การแปลงคลื่นทรงกลมทำให้รูปแบบของคลื่นทรงกลมรวมถึงกฎของทัศนศาสตร์และพลศาสตร์ไฟฟ้าไม่เปลี่ยนแปลงในกรอบอ้างอิงเฉื่อย ทั้งหมด การแปลง เหล่านี้ได้รับการกำหนดขึ้นระหว่างปี 1908 และ 1909 โดยHarry BatemanและEbenezer Cunninghamโดย Bateman เป็นผู้ตั้งชื่อการแปลงนี้^{[ M 1 ]} การแปลง เหล่านี้สอดคล้องกับกลุ่มคอนฟอร์มอลของ "การแปลงโดยรัศมีผกผัน" ในความสัมพันธ์กับกรอบของเรขาคณิตทรงกลม Lieซึ่งเป็นที่รู้จักกันแล้วในศตวรรษที่ 19

เวลาถูกใช้เป็นมิติที่สี่เช่นเดียวกับในปริภูมิ Minkowskiดังนั้นการแปลงคลื่นทรงกลมจึงเชื่อมโยงกับการแปลง Lorentzของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและปรากฏว่ากลุ่มคอนฟอร์มอลของปริภูมิเวลาประกอบด้วยกลุ่ม Lorentzและกลุ่ม Poincaréเป็นกลุ่มย่อย อย่างไรก็ตาม มีเพียงกลุ่ม Lorentz/Poincaré เท่านั้นที่แสดงถึงสมมาตรของกฎธรรมชาติทั้งหมดรวมถึงกลศาสตร์ ในขณะที่กลุ่มคอนฟอร์มอลเกี่ยวข้องกับบางสาขา เช่น ไฟฟ้าพลศาสตร์^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}นอกจากนี้ ยังสามารถแสดงได้ว่ากลุ่มคอนฟอร์มอลของระนาบ (ซึ่งสอดคล้องกับกลุ่ม Möbiusของระนาบเชิงซ้อนที่ขยาย ) มีสมมาตรกับกลุ่ม Lorentz ^{[ 4 ]}

กรณีพิเศษของเรขาคณิตทรงกลม Lie คือการแปลงโดยทิศทางผกผันหรือการผกผัน Laguerre ซึ่งเป็นตัวสร้างของกลุ่ม Laguerreการแปลงนี้ไม่เพียงแต่แปลงทรงกลมเป็นทรงกลมเท่านั้น แต่ยังแปลงระนาบเป็นระนาบอีกด้วย^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}หากใช้เวลาเป็นมิติที่สี่ ความคล้ายคลึงอย่างใกล้ชิดกับการแปลง Lorentz รวมถึงการสมมาตรกับกลุ่ม Lorentz ได้รับการชี้ให้เห็นโดยผู้เขียนหลายคน เช่น Bateman, CartanหรือPoincaré ^{[ M 2 ] [ 8} ] ^{[ M 3 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

การผกผันที่รักษามุมระหว่างวงกลมได้รับการกล่าวถึงครั้งแรกโดยDurrande (1820) โดยQuetelet (1827) และPlücker (1828) ได้เขียนสูตรการแปลงที่สอดคล้องกันโดยเป็นรัศมีของการผกผัน: ^{[ 14 ]}${\displaystyle k}$

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}}}}$.

การผกผันเหล่านี้ต่อมาเรียกว่า "การแปลงโดยรัศมีผกผัน" และเป็นที่รู้จักกันดีขึ้นเมื่อทอมสัน (1845, 1847) นำไปใช้กับทรงกลมที่มีพิกัดในระหว่างการพัฒนาวิธีการผกผันในไฟฟ้าสถิต [ ^{15 ]}โจเซฟ ลิอูวิลล์ (1847) ได้แสดงความหมายทางคณิตศาสตร์โดยแสดงให้เห็นว่ามันเป็นส่วนหนึ่งของ การ ^แปลงคอนฟอร์มอลที่สร้างรูปแบบกำลังสอง ต่อไปนี้ : ^{[ M 4 ]}${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle \delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}\right)}$.

Liouville เอง^{[ M 5 ]} และ Sophus Lie (1871) ^{[ M 6 ]} แสดงให้เห็น อย่างละเอียดว่ากลุ่มคอนฟอร์มอล ที่เกี่ยวข้อง สามารถหาอนุพันธ์ได้ ( ทฤษฎีบทของ Liouville ): ตัวอย่างเช่นประกอบด้วยกลุ่มยูคลิดของการเคลื่อนที่ปกติการแปลงมาตราส่วนหรือความคล้ายคลึงกันซึ่งพิกัดของการแปลงก่อนหน้านี้จะถูกคูณด้วยและให้การแปลงของ Thomson โดยรัศมีผกผัน (การผกผัน): ^{[ M 5 ]}${\displaystyle \lambda =1}$${\displaystyle \แลมบ์ดา \neq 1}$${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$${\displaystyle \lambda =k^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad z^{\prime }={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$.

ต่อมา ทฤษฎีบทของ Liouville ได้รับการขยายไปสู่มิติต่างๆ โดย Lie (1871) ^{[ M 6 ]}และคนอื่นๆ เช่นDarboux (1878): ^{[ M 7 ]}${\displaystyle n}$

${\displaystyle \delta x_{1}^{\prime 2}+\dots +\delta x_{n}^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x_{1}^{2}+\dots +\delta x_{n}^{2}\right)}$.

กลุ่มการแปลงคอนฟอร์มอลโดยรัศมีผกผันนี้จะรักษาค่ามุมและแปลงทรงกลมให้เป็นทรงกลมหรือไฮเปอร์ทรงกลม (ดูการแปลงโมเบียส^{สมมาตร}คอนฟอร์มอลการแปลงคอนฟอร์มอลพิเศษ ) เป็นกลุ่ม 6 พารามิเตอร์ในระนาบR ²ซึ่งสอดคล้องกับกลุ่มโมเบียสของระนาบเชิงซ้อนที่ขยาย [ ^{16 ] [ 4 ]}กลุ่ม 10 พารามิเตอร์ในปริภูมิR ³และกลุ่ม 15 พารามิเตอร์ในR ⁴ในR ²มันแสดงถึงเพียงเซตย่อยเล็กๆ ของการแปลงคอนฟอร์มอลทั้งหมดที่อยู่ในนั้น ในขณะที่ในR ²⁺ⁿมันเหมือนกับกลุ่มของการแปลงคอนฟอร์มอลทั้งหมด (ซึ่งสอดคล้องกับการแปลงโมเบียสในมิติที่สูงกว่า) ที่อยู่ในนั้น ตามทฤษฎีบทของ Liouville ^{[ 16 ]}การแปลงคอนฟอร์มอลในR ³มักถูกนำไปใช้กับสิ่งที่ Darboux (1873) เรียกว่า "พิกัดเพนตาสเฟริคัล" โดยเชื่อมโยงจุดต่างๆ กับพิกัดเอกพันธุ์โดยอิงจากทรงกลมห้าลูก^{[ 17 ] [ 18 ]}

