ในทางโทโพโลยีแมนิโฟลด์โทโพโลยีคือปริภูมิโทโพโลยีที่มีลักษณะคล้ายคลึง กับ ปริภูมิยุคลิดมิติn จริง ใน ระดับท้องถิ่น แมนิโฟลด์โทโพโลยีเป็นกลุ่มสำคัญของปริภูมิโทโพโลยีที่มีการประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์ทุกแขนง แมนิโฟลด์ ทั้งหมด เป็นแมนิโฟลด์โทโพโลยีตามนิยาม ดังนั้นคำว่า "โทโพโลยี" จึงเน้นย้ำถึงการไม่มีโครงสร้างเพิ่มเติม เช่นแมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์เป็นแมนิโฟลด์โทโพโลยีที่มีโครงสร้างเชิงอนุพันธ์แมนิโฟลด์ทุกตัวมีแมนิโฟลด์โทโพโลยี "พื้นฐาน" ซึ่งได้มาจากการ "ลืม" โครงสร้างที่เพิ่มเข้ามา^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม ไม่ใช่ทุกแมนิโฟลด์โทโพโลยีที่จะมีโครงสร้างเพิ่มเติมเฉพาะเจาะจงได้ ตัวอย่างเช่นแมนิโฟลด์ E8เป็นแมนิโฟลด์โทโพโลยีที่ไม่สามารถมีโครงสร้างเชิงอนุพันธ์ได้

พื้นที่โทโพโลยีXเรียกว่าเป็นแบบยุคลิดเฉพาะที่ถ้ามีจำนวนเต็มที่ ไม่เป็นลบ nซึ่งทุกจุดในXมีบริเวณใกล้เคียงที่มี^{ลักษณะ}โฮโมมอร์ฟิกกับเซตย่อยเปิดของ ปริภูมิ จริงnมิติR ^{n [ 2} ]

แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีคือปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ แบบยุคลิดเฉพาะที่ เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดข้อกำหนดเพิ่มเติมให้กับแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผู้เขียนหลายคนกำหนดให้เป็นพาราคอมแพ็กต์^{[ 3 ]}หรือ นับ ได้ลำดับที่สอง^{[ 2 ]}

ในส่วนที่เหลือของบทความนี้ คำว่า " แมนิโฟลด์"จะหมายถึงแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยี และ " n-แมนิโฟลด์" จะหมายถึงแมนิโฟลด์เชิงทอพอ โล ยีซึ่งทุกจุดมีบริเวณใกล้เคียงที่เป็นโฮโมมอร์ฟิกกับR ⁿ

• ปริภูมิพิกัดจริงR ⁿเป็นn-แมนิโฟลด์
• ปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องใดๆ ก็เป็นแมนิโฟลด์ศูนย์มิติ
• วงกลมเป็น แมนิโฟล ด์ 1 มิติแบบกะทัดรัด
• ทอรัสและขวดไคลน์เป็นระนาบ 2 มิติ (หรือพื้นผิว ) ขนาดกะทัดรัด
• ทรง กลม nมิติS ⁿเป็นแมนิโฟลด์n มิติแบบกระชับ
• ทอ รัส nมิติT ⁿ (ผลคูณของ วงกลม nวง) เป็นแมนิโฟลด์n มิติแบบกะทัดรัด

• ปริภูมิเชิงฉายบนจำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อนหรือควอเทอร์เนียนเป็นแมนิโฟลด์กระชับ
  • ปริภูมิเชิงฉายจริงRP ⁿคือ แมนิโฟลด์ nมิติ
  • ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนCP ⁿคือแมนิโฟลด์ 2 nมิติ
  • ปริภูมิเชิงฉายควอเทอร์เนียนHP ^​​nคือ แมนิโฟลด์ 4nมิติ
• แมนิโฟลด์ที่เกี่ยวข้องกับปริภูมิเชิงฉาย ได้แก่กราสส์มันเนียนแมนิโฟลด์แฟลกและแมนิโฟลด์สตีเฟล

