จุดคงที่ของการแปลง $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$$ ได้มาจากการแก้สมการจุดตรึงf ( γ ) = γสำหรับc ≠ 0 สม การนี้มีรากสองรากซึ่งได้จากการขยายสมการนี้ไปเป็น $${\displaystyle c\gamma ^{2}-(a-d)\gamma -b=0\ ,}$$ และใช้สูตรกำลังสองรากคือ $${\displaystyle \gamma _{1,2}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {(a-d)^{2}+4bc}}}{2c}}={\frac {(a-d)\pm {\sqrt {\Delta }}}{2c}}}$$ ด้วยตัวแยกแยะ $${\displaystyle \Delta =(\operatorname {tr} {\mathfrak {H}})^{2}-4\det {\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}-4(ad-bc),}$$ โดยที่เมทริกซ์ $${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$$ แสดงถึงการแปลง การแปลงแบบพาราโบลาจะมีจุดคงที่ที่ตรงกันเนื่องจากค่าดิสคริมิแนนต์เป็นศูนย์ สำหรับค่าcที่ไม่เป็นศูนย์และค่าดิสคริมิแนนต์ที่ไม่เป็นศูนย์ การแปลงจะเป็นแบบวงรีหรือแบบไฮเปอร์โบลา

เมื่อc = 0สมการกำลังสองจะลดรูปเป็นสมการเชิงเส้น และการแปลงจะเป็นเชิงเส้น ในกรณีนี้ จุดตรึงจุดหนึ่งคือจุดที่อนันต์ เมื่อa ≠ dจุดตรึงจุดที่สองจะมีค่าจำกัดและกำหนดโดย $${\displaystyle \gamma =-{\frac {b}{a-d}}.}$$

ในกรณีนี้ การแปลงจะเป็นการแปลงแบบง่ายๆ ที่ประกอบด้วยการเลื่อนการหมุนและการขยายขนาด : $${\displaystyle z\mapsto \alpha z+\beta .}$$

ถ้าc = 0และa = dแล้ว จุดตรึงทั้งสองจะอยู่ที่อนันต์ และการแปลงโมเบียสจะสอดคล้องกับการเลื่อนแบบบริสุทธิ์: $${\displaystyle z\mapsto z+\beta .}$$

ในทางโทโพโลยี ข้อเท็จจริงที่ว่าการแปลงโมเบียส (ที่ไม่ใช่เอกลักษณ์) ตรึงจุดไว้ 2 จุด (โดยมีความซ้ำซ้อน) สอดคล้องกับลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของทรงกลมที่เป็น 2: $${\displaystyle \chi ({\hat {\mathbb {C} }})=2.}$$

ประการแรกกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟ PGL(2, K )มีคุณสมบัติ3-transitive อย่างชัดเจน  – สำหรับสามจุดที่แตกต่างกันสองชุดใดๆ ก็ตาม จะมีแผนที่เพียงหนึ่งเดียวที่แปลงสามจุดนั้นไปเป็นสามจุดใหม่ได้ เช่นเดียวกับการแปลงโมเบียส และด้วยการพิสูจน์ทางพีชคณิตแบบเดียวกัน (โดยพื้นฐานแล้ว คือ การนับมิติเนื่องจากกลุ่มมีมิติ 3) ดังนั้น แผนที่ใดๆ ที่ตรึงจุดอย่างน้อย 3 จุดไว้ได้ ก็จะเป็นเอกลักษณ์

ถัดไป เราสามารถเห็นได้จากการระบุกลุ่มโมเบียสด้วย${\displaystyle \mathrm {PGL} (2,\mathbb {C} )}$ฟังก์ชันโมเบียสใดๆ ก็ตามเป็นโฮโมโทปีกับฟังก์ชันเอกลักษณ์ ที่จริงแล้ว สมาชิกใดๆ ของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปสามารถลดรูปเป็นแผนที่เอกลักษณ์ได้โดยการกำจัดแบบเกาส์-จอร์แดนซึ่งแสดงให้เห็นว่ากลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟก็เชื่อมต่อกันด้วยเส้นทางเช่นกัน ทำให้เป็นโฮโมโทปีกับแผนที่เอกลักษณ์ทฤษฎีบทเลฟเชตซ์-ฮอปฟ์กล่าวว่า ผลรวมของดัชนี (ในบริบทนี้คือความซ้ำซ้อน) ของจุดตรึงของแผนที่ที่มีจุดตรึงจำนวนจำกัด เท่ากับจำนวนเลฟเชตซ์ของแผนที่ ซึ่งในกรณีนี้คือร่องรอยของแผนที่เอกลักษณ์บนกลุ่มโฮโมโลยี ซึ่งก็คือลักษณะเฉพาะของออยเลอร์นั่นเอง

ในทางตรงกันข้าม กลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟของเส้นโปรเจกทีฟจริง PGL (2, R )ไม่จำเป็นต้องกำหนดจุดใดๆ – ตัวอย่างเช่น${\displaystyle (1+x)/(1-x)}$ไม่มีจุดตรึง (จริง) ใดๆ: เนื่องจากการแปลงเชิงซ้อน มันจึงตรึง ± i ^{[หมายเหตุ 1 ]}  – ในขณะที่แผนที่ 2 xตรึงจุดสองจุดคือ 0 และ ∞ ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ของวงกลม (เส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟจริง) คือ 0 ดังนั้นทฤษฎีบทจุดตรึงของเลฟเชตซ์จึงกล่าวเพียงว่ามันต้องตรึงอย่างน้อย 0 จุด แต่ก็อาจมากกว่านั้นได้

การแปลงโมเบียสบางครั้งก็เขียนในรูปของจุดตรึงที่เรียกว่ารูปแบบปกติเราจะพิจารณากรณีที่ไม่ใช่พาราโบลาเป็นอันดับแรก ซึ่งมีจุดตรึงที่แตกต่างกันสองจุด

กรณีที่ไม่เป็นรูปพาราโบลา :

การแปลงที่ไม่เป็นพาราโบลาทุกรูปแบบจะสอดคล้องกับการขยาย/การหมุน กล่าวคือ เป็นการแปลงในรูปแบบ $${\displaystyle z\mapsto kz}$$( k ∈ C )โดยมีจุดคงที่ที่ 0 และ ∞ เพื่อดูสิ่งนี้ ให้กำหนดแผนที่ $${\displaystyle g(z)={\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}}$$ ซึ่งส่งจุด ( γ , γ ) ไปยัง (0, ∞) ในที่นี้เราสมมติว่าγ และγ แตกต่างกันและมีค่าจำกัด หากจุดใดจุดหนึ่งอยู่ที่อนันต์แล้ว เรา สามารถปรับเปลี่ยน gเพื่อกำหนดค่าอนันต์ให้คงที่และส่งจุดอีกจุดหนึ่งไปยัง 0 ได้

