ในทางคณิตศาสตร์ พีชคณิต ลี(Lie algebra) จะแก้ได้ก็ต่อเมื่ออนุกรมอนุพันธ์ของมันสิ้นสุดลงที่พีชคณิตย่อยศูนย์ (zero subalgebra) พีชคณิตลีอนุพันธ์ของพีชคณิตลีคือ พีชคณิตย่อยของซึ่งเขียนแทนด้วย ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

ซึ่งประกอบด้วยผลรวมเชิงเส้นทั้งหมดของวงเล็บลีของคู่สมาชิกในอนุกรมที่ได้มาคือลำดับของพีชคณิต ย่อย${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\supseteq ...}$

ถ้าอนุกรมอนุพันธ์ไปถึงซับอัลเจบราศูนย์ในที่สุด อัลเจบราลีจะเรียกว่าแก้ได้^{[ 1 ]}อนุกรมอนุพันธ์สำหรับอัลเจบราลีนั้นคล้ายคลึงกับอนุกรมอนุพันธ์สำหรับซับกรุ๊ปคอมมิวเทเตอร์ในทฤษฎีกลุ่มและอัลเจบราลีที่แก้ได้นั้นคล้ายคลึงกับกลุ่มที่แก้ได้

พีชคณิตลีแบบนิลโพเทนต์ใดๆ ก็สามารถแก้ได้ แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง พีชคณิตลีที่แก้ได้และพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายก่อให้เกิดคลาสขนาดใหญ่สองคลาสและโดยทั่วไปแล้วเป็นส่วนเติมเต็มกัน ดังที่แสดงโดยการแยกส่วนของเลวีพีชคณิตลีที่แก้ได้คือพีชคณิตที่สามารถได้มาจากการคูณแบบกึ่งตรงโดยเริ่มจาก 0 และเพิ่มมิติทีละหนึ่งมิติ^{[ 2 ]}

พีชคณิตย่อยที่แก้ได้สูงสุดเรียกว่าพีชคณิตย่อยโบเรล ส่วนอุดมคติที่แก้ได้ที่ใหญ่ที่สุดของพีชคณิตลีเรียกว่า รา ดิ คัล

ให้เป็นพีชคณิตลีแบบมิติจำกัดเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ0ข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

• (i) สามารถแก้ไขได้${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (ii) การแสดงผลผกผันของสามารถหาคำตอบได้${\displaystyle {\rm {ad}}({\mathfrak {g}})}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• (iii) มีลำดับไอเดียลที่จำกัดของ: ${\displaystyle {\mathfrak {a}__{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}\,\,\forall i.}$

• (iv) เป็นนิลโพเทนต์^{[ 3 ]}${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$
• (v) สำหรับมิติ - จะมีลำดับจำกัดของพีชคณิตย่อยของ: ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathfrak {a}__{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1\,\,\forall i,}$

โดยแต่ละอุดมคติใน[ ^{4 ] ลำดับ}ประเภทนี้เรียกว่าลำดับพื้นฐาน${\displaystyle {\mathfrak {a}__{i+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}__{i}}$

• (vi) มีลำดับจำกัดของพีชคณิตย่อย ของ${\displaystyle {\mathfrak {g}__{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,}$

โดยที่เป็นอุดมคติในและเป็นอาเบเลียน^{[ 5 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}__{i+1}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}__{i}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}}$

• ⁽ vii) รูปแบบการฆ่า เป็นไป ตามเงื่อนไข สำหรับ Xทั้งหมดในและYใน[ ^{6 ]}นี่คือเกณฑ์ของ Cartan สำหรับความสามารถในการแก้ปัญหา${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle B(X,Y)=0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$

ทฤษฎีบทของ Lieกล่าวว่า ถ้าเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์และเป็นพีชคณิต Lie ที่แก้ได้ และถ้าเป็นการแทนของเหนือแล้วจะมีเวกเตอร์ลักษณะ เฉพาะพร้อมกันของเอนโดมอ ร์ฟิซึมสำหรับองค์ประกอบทั้งหมด^{[ 7 ]}${\displaystyle V}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle \pi (X)}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$

• พีชคณิตย่อย Lie ทุกตัวและผลหารของพีชคณิต Lie ที่แก้ได้นั้นแก้ได้^{[ 8 ]}
• เมื่อกำหนดพีชคณิตลีและไอเดียลในพีชคณิตลีนั้นแล้ว ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

  ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$สามารถแก้ไขได้ก็ต่อเมื่อทั้งและสามารถแก้ไขได้^{[ 8 ] [ 2 ]}${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}}$

ข้อความที่คล้ายกันนี้เป็นจริงสำหรับพีชคณิตลีแบบนิลโพเทนต์ก็ต่อเมื่ออยู่ในศูนย์กลางเท่านั้น ดังนั้น การขยายพีชคณิตที่แก้ได้ด้วยพีชคณิตที่แก้ได้จึงเป็นพีชคณิตที่แก้ได้ ในขณะที่ การขยาย ศูนย์กลางของพีชคณิตนิลโพเทนต์ด้วยพีชคณิตนิลโพเทนต์ก็เป็นพีชคณิตนิลโพเทนต์เช่นกัน${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

