ในทางคณิตศาสตร์แบบจำลองไคลน์ คือแบบจำลองของ แมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิก สามมิติNโดยปริภูมิผลหาร โดยที่เป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของ PSL(2, C ) ในที่นี้ กลุ่มย่อย ซึ่งเป็นกลุ่มไคลน์ถูกกำหนดเพื่อให้เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มพื้นฐานของพื้นผิวN ^{[ 1 ]}ผู้เขียนหลายคนใช้คำว่ากลุ่มไคลน์และแบบจำลองไคลน์ สลับกัน โดยให้ คำหนึ่งแทนอีกคำหนึ่ง แนวคิดนี้ตั้งชื่อตามเฟลิกซ์ ไคลน์ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}/\Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \pi _{1}(N)}$

ในแง่ที่ไม่ซับซ้อนมากนัก โมเดลไคลน์เนียนเป็นวิธีการกำหนดพิกัดให้กับแมนิโฟลด์ไฮเปอร์โบลิก หรือปริภูมิสามมิติที่ทุกจุดมีลักษณะคล้ายปริภูมิไฮเปอร์โบลิก ในระดับท้องถิ่น โมเดลไคลน์เนียนถูกสร้างขึ้นโดยการใช้ปริภูมิไฮเปอร์โบลิกสามมิติและถือว่าสองจุดนั้นเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อสามารถเข้าถึงกันได้โดยใช้สมาชิกของการกระทำของกลุ่มไคลน์เนียนบนปริภูมิ กลุ่มไคลน์เนียนคือกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องใดๆ ที่ประกอบด้วยจุดที่แยกเดี่ยว เท่านั้น ของไอโซเมตรีที่รักษาทิศทางของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติการกระทำของกลุ่มคือเซตของฟังก์ชันบนเซตซึ่งโดยคร่าวๆ แล้วมีโครงสร้างเหมือนกับกลุ่ม^{[ 2 ]}

คุณสมบัติหลายประการของแบบจำลอง Kleinian มีความคล้ายคลึงโดยตรงกับคุณสมบัติของ แบบ จำลองFuchsian ^{[ 3 ]}อย่างไรก็ตาม โดยรวมแล้วทฤษฎีนี้ยังไม่ได้รับการพัฒนาดีเท่าที่ควร ข้อสันนิษฐานที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขจำนวนหนึ่งเกี่ยวกับแบบจำลอง Kleinian เป็นสิ่งที่คล้ายคลึงกันกับทฤษฎีบทเกี่ยวกับแบบจำลอง Fuchsian

• ไฮเปอร์โบลิก 3-แมนิโฟลด์