เรขาคณิตทรงกลมของ Lieเป็น ทฤษฎี เรขาคณิตของเรขาคณิตระนาบหรือเรขาคณิตเชิงพื้นที่ซึ่งมีแนวคิดพื้นฐานคือวงกลมหรือทรงกลมSophus Lieเป็นผู้นำเสนอ ทฤษฎีนี้ ในศตวรรษที่ 19 ^{[ 1 ]}แนวคิดหลักที่นำไปสู่เรขาคณิตทรงกลมของ Lie คือเส้น (หรือระนาบ) ควรถูกมองว่าเป็นวงกลม (หรือทรงกลม) ที่มีรัศมีอนันต์ และจุดในระนาบ (หรือพื้นที่) ควรถูกมองว่าเป็นวงกลม (หรือทรงกลม) ที่มีรัศมีเป็นศูนย์

พื้นที่ของวงกลมในระนาบ (หรือทรงกลมในอวกาศ) ซึ่งรวมถึงจุดและเส้น (หรือระนาบ) นั้น แท้จริงแล้วคือแมนิโฟลด์ที่เรียกว่าลีควอดริก ( พื้นผิวควอดริกในปริภูมิเชิงฉาย ) เรขาคณิตทรงกลมของลี คือเรขาคณิตของลีควอดริกและการแปลงของลีที่รักษาเรขาคณิตนี้ไว้ เรขาคณิตนี้อาจยากต่อการมองเห็นภาพ เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วการแปลงของลีจะไม่รักษาจุดไว้ กล่าวคือ จุดสามารถแปลงเป็นวงกลม (หรือทรงกลม) ได้

เพื่อจัดการกับปัญหานี้ เส้นโค้งในระนาบและพื้นผิวในอวกาศจะถูกศึกษาโดยใช้การยกสัมผัสซึ่งกำหนดโดยปริภูมิสัมผัสวิธีนี้ช่วยให้สามารถสร้างวงกลมสัมผัส ของ เส้นโค้งและทรงกลมความโค้งของพื้นผิวได้อย่างเป็นธรรมชาติ นอกจากนี้ยังช่วยให้สามารถจัดการกับไซคลิดของดูพินได้ อย่างเป็นธรรมชาติ และแก้ปัญหาของอพอลโลเนียสได้ใน เชิงแนวคิด

เรขาคณิตทรงกลมของ Lie สามารถกำหนดได้ในมิติใดก็ได้ แต่กรณีของระนาบและปริภูมิ 3 มิติมีความสำคัญที่สุด ในกรณีหลัง Lie สังเกตเห็นความคล้ายคลึงกันที่น่าทึ่งระหว่างควอดริกของทรงกลมของ Lie ใน 3 มิติ และปริภูมิของเส้นในปริภูมิเชิงฉาย 3 มิติ ซึ่งเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซควอดริกในปริภูมิเชิงฉาย 5 มิติ เรียกว่าควอดริกของ Plücker หรือ Kleinความคล้ายคลึงกันนี้ทำให้ Lie ค้นพบ "การจับคู่เส้น-ทรงกลม" อันโด่งดังระหว่างปริภูมิของเส้นและปริภูมิของทรงกลมในปริภูมิ 3 มิติ^{[ 2 ]}

ข้อสังเกตสำคัญที่นำไปสู่เรขาคณิตทรงกลมของลี คือ ทฤษฎีบทของเรขาคณิตแบบยุคลิดในระนาบ (หรือในปริภูมิ) ซึ่งขึ้นอยู่กับแนวคิดของวงกลม (หรือทรงกลม) และการสัมผัสกัน เท่านั้น มีการกำหนดสูตรที่เป็นธรรมชาติมากขึ้นในบริบททั่วไปที่วงกลมเส้นและจุด (หรือทรงกลมระนาบและจุด) ได้รับการปฏิบัติอย่างเท่าเทียมกัน ซึ่งทำได้ในสามขั้นตอน ขั้นแรกเพิ่มจุดในอุดมคติที่อนันต์ลง ในปริภูมิยุคลิด เพื่อให้เส้น (หรือระนาบ) สามารถถือได้ว่าเป็นวงกลม (หรือทรงกลม) ที่ผ่านจุดที่อนันต์ (กล่าวคือ มี รัศมี อนันต์ ) การขยายนี้เรียกว่าเรขาคณิตผกผันที่มีการแปลงอัตโนมัติที่เรียกว่า "การแปลงโมเบียส" ขั้นที่สอง จุดต่างๆ จะถูกมองว่าเป็นวงกลม (หรือทรงกลม) ที่มีรัศมีเป็นศูนย์ สุดท้าย ด้วยเหตุผลทางเทคนิค วงกลม (หรือทรงกลม) รวมถึงเส้น (หรือระนาบ) จะได้รับการ กำหนดทิศทาง