อีกวิธีหนึ่งในการแก้ปัญหาทรงกลมดังกล่าวคือการเขียนพิกัดพร้อมกับรัศมีของทรงกลม^{[ 19 ]}วิธีนี้ถูกนำมาใช้โดย Lie (1871) ในบริบทของเรขาคณิตทรงกลมของ Lieซึ่งแสดงถึงกรอบทั่วไปของการแปลงทรงกลม (ซึ่งเป็นกรณีพิเศษของการแปลงสัมผัส ) ที่รักษาเส้นโค้งและแปลงทรงกลมให้เป็นทรงกลม^{[ M 8 ]}กลุ่มพารามิเตอร์ 10 ตัวที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ในR ³ที่เกี่ยวข้องกับพิกัดเพนตาสเฟริคัลได้รับการขยายไปยังกลุ่มพารามิเตอร์ 15 ตัวของการแปลงทรงกลมของ Lie ที่เกี่ยวข้องกับ "พิกัดเฮกซาสเฟริคัล" (ตั้งชื่อโดยKleinในปี 1893) โดยการเพิ่มพิกัดเอกพันธุ์ที่หกที่เกี่ยวข้องกับรัศมี^{[ M 9 ] [ 17 ] [ 20 ]}เนื่องจากรัศมีของทรงกลมสามารถมีเครื่องหมายบวกหรือลบได้ ทรงกลมหนึ่งลูกจึงสอดคล้องกับทรงกลมที่แปลงแล้วสองลูกเสมอ เป็นประโยชน์ที่จะขจัดความกำกวมนี้โดยการกำหนดเครื่องหมายที่แน่นอนให้กับรัศมี ส่งผลให้ทรงกลมมีทิศทางที่แน่นอนเช่นกัน ดังนั้นทรงกลมที่มีทิศทางหนึ่งจึงสอดคล้องกับทรงกลมที่มีทิศทางที่แปลงแล้วหนึ่งลูก^{[ 21 ]}วิธีนี้ถูกนำมาใช้เป็นครั้งคราวและโดยปริยายโดย Lie (1871) ^{[ M 6 ]}เอง และได้รับการแนะนำอย่างชัดเจนโดยLaguerre (1880) ^{[ M 10 ]}นอกจากนี้ Darboux (1887) ได้นำการแปลงโดยรัศมีผกผันมาอยู่ในรูปแบบที่สามารถกำหนดรัศมีrของทรงกลมได้หากทราบรัศมีของทรงกลมอีกอันหนึ่ง: ^{[ M 11 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\quad &z^{\prime }&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},&r^{\prime }&={\frac {\pm k^{2}r}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}.\end{aligned}}}$

การใช้พิกัดร่วมกับรัศมีมักเชื่อมโยงกับวิธีการที่เรียกว่า "การฉายภาพขั้นต่ำ" โดย Klein (1893) ^{[ M 12 ]}ซึ่งต่อมาเรียกว่า "การฉายภาพไอโซโทรปี" โดยBlaschke (1926) โดยเน้นความสัมพันธ์กับวงกลมและทรงกลมที่มีทิศทาง^{[ 22 ]}ตัวอย่างเช่น วงกลมที่มีพิกัดสี่เหลี่ยมผืนผ้าและรัศมีในR ²สอดคล้องกับจุดในR ³ที่มีพิกัดวิธีนี้เป็นที่รู้จักกันมาระยะหนึ่งในเรขาคณิตวงกลม (แม้ว่าจะไม่ได้ใช้แนวคิดเรื่องทิศทาง) และสามารถแยกแยะเพิ่มเติมได้ขึ้นอยู่กับว่าพิกัดเพิ่มเติมนั้นถือเป็นจำนวนจินตนาการหรือจำนวนจริง: ถูกใช้โดยChasles (1852), Möbius (1857), Cayley (1867) และ Darboux (1872) ^{[ M 13 ]}ถูกใช้โดยCousinery (1826), Druckenmüller (1842) และใน "cyclography" ของFiedler (1882) ดังนั้นวิธีการหลังนี้จึงถูกเรียกว่า "การฉายภาพแบบไซโคลกราฟิก" – ดูE. Müller (1910) สำหรับบทสรุป^{[ 23 ]}วิธีนี้ยังถูกนำไปใช้กับทรงกลม^{[ M 14 ]}โดย Darboux (1872), ^{[ M 15 ]} Lie (1871), ^{[ M 6 ]}หรือ Klein (1893) ^{[ M 12 ]}ให้และเป็นพิกัดศูนย์กลางและรัศมีของทรงกลมสองลูกในปริภูมิสามมิติR ³ถ้าทรงกลมสัมผัสกันโดยมีทิศทางเดียวกัน สมการของพวกมันจะกำหนดโดย ${\displaystyle x,y}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x,y,z}$${\displaystyle z=ir}$${\displaystyle z=r}$${\displaystyle x,y,z,r}$${\displaystyle x',y',z',r'}$

${\displaystyle (xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2}-(rr')^{2}=0}$.

เมื่อกำหนดพิกัดเหล่านี้ พิกัดเหล่านี้จะสอดคล้องกับพิกัดสี่เหลี่ยมในปริภูมิสี่มิติR ⁴ : ^{[ M 15 ] [ M 12 ]}${\displaystyle t=ir}$

${\displaystyle (xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2}+(tt')^{2}=0}$.

โดยทั่วไป Lie (1871) แสดงให้เห็นว่าการแปลงจุดแบบคอนฟอร์มอลในR ⁿ (ประกอบด้วยการเคลื่อนที่ ความคล้ายคลึง และการแปลงโดยรัศมีผกผัน) สอดคล้องกับการแปลงทรงกลมในR ^n-1ซึ่งเป็นการแปลงแบบสัมผัส^{[ M 16 ] [ 24 ]} Klein (1893) ชี้ให้เห็นว่าโดยการใช้การฉายภาพขั้นต่ำบนพิกัดทรงกลมหกเหลี่ยม การแปลงทรงกลม Lie 15 พารามิเตอร์ในR ³เป็นเพียงการฉายภาพของการแปลงจุดแบบคอนฟอร์มอล 15 พารามิเตอร์ในR ⁴ในขณะที่จุดในR ⁴สามารถมองได้ว่าเป็นการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกของจุดบนทรงกลมในR 5 ^{[ M 9 ] [ 25 ]}

Harry BatemanและEbenezer Cunningham (1909) ^{[ M 1 ]}แสดงให้เห็นว่าสมการแม่เหล็กไฟฟ้าไม่เพียงแต่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงลอเรนซ์เท่านั้น แต่ยัง เปลี่ยนแปลงภาย ใต้มาตราส่วนและการแปลงตามรูปทรง อีกด้วย ^{[ 26 ]} สมการ เหล่านี้ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้กลุ่มพารามิเตอร์ 15 ตัวของการแปลงตามรูปทรง(การแปลงโดยรัศมีผกผัน) ในR ⁴ซึ่งสร้างความสัมพันธ์ ${\displaystyle G_{15}}$

${\displaystyle \delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}+\delta u^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}+\delta u^{2}\right)}$,

โดยที่รวมถึงองค์ประกอบเวลาและความเร็วแสง Bateman (1909) ยังสังเกตเห็นความเท่าเทียมกันกับการแปลงทรงกลม Lie ที่กล่าวถึงก่อนหน้านี้ในR ³เนื่องจากรัศมีที่ใช้ในนั้นสามารถตีความได้ว่าเป็นรัศมีของคลื่นทรงกลมที่หดตัวหรือขยายตัวด้วยดังนั้นเขาจึงเรียกสิ่งเหล่านี้ว่า "การแปลงคลื่นทรงกลม" ^{[ M 17 ]}เขาเขียนว่า: ^{[ M 18 ]}${\displaystyle u=ict}$${\displaystyle t}$${\displaystyle c}$${\displaystyle r}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle c}$

เมื่อเราใช้การแสดงจุดใน ของ Darboux ด้วยคลื่นทรงกลมในกลุ่มจะกลายเป็นกลุ่มของการแปลงคลื่นทรงกลม ซึ่งแปลงคลื่นทรงกลมให้เป็นคลื่นทรงกลม กลุ่มของการแปลงนี้ได้รับการกล่าวถึงโดย S. Lie แล้ว มันคือกลุ่มของการแปลงที่แปลงเส้นโค้งบนพื้นผิวที่ห่อหุ้มด้วยคลื่นทรงกลมให้เป็นเส้นโค้งบนพื้นผิวที่ห่อหุ้มด้วยคลื่นทรงกลมที่สอดคล้องกัน${\displaystyle S_{4}}$${\displaystyle S_{3}}$${\displaystyle G_{15}}$

ขึ้นอยู่กับว่าสามารถแยกออกเป็นกลุ่มย่อยได้หรือไม่: ^{[ 27 ]}${\displaystyle \lambda }$

(a) สอดคล้องกับการแมปซึ่งไม่เพียงแต่แปลงทรงกลมให้เป็นทรงกลมเท่านั้น แต่ยังแปลงระนาบให้เป็นระนาบด้วย สิ่งเหล่านี้เรียกว่าการแปลง/ผกผันลากูแอร์ซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มลากูแอร์ ซึ่งในทางฟิสิกส์สอดคล้องกับการแปลงลอเรนซ์ซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มลอเรนซ์ 6 พารามิเตอร์หรือ กลุ่มปวงกาเร 10 พารามิเตอร์พร้อมการแปล^{[ 28 ]}${\displaystyle \lambda =1}$

(b) แสดงถึงการแปลงมาตราส่วนหรือความคล้ายคลึงโดยการคูณตัวแปรเวลา-อวกาศของการแปลงลอเรนซ์ด้วยปัจจัยคงที่ที่ขึ้นอยู่กับ[ ^{29 ] ตัวอย่าง}เช่น หากใช้ การแปลงที่Poincaré กำหนดไว้ ในปี 1905 จะเป็นดังนี้: ^{[ M 19 ]}${\displaystyle \แลมบ์ดา \neq 1}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle l={\sqrt {\lambda }}}$

${\displaystyle x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(tx{\frac {v}{c^{2}}}\right)}$.