• แมนิโฟลด์เชิงอนุพันธ์เป็นกลุ่มของแมนิโฟลด์เชิงโทโพโลยีที่มีโครงสร้างเชิงอนุพันธ์
• ปริภูมิเลนส์เป็นกลุ่มของแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ซึ่งเป็นผลหารของทรงกลมมิติคี่
• กลุ่มลี (Lie groups)คือกลุ่มของแมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ซึ่งมีโครงสร้างกลุ่ม ที่เข้ากันได้
• แมนิโฟลด์ E8เป็นแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่ไม่สามารถกำหนดโครงสร้างเชิงอนุพันธ์ได้

คุณสมบัติของการเป็นยูคลิดเฉพาะที่นั้นได้รับการรักษาไว้โดยโฮมีโอเมอร์ฟิซึม เฉพาะ ที่ กล่าวคือ ถ้าXเป็นยูคลิดเฉพาะที่ที่มีมิติnและf  : Y → Xเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมเฉพาะที่แล้วYก็เป็นยูคลิดเฉพาะที่ที่มีมิติn ด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเป็นยูคลิดเฉพาะที่นั้นเป็นคุณสมบัติทางโทโพโลยี

แมนิโฟลด์สืบทอดคุณสมบัติเฉพาะที่หลายอย่างจากปริภูมิยุคลิด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แมนิโฟลด์มี ความกะทัดรัดเฉพาะที่เชื่อมต่อกันเฉพาะที่นับ ได้ เป็นอันดับแรกหดตัวได้เฉพาะที่และกำหนดเมตริกได้เฉพาะที่เนื่องจากเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่กะทัดรัดเฉพาะที่ แมนิโฟลด์จึงเป็น ปริภูมิ ไทโคนอฟโดย ปริยาย

การเพิ่มเงื่อนไข Hausdorff สามารถทำให้คุณสมบัติหลายอย่างเทียบเท่ากันสำหรับแมนิโฟลด์ได้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถแสดงให้เห็นว่าสำหรับแมนิโฟลด์ Hausdorff แนวคิดของσ-compactnessและ second-countability นั้นเหมือนกัน อันที่จริงแมนิโฟลด์ Hausdorffเป็นปริภูมิ Hausdorff ที่มีขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่ ดังนั้นจึงเป็นปริภูมิปกติ (สมบูรณ์) ^{[ 4 ]}สมมติว่าปริภูมิ X ดังกล่าวเป็น σ-compact จากนั้นมันจะเป็น Lindelöf และเนื่องจาก Lindelöf + regular หมายถึง paracompact ดังนั้น X จึงเป็นปริภูมิเมตริกซ์ได้ แต่ในปริภูมิเมตริกซ์ได้ การนับได้แบบ second-countability สอดคล้องกับการเป็น Lindelöf ดังนั้น X จึงเป็นปริภูมิที่นับได้แบบ second-countable ในทางกลับกัน ถ้า X เป็นแมนิโฟลด์ Hausdorff ที่นับได้แบบ second-countable มันจะต้อง σ-compact ^{[ 5 ]}

แมนิโฟลด์ไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อกัน แต่แมนิโฟลด์ทุกอันMเป็นการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของแมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่อกัน แมนิโฟลด์เหล่านี้ก็คือส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของMซึ่งเป็นเซตเปิดเนื่องจากแมนิโฟลด์เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น แมนิโฟลด์จะเชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางในระดับท้องถิ่นก็ต่อเมื่อมันเชื่อมต่อกันเท่านั้น ดังนั้น ส่วนประกอบของเส้นทางจึงเหมือนกับส่วนประกอบอื่นๆ

คุณสมบัติของเฮาส์ดอร์ฟไม่ใช่คุณสมบัติเฉพาะที่ ดังนั้นแม้ว่าปริภูมิยุคลิดจะเป็นเฮาส์ดอร์ฟ แต่ปริภูมิยุคลิดเฉพาะที่ก็ไม่จำเป็นต้องเป็น เฮาส์ดอร์ ฟ เสมอไป อย่างไรก็ตาม เป็นความจริงที่ว่าปริภูมิยุคลิดเฉพาะที่ทุกปริภูมิเป็นT ₁