วัตถุเหล่านี้ กล่าวคือ จุด วงกลมที่มีทิศทาง และเส้นตรงที่มีทิศทางในระนาบ หรือจุด ทรงกลมที่มีทิศทาง และระนาบที่มีทิศทางในอวกาศ บางครั้งเรียกว่า วัฏจักร หรือ วัฏจักรลี (Lie cycles) ปรากฏว่าวัตถุเหล่านี้ก่อตัวเป็นพื้นผิวควอดริกในปริภูมิเชิงฉายที่มีมิติ 4 หรือ 5 ซึ่งเรียกว่า ควอดริกลี (Lie quadric) สมมาตร ตามธรรมชาติ ของควอดริกนี้ก่อให้เกิดกลุ่มของการแปลงที่เรียกว่า การแปลงลี (Lie transformations) การแปลงเหล่านี้โดยทั่วไปไม่รักษาจุดไว้: พวกมันเป็นการแปลงของควอดริกลีไม่ใช่ของระนาบ/ทรงกลมบวกจุดที่อนันต์ การแปลงที่รักษาจุดไว้คือการแปลงโมเบียส (Möbius transformations) การแปลงลีที่ตรึงจุดอุดมคติที่อนันต์คือการแปลงลากูร์ (Laguerre transformations ) ใน เรขาคณิตลากู ร์ กลุ่มย่อยทั้งสองนี้สร้างกลุ่มของการแปลงลี และจุดตัดของพวกมันคือการแปลงโมเบียสที่ตรึงจุดอุดมคติที่อนันต์ นั่นคือ แผนที่คอน ฟอร์มอลเชิงเส้น ตรง (affine conformal maps)

กลุ่มเหล่านี้ยังมีการตีความทางกายภาพโดยตรงด้วย ดังที่ แฮร์รี เบตแมนชี้ให้เห็นการแปลงทรงกลมของลีนั้นเหมือนกับการแปลงคลื่นทรงกลมที่ทำให้รูปแบบของสมการของแม็กซ์เวลล์ไม่เปลี่ยนแปลง นอกจากนี้เอลี การ์ตันอองรี ปวงกาเรและวิลเฮล์ม บลาชเคอยังชี้ให้เห็นว่ากลุ่มลากูแอร์นั้นสมมาตรกับกลุ่มลอเรนซ์ของ ทฤษฎีสั มพัทธภาพพิเศษ (ดูกลุ่มลากูแอร์สมมาตรกับกลุ่มลอเรนซ์ ) ในที่สุด ยังมีความสมมาตรระหว่างกลุ่มโมเบียสและกลุ่มลอเรนซ์ด้วย (ดูกลุ่มโมเบียส#การแปลงลอเรนซ์ )

ควอดริกของลีบนระนาบถูกนิยามดังต่อไปนี้ ให้R ^3,2แทนปริภูมิR ⁵ของทูเปิล 5 ตัวของจำนวนจริง พร้อมด้วยรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรลายเซ็น (3,2) ที่กำหนดโดย

${\displaystyle (x_{0},x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\cdot (y_{0},y_{1},y_{2},y_{3},y_{4})=-x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{4}+x_{4}y_{3}.}$

ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟR P ⁴คือปริภูมิของเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิดในR ⁵และเป็นปริภูมิของเวกเตอร์x ที่ไม่เป็นศูนย์ ในR ⁵โดยพิจารณาตามมาตราส่วน โดยที่x = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) ควอดริก Lie ระนาบQประกอบด้วยจุด [ x ] ในปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟที่แสดงด้วยเวกเตอร์xโดยที่x · x = 0

เพื่อเชื่อมโยงสิ่งนี้กับเรขาคณิตระนาบ จำเป็นต้องกำหนด เส้นไทม์ ไลค์ที่ มีทิศทาง พิกัด ที่เลือกแนะนำให้ใช้จุด [1,0,0,0,0] ∈ R P ⁴จุดใดๆ ในควอดริก Lie Qสามารถแทนด้วยเวกเตอร์x = λ(1,0,0,0,0) + vโดยที่vตั้งฉากกับ (1,0,0,0,0) เนื่องจาก [ x ] ∈ Qดังนั้นv · v = λ ² ≥ 0