ถ้าfมีจุดตรึงที่แตกต่างกัน ( γ , γ ) แล้วการแปลง${\displaystyle gfg^{-1}}$มีจุดคงที่ที่ 0 และ ∞ และดังนั้นจึงเป็นการขยายขนาด:${\displaystyle gfg^{-1}(z)=kz}$สมการจุดตรึงสำหรับการแปลงfสามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle {\frac {f(z)-\gamma _{1}}{f(z)-\gamma _{2}}}=k{\frac {z-\gamma _{1}}{z-\gamma _{2}}}.}$$

เมื่อแก้สมการหาค่าfจะได้ (ในรูปแบบเมทริกซ์): $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\begin{pmatrix}\gamma _{1}-k\gamma _{2}&(k-1)\gamma _{1}\gamma _{2}\\1-k&k\gamma _{1}-\gamma _{2}\end{pmatrix}}}$$ หรือหากจุดคงที่จุดใดจุดหนึ่งอยู่ที่อนันต์: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma ,\infty )={\begin{pmatrix}k&(1-k)\gamma \\0&1\end{pmatrix}}.}$$

จากนิพจน์ข้างต้น เราสามารถคำนวณอนุพันธ์ของfที่จุดคงที่ได้: $${\displaystyle f'(\gamma _{1})=k}$$และ$${\displaystyle f'(\gamma _{2})=1/k.}$$

สังเกตว่า เมื่อกำหนดลำดับของจุดตรึงแล้ว เราสามารถแยกแยะตัวคูณ ( k ) ตัวใดตัวหนึ่งของf ออกมา เป็นค่าคงที่ลักษณะเฉพาะของfได้ การสลับลำดับของจุดตรึงจะเทียบเท่ากับการหาตัวคูณผกผันของค่าคงที่ลักษณะเฉพาะ: $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(k;\gamma _{1},\gamma _{2})={\mathfrak {H}}(1/k;\gamma _{2},\gamma _{1}).}$$

สำหรับการแปลงแบบลอกโซโดรมิก เมื่อใดก็ตามที่| k | > 1เราจะกล่าวว่าγ เป็น จุดคงที่ แบบผลักและγ เป็น จุดคงที่ แบบดึงดูดสำหรับ| k | < 1บทบาทจะกลับกัน

กรณีพาราโบลา :

ในกรณีพาราโบลาจะมีจุดคงที่เพียงจุดเดียว คือ γการแปลงที่ส่งจุดนั้นไปยังอนันต์คือ $${\displaystyle g(z)={\frac {1}{z-\gamma }}}$$ หรือเอกลักษณ์หากγอยู่ที่อนันต์อยู่แล้ว การแปลง${\displaystyle gfg^{-1}}$กำหนดค่าอนันต์ ดังนั้นจึงเป็นการแปล: $${\displaystyle gfg^{-1}(z)=z+\beta \,.}$$

ในที่นี้βเรียกว่าความยาวการเลื่อนสูตรจุดตรึงสำหรับการแปลงพาราโบลาคือ $${\displaystyle {\frac {1}{f(z)-\gamma }}={\frac {1}{z-\gamma }}+\beta .}$$

การแก้หาค่าf (ในรูปแบบเมทริกซ์) จะได้ $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\gamma )={\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}} โปรดทราบว่า ${\displaystyle \det {\mathfrak {H}}(\beta$ ;\gamma )=|{\mathfrak {H}}(\beta  ;\gamma )|=\det {\begin{pmatrix}1+\gamma \beta &-\beta \gamma ^{2}\\\beta &1-\gamma \beta \end{pmatrix}}=1-\gamma ^{2}\beta ^{2}+\gamma ^{2}\beta ^{2}=1}

ถ้าγ = ∞ : $${\displaystyle {\mathfrak {H}}(\beta$$ ;\infty )={\begin{pmatrix}1&\beta \\0&1\end{pmatrix}}}

โปรดทราบว่าβไม่ใช่ค่าคงที่เฉพาะของfซึ่งจะมีค่าเท่ากับ 1 เสมอสำหรับการแปลงแบบพาราโบลา จากนิพจน์ข้างต้น เราสามารถคำนวณได้ดังนี้ :$${\displaystyle f'(\gamma )=1.}$$

ถ้า${\displaystyle c\neq 0}$, อนุญาต:

• ${\displaystyle f_{1}(z)=z+d/c\quad }$(แปลโดยd / c )
• ${\displaystyle f_{2}(z)={\frac {1}{z}}\quad }$(การกลับด้านและการสะท้อนเทียบกับแกนจริง)
• ${\displaystyle f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z\quad }$(ความเหมือนกันและการหมุน)
• ${\displaystyle f_{4}(z)=z+a/c\quad }$(แปลโดยa / c )

จากนั้นฟังก์ชันเหล่านี้สามารถนำมาประกอบกันได้ซึ่งแสดงให้เห็นว่า ถ้า $${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}$$ หนึ่งมี $${\displaystyle f=f_{4}\circ f_{3}\circ f_{2}\circ f_{1}.}$$ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ คนเรามี $${\displaystyle {\frac {az+b}{cz+d}}={\frac {a}{c}}+{\frac {e}{z+{\frac {d}{c}}}},}$$ กับ $${\displaystyle e={\frac {bc-ad}{c^{2}}}.}$$

การแยกส่วนนี้ทำให้คุณสมบัติหลายประการของการแปลงโมเบียสปรากฏชัดเจน

การมีอยู่ของการแปลงโมเบียสผกผันและสูตรที่ชัดเจนของมันสามารถหาได้ง่ายโดยการประกอบฟังก์ชันผกผันของการแปลงที่ง่ายกว่า นั่นคือ กำหนดฟังก์ชันg , g , g , g โดยที่g แต่ละตัว เป็นฟังก์ชันผกผันของf จากนั้นการประกอบจะได้ $${\displaystyle g_{1}\circ g_{2}\circ g_{3}\circ g_{4}(z)=f^{-1}(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}$$ ให้สูตรสำหรับตัวผกผัน