ตัวอย่างหนึ่งของปริภูมิยูคลิดเฉพาะที่ที่ไม่เป็นเฮาส์ดอร์ฟ คือเส้นตรงที่มีจุดกำเนิดสองจุด ปริภูมินี้สร้างขึ้นโดยการแทนที่จุดกำเนิดของเส้นตรงจริงด้วย จุด สองจุด ซึ่งบริเวณใกล้เคียงแบบเปิดของจุดใดจุดหนึ่งจะรวมถึงจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดในช่วงเปิดบางช่วงที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์ ปริภูมินี้ไม่ถือว่าเป็นเฮาส์ดอร์ฟเพราะจุดกำเนิดทั้งสองไม่สามารถแยกออกจากกันได้

แมนิโฟลด์จะสามารถกำหนดเมตริกได้ก็ต่อเมื่อมันเป็นพาราคอมแพ็กต์ เท่านั้น เส้นตรงยาวเป็นตัวอย่างของ แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีแบบ เฮาส์ดอร์ฟปกติ 1 มิติ ซึ่งไม่สามารถกำหนดเมตริกได้และไม่เป็นพาราคอมแพ็กต์ เนื่องจากความสามารถในการกำหนดเมตริกเป็นคุณสมบัติที่พึงปรารถนาสำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยี จึงมักเพิ่มคุณสมบัติพาราคอมแพ็กต์เข้าไปในนิยามของแมนิโฟลด์ ไม่ว่าในกรณีใด แมนิโฟลด์ที่ไม่เป็นพาราคอมแพ็กต์โดยทั่วไปถือว่าเป็นแมนิโฟ ลด์ที่ผิดปกติ แมนิโฟลด์พาราคอมแพ็กต์มีคุณสมบัติเชิงทอพอโลยีทั้งหมดของปริภูมิเมตริก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พวกมันเป็น ปริภูมิเฮาส์ดอร์ ฟ ปกติอย่างสมบูรณ์

โดยทั่วไปแล้ว แมนิโฟลด์มักต้องมีคุณสมบัติที่สามารถนับได้เป็นอันดับสอง (second-countable ) ด้วย นี่คือเงื่อนไขที่จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าแมนิโฟลด์นั้นสามารถฝังตัวอยู่ในปริภูมิยูคลิดมิติจำกัดได้ สำหรับแมนิโฟลด์ใดๆ คุณสมบัติของการเป็นที่สามารถนับได้เป็นอันดับสอง คุณสมบัติของลินเดลอฟ (Lindelöf)และ ความกะทัดรัดแบบ σ (σ-compact)ล้วนเทียบเท่ากัน

แมนิโฟลด์ที่นับได้ลำดับที่สองทุกอันเป็นแมนิโฟลด์แบบพาราคอมแพ็กต์ แต่ในทางกลับกันไม่ใช่ อย่างไรก็ตาม ข้อความกลับกันนั้นเกือบจะเป็นจริง: แมนิโฟลด์แบบพาราคอมแพ็กต์เป็นแมนิโฟลด์ที่นับได้ลำดับที่สองก็ต่อเมื่อมันมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันจำนวนนับได้โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่อกันเป็นแมนิโฟลด์แบบพาราคอมแพ็กต์ก็ต่อเมื่อมันเป็นแมนิโฟลด์ที่นับได้ลำดับที่สอง แมนิโฟลด์ที่นับได้ลำดับที่สองทุกอันเป็นแมนิโฟลด์ที่แยกได้และเป็นพาราคอมแพ็กต์ ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าแมนิโฟลด์เป็นทั้งแมนิโฟลด์ที่แยกได้และเป็นพาราคอมแพ็กต์แล้ว มันก็เป็นแมนิโฟลด์ที่นับได้ลำดับที่สองด้วย