ปริภูมิเชิงตั้งฉากกับ (1,0,0,0,0) ซึ่งตัดกับควอดริกของลี คือทรงกลมท้องฟ้า สองมิติ Sในปริภูมิ-เวลาของมินคอฟสกี นี่คือระนาบยุคลิดที่มีจุดอุดมคติที่อนันต์ ซึ่งเรากำหนดให้เป็น [0,0,0,0,1]: จุดจำกัด ( x , y ) ในระนาบจะถูกแทนด้วยจุด [ v] = [0, x, y, −1, (x² + y² ) / 2 ] ; โปรด^{สังเกต}ว่า^v · v = 0 , v · (1,0,0,0,0) = 0 และv · (0,0,0,0,1) = −1

ดังนั้น จุด x = λ (1,0,0,0,0) + vบนควอดริกของ Lie โดยที่λ = 0 สอดคล้องกับจุดในระนาบยุคลิดที่มีจุดอุดมคติอยู่ที่อนันต์ ในทางกลับกัน จุดxที่มีλไม่เป็นศูนย์ สอดคล้องกับวงกลมที่มีทิศทาง (หรือเส้นตรงที่มีทิศทาง ซึ่งเป็นวงกลมที่ผ่านอนันต์) ในระนาบยุคลิด สิ่งนี้จะเข้าใจได้ง่ายขึ้นในแง่ของทรงกลมท้องฟ้าS : วงกลมที่สอดคล้องกับ [ λ (1,0,0,0,0) + v ] ∈ Q (โดยที่λ ≠ 0) คือเซตของจุดy ∈ Sโดยที่y · v = 0 วงกลมนี้มีทิศทางเนื่องจากv / λมีเครื่องหมายที่แน่นอน; [− λ (1,0,0,0,0) + v ] แทนวงกลมเดียวกันแต่มีทิศทางตรงกันข้าม ดังนั้นแผนที่การสะท้อนแบบไอโซเมตริกx → x + 2 ( x · (1,0,0,0,0)) (1,0,0,0,0) ทำให้เกิดการผกผันρของควอดริกของ Lie ซึ่งกลับทิศทางการวางแนวของวงกลมและเส้นตรง และตรึงจุดบนระนาบ (รวมถึงอนันต์)

โดยสรุปคือ มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดบนควอดริกของลีกับวัฏจักรในระนาบ โดยที่วัฏจักรอาจเป็นวงกลมที่มีทิศทาง (หรือเส้นตรง) หรือจุดในระนาบ (หรือจุดที่อนันต์) จุดเหล่านี้อาจคิดได้ว่าเป็นวงกลมที่มีรัศมีเป็นศูนย์ แต่ไม่มีทิศทาง

สมมติว่าวงกลมสองวงถูกแทนด้วยจุด [ x ], [ y ] ∈ Qแล้วx · y = 0 ก็ต่อเมื่อวงกลมที่สอดคล้องกัน "สัมผัสกัน" กล่าวคือ พบกันโดยมีการสัมผัส อันดับแรกแบบมีทิศทาง ถ้า [ x ] ∈ S ≅ R ² ∪ {∞} นั่นหมายความว่า [ x ] อยู่บนวงกลมที่สอดคล้องกับ [ y ] กรณีนี้เป็นผลโดยตรงจากนิยามของวงกลมนี้ (ถ้า [ y ] สอดคล้องกับวงกลมจุดแล้วx · y = 0 ก็ต่อเมื่อ [ x ] = [ y ])

ดังนั้นจึงเหลือเพียงการพิจารณากรณีที่ทั้ง [ x ] และ [ y ] ไม่อยู่ในSโดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราสามารถกำหนดให้x = (1,0,0,0,0) + vและy = (1,0,0,0,0) + wโดยที่vและwเป็น เวกเตอร์หน่วย แบบ spacelikeใน (1,0,0,0,0) ^⊥ดังนั้น v ^⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ^⊥และw ^⊥ ∩ (1,0,0,0,0) ^⊥จึงเป็นปริภูมิย่อยแบบ signature (2,1) ของ (1,0,0,0,0) ^⊥ดังนั้น ปริภูมิย่อยทั้งสองนี้จึงอาจทับซ้อนกันหรือตัดกันในปริภูมิย่อย 2 มิติ ในกรณีหลัง ปริภูมิย่อย 2 มิติอาจมี signature (2,0), (1,0), (1,1) ซึ่งในกรณีนี้ วงกลมสองวงที่สอดคล้องกันในSจะตัดกันที่ศูนย์ หนึ่ง หรือสองจุด ตามลำดับ ดังนั้น พวกมันจะมีสัมผัสอันดับแรกก็ต่อเมื่อปริภูมิย่อย 2 มิติเสื่อมสภาพ (ลายเซ็น (1,0)) ซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อปริภูมิที่เกิดจากvและwเสื่อมสภาพ ตามเอกลักษณ์ของลากรางจ์สิ่งนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ ( v · w ) ² = ( v · v )( w · w ) = 1 กล่าวคือ ก็ต่อเมื่อv · w = ± 1 กล่าวคือx · y = 1 ± 1 สัมผัสจะมีทิศทางก็ต่อเมื่อv · w = – 1 กล่าวคือx · y = 0