จากการแยกส่วนนี้ เราจะเห็นว่าการแปลงโมเบียสถ่ายทอดคุณสมบัติที่ไม่ธรรมดาทั้งหมดของการผกผันวงกลมตัวอย่างเช่น การรักษาขนาดของมุมลดลงเหลือเพียงการพิสูจน์ว่าการผกผันวงกลมรักษาขนาดของมุมไว้ได้ เนื่องจากประเภทของการแปลงอื่นๆ คือการขยายและการแปลงสมมาตร (การเลื่อน การสะท้อน การหมุน) ซึ่งรักษาขนาดของมุมไว้ได้โดยง่าย

นอกจากนี้ การแปลงโมเบียสจะแปลงวงกลมทั่วไปไปเป็นวงกลมทั่วไป เนื่องจากผกผันวงกลมมีคุณสมบัตินี้ วงกลมทั่วไปคือวงกลมหรือเส้นตรง โดยเส้นตรงถือเป็นวงกลมที่ผ่านจุดอนันต์ โปรดทราบว่าการแปลงโมเบียสไม่จำเป็นต้องแปลงวงกลมไปเป็นวงกลมและเส้นตรงไปเป็นเส้นตรงเสมอไป มันสามารถผสมผสานทั้งสองอย่างได้ แม้ว่ามันจะแปลงวงกลมหนึ่งไปเป็นอีกวงกลมหนึ่ง แต่มันก็ไม่ได้แปลงจุดศูนย์กลางของวงกลมแรกไปเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สองเสมอไป

อัตราส่วนไขว้จะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงโมเบียส กล่าวคือ ถ้าการแปลงโมเบียสแมปจุดที่แตกต่างกันสี่จุด${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$สี่ประเด็นที่แตกต่างกัน${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3},w_{4}}$ตามลำดับ จากนั้น $${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}.}$$

หากจุดใดจุดหนึ่ง${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},z_{4}}$ถ้าจุดนั้นเป็นอนันต์ อัตราส่วนไขว้จะต้องถูกกำหนดโดยการหาลิมิตที่เหมาะสม เช่น อัตราส่วนไขว้ของ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},\infty }$เป็น $${\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}.}$$

อัตราส่วนไขว้ของจุดสี่จุดที่แตกต่างกันจะเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อมีเส้นตรงหรือวงกลมผ่านจุดเหล่านั้น นี่เป็นอีกวิธีหนึ่งในการแสดงให้เห็นว่าการแปลงโมเบียสรักษาคุณสมบัติของวงกลมทั่วไปไว้ได้

จุดสองจุดz และz จะเป็นคู่กันโดยสัมพันธ์กับวงกลมทั่วไปCถ้ากำหนดให้วงกลมทั่วไปDผ่านz และz และตัดCที่จุดสองจุดaและbแล้ว( z , z ; a , b )จะมีอัตราส่วนไขว้แบบฮาร์มอนิก (กล่าวคือ อัตราส่วนไขว้ของพวกมันคือ −1) คุณสมบัตินี้ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกวงกลมDคุณสมบัตินี้บางครั้งเรียกว่าสมมาตรโดยสัมพันธ์กับเส้นตรงหรือวงกลม^{[ 3 ] [ 4 ]}

จุดสองจุดzและz ^*จะเป็นคู่กันโดยสัมพันธ์กับเส้นตรง ถ้าจุดทั้งสองสมมาตรกันโดยสัมพันธ์กับเส้นตรงนั้น และจุดสองจุดจะเป็นคู่กันโดยสัมพันธ์กับวงกลม ถ้าจุดทั้งสองสลับตำแหน่งกันได้โดยการผกผันของวงกลมนั้น

จุดz ^∗เป็นจุดคู่ควบกับzเมื่อLเป็นเส้นตรงที่กำหนดโดยเวกเตอร์ตามe ^iθที่จุดz สามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle z^{*}=e^{2i\theta }\,{\overline {z-z_{0}}}+z_{0}.}$$

จุดz ^∗เป็นจุดคู่ควบกับzเมื่อCเป็นวงกลมรัศมีrที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่z สามารถเขียนได้ดังนี้ $${\displaystyle z^{*}={\frac {r^{2}}{\overline {z-z_{0}}}}+z_{0}.}$$

เนื่องจากการแปลงโมเบียสรักษาคุณสมบัติของวงกลมทั่วไปและอัตราส่วนไขว้ จึงรักษาคุณสมบัติการผันแปรด้วยเช่นกัน

การกระทำตามธรรมชาติของPGL(2, C )บนเส้นเชิงซ้อนโปรเจกทีฟ CP ¹นั้นตรงกับการกระทำตามธรรมชาติของกลุ่มโมเบียสบนทรงกลมรีมันน์

สำหรับฟิลด์K ใดๆ เราสามารถระบุกลุ่มPGL(2, K )ของออโตมอร์ฟิซึมเชิงเส้นเชิงโปรเจกทีฟในลักษณะเดียวกันกับกลุ่มของการแปลงเชิงเส้นเศษส่วนได้ วิธีนี้ใช้กันอย่างแพร่หลาย ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาโฮโมกราฟีของเส้นจำนวนจริงและการประยุกต์ใช้ในด้านทัศนศาสตร์

ถ้าหาร${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$โดยการ หา ค่ารากที่สองของดีเทอร์มิแนนต์ จะได้เมทริกซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับหนึ่ง ซึ่งทำให้เกิดโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่ม แบบทั่วถึง จากกลุ่มเชิงเส้นพิเศษSL(2, C )ไปยังPGL(2, C )โดยที่${\displaystyle \pm I}$เป็นแก่นของมัน

สิ่งนี้ช่วยให้สามารถแสดงได้ว่ากลุ่มโมเบียสเป็น กลุ่มลีเชิงซ้อน 3 มิติ(หรือกลุ่มลีจริง 6 มิติ) ซึ่งเป็นกลุ่มกึ่งเรียบง่ายและไม่กระชับและ SL(2, C ) เป็นการคลุมสองชั้นของPSL(2, C )เนื่องจากSL(2, C )เชื่อมต่ออย่างง่ายจึงเป็นการคลุมสากลของกลุ่มโมเบียส และกลุ่มพื้นฐานของกลุ่มโมเบียสคือZ  

กำหนดให้มีจุดที่แตกต่างกันสามจุด${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}$บนทรงกลมรีมันน์และชุดจุดที่แตกต่างกันชุดที่สอง${\displaystyle w_{1},w_{2},w_{3}}$มีการแปลงโมเบียสเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น${\displaystyle f(z)}$กับ${\displaystyle f(z_{j})=w_{j}}$สำหรับ​${\displaystyle j=1,2,3}$(กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการกระทำของกลุ่มโมเบียสบนทรงกลมรีมันน์นั้นเป็นแบบ 3-transitive อย่างเฉียบคม ) มีหลายวิธีในการพิจารณา${\displaystyle f(z)}$จากชุดจุดที่กำหนด

