ฟังก์ชันเซตค่า หรือ เรียกอีกอย่างว่าความสัมพันธ์หรือความสัมพันธ์เซตค่าคือฟังก์ชัน ทางคณิตศาสตร์ ที่แมปองค์ประกอบจากเซตหนึ่ง ซึ่งเป็นโดเมนของฟังก์ชันไปยังเซตย่อยของอีกเซตหนึ่ง^{[ 1 ] [ 2 ]}ฟังก์ชันเซตค่าถูกนำมาใช้ในสาขาคณิตศาสตร์ที่หลากหลาย รวมถึงการเพิ่มประสิทธิภาพทฤษฎีการควบคุมและทฤษฎีเกม

ฟังก์ชันเซตค่าเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันหลายค่าในเอกสารอ้างอิงบางฉบับ^{[ 3 ]}แต่บทความนี้และบทความฟังก์ชันหลายค่าปฏิบัติตามผู้เขียนที่แยกความแตกต่าง

แม้ว่าผู้เขียนคนอื่น ๆ อาจจะแยกแยะความแตกต่าง (หรือไม่แยกแยะเลย) แต่ Wriggers และ Panatiotopoulos (2014) แยกแยะฟังก์ชันหลายค่าออกจากฟังก์ชันเซตค่า (ซึ่งพวกเขาเรียกว่าความสัมพันธ์เซตค่า ) โดยข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันหลายค่าจะรับค่าหลายค่าได้เฉพาะที่จุดจำนวนจำกัด (หรือนับได้) เท่านั้น และมีพฤติกรรมเหมือนฟังก์ชันทั่วไป [ ^{2 ] ใน}ทางเรขาคณิต หมายความว่ากราฟของฟังก์ชันหลายค่าจะต้องเป็นเส้นตรงที่มีพื้นที่เป็นศูนย์และไม่มีวงวน ในขณะที่กราฟของความสัมพันธ์เซตค่าอาจมีพื้นที่ทึบหรือมีวงวน^{[ 2 ]}

อีกทางเลือกหนึ่งฟังก์ชันหลายค่า คือฟังก์ชัน fที่มีค่าเป็นเซตซึ่งมี คุณสมบัติ ความต่อเนื่อง เพิ่มเติม กล่าวคือ การเลือกองค์ประกอบในเซตจะกำหนดองค์ประกอบที่สอดคล้องกันในแต่ละเซตสำหรับyที่อยู่ใกล้xและด้วยเหตุนี้จึงกำหนดฟังก์ชันธรรมดา ในระดับท้องถิ่น${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(y)}$

โดยทั่วไป แล้ว argmaxของฟังก์ชันจะมีค่าได้หลายค่า ตัวอย่างเช่น. ${\displaystyle \operatorname {argmax} _{x\in \mathbb {R} }\cos(x)=\{2\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}}$

การวิเคราะห์เซตคือการศึกษาเซตในแนวทางเดียวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และ โทโพโล ยี ทั่วไป

แทนที่จะพิจารณาเฉพาะกลุ่มของจุด การวิเคราะห์ค่าเซตจะพิจารณากลุ่มของเซต หากกลุ่มของเซตมีโทโพโลยี หรือได้รับโทโพโลยีที่เหมาะสมจากปริภูมิโทโพโลยีพื้นฐาน การลู่เข้าของเซตก็สามารถศึกษาได้

การวิเคราะห์ค่าเซตส่วนใหญ่เกิดขึ้นจากการศึกษาเศรษฐศาสตร์คณิตศาสตร์และการควบคุมที่เหมาะสมที่สุดโดยส่วนหนึ่งเป็นการขยายความของการวิเคราะห์แบบนูนคำว่า " การวิเคราะห์แบบแปรผัน " ถูกใช้โดยผู้เขียนเช่นR. Tyrrell RockafellarและRoger JB Wets , Jonathan BorweinและAdrian LewisและBoris Mordukhovichในทฤษฎีการหาค่าเหมาะสมที่สุด การลู่เข้าของอนุพันธ์ย่อยที่ ประมาณค่า ไปสู่อนุพันธ์ย่อยนั้นมีความสำคัญในการทำความเข้าใจเงื่อนไขที่จำเป็นหรือเพียงพอสำหรับจุดต่ำสุดใดๆ