การเกิดของวงจรในเรขาคณิตทรงกลมของ Lie ให้วิธีแก้ปัญหาที่ง่ายสำหรับปัญหาของ Apollonius [ ^{3 ] ปัญหา}นี้เกี่ยวข้องกับการกำหนดค่าของวงกลมที่แตกต่างกันสามวง (ซึ่งอาจเป็นจุดหรือเส้นตรง) โดยมีเป้าหมายคือการหาวงกลมอื่น ๆ (รวมถึงจุดหรือเส้นตรง) ที่สัมผัสกับวงกลมดั้งเดิมทั้งสามวง สำหรับการกำหนดค่าวงกลมทั่วไป จะมีวงกลมสัมผัสดังกล่าวอย่างมากที่สุดแปดวง

วิธีแก้ปัญหาโดยใช้เรขาคณิตทรงกลมลี มีขั้นตอนดังนี้ เลือกทิศทางสำหรับวงกลมทั้งสามวง (มีแปดวิธีในการทำเช่นนี้ แต่มีเพียงสี่วิธีเท่านั้นที่จะไม่กลับทิศทางของทั้งสามวง) ซึ่งจะกำหนดจุดสามจุด [ x ], [ y ], [ z ] บนควอดริกลีQโดยอาศัยความสัมพันธ์ของวัฏจักร คำตอบของปัญหาอพอลโลเนียนที่เข้ากันได้กับทิศทางที่เลือกไว้ จะได้จากจุด [ q ] ∈ Qโดยที่qตั้งฉากกับx , yและzถ้าเวกเตอร์ทั้งสามนี้เป็นอิสระเชิงเส้นจุด [ x ], [ y ], [ z ] ที่สอดคล้องกันจะอยู่บนเส้นตรงในปริภูมิเชิงฉาย เนื่องจากสมการกำลังสองที่ไม่เป็นศูนย์จะมีคำตอบอย่างมากที่สุดสองคำตอบ เส้นตรงนี้จึงอยู่บนควอดริกลี และจุด [ q ] ใดๆ บนเส้นตรงนี้จะกำหนดวัฏจักรที่สัมพันธ์กับ [ x ], [ y ] และ [ z ] ดังนั้น ในกรณีนี้จึงมีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน

ถ้าx , yและzเป็นอิสระเชิงเส้นกัน ปริภูมิ ย่อยVที่ตั้งฉากกับทั้งสามจะเป็นปริภูมิ 2 มิติ โดยจะมีลายเซ็น (2,0), (1,0) หรือ (1,1) ซึ่งในกรณีนี้จะมีคำตอบสำหรับ [ q ] เป็นศูนย์ หนึ่ง หรือสองคำตอบตามลำดับ (ลายเซ็นไม่สามารถเป็น (0,1) หรือ (0,2) ได้ เพราะเป็นปริภูมิที่ตั้งฉากกับปริภูมิที่มีเส้นศูนย์มากกว่าหนึ่งเส้น) ในกรณีที่ปริภูมิย่อยมีลายเซ็น (1,0) คำตอบเฉพาะqจะอยู่ในปริภูมิที่เกิดจาก x , yและz

วิธีแก้ปัญหาทั่วไปของปัญหาอพอลโลเนียนได้มาจากการกลับทิศทางของวงกลมบางวง หรือเทียบเท่ากับการพิจารณาสามสิ่งต่อไปนี้ ( x , ρ ( y ), z ), ( x , y , ρ ( z )) และ ( x , ρ ( y ), ρ ( z ))

โปรดสังเกตว่าชุดสามตัว ( ρ ( x ), ρ ( y ), ρ ( z )) ให้คำตอบเดียวกันกับ ( x , y , z ) แต่มีการกลับทิศทางโดยรวม ดังนั้นจึงมีวงกลมคำตอบอย่างมากที่สุด 8 วงสำหรับปัญหาอพอลโลเนียน เว้นแต่ว่าวงกลมทั้งสามจะมาบรรจบกันที่จุดเดียวแบบสัมผัส ซึ่งในกรณีนั้นจะมีคำตอบเป็นอนันต์