การแปลงโมเบียสที่ไม่ใช่เอกลักษณ์ซึ่งกำหนดโดยเมทริกซ์${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$กล่าวได้ว่ารูปทรงของดีเทอร์มิแนนต์ที่หนึ่งเป็นแบบพาราโบลาถ้า $${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}=(a+d)^{2}=4}$$ (ดังนั้นค่าร่องรอยจึงเป็นบวกหรือลบ 2 ซึ่งอาจเกิดขึ้นได้กับการแปลงที่กำหนด เนื่องจาก${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$(กำหนดได้เฉพาะจนถึงลายเซ็น) อันที่จริง หนึ่งในตัวเลือกสำหรับ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$มีพหุนามลักษณะ เฉพาะ X² ⁻ 2X + 1เหมือนกับเมทริกซ์เอกลักษณ์และดังนั้นจึงเป็นพหุนามเอกพจน์ การแปลงโมเบียส เป็นแบบพาราโบลา ก็ต่อเมื่อมีจุดตรึงเพียงจุดเดียวในระนาบเชิงซ้อนที่ขยายออกไป${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ซึ่งจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อสามารถกำหนดได้ด้วยเมทริกซ์สังยุคกับ$${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}}$$ ซึ่งอธิบายถึงการเลื่อนในระนาบเชิงซ้อน

เซตของการแปลงโมเบียสแบบพาราโบลิกทั้งหมดที่มีจุดตรึงที่กำหนดให้ ใน${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$เมื่อรวมกับเอกลักษณ์แล้ว จะก่อให้เกิดกลุ่มย่อยที่สมมาตรกับกลุ่มของเมทริกซ์ $${\displaystyle \left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}\mid b\in \mathbb {C} \right\};}$$ นี่เป็นตัวอย่างของรากที่มีอำนาจเดียวของกลุ่มย่อยโบเรล (ของกลุ่มโมเบียส หรือของSL(2, C )สำหรับกลุ่มเมทริกซ์ แนวคิดนี้กำหนดไว้สำหรับกลุ่มลีแบบลดรูป ใดๆ )

การแปลงที่ไม่ใช่พาราโบลาทั้งหมดมีจุดตรึงสองจุดและถูกกำหนดโดยเมทริกซ์สังยุคกับ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}}$$ โดยที่จำนวนเชิงซ้อนλไม่เท่ากับ 0, 1 หรือ −1 ซึ่งสอดคล้องกับการขยาย/การหมุนผ่านการคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนk = λ² ^ซึ่งเรียกว่าค่าคงที่ลักษณะเฉพาะหรือตัวคูณของการแปลง

การแปลงนั้นเรียกว่าเป็นการแปลงเชิงวงรี (elliptic transformation ) ถ้าสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ของดีเทอร์มิแนนต์ 1 เช่นนั้น $${\displaystyle 0\leq \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}<4.}$$

การแปลงเรียกว่าเป็นการแปลงเชิงวงรีก็ต่อเมื่อ| λ | = 1และλ ≠ ±1เขียนว่า${\displaystyle \lambda =e^{i\alpha }}$การแปลงเชิงวงรีเป็นคอนจูเกตกับ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}}$$ โดยที่αเป็นค่าจริง

สำหรับใดๆ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$โดยมีค่าคงที่ลักษณะเฉพาะkซึ่งเป็นค่าคงที่ลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle {\mathfrak {H}}^{n}}$คือk ⁿดังนั้น การแปลงโมเบียสทั้งหมดที่มีอันดับ จำกัด จึงเป็นการแปลงเชิงวงรี กล่าวคือ การแปลงที่λเป็นรากของเอกภาพหรือเทียบเท่ากับการแปลงที่αเป็น ผลคูณ เชิงตรรกะของπ ความ เป็นไปได้ที่ง่ายที่สุดของผลคูณเชิงเศษส่วน คือ α = π /2ซึ่งเป็นกรณีเดียวของ${\displaystyle \operatorname {tr} {\mathfrak {H}}=0}$เรียกอีกอย่างว่าการแปลงแบบวงกลม ; ในทางเรขาคณิตแล้วเทียบเท่ากับการหมุน 180° รอบจุดคงที่สองจุด คลาสนี้แสดงในรูปแบบเมทริกซ์ได้ดังนี้: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$ มีตัวแทน 3 ตัวที่ตรึง {0, 1, ∞} ซึ่งเป็นการสลับตำแหน่ง 3 แบบในกลุ่มสมมาตรของจุดทั้ง 3 นี้:${\displaystyle 1/z,}$ซึ่งกำหนดค่า 1 ให้คงที่และสลับค่า 0 กับ∞ (การหมุน 180° รอบจุด 1 และ −1)${\displaystyle 1-z}$ซึ่งกำหนดค่า ∞ ให้คงที่ และสลับ 0 กับ 1 (การหมุน 180° รอบจุด 1/2 และ∞ ) และ${\displaystyle z/(z-1)}$ซึ่งกำหนดค่า 0 ให้คงที่และสลับค่า 1 กับ∞ (การหมุน 180° รอบจุด 0 และ 2)

การแปลงนั้นจะเรียกว่าเป็นการแปลงไฮเปอร์โบลิกหากสามารถแสดงได้ด้วยเมทริกซ์${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ร่องรอยนั้นเป็นของจริงด้วย $${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}>4.}$$

การแปลงจะเป็นแบบไฮเปอร์โบลิกก็ต่อเมื่อλเป็นจำนวนจริงและλ ≠ ±1เท่านั้น

การแปลงดังกล่าวเรียกว่าเป็นแบบลอกโซโดรมิกถ้า${\displaystyle \operatorname {tr} ^{2}{\mathfrak {H}}}$ไม่อยู่ใน[0, 4]การแปลงเป็นแบบลอกโซโดรมิกก็ต่อเมื่อ${\displaystyle |\lambda |\neq 1}$.