อย่างไรก็ตาม ปวงกาเรและไอน์สไตน์ ได้แสดงให้เห็นว่า กลุ่มการแปลงสเกล นั้นสร้างเพียงกลุ่มสมมาตรของกฎธรรมชาติทั้งหมดตามที่หลักการสัมพัทธภาพ กำหนด (กลุ่มลอเรนซ์) เท่านั้น ในขณะที่กลุ่มการแปลงสเกลเป็นเพียงสมมาตรของทัศนศาสตร์และพลศาสตร์ไฟฟ้าเท่านั้น ${\displaystyle l=1}$

(c) การตั้งค่าเกี่ยวข้องกับกลุ่มการแปลงคอนฟอร์มอลกว้างๆ โดยรัศมีผกผันโดยเฉพาะ ประกอบด้วยการแปลงพื้นฐานที่แสดงถึงการผกผันทั่วไปในไฮเปอร์สเฟียร์ สี่มิติ : ^{[ 30 ]}${\displaystyle \lambda =r^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}\right)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\quad &z'&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},&u'&={\frac {k^{2}u}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\end{aligned}}}$

ซึ่งจะกลายเป็นการแปลงคลื่นทรงกลมจริงในแง่ของเรขาคณิตทรงกลมของ Lie หาก ใช้รัศมีจริง แทน ดังนั้นจึงกำหนดไว้ในตัวส่วน^{[ M 1 ]}${\displaystyle ct}$${\displaystyle u=ict}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}}$

เฟลิกซ์ ไคลน์ (1921) ชี้ให้เห็นถึงความคล้ายคลึงกันของความสัมพันธ์เหล่านี้กับการวิจัยของลีและตัวเขาเองในปี 1871 โดยเพิ่มเติมว่ากลุ่มคอนฟอร์มอลไม่ได้มีความหมายเหมือนกับกลุ่มลอเรนซ์ เพราะกลุ่มแรกใช้กับอิเล็กโทรไดนามิกส์ ในขณะที่กลุ่มหลังเป็นสมมาตรของกฎธรรมชาติทั้งหมดรวมถึงกลศาสตร์^{[ M 20 ]}มีการอภิปรายถึงความเป็นไปได้ว่าการแปลงคอนฟอร์มอลจะอนุญาตให้มีการแปลงเป็นเฟรมที่มีการเร่งความเร็วสม่ำเสมอหรือไม่^{[ 31 ]}ต่อมา ความไม่แปรเปลี่ยนคอนฟอร์มอลก็กลับมามีความสำคัญอีกครั้งในบางสาขา เช่นทฤษฎีสนามคอนฟอร์มอล^{[ 32 ]}

ปรากฏว่ากลุ่มคอนฟอร์มอล 6 พารามิเตอร์ของR ² (เช่นกลุ่มโมเบียสที่ประกอบด้วยออโตมอร์ฟิซึมของ ทรง กลมรีมันน์ ) ^{[ 4 ]} ซึ่งในทางกลับกันเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่ม การเคลื่อนที่ไฮเปอร์โบลิก 6 พารามิเตอร์(เช่น ออโตมอร์ฟิซึม ไอโซเมตริกของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก ) ในR ³ [ ^{33 ]}สามารถตีความทางกายภาพได้: มันเป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มลอเรน ^ซ์

ตัวอย่างเช่นFrickeและ Klein (1897) เริ่มต้นด้วยการกำหนดเมตริก Cayley "สัมบูรณ์" ในแง่ของพื้นผิวโค้งหนึ่งส่วนระดับที่สอง ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยทรงกลมที่มีภายในเป็นพื้นที่ไฮเปอร์โบลิกด้วยสมการ^{[ 34 ]}

${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}$,

พิกัดเอกพันธุ์อยู่ ที่ไหนพวกเขาชี้ให้เห็นว่าการเคลื่อนที่ของพื้นที่ไฮเปอร์โบลิกเข้าสู่ตัวมันเองยังแปลงทรงกลมนี้เข้าสู่ตัวมันเองด้วย พวกเขาพัฒนาการแปลงที่สอดคล้องกันโดยการกำหนดพารามิเตอร์เชิงซ้อนของทรงกลม^{[ 35 ]}${\displaystyle z_{1},\ z_{2},\ z_{3},\ z_{4}}$${\displaystyle \xi }$

${\displaystyle \xi ={\frac {z_{1}+iz_{2}}{z_{4}-z_{3}}}}$

ซึ่งเชื่อมโยงกับพารามิเตอร์อื่นโดยการแทนที่ ${\displaystyle \xi '}$

${\displaystyle \xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}}$

โดยที่สัมประสิทธิ์ที่ซับซ้อน นอกจากนี้พวกเขายังแสดงให้เห็นว่าโดยการตั้งค่าความสัมพันธ์ข้างต้นจะมีรูปแบบตามทรงกลมหน่วยในR ³ : ^{[ 36 ]}${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$${\displaystyle z_{1}:z_{2}:z_{3}:z_{4}=X:Y:Z:1}$

${\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1,\quad \xi ={\frac {X+iY}{1-Z}}}$.

ซึ่งเหมือนกับการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกของระนาบบนพื้นผิวทรงกลมที่ไคลน์ได้ให้ไว้แล้วในปี พ.ศ. 2427 ^{[ M 21 ]}เนื่องจากการแทนที่เป็นการแปลงโมเบียส ( ภาษาเยอรมัน : Kreisverwandtschaften ) ในระนาบหรือบนทรงกลม พวกเขาจึงสรุปได้ว่าโดยการเคลื่อนที่ของปริภูมิไฮเปอร์โบลิกโดยพลการ ทรงกลมจะเกิดการแปลงโมเบียส กลุ่มการเคลื่อนที่ไฮเปอร์โบลิกทั้งหมดจะให้การแปลงโมเบียสโดยตรงทั้งหมด และสุดท้าย การแปลงโมเบียสโดยตรง ใดๆ ก็สอดคล้องกับการเคลื่อนที่ของปริภูมิไฮเปอร์โบลิก^{[ 37 ]}${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi ,\xi '}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi }$

จากผลงานของ Fricke & Klein ความเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มการเคลื่อนที่ไฮเปอร์โบลิก (และด้วยเหตุนี้กลุ่มโมเบียส) กับกลุ่มลอเรนซ์ได้รับการพิสูจน์โดยGustav Herglotz (1909) ^{[ M 22 ]}กล่าวคือ เมตริก Minkowski สอดคล้องกับเมตริก Cayley ข้างต้น (โดยอิงจากภาคตัดกรวย จริง ) หากพิกัดปริภูมิเวลาถูกระบุด้วยพิกัดเอกพันธุ์ข้างต้น

${\displaystyle z_{1}=x,\quad z_{2}=y,\quad z_{3}=z,\quad z_{4}=t}$,

ซึ่งทำให้พารามิเตอร์ข้างต้นกลายเป็น

${\displaystyle {\mathsf {\xi }}={\frac {x+iy}{t-z}},\quad \xi '={\frac {x'+iy'}{t'-z'}},}$เชื่อมต่อกันอีกครั้งด้วยการแทนที่${\displaystyle \xi '={\frac {\alpha \xi +\beta }{\gamma \xi +\delta }}}$