องค์ประกอบใดๆ ของกลุ่ม O(3,2) ของการแปลงเชิงตั้งฉากของR ^3,2จะแมปปริภูมิย่อยหนึ่งมิติใดๆ ของเวกเตอร์ศูนย์ในR ^3,2ไปยังปริภูมิย่อยดังกล่าวอีกปริภูมิหนึ่ง ดังนั้น กลุ่ม O(3,2) จึงกระทำต่อควอดริกของลี การแปลงวัฏจักรเหล่านี้เรียกว่า "การแปลงลี" การแปลงเหล่านี้รักษาความสัมพันธ์ของการตกกระทบระหว่างวัฏจักร การกระทำเป็นแบบถ่ายทอดได้ดังนั้นวัฏจักรทั้งหมดจึงสมมูลกันแบบลี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดจะไม่ถูกรักษาไว้โดยการแปลงลีทั่วไป กลุ่มย่อยของการแปลงลีที่รักษาวัฏจักรของจุดนั้นโดยพื้นฐานแล้วคือกลุ่มย่อยของการแปลงเชิงตั้งฉากที่รักษาทิศทางไทม์ไลค์ที่เลือกไว้ กลุ่มย่อยนี้สมมาตรกับกลุ่ม O(3,1) ของการแปลงโมเบียสของทรงกลม นอกจากนี้ยังสามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นตัวทำให้เป็นศูนย์กลางของการผกผันρซึ่งเป็นการแปลงลีเช่นกัน

การแปลงแบบลี (Lie transformation) มักใช้เพื่อลดความซับซ้อนของปัญหาทางเรขาคณิต โดยการแปลงวงกลมให้เป็นเส้นตรงหรือจุด

ข้อเท็จจริงที่ว่าการแปลงแบบลีไม่รักษาจุดโดยทั่วไป อาจเป็นอุปสรรคต่อการทำความเข้าใจเรขาคณิตทรงกลมแบบลี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แนวคิดของเส้นโค้งนั้นไม่คงที่ภายใต้การแปลงแบบลี ความยากลำบากนี้สามารถบรรเทาได้โดยการสังเกตว่ามีแนวคิดขององค์ประกอบสัมผัสที่คงที่ภายใต้การแปลงแบบ ลี

องค์ประกอบสัมผัสแบบมีทิศทางในระนาบ คือคู่ที่ประกอบด้วยจุดและ เส้นตรง ที่มีทิศทาง (กล่าวคือ มีเส้นกำกับ) ที่ผ่านจุดนั้น จุดและเส้นตรงนั้นเป็นวงกลมที่ตกกระทบ ข้อสังเกตที่สำคัญคือ เซตของวงกลมทั้งหมดที่ตกกระทบทั้งจุดและเส้นตรงนั้นเป็นวัตถุที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลี (Lie invariant object) กล่าวคือ นอกจากจุดและเส้นตรงแล้ว ยังประกอบด้วยวงกลมทั้งหมดที่สัมผัสกับเส้นตรงที่มีทิศทาง ณ จุดที่กำหนด เรียกเซตนี้ว่า กลุ่ม วงกลมลี (pencil of Lie cycles ) หรือเรียกง่ายๆ ว่าองค์ประกอบสัมผัส (contact element )

โปรดสังเกตว่าวัฏจักรทั้งหมดอยู่บนระนาบเดียวกันด้วย ในแง่ของควอดริกของลี นี่หมายความว่ากลุ่มของวัฏจักรเป็นเส้นตรง (เชิงโปรเจกทีฟ) ที่อยู่บนควอดริกของลีทั้งหมด กล่าวคือ เป็นการทำให้เป็นเชิงโปรเจกทีฟของปริภูมิย่อยสองมิติที่เป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ของR ^3,2 : เวกเตอร์แทนวัฏจักรในกลุ่มนั้นตั้งฉากกันทั้งหมด

เซตของเส้นตรงทั้งหมดบนควอดริกของลี คือ แมนิโฟลด์ 3 มิติที่เรียกว่า ปริภูมิขององค์ประกอบสัมผัสZ₃การแปลงของลีจะรักษาองค์ประกอบสัมผัสไว้ และกระทำแบบทรานซิทีฟบน ^{Z₃ สำหรับ}การเลือกวงจรจุดที่กำหนด (จุดที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ไทม์ไลค์v ที่เลือกไว้ ) องค์ประกอบสัมผัสทุกตัวจะมีจุดที่ไม่ซ้ำกันหนึ่งจุด สิ่งนี้กำหนดแผนที่จากZ₃ไปยังทรงกลม 2 มิติS₂ซึ่งมีไฟเบอร์เป็นวงกลม แผนที่นี้ไม่คงสภาพภายใต้การแปลงของลี เนื่องจากจุดต่างๆ ไม่คงสภาพภายใต้การแปลง ^{ของ ลี}