ท่อร่วม ขนาดกะทัดรัดทุกท่อสามารถนับได้ในหน่วยวินาทีและเป็นแบบพาราคอมแพ็กต์

โดยความไม่แปรเปลี่ยนของโดเมนn -manifold ที่ไม่ว่างเปล่าไม่สามารถเป็นm- manifold ได้สำหรับn ≠ m [ ^{6 ]}มิติของn- manifold ที่ไม่ว่างเปล่าคือnการเป็นn- manifold เป็นคุณสมบัติทางโทโพโลยีซึ่งหมายความว่าปริภูมิโทโพโลยีใดๆ ที่มีลักษณะโฮโมมอร์ฟิกกับⁿ - manifold ก็เป็นn -manifold เช่นกัน ^{[ 7 ]}

ตามนิยามแล้ว ทุกจุดในปริภูมิยูคลิดเฉพาะที่ (locally Euclidean space) จะมีบริเวณใกล้เคียงที่สมมูลกับเซตเปิดย่อยของบริเวณใกล้เคียงดังกล่าวเรียกว่าบริเวณใกล้เคียงแบบยูคลิด (Euclidean neighborhoods ) เนื่องจาก ความไม่แปรเปลี่ยนของโดเมน (invariance of domain)แสดงว่าบริเวณใกล้เคียงแบบยูคลิดเป็นเซตเปิดเสมอ เราสามารถหาบริเวณใกล้เคียงแบบยูคลิดที่สมมูลกับเซตเปิด "ที่ดี" (nice open sets) ใน ได้เสมอ ที่จริงแล้ว ปริภูมิMเป็นปริภูมิยูคลิดเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันข้อใดข้อหนึ่งต่อไปนี้เป็นจริง: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• ทุกจุดในMมีบริเวณใกล้เคียงที่เป็นโฮโมมอร์ฟิกกับทรงกลมเปิดในM${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• ทุกจุดในMมีบริเวณใกล้เคียงที่มีลักษณะสมมาตรแบบโฮโมมอร์ฟิกกับตัวมันเอง${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ย่านยูคลิดที่สมมาตรกับทรงกลมเปิดในปริภูมิยูคลิดเรียกว่า ทรงกลมยูคลิด ทรงกลมยูคลิดเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีของปริภูมิยูคลิดเฉพาะที่ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

สำหรับย่านใกล้เคียงแบบยุคลิดใดๆUการแปลงแบบโฮมีโอเมอร์ฟิซึม เรียกว่าแผนที่พิกัดบนU (แม้ว่าคำว่าแผนที่มักใช้เพื่ออ้างถึงโดเมนหรือเรนจ์ของแผนที่ดังกล่าวก็ตาม) ปริภูมิMเป็นปริภูมิยุคลิดเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อสามารถครอบคลุมได้ด้วยย่านใกล้เคียงแบบยุคลิด เซตของย่านใกล้เคียงแบบยุคลิดที่ครอบคลุมMพร้อมด้วยแผนที่พิกัดของพวกมัน เรียกว่าแอตลาสบนM (ศัพท์เฉพาะนี้มาจากความคล้ายคลึงกับการทำแผนที่ซึ่งลูกโลก ทรงกลม สามารถอธิบายได้ด้วยแอตลาสของแผนที่แบนหรือแผนภูมิ) ${\displaystyle \phi :U\rightarrow \phi \left(U\right)\subset \mathbb {R} ^{n}}$

เมื่อมีแผนภูมิสองแผนภูมิที่มีโดเมนUและV ที่ทับซ้อนกัน จะมีฟังก์ชันการเปลี่ยนผ่าน อยู่${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \psi \phi ^{-1}:\phi \left(U\cap V\right)\rightarrow \psi \left(U\cap V\right)}$

แผนที่ดังกล่าวเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิซึมระหว่างเซตย่อยเปิดของนั่นคือ แผนภูมิพิกัดเห็นพ้องต้องกันในส่วนที่ทับซ้อนกันจนถึงระดับโฮมีโอเมอร์ฟิซึม สามารถกำหนดประเภทของแมนิโฟลด์ที่แตกต่างกันได้โดยการวางข้อจำกัดเกี่ยวกับประเภทของแผนที่การเปลี่ยนผ่านที่อนุญาต ตัวอย่างเช่น สำหรับ แม นิ โฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้แผนที่การเปลี่ยนผ่านจะต้องเรียบ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