• พีชคณิต Lie ที่แก้ได้และไม่เป็นศูนย์จะมีอุดมคติอาเบเลียนที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งเป็นพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์สุดท้ายในอนุกรมอนุพันธ์^{[ 2 ]}
• ถ้า เป็นอุดมคติที่แก้ได้ ก็แสดงว่าเป็น ^{อุดมคติ}ที่แก้ได้เช่นกัน[ ^{1 ] ดังนั้น}ถ้าเป็นมิติจำกัด ก็จะมีอุดมคติที่แก้ได้เพียงหนึ่งเดียวที่ประกอบด้วยอุดมคติที่แก้ได้ทั้งหมดในอุดมคตินี้คือรากของ[ ^{2 ]}${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• พีชคณิต Lie ที่แก้ได้จะมีอุดมคตินิลโพเทนต์ที่ใหญ่ที่สุดเพียงหนึ่งเดียวเรียกว่านิลราดิคัลซึ่งเป็นเซตของทั้งหมดที่ทำให้เป็นนิลโพเทนต์ ถ้าDเป็นอนุพันธ์ใดๆของแล้ว^{[ 9 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}}$

พีชคณิตลี (Lie algebra) เรียกว่าสามารถแก้ได้อย่างสมบูรณ์ (completely solvable)หรือสามารถแก้ได้แบบแยกส่วน (split solvable)ถ้ามีลำดับไอเดียลพื้นฐาน (elementary sequence of ideals) จากไปยังพีชคณิตลีแบบนิลโพเทนต์ (nilpotent Lie algebra) มิติจำกัดสามารถแก้ได้อย่างสมบูรณ์ และพีชคณิตลีที่สามารถแก้ได้อย่างสมบูรณ์ก็สามารถแก้ได้เช่นกัน บนฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (algebraically closed field) พีชคณิตลีที่สามารถแก้ได้นั้นสามารถแก้ได้อย่างสมบูรณ์ แต่พีชคณิตลีจริงมิติของกลุ่มไอโซเมตรีแบบยุคลิดของระนาบนั้นสามารถแก้ได้แต่ไม่สามารถแก้ได้อย่างสมบูรณ์ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle 3}$

พีชคณิต Lie ที่แก้ได้จะแก้ได้แบบแยกส่วนก็ต่อเมื่อค่าลักษณะเฉพาะของอยู่ในสำหรับทุกใน^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\rm {ad}}_{X}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ตามนิยามแล้ว พีชคณิตลีแบบอาเบเลียน ทุกตัวสามารถหาคำตอบได้ เนื่องจากตัวสลับของมันคือ ซึ่งรวมถึงพีชคณิตลีของเมทริกซ์แนวทแยงในซึ่งมีรูปแบบดังนี้${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$${\displaystyle [{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0}$${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&0&0\\0&*&0\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

โครงสร้างพีชคณิตลีบนปริภูมิเวกเตอร์ที่กำหนดโดยวงเล็บที่ไม่สำคัญสำหรับเมทริกซ์สองเมทริกซ์ใดๆ ก็เป็นอีกตัวอย่างหนึ่ง ${\displaystyle n=3}$${\displaystyle V}$${\displaystyle [m,n]=0}$${\displaystyle m,n\in {\text{End}}(V)}$

ตัวอย่างอีกกลุ่มหนึ่งมาจากพีชคณิตลีแบบนิลโพเทนต์เนื่องจากตัวแทนแอดจอยต์สามารถหาคำตอบได้ ตัวอย่างบางส่วนได้แก่ เมทริกซ์แนวทแยงบน เช่น กลุ่มของเมทริกซ์ในรูปแบบ

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}0&*&*\\0&0&*\\0&0&0\end{bmatrix}}\right\}}$

เรียกว่าพีชคณิตลีของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบนอย่างเคร่งครัดนอกจากนี้ พีชคณิตลีของเมทริกซ์แนวทแยงบน ยังก่อ ให้เกิดพีชคณิตลีที่แก้ได้ ซึ่งรวมถึงเมทริกซ์ในรูปแบบ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$

${\displaystyle \left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}}$

และมีสัญลักษณ์แทนด้วย ${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{k}}$

ให้เป็นเซตของเมทริกซ์บนรูปแบบ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .}$

จากนั้นจึงสามารถแก้ได้ แต่ไม่สามารถแก้แบบแยกส่วนได้^{[ 2 ]}มันมีลักษณะสมมาตรกับพีชคณิตลีของกลุ่มการแปลและการหมุนในระนาบ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

พีชคณิตLie กึ่งง่าย ไม่สามารถแก้ได้เลย เนื่องจากราก ของมัน ซึ่งเป็นอุดมคติที่แก้ได้ที่ใหญ่ที่สุดใน นั้นเป็นอุดมคติที่ไม่สำคัญ^{[ 1 ]หน้า 11}${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$${\displaystyle {\text{Rad}}({\mathfrak {l}})}$${\displaystyle {\mathfrak {l}}}$

เนื่องจากคำว่า "solvable" ยังใช้กับกลุ่มที่แก้ได้ในทฤษฎีกลุ่มด้วยจึงมีนิยามที่เป็นไปได้หลายประการสำหรับกลุ่ม Lie ที่แก้ได้สำหรับกลุ่ม Lie นั้นมีอยู่ ${\displaystyle G}$

• การสิ้นสุดของอนุกรมอนุพันธ์ ปกติ ของกลุ่ม(ในฐานะกลุ่มนามธรรม)${\displaystyle G}$
• การสิ้นสุดของการปิดของอนุกรมที่ได้มา;
• มีพีชคณิตลีที่แก้ได้

• เกณฑ์ของคาร์ตัน
• รูปแบบการสังหาร
• ทฤษฎีบทของ Lie–Kolchin
• โซลฟ์แมนิโฟลด์
• การทำแผนที่แบบดิกซ์เมียร์

• บทความ EoM เรื่องพีชคณิตของ Lie ที่แก้ได้
• บทความ EoM กลุ่มโกหก แก้ไขได้