ให้γ :[ a , b ] → R ²เป็นเส้นโค้งแบบมีทิศทาง จากนั้นγจะกำหนดแผนที่λจากช่วง [ a , b ] ไปยังZ ³โดยการส่งtไปยังองค์ประกอบสัมผัสที่สอดคล้องกับจุดγ ( t ) และเส้นสัมผัสแบบมีทิศทางกับเส้นโค้ง ณ จุดนั้น (เส้นในทิศทางγ '( t )) แผนที่λ นี้ เรียกว่า การ ยก สัมผัสของγ

ในความเป็นจริงZ ³เป็นแมนิโฟลด์สัมผัสและโครงสร้างสัมผัสเป็นแบบลีอินแวเรียนต์ ดังนั้นจึงสามารถศึกษาเส้นโค้งแบบมีทิศทางได้ในแบบลีอินแวเรียนต์ผ่านการยกสัมผัส ซึ่งอาจมีลักษณะเฉพาะโดยทั่วไปเป็นเส้นโค้งเลอจองเดรียนในZ ³ กล่าว ให้แม่นยำยิ่งขึ้น พื้นที่สัมผัสกับZ ³ณ จุดที่สอดคล้องกับพื้นที่ย่อย 2 มิติที่เป็นศูนย์πของR ^3,2คือพื้นที่ย่อยของแผนที่เชิงเส้น เหล่านั้น (A mod π ): π → R ^3,2 / πโดยที่

ก ( x ) · y + x · A ( y ) = 0

และการกระจายตัวสัมผัสคือสับสเปซ Hom( π , π ^⊥ / π ) ของปริภูมิแทนเจนต์นี้ในปริภูมิ Hom( π , R ^3,2 / π ) ของแผนที่เชิงเส้น

ดังนั้นเส้นโค้ง Legendrian λ ที่ฝังตัวอยู่ในZ ³จะมีวัฏจักร Lie ที่เหมาะสมซึ่งเกี่ยวข้องกับแต่ละจุดบนเส้นโค้ง: อนุพันธ์ของการฝังตัวที่tคือปริภูมิย่อย 1 มิติของ Hom( π , π ^⊥ / π ) โดยที่π = λ ( t ); เคอร์เนลขององค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ในปริภูมิย่อยนี้คือปริภูมิย่อย 1 มิติที่กำหนดไว้อย่างดีของπกล่าวคือ จุดบนควอดริก Lie

กล่าวโดยสรุป หากλคือระยะยกสัมผัสของเส้นโค้งγในระนาบ วงจรที่เหมาะสมที่สุด ณ แต่ละจุดก็คือวงกลมสัมผัส กล่าวอีกนัยหนึ่ง หลังจากพิจารณาระยะยกสัมผัสแล้ว ทฤษฎีพื้นฐานส่วนใหญ่ของเส้นโค้งในระนาบจะคงสภาพภายใต้การแปลงลี (Lie invariant)

เรขาคณิตทรงกลมลีใน มิติ nได้มาจากการแทนที่R ^3,2 (ซึ่งสอดคล้องกับควอดริกของลีใน มิติ n = 2) ด้วยR ^{n + 1, 2}ซึ่งก็คือR ^{n + 3}ที่มาพร้อมกับรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตร

${\displaystyle (x_{0},x_{1},\ldots x_{n},x_{n+1},x_{n+2})\cdot (y_{0},y_{1},\ldots y_{n},y_{n+1},y_{n+2})}$

${\displaystyle =-x_{0}y_{0}+x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}+x_{n+1}y_{n+2}+x_{n+2}y_{n+1}.}$

ควอดริก Lie Q _nถูกนิยามอีกครั้งว่าเป็นเซตของ [ x ] ∈ R P ^{n +2} = P( R ^{n +1,2} ) โดยที่x · x = 0 ควอดริกนี้กำหนดพารามิเตอร์ของ ทรงกลมแบบมีทิศทาง ( n − 1) มิติใน ปริภูมิ nมิติ รวมถึงระนาบไฮเปอร์และทรงกลมจุดเป็นกรณีจำกัด โปรดทราบว่าQ _nเป็นแมนิโฟลด์มิติ (n + 1) (ทรงกลมถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยจุดศูนย์กลางและรัศมี)

ความสัมพันธ์ของการเกิดเหตุการณ์ยังคงเหมือนเดิมโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง: ทรงกลมที่สอดคล้องกับจุด [ x ], [ y ] ∈ Q _nจะมีการสัมผัสลำดับแรกแบบมีทิศทางก็ต่อเมื่อx · y = 0 เท่านั้น กลุ่มของการแปลง Lie ในขณะนี้คือ O(n + 1, 2) และการแปลง Lie จะรักษาความสัมพันธ์ของการเกิดเหตุการณ์ของวงจร Lie ไว้