เฮอร์กลอตซ์สรุปว่า การแทนที่ดังกล่าวสอดคล้องกับการแปลงลอเรนซ์ ซึ่งสร้างความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับการเคลื่อนที่แบบไฮเปอร์โบลิกในR ³ความสัมพันธ์ระหว่างกลุ่มลอเรนซ์และเมตริกเคย์ลีย์ในปริภูมิไฮเปอร์โบลิกยังถูกชี้ให้เห็นโดยไคลน์ (1910) ^{[ M 23 ]}เช่นเดียวกับพอลี (1921) ^{[ 38 ]} ไอโซมอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกันของกลุ่มโมเบียสกับกลุ่มลอเรนซ์ถูกนำมาใช้โดย โรเจอร์ เพนโรส เป็นต้น

ข้างต้นได้กล่าวถึงความเชื่อมโยงของการแปลงคอนฟอร์มอลกับพิกัด ซึ่งรวมถึงรัศมีของทรงกลมภายในเรขาคณิตทรงกลมของ Lie กรณีพิเศษนี้สอดคล้องกับการแปลงทรงกลมที่กำหนดโดยEdmond Laguerre (1880–1885) ซึ่งเขาเรียกว่า "การแปลงโดยทิศทางผกผัน" และวางรากฐานของเรขาคณิตของทรงกลมและระนาบที่ มีทิศทาง ^{[ M 10 ] [ 5 ] [ 6 ]}ตามที่ Darboux ^{[ M 24 ]}และ Bateman ^{[ M 2 ]}กล่าวไว้ ความสัมพันธ์ที่คล้ายกันนี้เคยมีการกล่าวถึงมาก่อนโดยAlbert Ribaucour (1870) ^{[ M 25 ]}และโดย Lie เอง (1871) ^{[ M 6 ]} Stephanos (1881) ชี้ให้เห็นว่าเรขาคณิตของ Laguerre เป็นกรณีพิเศษของเรขาคณิตทรงกลมของ Lie อย่างแท้จริง^{[ M 26 ]}เขายังแสดงทรงกลมที่มีทิศทางของ Laguerre ด้วยควอเทอร์เนียน (1883) ^{[ M 27 ]}${\displaystyle \lambda =1}$

เส้นตรง วงกลม ระนาบ หรือทรงกลมที่มีรัศมีในทิศทางที่กำหนด เรียกว่า เส้นครึ่งวงกลม ครึ่งวงกลม (วงจร) ครึ่งระนาบ ครึ่งทรงกลม เป็นต้น ตามแนวคิดของลากูร์ เส้นสัมผัสคือเส้นครึ่งเส้นที่ตัดวงจร ณ จุดที่ทั้งสองมีทิศทางเดียวกัน การแปลงโดยใช้ทิศทางผกผันจะแปลงทรงกลมที่มีทิศทางหนึ่งให้เป็นทรงกลมที่มีทิศทางหนึ่ง และระนาบที่มีทิศทางหนึ่งให้เป็นระนาบที่มีทิศทางหนึ่ง โดยคงค่า "ระยะสัมผัส" ของวงจรทั้งสอง (ระยะห่างระหว่างจุดของเส้นสัมผัสร่วมของแต่ละวงจร) ไว้ และยังคงเส้นโค้งไว้ด้วย^{[ 39 ]} Laguerre (1882) ได้ประยุกต์ใช้การแปลงกับสองวงจรภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้: แกนรากของวงจรเป็นแกนของการแปลง และเส้นสัมผัสร่วมของวงจรขนานกับทิศทางคงที่สองทิศทางของครึ่งเส้นที่ถูกแปลงเป็นตัวเอง (Laguerre เรียกวิธีการเฉพาะนี้ว่า "การแปลงโดยครึ่งเส้นผกผัน" ซึ่งต่อมาเรียกว่า "การผกผันของ Laguerre" ^{[ 40 ] [ 41 ]} ) โดยกำหนดให้และเป็นรัศมีของวงจร และและเป็นระยะห่างของจุดศูนย์กลางของวงจรกับแกน เขาได้ผลลัพธ์ดังนี้: ^{[ M 28 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle R'}$${\displaystyle D}$${\displaystyle D'}$

${\displaystyle D^{2}-D^{\prime 2}=R^{2}-R^{\prime 2},\quad D-D'=\alpha (R-R'),\quad D+D'={\frac {1}{\alpha }}(R+R'),}$

ด้วยการแปลง: ^{[ M 29 ]}

${\displaystyle D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.}$

Darboux (1887) ได้สูตรเดียวกันในสัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน (โดยมีและ) ในการจัดการ "การแปลงโดยทิศทางผกผัน" แม้ว่าเขาจะรวม พิกัด และไว้ด้วยก็ตาม: ^{[ M 30 ]}${\displaystyle z=D}$${\displaystyle k=\alpha }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x,\quad &z'&={\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}z-{\frac {2kR}{1-k^{2}}},\\y'&=y,&R'&={\frac {2kz}{1-k^{2}}}-{\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}R,\end{aligned}}}$

กับ

${\displaystyle z'+R'={\frac {1+k}{1-k}}(z-R),\quad z'-R'={\frac {1-k}{1+k}}(z+R),}$

ดังนั้นเขาจึงได้รับความสัมพันธ์นั้น

${\displaystyle x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-R^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$.

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ทรงกลมที่มีทิศทางในR ³สามารถแทนด้วยจุดของปริภูมิสี่มิติR ⁴โดยใช้การฉายภาพขั้นต่ำ (ไอโซโทรปี) ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งในเรขาคณิตของ Laguerre ^{[ 5 ]}ตัวอย่างเช่นE. Müller (1898) ได้อธิบายเกี่ยวกับทรงกลมที่มีทิศทางโดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่าทรงกลมเหล่านั้นสามารถแมปไปยังจุดของระนาบแมนิโฟลด์สี่มิติได้ (ซึ่งเขาเปรียบเทียบกับ "ไซโคลกราฟี" ของ Fiedler จากปี 1882) เขาเปรียบเทียบการแปลงโดยรัศมีผกผัน (เรียกว่า "การผกผันที่ทรงกลม") กับการแปลงโดยทิศทางผกผัน (เรียกว่า "การผกผันที่ระนาบทรงกลมเชิงซ้อน") อย่างเป็นระบบ^{[ M 31 ]}จากบทความของ Müller, Smith (1900) ได้อภิปรายเกี่ยวกับการแปลงของ Laguerre และ "กลุ่มของเรขาคณิตของทิศทางผกผัน" ที่เกี่ยวข้อง โดยอ้างอิงถึงการวิเคราะห์การฉายภาพขั้นต่ำของ Klein (1893) เขาชี้ให้เห็นว่ากลุ่มนี้ "มีความสมมาตรกับกลุ่มของการเคลื่อนย้ายและการแปลงสมมาตรทั้งหมดในปริภูมิสี่มิติ" ^{[ M 32 ]} Smith ได้รับการแปลงแบบเดียวกันกับ Laguerre และ Darboux ในสัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน โดยเรียกมันว่า "การผกผันเป็นคอมเพล็กซ์ทรงกลม": ^{[ M 33 ]}

${\displaystyle p'={\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}R,\quad R'={\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}R}$

ด้วยความสัมพันธ์

${\displaystyle \kappa ={\frac {R'-R}{p'-p}},\quad p^{\prime 2}-p^{2}=R^{\prime 2}-R^{2}.}$

ในปี ค.ศ. 1905 ทั้งปวงกาเรและไอน์สไตน์ได้ชี้ให้เห็นว่าการแปลงลอเรนซ์ของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ (การตั้งค่า) ${\displaystyle c=1}$

${\displaystyle x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'={\frac {t-vx}{\sqrt {1-v^{2}}}}}$

