{สำหรับ }}n\geq 2}$

${\displaystyle (x+1)^{2}x{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}R_{n}(x)+{\frac {(3x+1)(x+1)}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}R_{n}(x)+n^{2}R_{n}(x)=0}$

การกำหนด:

${\displaystyle \omega (x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{(x+1){\sqrt {x}}}}}$

คุณสมบัติการตั้งฉากกันของฟังก์ชันตรรกยะเชบิเชฟสามารถเขียนได้ดังนี้:

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }R_{m}(x)\,R_{n}(x)\,\omega (x)\,\mathrm {d} x={\frac {\pi c_{n}}{2}}\delta _{nm}}$

โดยที่c _n = 2สำหรับn = 0และc _n = 1สำหรับn ≥ 1 ; δ _nmคือฟังก์ชัน เดลต้าของโครเนกเกอร์

สำหรับฟังก์ชันf ( x ) ∈ L ใดๆ^2ω_​ความสัมพันธ์เชิงตั้งฉากสามารถนำมาใช้เพื่อขยายf ( x ) ได้ :

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }F_{n}R_{n}(x)}$

ที่ไหน

${\displaystyle F_{n}={\frac {2}{c_{n}\pi }}\int _{0}^{\infty }f(x)R_{n}(x)\omega (x)\,\mathrm {d} x.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{0}(x)&=1\\R_{1}(x)&={\frac {x-1}{x+1}}\\R_{2}(x)&={\frac {x^{2}-6x+1}{(x+1)^{2}}}\\R_{3}(x)&={\frac {x^{3}-15x^{2}+15x-1}{(x+1)^{3}}}\\R_{4}(x)&={\frac {x^{4}-28x^{3}+70x^{2}-28x+1}{(x+1)^{4}}}\\R_{n}(x)&=(x+1)^{-n}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\binom {2n}{2m}}x^{nm}\end{aligned}}}$

${\displaystyle R_{n}(x)=\sum _{m=0}^{n}{\frac {(m!)^{2}}{(2m)!}}{\binom {n+m-1}{m}}{\binom {n}{m}}{\frac {(-4)^{m}}{(x+1)^{m}}}}$