ปริภูมิขององค์ประกอบสัมผัสคือแมนิโฟลด์สัมผัสZ ^{2 n} − 1 มิติ (2 n − ¹ ) : ในแง่ของการเลือกทรงกลมจุดที่กำหนด องค์ประกอบสัมผัสเหล่านี้สอดคล้องกับคู่ที่ประกอบด้วยจุดใน ปริภูมิ nมิติ (ซึ่งอาจเป็นจุดที่อนันต์) พร้อมกับไฮเปอร์เพลน ที่มีทิศทาง ซึ่งผ่านจุดนั้น ปริภูมิZ ^{2 n − 1}จึงสม isomorphic กับบันเดิลโคแทนเจนต์แบบ โปรเจคทีฟ ของ ทรงกลม n มิติ การระบุนี้ไม่คงที่ภายใต้การแปลง Lie: ในแง่ของความไม่แปรเปลี่ยนของ Lie Z ^{2 n −} 1 คือปริภูมิของเส้น (โปรเจคทีฟ) บนควอดริก Lie

พื้นผิวไฮเปอร์เซอร์เฟซแบบมีทิศทางที่ฝังตัวอยู่ใน ปริภูมิ nมิติใดๆ จะมีการยกสัมผัสไปยังZ ^{2 n − 1}ซึ่งกำหนดโดยปริภูมิสัมผัสแบบมี ทิศทางของมัน ไม่มีวงจร Lie ที่ต้องการเฉพาะเจาะจงที่เกี่ยวข้องกับแต่ละจุดอีกต่อไป แต่จะมี วงจรดังกล่าว n − 1 วงจร ซึ่งสอดคล้องกับทรงกลมความโค้งในเรขาคณิตแบบยุคลิด

ปัญหาของ Apollonius มีการวางนัยทั่วไปตามธรรมชาติที่เกี่ยวข้องกับ ไฮเปอร์สเฟียร์ n + 1 ในมิติn ^{[ 4 ]}

ในกรณีn = 3 ควอดริกQ ₃ใน P( R ^4,2 ) อธิบายเรขาคณิต (Lie) ของทรงกลมในปริภูมิยูคลิด 3 มิติ Lie สังเกตเห็นความคล้ายคลึงที่น่าทึ่งกับการจับคู่ของ Kleinสำหรับเส้นในปริภูมิ 3 มิติ (แม่นยำยิ่งขึ้นในR P ³ ) ^{[ 2 ]}

สมมติให้ [ x ], [ y ] ∈ R P ³โดยมีพิกัดเอกพันธุ์ ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ ) และ ( y ₀ , y ₁ , y ₂ , y ₃ ) ^{[ 5 ]}กำหนดให้p _ij = x _i y _j − x _j y _iนี่คือพิกัดเอกพันธุ์ของเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟที่เชื่อมxและyมีพิกัดอิสระหกพิกัดและเป็นไปตามความสัมพันธ์เดียว คือความสัมพันธ์ของ Plücker

p ₀₁ p ₂₃ + p ₀₂ p ₃₁ + p ₀₃ p ₁₂ = 0.

ดังนั้นจึงมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเส้นในR P ³และจุดบนควอดริกของไคลน์ซึ่งเป็นไฮเปอร์เซอร์เฟซควอดริกของจุด [ p ₀₁ , p ₂₃ , p ₀₂ , p ₃₁ , p ₀₃ , p ₁₂ ] ในR P ⁵ที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ของพลุคเกอร์

รูปแบบกำลังสองที่กำหนดความสัมพันธ์ของ Plücker มาจากรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรของลายเซ็น (3,3) กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ พื้นที่ของเส้นในR P ³คือควอดริกใน P( R ^3,3 ) แม้ว่านี่จะไม่เหมือนกับควอดริกของ Lie แต่สามารถกำหนด "ความสอดคล้อง" ระหว่างเส้นและทรงกลมโดยใช้จำนวนเชิงซ้อนได้ : ถ้าx = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ ) เป็นจุดบนควอดริกของ Lie (ที่ทำให้เป็นจำนวนเชิงซ้อน) (กล่าวคือx _iถือเป็นจำนวนเชิงซ้อน) แล้ว

p ₀₁ = x ₀ + x ₁ , p ₂₃ = − x ₀ + x ₁

p ₀₂ = x ₂ + i x ₃ , p ₃₁ = x ₂ − i x ₁

p ₀₃ = x ₄ , p ₁₂ = x ₅

กำหนดจุดบนควอดริกไคลน์เชิงซ้อน (โดยที่ i ² = −1)