ทำให้ความสัมพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลง^{[ 2 ]}ไอน์สไตน์เน้นย้ำประเด็นที่ว่าด้วยการแปลงนี้ คลื่นแสงทรงกลมในเฟรมหนึ่งจะถูกแปลงเป็นคลื่นแสงทรงกลมในอีกเฟรมหนึ่ง^{[ 42 ]}ปวงกาเรแสดงให้เห็นว่าการแปลงลอเรนซ์สามารถมองได้ว่าเป็นการหมุนในปริภูมิสี่มิติโดยมีเวลาเป็นพิกัดที่สี่ โดยมินคอฟสกีได้เจาะลึกความเข้าใจนี้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น (ดูประวัติของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ ) ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}}$

ดังที่แสดงไว้ข้างต้น การแปลง Laguerre โดยทิศทางผกผันหรือครึ่งเส้น – ซึ่งต่อมาเรียกว่าการผกผัน Laguerre ^{[ 40 ] [ 41 ]} – ในรูปแบบที่ Darboux (1887) กำหนดไว้ ทำให้การแสดงออกยังคงไม่เปลี่ยนแปลง ต่อมา ความสัมพันธ์กับการแปลง Lorentz ได้รับการกล่าวถึงโดยผู้เขียนหลายคน ตัวอย่างเช่น Bateman (1910) โต้แย้งว่าการแปลงนี้ (ซึ่งเขาระบุว่าเป็นของ Ribaucour) นั้น "เหมือนกัน" กับการแปลง Lorentz ^{[ M 2 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เขาโต้แย้ง (1912) ว่าตัวแปรที่ Darboux (1887) กำหนดไว้นั้นสอดคล้องกับการแปลง Lorentz ในทิศทาง ถ้า, , และเทอมต่างๆ ถูกแทนที่ด้วยความเร็ว^{[ M 34 ]} Bateman (1910) ยังได้ร่างภาพแทนทางเรขาคณิตของทรงกลมแสงสัมพัทธภาพโดยใช้ระบบทรงกลมดังกล่าวด้วย^{[ M 35 ] [ 43 ]}อย่างไรก็ตามคูโบตะ (1925) ตอบโต้เบทแมนโดยโต้แย้งว่าการผกผันลากูร์เป็นการผกผันแบบอินโวลูชัน ในขณะที่การแปลงลอเรนซ์ไม่ใช่ เขาสรุปว่าเพื่อให้ทั้งสองเทียบเท่ากัน การผกผันลากูร์จะต้องรวมเข้ากับการกลับทิศทางของวัฏจักร^{[ M 36 ]}${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle R=ct}$${\displaystyle R'=ct'}$${\displaystyle k}$

ความสัมพันธ์เฉพาะระหว่างการแปลงลอเรนซ์และการผกผันลากูแอร์สามารถแสดงได้ดังต่อไปนี้ (ดูHR Müller (1948) ^{[ M 37 ]}สำหรับสูตรที่คล้ายกันในสัญลักษณ์ที่แตกต่างกัน) สูตรการผกผันของลากูแอร์จากปี 1882 (เทียบเท่ากับสูตรของดาร์บูซ์ในปี 1887) มีดังนี้:

${\displaystyle D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.}$

โดยการตั้งค่า

${\displaystyle {\frac {2\alpha }{1+\alpha ^{2}}}=w}$

ตามมาด้วย

${\displaystyle {\frac {1-\alpha ^{2}}{1+\alpha ^{2}}}={\sqrt {1-w^{2}}},\quad {\frac {2\alpha }{1-\alpha ^{2}}}={\frac {w}{\sqrt {1-w^{2}}}},}$

สุดท้ายนี้ เมื่อกำหนดค่าผกผันลากูร์แล้ว จะได้ผลลัพธ์ที่คล้ายกับการแปลงลอเรนซ์มาก ยกเว้นว่านิพจน์จะกลับด้านเป็น: ${\displaystyle D=x,D'=x',R=t,R'=t'}$${\displaystyle t-vx}$${\displaystyle wx-t}$

${\displaystyle x'={\frac {x-wt}{\sqrt {1-w^{2}}}},\quad t'={\frac {wx-t}{\sqrt {1-w^{2}}}}}$.

ตามที่มุลเลอร์กล่าว การแปลงลอเรนซ์สามารถมองได้ว่าเป็นผลคูณของการผกผันลากูร์จำนวนคู่ที่เปลี่ยนเครื่องหมาย โดยทำการผกผันไปยังระนาบที่เอียงเทียบกับระนาบภายใต้มุมที่กำหนด จากนั้นทำการผกผันกลับไปยังระนาบเดิม[ ^{M 37 ]}ดูส่วน#กลุ่มลากูร์ที่สมมาตรกับกลุ่มลอเรนซ์สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับความเชื่อมโยงระหว่างการผกผันลากูร์กับรูปแบบอื่นๆ ของการแปลงลากูร์ ${\displaystyle \pi _{1}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle \pi }$

Timerding (1911) ^{[ M 38 ]}ใช้แนวคิดของ Laguerre เกี่ยวกับทรงกลมที่มีทิศทางเพื่อแสดงและหาอนุพันธ์ของการแปลง Lorentz โดยกำหนดทรงกลมรัศมีโดยที่คือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางและระนาบกลาง เขาได้ความสัมพันธ์กับทรงกลมที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle r}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle x'+r'={\sqrt {\frac {1+\lambda ^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}(x+r),\quad {\frac {x'-r'}{x'+r'}}={\frac {1-\lambda }{1+\lambda }}\cdot {\frac {x-r}{x+r}},}$

ส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลง

${\displaystyle {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot x'=x-\lambda r,\quad {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot r'=r-\lambda x.}$

โดยการกำหนดค่าและจะกลายเป็นการแปลงลอเรนซ์ ${\displaystyle \lambda =v/c}$${\displaystyle r=ct}$

ตาม Timerding และ Bateman, Ogura (1913) ได้วิเคราะห์การแปลง Laguerre ในรูปแบบ^{[ M 39 ]}

${\displaystyle \alpha '=\alpha {\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}-R{\frac {\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}},\quad \beta '=\beta ,\quad \gamma '=\gamma ,\quad R'=\alpha {\frac {-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}+R{\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}}$,

ซึ่งกลายเป็นการแปลงลอเรนซ์ด้วย

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\alpha ,&y&=\beta ,&z&=\gamma ,&R&=ct,\\x'&=\alpha ',&y'&=\beta ',&z'&=\gamma ',&R'&=ct',\end{aligned}}}$    ${\displaystyle \lambda ={\frac {v}{c}}}$.

เขากล่าวว่า "การแปลงลากูร์ในมิติทรงกลมเทียบเท่ากับการแปลงลอเรนซ์ในมิติปริภูมิเวลา"

ดังที่แสดงไว้ข้างต้น กลุ่มของการแปลงจุดแบบคอนฟอร์มอลในR ⁿ (ประกอบด้วยการเคลื่อนที่ ความคล้ายคลึง และการผกผัน) สามารถเชื่อมโยงได้ด้วยการฉายภาพขั้นต่ำกับกลุ่มของการแปลงสัมผัสในR ^n-1ที่แปลงวงกลมหรือทรงกลมเป็นวงกลมหรือทรงกลมอื่น นอกจากนี้ Lie (1871, 1896) ชี้ให้เห็นว่าในR ³มีกลุ่มย่อยของการแปลงจุด 7 พารามิเตอร์ที่ประกอบด้วยการเคลื่อนที่และความคล้ายคลึง ซึ่งโดยการใช้การฉายภาพขั้นต่ำจะสอดคล้องกับกลุ่มย่อยของการแปลงสัมผัส 7 พารามิเตอร์ ในR ²ที่แปลงวงกลมเป็นวงกลม^{[ M 40 ]}ความสัมพันธ์เหล่านี้ได้รับการศึกษาเพิ่มเติมโดยSmith (1900) ^{[ M 32 ]} Blaschke (1910) ^{[ M 41 ]} Coolidge (1916) ^{[ 44 ]}และคนอื่นๆ ซึ่งชี้ให้เห็นถึงความเชื่อมโยงกับเรขาคณิตของ Laguerre ของทิศทางผกผันที่เกี่ยวข้องกับเส้นตรง วงกลม ระนาบ และทรงกลมที่มีทิศทาง ดังนั้น Smith (1900) จึงเรียกมันว่า "กลุ่มเรขาคณิตของทิศทางผกผัน" ^{[ M 32 ]}และ Blaschke (1910) ใช้คำว่า "กลุ่ม Laguerre" ^{[ M 41 ]} "กลุ่ม Laguerre แบบขยาย" ประกอบด้วยการเคลื่อนที่และความคล้ายคลึงกัน โดยมีพารามิเตอร์ 7 ตัวในR ²ที่แปลงเส้นและวงกลมที่มีทิศทาง หรือพารามิเตอร์ 11 ตัวในR ³ที่แปลงระนาบและทรงกลมที่มีทิศทาง หากไม่รวมความคล้ายคลึงกัน มันจะกลายเป็น "กลุ่ม Laguerre แบบจำกัด" ซึ่งมีพารามิเตอร์ 6 ตัวในR ²และพารามิเตอร์ 10 ตัวในR ³ประกอบด้วยการเคลื่อนที่ที่รักษาทิศทางหรือกลับทิศทาง และรักษาระยะห่างสัมผัสระหว่างวงกลมหรือทรงกลมที่มีทิศทาง^{[ M 42 ] [ 45 ]}ต่อมา คำว่ากลุ่ม Laguerre กลายเป็นเรื่องปกติที่จะหมายถึงเฉพาะกลุ่ม Laguerre แบบจำกัดเท่านั้น^{[ 45 ] [ 46 ]}นอกจากนี้ยังสังเกตได้ว่ากลุ่ม Laguerre เป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มที่กว้างกว่าซึ่งรักษาระยะทางสัมผัสไว้ ซึ่งScheffers (1905) เรียกว่า "กลุ่ม equilong" ^{[ M 43 ] [ 47 ]}

