ในทางคณิตศาสตร์การวิเคราะห์เชิงแปรผันคือการรวมและการขยายวิธีการจากการหาค่าเหมาะสมที่สุดแบบนูนและแคลคูลัสการแปรผัน แบบคลาสสิก ไปสู่ทฤษฎีทั่วไปมากขึ้น^{[ 1 ]}ซึ่งรวมถึงปัญหาทั่วไปของทฤษฎีการหาค่าเหมาะสม ที่สุด รวมถึงหัวข้อในการวิเคราะห์ค่าเซตเช่นอนุพันธ์ทั่วไป

ใน แผนการ จำแนกประเภทวิชาคณิตศาสตร์ (MSC2010) สาขา "การวิเคราะห์ค่าเซตและการวิเคราะห์เชิงแปรผัน" ถูกกำหนดรหัสเป็น "49J53" ^{[ 2 ]}

แม้ว่าสาขาคณิตศาสตร์นี้จะมีประวัติศาสตร์อันยาวนาน แต่การใช้คำว่า "การวิเคราะห์เชิงแปรผัน" เป็นครั้งแรกในความหมายนี้อยู่ในหนังสือชื่อเดียวกันของR. Tyrrell RockafellarและRoger JB Wets ^{[ 1 ]}

ผลลัพธ์คลาสสิกคือ ฟังก์ชัน กึ่งต่อเนื่องล่างบนเซตกระชับจะบรรลุค่าต่ำสุด ผลลัพธ์จากการวิเคราะห์เชิงแปรผัน เช่นหลักการแปรผันของ Ekelandช่วยให้เราขยายผลลัพธ์นี้ของฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องล่างบนเซตที่ไม่กระชับได้ โดยมีเงื่อนไขว่าฟังก์ชันนั้นมีขอบเขตล่าง และต้องแลกมาด้วยการเพิ่มการรบกวนเล็กน้อยให้กับฟังก์ชัน รูปแบบที่เรียบกว่าเรียกว่าหลักการแปรผันของ Borwein-Press ^{[ 3 ]}

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์แบบคลาสสิกกล่าวว่า ถ้าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้มีค่าต่ำสุด ณ จุดหนึ่ง และจุดนั้นเป็นจุดภายในของโดเมนของฟังก์ชันนั้นอนุพันธ์ ของฟังก์ชันนั้น จะต้องมีค่าเป็นศูนย์ ณ จุดนั้น สำหรับปัญหาที่ ต้องหาค่าต่ำสุดของ ฟังก์ชันเรียบภายใต้เงื่อนไขที่สามารถแสดงได้ในรูปของฟังก์ชันเรียบอื่น ๆ ที่มีค่าเท่ากับศูนย์ วิธีตัวคูณลากรางจ์ซึ่งเป็นผลลัพธ์คลาสสิกอีกอย่างหนึ่ง จะให้เงื่อนไขที่จำเป็นในรูปของอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้น

แนวคิดของผลลัพธ์คลาสสิกเหล่านี้สามารถขยายไปยังฟังก์ชันนูน ที่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ โดยการขยายแนวคิดของอนุพันธ์ไปสู่แนวคิดของอนุพันธ์ย่อยการขยายแนวคิดของอนุพันธ์เพิ่มเติม เช่นเกรเดียนต์ทั่วไปของคลาร์กช่วยให้สามารถขยายผลลัพธ์ไปยังฟังก์ชันลิปชิตซ์เฉพาะที่ ที่ไม่เรียบได้ ^{[ 4 ]}

• การวิเคราะห์ความนูน  – คณิตศาสตร์ของฟังก์ชันและเซตแบบนูน
• การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน  – สาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์
• เรขาคณิตเชิงฉายแบบมีทิศทาง
• การเพิ่มประสิทธิภาพ

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ความแปรผันในวิกิมีเดียคอมมอนส์