เรขาคณิตทรงกลมของ Lie ให้คำอธิบายตามธรรมชาติของDupin cyclidesซึ่งมีลักษณะเป็นซองร่วมของทรงกลมสองตระกูลที่มีพารามิเตอร์เดียวS ( s ) และT ( t ) โดยที่SและTเป็นแผนที่จากช่วงไปยังควอดริกของ Lie เพื่อให้มีซองร่วมอยู่ได้S ( s ) และT ( t ) จะต้องอยู่ร่วมกันสำหรับทุกsและtกล่าวคือ เวกเตอร์ตัวแทนของพวกมันจะต้องครอบคลุมปริภูมิย่อย 2 มิติที่เป็นศูนย์ของR ^4,2ดังนั้นพวกมันจึงกำหนดแผนที่ไปยังปริภูมิขององค์ประกอบสัมผัสZ ⁵แผนที่นี้เป็น Legendrian ก็ต่อเมื่ออนุพันธ์ของS (หรือT ) ตั้งฉากกับT (หรือS ) กล่าวคือ ก็ต่อเมื่อมีการแยกส่วนตั้งฉากของR ^4,2ออกเป็นผลรวมโดยตรงของปริภูมิย่อย 3 มิติσและτที่มีลายเซ็น (2,1) โดยที่Sมีค่าในσและTมีค่าในτในทางกลับกัน การแยกส่วนดังกล่าวจะกำหนดแรงยกสัมผัสของพื้นผิวที่ห่อหุ้มทรงกลมสองตระกูลที่มีพารามิเตอร์เดียวได้อย่างเฉพาะเจาะจง ภาพของแรงยกสัมผัสนี้ได้มาจากปริภูมิย่อย 2 มิติที่เป็นศูนย์ซึ่งตัดกับσและτในคู่ของเส้นศูนย์

การแยกส่วนดังกล่าวเทียบเท่ากับที่กำหนดโดยเอนโดมอร์ฟิซึมสมมาตรของR ^4,2ซึ่งกำลังสองของมันคือเอกลักษณ์ และปริภูมิไอเกน ±1 ของมันคือσ และ τ โดย ขึ้นอยู่กับการเลือกเครื่องหมาย การใช้ผลคูณภายในบนR ^4,2ทำให้สามารถกำหนดสิ่งนี้ได้ด้วยรูปแบบกำลังสองบนR ^4,2

โดยสรุปแล้ว Dupin cyclides ถูกกำหนดโดยรูปแบบกำลังสองบนR ^4,2โดยที่เอนโดมอร์ฟิซึมสมมาตรที่เกี่ยวข้องมีกำลังสองเท่ากับเอกลักษณ์และไอเกนสเปซของลายเซ็น (2,1)

นี่เป็นวิธีหนึ่งที่จะเห็นว่า Dupin cyclides เป็น cyclides ในแง่ที่ว่ามันเป็นเซตศูนย์ของควอติกในรูปแบบเฉพาะ สำหรับเรื่องนี้ โปรดสังเกตว่าเช่นเดียวกับในกรณีระนาบ พื้นที่ยุคลิด 3 มิติฝังตัวอยู่ในควอดริก Lie Q ₃ในฐานะเซตของทรงกลมจุด ยกเว้นจุดอุดมคติที่อนันต์ กล่าวคือ จุด (x,y,z) ในพื้นที่ยุคลิดสอดคล้องกับจุด

[0, x , y , z , −1, ( x ² + y ² + z ² )/2]

ในQ ₃ไซคไลด์ประกอบด้วยจุด [0, x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ , x ₅ ] ∈ Q ₃ซึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์กำลังสองเพิ่มเติม

${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{5}a_{ij}x_{i}x_{j}=0}$

สำหรับเมทริกซ์สมมาตร 5 × 5 บางตัวA = ( a _ij ) กลุ่มของไซคไลด์เป็นตระกูลพื้นผิวตามธรรมชาติในเรขาคณิตทรงกลมลี และไซคไลด์ดูพินเป็นกลุ่มย่อยตามธรรมชาติ

• ทฤษฎีบทของเดส์การ์ตส์ยังสามารถพิจารณาเส้นตรงเป็นวงกลมที่มีรัศมีอนันต์ได้อีกด้วย
• กึ่งทรงกลม

• "เกี่ยวกับคอมเพล็กซ์ โดยเฉพาะคอมเพล็กซ์เส้นและทรงกลม พร้อมการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย" (คำแปลภาษาอังกฤษของบทความสำคัญของ Lie เกี่ยวกับเรื่องนี้)
• "วงกลมที่กำหนดทิศทางและเรขาคณิตสัมพัทธภาพสามมิติ"วิดีโอเบื้องต้นที่แนะนำแนวคิดในเรขาคณิตลากูร์ (ซึ่งกลุ่มการแปลงเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มการแปลงลี) วิดีโอนี้ถูกนำเสนอจากมุมมองของตรีโกณมิติเชิงตรรกะ