ในR ²กลุ่ม Laguerre ทำให้ความสัมพันธ์คงที่ซึ่งสามารถขยายไปยังR ⁿ ใดๆ ก็ได้เช่นกัน^{[ 48 ]}ตัวอย่างเช่น ในR ³มันทำให้ความสัมพันธ์คงที่[ ^{49 ] ซึ่ง}เทียบเท่ากับความสัมพันธ์ในR ⁴โดยใช้การฉายภาพขั้นต่ำ (ไอโซโทรปี)ด้วย พิกัดรัศมี จินตนาการหรือการฉายภาพไซโคลกราฟิก (ในเรขาคณิตเชิงพรรณนา ) ด้วยพิกัดรัศมีจริง^{[ 9 ]}การแปลงที่ประกอบเป็นกลุ่ม Laguerre สามารถจำแนกเพิ่มเติมได้เป็น "การแปลง Laguerre โดยตรง" ซึ่งเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ที่รักษาระยะสัมผัสและเครื่องหมายไว้ หรือ "การแปลง Laguerre โดยอ้อม" ซึ่งเกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบกลับทิศทาง โดยรักษาระยะสัมผัสไว้พร้อมกับเครื่องหมายที่กลับด้าน^{[ M 43 ] [ 50 ]}การผกผัน Laguerre ที่ Laguerre ให้ไว้เป็นครั้งแรกในปี 1882 เป็นแบบผกผันดังนั้นจึงจัดอยู่ในกลุ่มการแปลง Laguerre โดยอ้อม Laguerre เองไม่ได้กล่าวถึงกลุ่มที่เกี่ยวข้องกับการผกผันของเขา แต่ปรากฏว่าการแปลง Laguerre ทุกครั้งสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยการผกผัน Laguerre ไม่เกินสี่ครั้ง และการแปลง Laguerre โดยตรงทุกครั้งเป็นผลคูณของการแปลงผกผันสองครั้ง ดังนั้นการผกผัน Laguerre จึงมีความสำคัญเป็นพิเศษเพราะเป็นตัวดำเนินการสร้างของกลุ่ม Laguerre ทั้งหมด^{[ M 44 ] [ 51 ]}${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}-dr^{2}}$${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dr^{2}}$${\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}+dr^{2}}$

เป็นที่สังเกตว่ากลุ่ม Laguerre นั้นมีโครงสร้างเหมือนกับกลุ่ม Lorentz (หรือกลุ่ม Poincaréหากรวมการแปลด้วย) เนื่องจากทั้งสองกลุ่มยังคงรูปแบบเดิมไว้หลังจากการเปรียบเทียบการแปลง Lorentz และการผกผัน Laguerre ครั้งแรกโดย Bateman (1910) ดังที่กล่าวมาข้างต้นความเท่าเทียมกันของทั้งสองกลุ่มได้รับการชี้ให้เห็นโดยCartanในปี 1912 ^{[ M 45 ]}และ 1914 ^{[ M 46 ]}และเขาได้ขยายความเพิ่มเติมในปี 1915 (ตีพิมพ์ในปี 1955) ในสารานุกรมของ Klein ฉบับภาษาฝรั่งเศส^{[ 8 ]}นอกจากนี้ Poincaré (1912 ตีพิมพ์ในปี 1921) ยังเขียนไว้ว่า: ^{[ M 3 ] [ 52 ]}${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-dx_{4}^{2}}$

เมื่อเร็วๆ นี้ นายคาร์ตันได้ยกตัวอย่างที่น่าสนใจ เราทราบถึงความสำคัญของสิ่งที่เรียกว่ากลุ่มลอเรนซ์ในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์ กลุ่มนี้เป็นพื้นฐานของแนวคิดใหม่ของเราเกี่ยวกับหลักการสัมพัทธภาพและพลศาสตร์ของอิเล็กตรอน ในทางกลับกัน ลาเกร์เคยแนะนำกลุ่มการแปลงที่เปลี่ยนทรงกลมให้เป็นทรงกลมในเรขาคณิต กลุ่มทั้งสองนี้เป็นไอโซมอร์ฟิก ดังนั้นในทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีทั้งสองนี้ ทฤษฎีหนึ่งเป็นฟิสิกส์ อีกทฤษฎีหนึ่งเป็นเรขาคณิต จึงไม่มีความแตกต่างที่สำคัญ^{[ M 47 ]}

คนอื่นๆ ที่สังเกตเห็นความเชื่อมโยงนี้ ได้แก่Coolidge (1916), ^{[ 9 ]} Klein & Blaschke (1926), ^{[ 10 ]} Blaschke (1929), ^{[ 11 ]} HR Müller , ^{[ M 48 ]} Kunle & Fladt (1970), ^{[ 12 ]} Benz (1992). ^{[ 13 ]}เพิ่งมีการชี้ให้เห็นเมื่อเร็วๆ นี้ว่า:

การแปลงลากูร์ (L-transform)คือการแมปแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงบนเซตของระนาบและทรงกลมที่มีทิศทางตามลำดับ และรักษาความสัมผัสระหว่างระนาบและทรงกลม การแปลง L-transform จะเข้าใจได้ง่ายขึ้นหากเราใช้แบบจำลองไซโคลกราฟิกของเรขาคณิตลากูร์ ในแบบจำลองนั้น ทรงกลมที่มีทิศทางจะถูกแทนด้วยจุดระนาบที่มีทิศทางในอาจถูกตีความว่าเป็นเซตของทรงกลมที่มีทิศทางทั้งหมดที่สัมผัสกับการแมปผ่านเซตของทรงกลมเหล่านี้ไปยัง จะพบไฮเปอร์เพลนในซึ่งขนานกับไฮเปอร์เพลนสัมผัสของกรวยในแบบจำลองไซโคลกราฟิก การแปลง L-transform ถูกมองว่าเป็นแผนที่เชิงเส้นพิเศษ (การแปลงลอเรนซ์) ...${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {S} \operatorname {\text{:=}} (\mathbf {m} ,R)\in \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E^{3}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}$