ในอดีตการนำทางโดยใช้เส้นลอกโซโดรมหรือเส้นรุมบ์ไลน์หมายถึงเส้นทางที่มีทิศทาง คง ที่ เส้นทางที่ได้จะเป็นเกลียวลอการิทึมมีรูปร่างคล้ายกับการแปลงระนาบเชิงซ้อนที่เกิดจากการแปลงโมเบียสแบบลอกโซโดรม ดูภาพประกอบทางเรขาคณิตด้านล่าง

บนจำนวนจริง (ถ้าสัมประสิทธิ์ต้องเป็นจำนวนจริง) จะไม่มีการแปลงลอกโซโดรมิกที่ไม่ใช่ไฮเปอร์โบลิก และการจำแนกประเภทจะเป็นแบบวงรี แบบพาราโบลิก และแบบไฮเปอร์โบลิก เช่นเดียวกับภาคตัดกรวย จำนวนจริง คำศัพท์นี้มาจากการพิจารณาครึ่งหนึ่งของค่าสัมบูรณ์ของร่องรอย |tr|/2 เป็นค่าความเยื้องศูนย์ของการแปลง – การหารด้วย 2 จะแก้ไขมิติ ดังนั้นเอกลักษณ์จึงมีค่าความเยื้องศูนย์เท่ากับ 1 (บางครั้งใช้ tr/ nเป็นทางเลือกแทนร่องรอยด้วยเหตุผลนี้) และค่าสัมบูรณ์จะแก้ไขร่องรอยที่ถูกกำหนดไว้ได้ถึงปัจจัย ±1 เท่านั้นเนื่องจากการทำงานใน PSL อีกทางเลือกหนึ่ง อาจใช้ครึ่งหนึ่งของร่องรอยยกกำลังสองเป็นตัวแทนของค่าความเยื้องศูนย์ยกกำลังสอง ดังที่ได้ทำไว้ข้างต้น การจำแนกประเภทเหล่านี้ (แต่ไม่ใช่ค่าความเยื้องศูนย์ที่แน่นอน เนื่องจากกำลังสองและค่าสัมบูรณ์แตกต่างกัน) สอดคล้องกันสำหรับร่องรอยจำนวนจริง แต่ไม่สอดคล้องกันสำหรับร่องรอยจำนวนเชิงซ้อน มีการใช้คำศัพท์เดียวกันสำหรับการจำแนกองค์ประกอบของSL(2, R ) (การปกคลุมแบบ 2 เท่า) และ มีการใช้ การจำแนกประเภทที่คล้ายคลึงกันในที่อื่น การแปลงแบบลอกโซโดรมิกเป็นปรากฏการณ์ที่ซับซ้อนโดยพื้นฐาน และสอดคล้องกับความเยื้องศูนย์ที่ซับซ้อน

ถ้าρ = 0จุดตรึงทั้งสองจะไม่ดึงดูดหรือผลักกัน แต่เป็นกลาง และการแปลงนั้นเรียกว่าการแปลงแบบวงรีการแปลงเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะเคลื่อนจุดทั้งหมดเป็นวงกลมรอบจุดตรึงทั้งสอง ถ้าจุดตรึงจุดหนึ่งอยู่ที่อนันต์ การแปลงนี้จะเทียบเท่ากับการหมุนเชิงเส้นรอบจุดหนึ่ง

ถ้าเราเลือกกลุ่มย่อยที่มีพารามิเตอร์เดียวซึ่งสร้างขึ้นโดยการแปลงโมเบียสแบบวงรีใดๆ เราจะได้การแปลงแบบต่อเนื่อง ซึ่งการแปลงทุกครั้งในกลุ่มย่อยนี้จะตรึง จุดสองจุด เดิมไว้ จุดอื่นๆ ทั้งหมดจะไหลไปตามตระกูลของวงกลมซึ่งซ้อนกันอยู่ระหว่างจุดตรึงสองจุดบนทรงกลมรีมันน์ โดยทั่วไป จุดตรึงสองจุดนั้นสามารถเป็นจุดสองจุดใดๆ ที่แตกต่างกันก็ได้

สิ่งนี้มีความหมายเชิงฟิสิกส์ที่สำคัญ ลองจินตนาการว่าผู้สังเกตการณ์คนหนึ่งหมุนด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่รอบแกนใดแกนหนึ่ง จากนั้นเราสามารถกำหนดให้จุดคงที่สองจุดเป็นขั้วเหนือและขั้วใต้ของทรงกลมท้องฟ้า ลักษณะของท้องฟ้ายามค่ำคืนจะเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องในลักษณะที่อธิบายโดยกลุ่มย่อยของการแปลงเชิงวงรีแบบพารามิเตอร์เดียว ซึ่งมีจุดคงที่ร่วมกันคือ 0, ∞ และ α โดยที่αสอดคล้องกับความเร็วเชิงมุมคงที่ของผู้สังเกตการณ์ของเรา

ต่อไปนี้เป็นภาพประกอบที่แสดงให้เห็นถึงผลกระทบของการแปลงโมเบียสแบบวงรีต่อทรงกลมรีมันน์ (หลังจากการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกไปยังระนาบ):

ภาพเหล่านี้แสดงให้เห็นถึงผลของการแปลงโมเบียสเพียงครั้งเดียว กลุ่มย่อยที่มีพารามิเตอร์เดียวซึ่งเกิดจากการแปลงนี้ จะเคลื่อนย้ายจุดต่างๆ อย่างต่อเนื่องไปตามกลุ่มของส่วนโค้งวงกลมที่แสดงในภาพ

ถ้าαเป็นศูนย์ (หรือเป็นพหุคูณของ 2π )การแปลงนั้นจะเรียกว่าเป็นการแปลงแบบไฮเปอร์โบลิกการแปลงเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะเคลื่อนจุดไปตามเส้นทางวงกลมจากจุดคงที่จุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

ถ้าเราเลือกกลุ่มย่อยที่มีพารามิเตอร์เดียวซึ่งสร้างขึ้นโดยการแปลงโมเบียสแบบไฮเปอร์โบลิกใดๆ เราจะได้การแปลงแบบต่อเนื่อง ซึ่งการแปลงทุกครั้งในกลุ่มย่อยนี้จะตรึงจุด สองจุด เดิมไว้จุดอื่นๆ ทั้งหมดจะเคลื่อนที่ไปตามส่วนโค้งวงกลมตระกูลหนึ่งออกจากจุดตรึงจุดแรกและเข้าหาจุดตรึงจุดที่สอง โดยทั่วไปแล้ว จุดตรึงทั้งสองอาจเป็นจุดสองจุดใดๆ ที่แตกต่างกันบนทรงกลมรีมันน์ก็ได้