0-manifold เป็นเพียงปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องสามารถนับได้เป็นอันดับสองก็ต่อเมื่อสามารถนับได้^{[ 7 ]}

แมนิโฟลด์ 1 มิติที่ไม่ว่างเปล่า พาราคอมแพ็กต์ และเชื่อมต่อกันทุกอันจะมีลักษณะโฮโมมอร์ฟิกกับRหรือวงกลม^{[ 7 ]}

2-manifold (หรือพื้นผิว ) ที่ไม่ว่างเปล่า กระชับ และเชื่อมต่อกันทุกอันจะมีลักษณะทางสัณฐานวิทยาเหมือนกับทรงกลม ผลรวมที่เชื่อมต่อกันของทอรัสหรือผลรวมที่เชื่อมต่อกันของระนาบเชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​8 ]}

การจำแนกประเภทของ 3-manifold เป็นผลมาจาก สมมติฐานการสร้างรูปทรงเรขาคณิตของ Thurstonซึ่งได้รับการพิสูจน์โดยGrigori Perelmanในปี 2003 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ผลลัพธ์ของ Perelman ให้ขั้นตอนวิธีในการตัดสินใจว่าสาม-manifold สองตัวนั้นเป็นโฮโมมอร์ฟิกกันหรือไม่^{[ 9 ]}

การจำแนกประเภทn -manifold อย่างสมบูรณ์สำหรับnที่มากกว่าสามนั้นเป็นไปไม่ได้ อย่างน้อยก็ยากพอๆ กับปัญหาคำถามในทฤษฎีกลุ่มซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่าไม่สามารถตัดสินได้ด้วยอัลกอริทึม^{[ 10 ]}

ในความเป็นจริง ไม่มีอัลกอริทึม ใด ที่จะตัดสินได้ว่าแมนิโฟลด์ที่กำหนดนั้นเป็นแมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายหรือไม่ อย่างไรก็ตาม มีการจำแนกประเภทของแมนิโฟลด์ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายที่มีมิติ ≥ 5 ^{[ 11 ] [ 12 ]}

บางครั้งแนวคิดที่ครอบคลุมกว่าเล็กน้อยก็มีประโยชน์แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่มีขอบเขตคือปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟซึ่งทุกจุดมีบริเวณใกล้เคียงที่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับเซตย่อยเปิดของครึ่งปริภูมิ ยุคลิด (สำหรับn ที่กำหนดไว้ ):

${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}=\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}:x_{n}\geq 0\}.}$

แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีทุกอันเป็นแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่มีขอบเขต แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน^{[ 7 ]}

มีหลายวิธีในการสร้างแมนิโฟลด์จากแมนิโฟลด์อื่นๆ

ถ้าMเป็น แมนิโฟลด์ mและNเป็นแมนิโฟลด์n ผลคูณคาร์ทีเซียนM × Nจะเป็นแมนิโฟลด์ ( m + n ) เมื่อกำหนดโทโพโลยีผลคูณ^{[ 13 ]}

การรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของตระกูลที่นับได้ของn -manifold คือn -manifold (ชิ้นส่วนทั้งหมดต้องมีมิติเดียวกัน) ^{[ 7 ]}

ผลรวมที่เชื่อมต่อกันของn -manifold สองตัวถูกกำหนดโดยการนำลูกบอลเปิดออกจากแต่ละ manifold และนำผลหารของผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันของ manifold ที่ได้ซึ่งมีขอบเขต โดยผลหารนั้นทำโดยคำนึงถึง homeomorphism ระหว่างทรงกลมขอบเขตของลูกบอลที่ถูกนำออก ซึ่งจะส่งผลให้ได้n -manifold อีกตัวหนึ่ง ^{[ 7 ]}

เซตย่อยเปิดใดๆ ของn -manifold ก็คือn- manifold ที่มีโทโพโลยีของปริภูมิย่อย^{[ 13 ]}

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับแมนิโฟลด์ทางคณิตศาสตร์ในวิกิมีเดียคอมมอนส์