• ประวัติความเป็นมาของการแปลงลอเรนซ์

• Bateman, Harry (1909) [1908]. "การแปลงคอนฟอร์มอลของปริภูมิสี่มิติและการประยุกต์ใช้กับทัศนศาสตร์เชิงเรขาคณิต"  Proceedings of the London Mathematical Society . 7 : 70– 89. doi : 10.1112/plms/s2-7.1.70 .
• Bateman, Harry (1910) [1909]. "การแปลงสมการอิเล็กโทรไดนามิก"  . Proceedings of the London Mathematical Society . 8 : 223– 264. doi : 10.1112/plms/s2-8.1.223 .
• Bateman, Harry (1910a). "แง่มุมทางกายภาพของเวลา"  . บันทึกความทรงจำแมนเชสเตอร์ . 54 (14): 1– 13.
• Bateman, Harry (1910b). "ความสัมพันธ์ระหว่างแม่เหล็กไฟฟ้าและเรขาคณิต" . วารสารปรัชญา . 20 (118): 623 –628. doi : 10.1080/14786441008636944 .
• Bateman, Harry (1912) [1910]. "ทฤษฎีบททางเรขาคณิตบางประการที่เกี่ยวข้องกับสมการของลาปลาสและสมการการเคลื่อนที่ของคลื่น"วารสารคณิตศาสตร์อเมริกัน 34 ( 3): 325– 360. doi : 10.2307/2370223 . JSTOR  2370223 .
• บลาชเคอ, วิลเฮล์ม (1910) "Unterschungen über ตาย Geometrie der Speere ใน der Euklidischen Geometrie" . Monatshefte สำหรับคณิตศาสตร์และฟิสิกส์21 (1): 3– 60. ดอย : 10.1007/ bf01693218 S2CID  120182503 .
• คาร์ตัน, เอลี (1912) "Sur les groupes de Transformation de contact et la Cinématique nouvelle" . Société de Mathématique ฝรั่งเศส - Comptes Rendus des Séances : 23.
• คาร์ตัน, เอลี (1914) "ลาเตอรี เดส์ กรูส์" คณะดูมัวส์ : 452– 457
• คันนิงแฮม, เอเบเนเซอร์ (1910) [1909]. "หลักการสัมพัทธภาพในอิเล็กโทรไดนามิกส์และการขยายความ" . วารสารของสมาคมคณิตศาสตร์แห่งลอนดอน . 8 : 77– 98. doi : 10.1112/plms/s2-8.1.77 .
• ดาร์บูซ์, แกสตัน (1872) “ความสัมพันธ์ระหว่าง entre les groupes de point, de cercles et de sphères” . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 1 : 323– 392. ดอย : 10.24033/ asens.87
• ดาร์บูซ์, แกสตัน (1878) "Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux. ปาร์ตี้ Troisième" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 7 : 275 –348. ดอย : 10.24033/ asens.164
• ดาร์บูซ์, แกสตัน (1887) Leçons sur la théorie générale des พื้นผิว ปาร์ตี้รอบปฐมทัศน์ . ปารีส: Gauthier-Villars.
• Herglotz, Gustav (1910) [1909], "Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper" [การแปลวิกิซอร์ซ: บนวัตถุที่ถูกกำหนดให้เป็น "แข็ง" จากมุมมองของหลักการสัมพัทธภาพ ], Annalen der Physik , 336 (2): 393– 415, Bibcode : 1910AnP...336..393H , doi : 10.1002/andp.19103360208
• Felix Klein (1884), Vorlesungen über das Ikosaeder และ die Auflösung der Gleichungen จาก fünften Grade , Teubner, Leipzig; แปลภาษาอังกฤษ: การบรรยายเรื่อง ikosahedron และการแก้สมการระดับที่ห้า (2431)
• ไคลน์, เฟลิกซ์ (1921) "Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe" เกซัมเมลเต คณิตศาสตร์ อับฮันลุงเกน  . ฉบับที่ 19. หน้า  533– 552. doi : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 (ไม่ใช้งาน 12 กรกฎาคม 2568). ไอเอสบีเอ็น 978-3-642-51898-0.{{cite book}}: ; ละเว้น ( ช่วยด้วย )พิมพ์ซ้ำในKlein, Felix (1921) "Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe" เกซัมเมลเต คณิตศาสตร์ อับฮันลุงเกน . ฉบับที่ 1. หน้า  533– 552. doi : 10.1007/978-3-642-51960-4_31 (ไม่ใช้งาน 12 กรกฎาคม 2568). ไอเอสบีเอ็นISBN / Date incompatibility (help)|journal=CS1 maint: DOI inactive as of July 2025 (link) 978-3-642-51898-0.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)CS1 maint: DOI inactive as of July 2025 (link)แปลเป็นภาษาอังกฤษโดย David Delphenich: เกี่ยวกับรากฐานทางเรขาคณิตของกลุ่มลอเรนซ์
• คูโบตะ, ทาดาฮิโกะ (1925) Über die (2-2)-deutigen quadratischen Verwandtschaften V" รายงานทางวิทยาศาสตร์ของมหาวิทยาลัยโทโฮคุอิมพีเรียล14 : 155– 164..
• ลาเกอร์เร, เอ็ดมันด์ (1881) “ซูร์ ลา การเปลี่ยนแปลง พาร์ ทิศทาง réciproques”  . แข่งขัน Rendus 92 : 71– 73.
• ลาเกอร์เร, เอ็ดมันด์ (1882) “การแปลงร่างกึ่งร่างกึ่งร่าง  ” นูแวลส์ อันนาเลส เดอ คณิตศาสตร์ . 1 : 542– 556.
• ลาเกอร์เร, เอ็ดมันด์ (1905) "รวบรวมเอกสารที่ตีพิมพ์ระหว่างปี พ.ศ. 2423 ถึง พ.ศ. 2428" . Œuvres de Laguerre, vol. 2 . ปารีส: Gauthier-Villars. หน้า  592–684 .
• โกหก, โซฟัส (1871). "Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beliebig vielen Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen Raumes entspricht" . เกิททิงเงอร์ นาคริชเทน : 191– 209.
• โกหก, โสฟัส (1872). "Ueber Complexe, ไม่สนใจ Linien- และ Kugel-Complexe, mit Anwendung auf die Theorie partieller Differentialgleichungen" . คณิตศาตร์อันนาเลน . 5 : 145– 256. ดอย : 10.1007/bf01446331 . S2CID  122317672 .แปลเป็นภาษาอังกฤษโดย David Delphenich: เกี่ยวกับคอมเพล็กซ์ โดยเฉพาะคอมเพล็กซ์เส้นและคอมเพล็กซ์ทรงกลม พร้อมการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย
• โกหก, โสฟัส ; เชฟเฟอร์ส, จอร์จ (1896) Geometrie der Berührungsการเปลี่ยนแปลง ไลป์ซิก : บีจี ทอยบเนอร์
• ลิอูวิลล์, โจเซฟ (1847) “หมายเหตุ au sujet de l'article précédent ” วารสาร Mathématiques Pures และ Appliquées . 12 : 265– 290.
• ลิอูวิลล์, โจเซฟ (1850a) " เธโอแรม ซูร์ เลิเควชัน dx²+dy²+dz²=แล(dα²+dβ²+dγ²)" วารสาร Mathématiques Pures และ Appliquées . 15 : 103.
• ลิอูวิลล์, โจเซฟ (1850b) "ส่วนขยาย au cas des trois ขนาด de la question du trace géographique " ใน แกสปาร์ด มอนจ์ (เอ็ด.) แอปพลิเคชัน de l'analyse à la Géométrie ปารีส: ปริญญาตรี. หน้า  609–616 .
• มุลเลอร์, เอมิล (1898) "Die Geometrie orientierter Kugeln nach Grassmann'schen Methoden" . Monatshefte สำหรับคณิตศาสตร์และฟิสิกส์9 (1): 269– 315. ดอย : 10.1007/ bf01707874 S2CID  121786469 .
• มุลเลอร์, ฮันส์ โรเบิร์ต (1948) "Zyklographische Betrachtung der Kinematik der speziellen Relativitätstheorie" . Monatshefte สำหรับคณิตศาสตร์และฟิสิกส์52 (4): 337– 353. ดอย : 10.1007/ bf01525338 S2CID  120150204 .{{cite journal}}: CS1 maint: deprecated archival service (link)
• Ogura, Kinnosuke (1913). "เกี่ยวกับการแปลงลอเรนซ์พร้อมการตีความทางเรขาคณิตบางประการ" รายงานวิทยาศาสตร์ของมหาวิทยาลัยโทโฮคุ 2 : 95– 116 .
• Poincaré, Henri (1906) [1905], "Sur la dynamique de l'électron"  [การแปลวิกิซอร์ซ: On the Dynamics of the Electron ], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 21 : 129– 176, Bibcode : 1906RCMP...21..129P , doi : 10.1007/BF03013466 , S2CID  120211823
• ปวงกาเร, อองรี (1921) [1912] "Rapport sur les travaux de M. Cartan (fait à la Faculté des sciences de l'Université de Paris)" . แอกต้า แมทเธมาติกา . 38 (1): 137– 145. ดอย : 10.1007/ bf02392064 S2CID  122517182 .เขียนโดยปวงกาเรในปี 1912 ตีพิมพ์ในวารสาร Acta Mathematicaในปี 1914 แต่ได้รับการตีพิมพ์อย่างเป็นทางการในปี 1921
• ริโบกูร์, อัลเบิร์ต (1870) "Sur la déformation des Surfaces"  . แข่งขัน Rendus 70 : 330– 333.
• Smith, Percey F. (1900). "เกี่ยวกับการแปลงลากูแอร์" . Annals of Mathematics . 1 (1/4): 153– 172. doi : 10.2307/1967282 . JSTOR  1967282 .
• สเตฟาโนส, ซี. (1881) "ซูร์ ลา เจโอเมทรี เด สแฟร์ " แข่งขัน Rendus 92 : 1195– 1197.
• สเตฟานอส, ซี. (1883) "ซูร์ ลา เธโอรี เด ควอเทอร์เนียน " คณิตศาตร์อันนาเลน . 7 (4): 589– 592. ดอย : 10.1007/ bf01443267 S2CID  179178015 .
• จับเวลา ฯพณฯ (2455) "Über ein einfaches geometrisches Bild der Raumzeitwelt Minkowskis" . ยาห์เรสเบริชต์ แดร์ ดอยท์เชน คณิตศาสตร์-เวไรนิกุง . 21 : 274– 285.