สิ่งนี้ก็มีการตีความทางกายภาพที่สำคัญเช่นกัน ลองจินตนาการว่าผู้สังเกตการณ์เร่งความเร็ว (ด้วยขนาดของความเร่งคงที่) ไปในทิศทางของขั้วโลกเหนือบนทรงกลมท้องฟ้าของเขา จากนั้นลักษณะของท้องฟ้ายามค่ำคืนจะเปลี่ยนไปในลักษณะที่อธิบายโดยกลุ่มย่อยพารามิเตอร์เดียวของการแปลงไฮเปอร์โบลิกซึ่งมีจุดคงที่ 0, ∞ ร่วมกัน โดยที่จำนวนจริงρสอดคล้องกับขนาดของเวกเตอร์ความเร่งของเขา ดวงดาวดูเหมือนจะเคลื่อนที่ไปตามเส้นลองจิจูด จากขั้วโลกใต้ไปยังขั้วโลกเหนือ (เส้นลองจิจูดปรากฏเป็นส่วนโค้งวงกลมภายใต้การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกจากทรงกลมไปยังระนาบ)

ต่อไปนี้เป็นภาพประกอบที่แสดงให้เห็นถึงผลกระทบของการแปลงโมเบียสแบบไฮเปอร์โบลิกต่อทรงกลมรีมันน์ (หลังจากการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกไปยังระนาบ):

ภาพเหล่านี้มีลักษณะคล้ายเส้นแรงของประจุไฟฟ้าบวกและลบที่อยู่ ณ จุดคงที่ เนื่องจากเส้นโค้งการไหลเป็นวงกลมทำมุมคงที่ระหว่างจุดคงที่ทั้งสองจุด

ถ้าทั้งρและαไม่เป็นศูนย์ การแปลงนั้นจะเรียกว่าเป็นการแปลงแบบลอกโซโดรมิกการแปลงเหล่านี้มีแนวโน้มที่จะเคลื่อนย้ายจุดทั้งหมดไปตามเส้นทางรูปตัว S จากจุดคงที่จุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

คำว่า " ลอกโซโดรม " มาจากภาษากรีก: "λοξος (loxos), เอียง + δρόμος (dromos), เส้นทาง " เมื่อแล่นเรือ ด้วย ทิศทางคงที่– เช่น หากคุณรักษาทิศทางไปทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ – ในที่สุดคุณจะแล่นเรือไปรอบขั้วโลกเหนือเป็นเกลียวลอการิทึมบนแผนที่แบบเมอร์เคเตอร์เส้นทางดังกล่าวจะเป็นเส้นตรง เนื่องจากขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้ฉายภาพไปยังอนันต์ มุมที่ลอกโซโดรมทำกับเส้นลองจิจูด (เช่น ความชัน ความ "แน่น" ของเกลียว) คือ อาร์กิวเมนต์ของkแน่นอนว่า การแปลงโมเบียสอาจมีจุดคงที่สองจุดอยู่ที่ใดก็ได้ ไม่ใช่แค่ที่ขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้ แต่การแปลงลอกโซโดรมใดๆ จะเป็นการแปลงผันตรงกับการแปลงที่เคลื่อนจุดทั้งหมดไปตามลอกโซโดรมดังกล่าว

ถ้าเราพิจารณากลุ่มย่อยที่มีพารามิเตอร์เดียวซึ่งสร้างขึ้นโดยการแปลงโมเบียสแบบลอกโซโดรมิกใดๆ เราจะได้การแปลงแบบต่อเนื่อง ซึ่งการแปลงทุกครั้งในกลุ่มย่อยนั้นจะตรึง จุดสองจุด เดิมไว้จุดอื่นๆ ทั้งหมดจะไหลไปตามตระกูลของเส้นโค้งบางตระกูล โดยไหลออกจากจุดตรึงจุดแรกและไหลเข้าหาจุดตรึงจุดที่สอง ต่างจากกรณีไฮเปอร์โบลิก เส้นโค้งเหล่านี้ไม่ใช่ส่วนโค้งวงกลม แต่เป็นเส้นโค้งบางประเภทซึ่งภายใต้การฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกจากทรงกลมไปยังระนาบ จะปรากฏเป็นเส้นโค้งเกลียวซึ่งบิดทวนเข็มนาฬิกาอย่างไม่สิ้นสุดรอบจุดตรึงจุดหนึ่ง และบิดตามเข็มนาฬิกาอย่างไม่สิ้นสุดรอบจุดตรึงอีกจุดหนึ่ง โดยทั่วไป จุดตรึงทั้งสองอาจเป็นจุดสองจุดใดๆ ที่แตกต่างกันบนทรงกลมรีมันน์

คุณอาจเดาการตีความทางกายภาพได้ในกรณีที่จุดคงที่สองจุดคือ 0 และ ∞: ผู้สังเกตการณ์ที่ทั้งหมุน (ด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่) รอบแกนใดแกนหนึ่งและเคลื่อนที่ไปตาม แกน เดียวกันจะเห็นลักษณะของท้องฟ้ายามค่ำคืนเปลี่ยนแปลงไปตามกลุ่มย่อยแบบพารามิเตอร์เดียวของการแปลงแบบลอกโซโดรมิกที่มีจุดคงที่ 0 และ ∞ และมีค่าρและαที่กำหนดโดยขนาดของความเร็วเชิงเส้นและความเร็วเชิงมุมจริงตามลำดับ

ภาพเหล่านี้แสดงการแปลงโมเบียสที่ฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิกบนทรงกลมรีมันน์โปรดสังเกตเป็นพิเศษว่า เมื่อฉายภาพลงบนทรงกลม กรณีพิเศษของจุดคงที่ที่อนันต์นั้นดูไม่แตกต่างจากกรณีที่มีจุดคงที่อยู่ที่ตำแหน่งใดๆ

จุดคงที่จุดหนึ่งที่อนันต์
จุดคงที่ที่อยู่ตรงข้ามกันโดยสมบูรณ์
จุดคงที่ ณ ตำแหน่งใดๆ

ผู้เขียนหลายคนได้สังเกตเห็นความเหมือนกันของกลุ่มโมเบียสกับกลุ่มลอเรนซ์ โดยอ้างอิงจากงานก่อนหน้าของ เฟลิกซ์ ไคลน์ (1893, 1897) ^{[ 11 ]}เกี่ยวกับฟังก์ชันอัตโนมัติที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตไฮเปอร์โบลิกและเรขาคณิตโมเบียส กุสตาฟ เฮอร์กลอตซ์ (1909) ^{[ 12 ]}แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนที่ไฮเปอร์โบลิก (เช่นการแปลงอัตโนมัติแบบ ไอโซเมตริก ของ ปริภูมิไฮ เปอร์โบลิ ก ) ที่แปลงทรงกลมหน่วยให้กลายเป็นตัวมันเองนั้นสอดคล้องกับการแปลงลอเรนซ์ ซึ่งเฮอร์กลอตซ์สามารถจำแนกการแปลงลอเรนซ์แบบพารามิเตอร์เดียวออกเป็นกลุ่มลอกโซโดรมิก กลุ่มวงรี กลุ่มไฮเปอร์โบลิก และกลุ่มพาราโบลิกได้ ผู้เขียนอื่นๆ ได้แก่Emil Artin (1957), ^{[ 13 ]} HSM Coxeter (1965), ^{[ 14 ]}และRoger Penrose , Wolfgang Rindler (1984), ^{[ 15 ]} Tristan Needham (1997) ^{[ 16 ]}และ WM Olivia (2002) ^{[ 17 ]}

