ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์การแปลงผกผันเป็นการขยายตามธรรมชาติของการแปลงปวงกาเรเพื่อรวม การแปลง คอนฟอร์มอลแบบหนึ่งต่อหนึ่ง ทั้งหมด บนปริภูมิเวลาพิกัด^{[ 1 ] [ 2 ]}การแปลงผกผันได้รับการศึกษาน้อยกว่าในฟิสิกส์ เนื่องจากแตกต่างจากการหมุนและการเลื่อนของสมมาตรปวงกาเร วัตถุไม่สามารถแปลงทางกายภาพได้ด้วยสมมาตรผกผัน ทฤษฎีทางฟิสิกส์บางทฤษฎีไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรนี้ ในกรณีเหล่านี้เรียกว่า 'สมมาตรที่ซ่อนอยู่' สมมาตรที่ซ่อนอยู่อื่นๆ ในฟิสิกส์ ได้แก่สมมาตรเกจและ ความ แปรผัน ทั่วไป

ในปี ค.ศ. 1831 นักคณิตศาสตร์ลุดวิก อิมมานูเอล แม็กนัสเริ่มตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับการแปลงระนาบที่เกิดจากการผกผันในวงกลมรัศมีRงานของเขาเป็นจุดเริ่มต้นของงานตีพิมพ์จำนวนมาก ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าเรขาคณิตผกผันนักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงที่สุดคือ ออ กัสต์ เฟอร์ดินานด์ โมเบียสหลังจากที่เขาลดการแปลงระนาบให้เหลือเพียง เลขคณิต ของจำนวนเชิงซ้อนในกลุ่มนักฟิสิกส์ที่ใช้การแปลงผกผันในช่วงแรกๆ นั้น มีลอร์ด เคลวิน ร่วมอยู่ด้วย และความเกี่ยวข้องกับเขานำไปสู่การเรียก การแปลงนี้ ว่า การแปลงเคลวิน

ต่อไปนี้เราจะใช้เวลาจินตนาการ ( ) เพื่อให้ปริภูมิเวลาเป็นแบบยุคลิดและสมการจะง่ายขึ้น การแปลงปวงกาเรกำหนดโดยการแปลงพิกัดบนปริภูมิเวลาซึ่งกำหนดพารามิเตอร์โดยเวกเตอร์ 4 มิติ  V${\displaystyle t'=it}$

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\mu }\,}$

โดยที่เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉากและเป็นเวกเตอร์ 4 มิติ การใช้การแปลงนี้สองครั้งกับเวกเตอร์ 4 มิติจะได้การแปลงครั้งที่สามที่มีรูปแบบเดียวกัน ค่าคงที่พื้นฐานภายใต้การแปลงนี้คือความยาวของปริภูมิเวลา ซึ่งกำหนดโดยระยะห่างระหว่าง จุด ปริภูมิเวลา สอง จุดที่กำหนดโดยเวกเตอร์ 4 มิติxและ  y : ${\displaystyle O}$${\displaystyle P}$

${\displaystyle r=|xy|.\,}$

การแปลงเหล่านี้เป็นสับกรุ๊ปของการแปลงคอนฟอร์มอลแบบ 1 ต่อ 1 ทั่วไปบนปริภูมิเวลา เป็นไปได้ที่จะขยายการแปลงเหล่านี้ให้ครอบคลุมการแปลงคอนฟอร์มอลแบบ 1 ต่อ 1 ทั้งหมดบนปริภูมิเวลา

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(A_{\tau }^{\nu }V_{\nu }+B_{\tau }\right)\left(C_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }+D_{\tau \mu }\right)^{-1}.}$

นอกจากนี้ เราต้องมีเงื่อนไขที่เทียบเท่ากับเงื่อนไขความเป็นตั้งฉากของการแปลงปวงกาเรด้วย:

${\displaystyle AA^{T}+BC=DD^{T}+CB\,}$

เนื่องจากเราสามารถหารส่วนบนและส่วนล่างของการแปลงด้วยเราจึงไม่สูญเสียความเป็นทั่วไปโดยการกำหนดให้เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ สุดท้ายเราจะได้ ${\displaystyle D,}$${\displaystyle D}$

${\displaystyle V_{\mu }^{\prime }=\left(O_{\mu }^{\nu }V_{\nu }+P_{\tau }\right)\left(\delta _{\tau \mu }+Q_{\tau \mu }^{\nu }V_{\nu }\right)^{-1}.\,}$