ตำราเรียน บทความสารานุกรม การสำรวจทางประวัติศาสตร์:

• Bateman, Harry (1915). การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของการเคลื่อนที่ของคลื่นไฟฟ้าและคลื่นแสงบนพื้นฐานของสมการของแม็กซ์เวลล์ เคม บริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย
• Benz, Walter ( 2005) [1992]. เรขาคณิตคลาสสิกในบริบทสมัยใหม่: เรขาคณิตของปริภูมิผลคูณภายในจริง ฉบับที่สาม Springer หน้า  133–175 ISBN 978-3034804202.
• บลาชเคอ, วิลเฮล์ม (1929) ทอมเซ่น, แกร์ฮาร์ด (บรรณาธิการ). Vorlesungen über Differentialgeometrie และ geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie Bd. 3 . เบอร์ลิน: สปริงเกอร์. ดอย : 10.1007/978-3-642-50823-3 . hdl : 2027/mdp.39015017405492 . ไอเอสบีเอ็น 978-3-642-50513-3.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Cartan, เอลี ; ฟาโน, จีโน่ (1915) "ลา เธโอรี เดส์ กรุ๊ป คอนตินัส เอ ลา จีโอเมทรี" . Encyclopédie des Sciences Mathématiques Pures และAppliquées . ฉบับที่ 3. หน้า  39–43 .(เฉพาะหน้า 1–21 เท่านั้นที่ตีพิมพ์ในปี 1915 ส่วนบทความฉบับเต็มรวมถึงหน้า 39–43 ที่เกี่ยวกับกลุ่มของ Laguerre และ Lorentz ได้รับการตีพิมพ์หลังการเสียชีวิตของ Cartan ในปี 1955 ในเอกสารรวมของเขา และได้รับการพิมพ์ซ้ำในEncyclopédieในปี 1991)
• Cecil, Thomas E. (2008) [1992], "เรขาคณิตของ Laguerre", เรขาคณิตทรงกลม Lie , Springer, หน้า  37–46 , ISBN 978-0387746555
• คูลิดจ์, จูเลียน (1916). ตำราว่าด้วยวงกลมและทรงกลม . อ็อกซ์ฟอร์ด: สำนักพิมพ์แคลเรนดอน.
• คันนิงแฮม, เอเบเนเซอร์ (1914). หลักการสัมพัทธภาพ . เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัย.
• ฟาโน, จิโน่ (1910) "Kontinuierliche Geometrische Gruppen. Die Gruppentheorie als Geometrisches Einteilungsprinzip" . Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen . ฉบับที่ 3.1.1. หน้า  289– 388. ดอย : 10.1007/978-3-663-16027-4_5 . ไอเอสบีเอ็น 978-3-663-15456-3.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Robert FrickeและFelix Klein (1897), Vorlesungen über die Theorie der autormorphen Functionen - Erster Band: Die gruppentheoretischen Grundlagen , Teubner, Leipzig
• Kastrup, HA (2008). "เกี่ยวกับความก้าวหน้าของการแปลงคอนฟอร์มอลและสมมาตรที่เกี่ยวข้องในเรขาคณิตและฟิสิกส์เชิงทฤษฎี" Annalen der Physik . 520 ( 9– 10): 631– 690. arXiv : 0808.2730 . Bibcode : 2008AnP...520..631K . doi : 10.1002/andp.200810324 . S2CID  12020510 .
• ไคลน์, เฟลิกซ์ (1893) ไอน์ไลตุงใน die höhere Geometrie I . เกิตทิงเงน: Göttingen.
• ไคลน์, เฟลิกซ์ ; บลาสเคอ, วิลเฮล์ม (1926) Vorlesungen über höhere เรขาคณิต . เบอร์ลิน: สปริงเกอร์.(คำบรรยายของไคลน์จากปี 1893 ซึ่งได้รับการปรับปรุงและเรียบเรียงใหม่โดยบลาชเคในปี 1926)
• Kunle H.; Fladt K. (1926). "โปรแกรม Erlangen และเรขาคณิตขั้นสูง – เรขาคณิต Laguerre". ใน Heinrich Behnke (บรรณาธิการ). พื้นฐานของคณิตศาสตร์: เรขาคณิต . สำนักพิมพ์ MIT. หน้า  460–516 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• มุลเลอร์, เอมิล (1910) "Die Verschiedenen Koordinatensysteme" . Encyklopädie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer Anwendungen . ฉบับที่ 3.1.1. หน้า  596– 770. ดอย : 10.1007/978-3-663-16027-4_9 . ไอเอสบีเอ็น 978-3-663-15456-3.{{cite book}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• เพโด, แดเนียล (1972) "การเปลี่ยนแปลงทางเรขาคณิตที่ถูกลืม" คณิตศาสตร์ L'Enseignement . 18 : 255– 267. ดอย : 10.5169/seal- 45376
• รูจ, อังเดร (2008) Relativité restreinte: la ผลงาน d'Henri Poincaré . รุ่น Ecole Polytechnique ไอเอสบีเอ็น 978-2730215251.
• Walter, Scott A. (2018). "รูปทรงของแสงในประวัติศาสตร์ยุคแรกของทฤษฎีสัมพัทธภาพ (1905-1914)"ใน Rowe, David และคณะ (บรรณาธิการ). Beyond Einstein . Einstein Studies. เล่มที่ 14. บาเซิล: Birkhäuser. หน้า  1–50 . doi : 10.1007/978-1-4939-7708-6_1 . ISBN 978-1-4939-7706-2.
• Warwick, Andrew (1992). "คณิตศาสตร์เคมบริดจ์และฟิสิกส์คาเวนดิช: สัมพัทธภาพของคันนิงแฮม แคมป์เบลล์ และไอน์สไตน์ 1905–1911 ตอนที่ 1: การใช้ทฤษฎี" การศึกษาประวัติศาสตร์และปรัชญาวิทยาศาสตร์ ตอนที่ A . 23 (4): 625– 656. Bibcode : 1992SHPSA..23..625W . doi : 10.1016/0039-3681(92)90015-X .
• วอร์วิค, แอนดรูว์ (2003). ปริญญาโททฤษฎี: เคมบริดจ์และการกำเนิดของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ . ชิคาโก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก. ISBN 978-0-226-87375-6.