^{ปริภูมิ}Minkowskiประกอบด้วยปริภูมิพิกัดจริง สี่มิติ R₄ ซึ่ง ประกอบด้วยปริภูมิของควอดรูเพิลเรียงลำดับ x₀, , x₂ x₃ ) ของจำนวนจริงด้วยรูปแบบกำลังสอง$${\displaystyle Q(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-x_{3}^{2}.}$$

โดยยืมศัพท์จากทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษจุดที่มีQ > 0ถือว่าเป็นจุดเวลานอกจากนี้ ถ้าx > 0จุดนั้นจะเรียกว่าจุดชี้อนาคตจุดที่มีQ < 0เรียกว่าจุด อวกาศ กรวยว่างSประกอบด้วยจุดที่มีQ = 0กรวยว่างอนาคตN ⁺คือจุดบนกรวยว่างที่มีx > 0 ทรงกลมท้องฟ้าจะถูกระบุด้วยชุดของรังสีในN ⁺ซึ่งจุดเริ่มต้นคือจุดกำเนิดของR ⁴ชุดของ การแปลงเชิงเส้น บนR ⁴ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวกซึ่งรักษาฟอร์มกำลังสองQและรักษาทิศทางเวลาไว้ จะก่อให้เกิดกลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัดSO ⁺ (1, 3 )

ในส่วนที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตของทรงกลมท้องฟ้า กลุ่มของการแปลงSO ⁺ (1, 3)จะถูกระบุให้เหมือนกับกลุ่มPSL(2, C )ของการแปลงโมเบียสของทรงกลม สำหรับแต่ละ( x , x , x , x ) ∈ R ⁴ให้เชื่อมโยงเมทริกซ์เฮอร์มิเชียน$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}.}$$

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์Xเท่ากับQ ( x , x , x , x )กลุ่มเชิงเส้นพิเศษกระทำต่อปริภูมิของเมทริกซ์ดังกล่าวผ่านทาง

${\displaystyle X\mapsto AXA^{*}}$

1

สำหรับแต่ละA ∈ SL(2, C )และการกระทำของSL(2, C ) นี้ จะรักษาดีเทอร์มิแนนต์ของX ไว้ เนื่องจากdet A = 1เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์ของXถูกระบุด้วยฟอร์มกำลังสองQดังนั้นSL(2, C )จึงกระทำโดยการแปลงลอเรนซ์ บนพื้นฐานมิติSL(2, C )ครอบคลุมบริเวณใกล้เคียงของเอกลักษณ์ของSO(1, 3)เนื่องจากSL(2, C )เชื่อมต่อกัน จึงครอบคลุมกลุ่มลอเรนซ์ที่จำกัดทั้งหมดSO ⁺ (1, 3)ยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากเคอร์เนลของการกระทำ ( 1 ) คือกลุ่มย่อย{± I }ดังนั้นการเปลี่ยนไปใช้กลุ่มผลหารจะให้ไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่ม

${\displaystyle \operatorname {PSL} (2,\mathbb {C} )\cong \operatorname {SO} ^{+}(1,3).}$

2

ต่อไปนี้จะพิจารณากรณีที่( x , x , x , x )เป็นศูนย์ เมทริกซ์Xจะมีดีเทอร์มิแนนต์เป็นศูนย์ และด้วยเหตุนี้จึงแยกออกเป็นผลคูณภายนอกของเวกเตอร์เชิงซ้อนสองตัวξกับเวกเตอร์เชิงซ้อนสังยุคของมัน:

${\displaystyle X=\xi {\bar {\xi }}^{\text{T}}=\xi \xi ^{*}.}$

3

เวกเตอร์สององค์ประกอบξจะถูกกระทำโดยSL(2, C )ในลักษณะที่เข้ากันได้กับ ( 1 ) ตอนนี้ชัดเจนแล้วว่าเคอร์เนลของการแสดงแทนของSL (2, C )บนเมทริกซ์เฮอร์มิเชียนคือ{± I }

การกระทำของPSL(2, C )บนทรงกลมท้องฟ้าอาจอธิบายได้ในเชิงเรขาคณิตโดยใช้การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกพิจารณาไฮเปอร์เพลนในR ⁴ที่กำหนดโดยx   =  1 ก่อน ทรงกลมท้องฟ้าอาจระบุได้ว่าเป็นทรงกลมS ⁺ของจุดตัดของไฮเปอร์เพลนกับกรวยว่างN ⁺ ในอนาคต การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกจากขั้วเหนือ(1, 0, 0, 1)ของทรงกลมนี้ไปยังระนาบx = 0จะได้จุดที่มีพิกัด(1, x , x , x )ด้วย $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}$$ ตรงประเด็น $${\displaystyle \left(1,{\frac {x_{1}}{1-x_{3}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{3}}},0\right).}$$

ขอแนะนำระบบพิกัด เชิงซ้อน$${\displaystyle \zeta ={\frac {x_{1}+ix_{2}}{1-x_{3}}},}$$ การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกผกผันให้สูตรต่อไปนี้สำหรับจุด( x , x , x )บนS ⁺ :

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&={\frac {\zeta +{\bar {\zeta }}}{\zeta {\bar {\zeta }}+1}}\\x_{2}&={\frac {\zeta -{\bar {\zeta }}}{i(\zeta {\bar {\zeta }}+1)}}\\x_{3}&={\frac {\zeta {\bar {\zeta }}-1}{\zeta {\bar {\zeta }}+1}}.\end{aligned}}}$