การใช้การแปลงนี้สองครั้งกับเวกเตอร์ 4 มิติจะให้การแปลงที่มีรูปแบบเดียวกัน สมมาตรใหม่ของ 'การผกผัน' กำหนดโดยเทนเซอร์ 3 มิติสมมาตรนี้จะกลายเป็นสมมาตรปวงกาเรหากเรากำหนดเมื่อเงื่อนไขที่สองกำหนดให้เป็นเมทริกซ์เชิงตั้งฉาก การแปลงนี้เป็นการแปลงแบบ 1 ต่อ 1 หมายความว่าแต่ละจุดจะถูกแมปไปยังจุดที่ไม่ซ้ำกันเพียงจุดเดียวก็ต่อเมื่อเรารวมจุดที่อนันต์ในทางทฤษฎีด้วย ${\displaystyle Q.}$${\displaystyle Q=0.}$${\displaystyle Q=0}$${\displaystyle O}$

ค่าคงที่สำหรับสมมาตรนี้ใน 4 มิติยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัด แต่เป็นที่ทราบกันว่าค่าคงที่ดังกล่าวต้องการจุดปริภูมิเวลาอย่างน้อย 4 จุด ในมิติเดียว ค่าคงที่นั้นคืออัตราส่วนไขว้ ที่รู้จักกันดี จากการแปลงโมเบียส :

${\displaystyle {\frac {(xX)(yY)}{(xY)(yX)}}.}$

เนื่องจากค่าคงที่ภายใต้สมมาตรนี้เกี่ยวข้องกับจุดอย่างน้อย 4 จุดเท่านั้น สมมาตรนี้จึงไม่สามารถเป็นสมมาตรของทฤษฎีอนุภาคจุดได้ ทฤษฎีอนุภาคจุดอาศัยการรู้ความยาวของเส้นทางของอนุภาคผ่านปริภูมิเวลา (เช่น จากถึง) สมมาตรนี้อาจเป็นสมมาตรของทฤษฎีสตริงซึ่งสตริงถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยจุดปลายของมันตัวแพร่กระจายสำหรับทฤษฎีนี้สำหรับสตริงที่เริ่มต้นที่จุดปลายและสิ้นสุดที่จุดปลายคือฟังก์ชันคอนฟอร์มอลของค่าคงที่ 4 มิติ ฟิลด์สตริงในทฤษฎีสตริงจุดปลายคือฟังก์ชันเหนือจุดปลาย ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,X)}$${\displaystyle (y,Y)}$

${\displaystyle \phi (x,X).\,}$

แม้ว่าจะเป็นเรื่องปกติที่จะสรุปการแปลงปวงกาเรเพื่อค้นหาสมมาตร ที่ซ่อน อยู่ทางฟิสิกส์และลดจำนวนทฤษฎีที่เป็นไปได้ของฟิสิกส์พลังงานสูงแต่การตรวจสอบสมมาตรนี้ในเชิงทดลองนั้นทำได้ยาก เนื่องจากไม่สามารถแปลงวัตถุภายใต้สมมาตรนี้ได้ หลักฐานทางอ้อมของสมมาตรนี้ได้มาจากการที่ทฤษฎีพื้นฐานทางฟิสิกส์ซึ่งไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรนี้สามารถทำนายได้อย่างแม่นยำเพียงใด หลักฐานทางอ้อมอื่นๆ คือว่าทฤษฎีที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้สมมาตรนี้ทำให้เกิดข้อขัดแย้งหรือไม่ เช่น การให้ความน่าจะเป็นมากกว่า 1 จนถึงขณะนี้ยังไม่มีหลักฐานโดยตรงว่าองค์ประกอบพื้นฐานของเอกภพเป็นสตริง สมมาตรนี้อาจเป็นสมมาตรที่แตกหักหมายความว่าถึงแม้จะเป็นสมมาตรทางฟิสิกส์ แต่เอกภพได้ 'หยุดนิ่ง' ในทิศทางใดทิศทางหนึ่งโดยเฉพาะ ดังนั้นสมมาตรนี้จึงไม่ปรากฏให้เห็นอีกต่อไป

• กลุ่มการหมุน SO(3)
• การหมุนและการสะท้อนพิกัด
• สมมาตรของกาลอวกาศ
• สมมาตร CPT
• สาขา (ฟิสิกส์)
• ซูเปอร์สตริง