มีการขยายแนวคิดต่อไปนี้จากการวิเคราะห์ค่าจุดเป็นเซต: ความต่อเนื่องการหาอนุพันธ์ การอินทิเกรต [ ^{4 ] ทฤษฎีบท}ฟังก์ชันโดยปริยาย การแมปการหดตัวทฤษฎีการวัดทฤษฎีบทจุดตรึง^{[ 5 ]} การ หาค่า เหมาะสมที่สุดและทฤษฎีระดับโทโพโลยีโดยเฉพาะอย่างยิ่งสมการจะถูกขยายไปสู่การรวมในขณะที่สมการเชิงอนุพันธ์จะถูกขยายไปสู่การรวมเชิงอนุพันธ์

เราสามารถแยกแยะแนวคิดต่างๆ ที่เป็นการขยายความต่อเนื่อง ได้ เช่น คุณสมบัติ ของกราฟปิดและความต่อเนื่องครึ่งบนและครึ่งล่าง^{[ a ]}นอกจากนี้ยังมีการขยายการวัดไปสู่ฟังก์ชัน หลายค่าอีกด้วย

ฟังก์ชันเซตเกิดขึ้นในทฤษฎีการควบคุมที่เหมาะสมโดยเฉพาะอย่างยิ่งการรวมเชิงอนุพันธ์และหัวข้อที่เกี่ยวข้อง เช่นทฤษฎีเกมซึ่งทฤษฎีบทจุดตรึงของ Kakutaniสำหรับฟังก์ชันเซตถูกนำมาใช้เพื่อพิสูจน์การมีอยู่ของสมดุลแนชคุณสมบัตินี้และคุณสมบัติอื่นๆ อีกมากมายที่เกี่ยวข้องกับการประมาณค่าฟังก์ชันหลายตัวที่มีความต่อเนื่องครึ่งบนผ่านฟังก์ชันต่อเนื่อง อธิบายว่าทำไมความต่อเนื่องครึ่งบนจึงเป็นที่นิยมมากกว่าความต่อเนื่องครึ่งล่าง

อย่างไรก็ตาม มัลติฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องที่ต่ำกว่ามักจะมีตัวเลือกต่อเนื่องตามที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทการเลือกของไมเคิลซึ่งให้ลักษณะเฉพาะอีกประการหนึ่งของพื้นที่พาราคอม แพ็กต์ ^{[ 6 ] [ 7 ]}ทฤษฎีบทการเลือกอื่นๆ เช่น การเลือกต่อเนื่องแบบทิศทางของเบรสซาน-โคลอมโบ ทฤษฎีบทการเลือกที่วัดได้ของคุราตอฟสกีและไรล์-นาร์ดเซฟสกี การเลือกที่วัดได้ของออมานน์ และการเลือกของฟรายสโกฟสกีสำหรับแผนที่ที่แยกส่วนได้มีความสำคัญในการควบคุมที่เหมาะสมและทฤษฎีการรวม เชิงอนุพันธ์

• K. Deimling, สมการเชิงอนุพันธ์หลายค่า , Walter de Gruyter, 1992
• ซีดี อาลีแพรนติส และ เคซี บอร์เดอร์, การวิเคราะห์มิติอนันต์: คู่มือนักเดินทาง , สำนักพิมพ์สปริงเกอร์ เบอร์ลิน ไฮเดลเบิร์ก, 2006
• J. Andres และ L. Górniewicz, หลักการจุดตรึงเชิงทอพอโลยีสำหรับปัญหาค่าขอบเขต , สำนักพิมพ์ Kluwer Academic Publishers, 2003
• J.-P. Aubin และ A. Cellina, การรวมเชิงอนุพันธ์ แผนที่ค่าเซต และทฤษฎีความอยู่รอด , Grundl. der Math. Wiss. 264, Springer - Verlag, Berlin, 1984
• J.-P. Aubin และH. Frankowska , การวิเคราะห์ค่าเซต , Birkhäuser, Basel, 1990
• D. Repovšและ PV Semenov, การเลือกอย่างต่อเนื่องของแผนที่หลายค่า , สำนักพิมพ์ Kluwer Academic Publishers, Dordrecht 1998
• EU Tarafdar และ MSR Chowdhury, วิธีการทางโทโพโลยีสำหรับการวิเคราะห์แบบไม่เชิงเส้นที่มีค่าเป็นเซต , World Scientific, สิงคโปร์, 2008
• มิทรอย เอฟซี.; นิโคเดม, ก.; วอโซวิคซ์, เอส. (2013) "อสมการของเฮอร์ไมต์-ฮาดามาร์ดสำหรับฟังก์ชันค่าเซ็ตนูน " สาธิตคณิตศาสตร์ . 46 (4): 655– 662. ดอย : 10.1515/dema-2013-0483 .

• ทฤษฎีบทการเลือก
• ทฤษฎีบทของเออร์เซสคู
• ความสัมพันธ์แบบไบนารี