4

การกระทำของSO ⁺ (1, 3)บนจุดของN ⁺ไม่รักษาไฮเปอร์เพลนS ⁺แต่การกระทำบนจุดในS ⁺แล้วปรับขนาดใหม่เพื่อให้ผลลัพธ์อยู่ในS ⁺ อีกครั้ง จะให้การกระทำของSO ⁺ (1, 3)บนทรงกลมซึ่งเปลี่ยนไปเป็นการกระทำบนตัวแปรเชิงซ้อนζอันที่จริง การกระทำนี้เป็นการแปลงเชิงเส้นเศษส่วน แม้ว่าจะมองเห็นได้ยากจากภาพแทนของทรงกลมท้องฟ้า ในทางกลับกัน สำหรับการแปลงเชิงเส้นเศษส่วนใดๆ ของ ตัวแปร ζจะเปลี่ยนไปเป็นการแปลงลอเรนซ์ที่ ไม่ซ้ำกัน บนN ⁺อาจหลังจากปรับขนาดที่เหมาะสม (กำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน)

คำอธิบายที่ไม่เปลี่ยนแปลงมากขึ้นของการฉายภาพสเตอริโอกราฟิก ซึ่งช่วยให้มองเห็นการกระทำได้ชัดเจนยิ่งขึ้น คือการพิจารณาตัวแปรζ = z : wเป็นอัตราส่วนของพิกัดเอกพันธุ์คู่หนึ่งสำหรับเส้นโปรเจกทีฟเชิงซ้อนCP ¹การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกจะเปลี่ยนไปเป็นการแปลงจากC ² − {0}ไปยังN ⁺ซึ่งเป็นเอกพันธุ์ระดับสองโดยสัมพันธ์กับการปรับขนาดจริง

${\displaystyle (z,w)\mapsto (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})=(z{\bar {z}}+w{\bar {w}},z{\bar {z}}-w{\bar {w}},z{\bar {w}}+w{\bar {z}},i^{-1}(z{\bar {w}}-w{\bar {z}}))}$

5

ซึ่งสอดคล้องกับ ( 4 ) เมื่อจำกัดไว้ที่มาตราส่วนที่${\displaystyle z{\bar {z}}+w{\bar {w}}=1.}$ส่วนประกอบของ ( 5 ) คือส่วนประกอบที่ได้จากผลิตภัณฑ์ภายนอกอย่างแม่นยำ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{0}+x_{1}&x_{2}+ix_{3}\\x_{2}-ix_{3}&x_{0}-x_{1}\end{bmatrix}}=2{\begin{bmatrix}z\\w\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\bar {z}}&{\bar {w}}\end{bmatrix}}.}$$

โดยสรุป การกระทำของกลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัด SO ⁺ (1,3) สอดคล้องกับการกระทำของกลุ่มโมเบียสPSL(2, C )สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดคำจำกัดความต่อไปนี้ ในมิติn ≥ 2 กลุ่มโมเบียส Möb ( n ) คือกลุ่มของการแปลงไอโซเมตริกแบบคอนฟอร์มอล ที่รักษาทิศทางทั้งหมด ของทรงกลมกลมS ⁿไปยังตัวมันเอง โดยการทำให้ทรงกลมคอนฟอร์มอลเป็นปริภูมิของรังสีที่ชี้ไปในอนาคตของกรวยศูนย์ในปริภูมิ Minkowski R ^1,n+1จะมีไอโซมอร์ฟิซึมของ Möb( n ) กับกลุ่มลอเรนซ์แบบจำกัด SO ⁺ (1, n +1) ของการแปลงลอเรนซ์ที่มีดีเทอร์มิแนนต์เป็นบวก ซึ่งรักษาทิศทางของเวลา

ค็อกซ์เตอร์เริ่มต้นด้วยรูปแบบกำลังสองที่เทียบเท่ากันแทน${\displaystyle Q(x_{1},\ x_{2},\ x_{3}\ x_{4})=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}}$⁠ .

เขาระบุกลุ่มลอเรนซ์ด้วยการแปลงที่{ x | Q( x ) = −1}มีเสถียรภาพจากนั้นเขาตีความx's เป็นพิกัดเอกพันธุ์ และ{ x | Q( x ) = 0}ซึ่งเป็นกรวยศูนย์เป็นค่าสัมบูรณ์ของเคย์ลีย์สำหรับปริภูมิไฮเปอร์โบลิกของจุด{ x | Q( x ) < 0}ต่อมา ค็อกซ์เตอร์ได้แนะนำตัวแปร $${\displaystyle \xi ={\frac {x_{1}}{x_{4}}},\ \eta ={\frac {x_{2}}{x_{4}}},\ \zeta ={\frac {x_{3}}{x_{4}}}}$$ ดังนั้นควอดริกที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์จึงสอดคล้องกับทรงกลม${\displaystyle \xi ^{2}+\eta ^{2}+\zeta ^{2}=1}$ค็อกซ์เตอร์ตั้งข้อสังเกตว่าเฟลิกซ์ ไคลน์ก็ได้เขียนถึงการติดต่อสื่อสารนี้เช่นกัน โดยใช้การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกจาก (0, 0, 1)ไปยังระนาบเชิงซ้อน${\textstyle z={\frac {\xi +i\eta }{1-\zeta }}.}$ค็อกเซเตอร์ใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าวงกลมของระนาบผกผันแสดงถึงระนาบของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก และโฮโมกราฟีทั่วไปเป็นผลคูณของการผกผันในวงกลมสองหรือสี่วง ซึ่งสอดคล้องกับการกระจัดไฮเปอร์โบลิกทั่วไปซึ่งเป็นผลคูณของการผกผันในระนาบสองหรือสี่ระนาบ

ดังที่เห็นข้างต้น กลุ่มโมเบียสPSL(2, C )กระทำต่อปริภูมิ Minkowski ในฐานะกลุ่มของการแปลงไอโซเมตรีที่รักษาจุดกำเนิด การวางแนวของปริภูมิ และทิศทางของเวลา เมื่อจำกัดเฉพาะจุดที่Q = 1ในกรวยแสงบวก ซึ่งเป็นแบบจำลองของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติH ³เราจะเห็นว่ากลุ่มโมเบียสกระทำต่อH ³ในฐานะกลุ่มของการแปลงไอโซเมตรีที่รักษาการวางแนว ในความเป็นจริง กลุ่มโมเบียสเท่ากับกลุ่มของการแปลงไอโซเมตรีที่รักษาการวางแนวของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก 3 มิติ หากเราใช้แบบจำลองลูกบอล Poincaréโดยระบุลูกบอลหน่วยในR ³กับH ³เราสามารถคิดว่าทรงกลม Riemann เป็น "ขอบเขตคอนฟอร์มอล" ของH ³การแปลงไอโซเมตรีที่รักษาการวางแนวทุกแบบของH ³ก่อให้เกิดการแปลงโมเบียสบนทรงกลม Riemann และในทางกลับกัน