ในทางคณิตศาสตร์ทรงกลมรีมันน์ซึ่งตั้งชื่อตามเบอร์นาร์ด รีมันน์ [ ^{1 ] เป็น}แบบจำลองของระนาบเชิงซ้อนแบบขยาย (เรียกอีกอย่างว่าระนาบเชิงซ้อนแบบปิด ): ระนาบเชิงซ้อนบวกจุดหนึ่งที่อนันต์ ระนาบแบบขยายนี้แสดงถึงจำนวนเชิงซ้อนแบบขยายนั่นคือจำนวนเชิงซ้อนบวกค่าสำหรับอนันต์ด้วยแบบจำลองรีมันน์ จุดนั้นอยู่ใกล้กับจำนวนขนาดใหญ่มาก เช่นเดียวกับที่จุดนั้นอยู่ใกล้กับจำนวนขนาดเล็กมาก ${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle 0}$

จำนวนเชิงซ้อนแบบขยายมีประโยชน์ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนเพราะช่วยให้สามารถหารด้วยศูนย์ได้ในบางสถานการณ์ ในลักษณะที่ทำให้การแสดงออกเช่นมีพฤติกรรมที่ดีตัวอย่างเช่นฟังก์ชันตรรกยะ ใดๆ บนระนาบเชิงซ้อนสามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนทรงกลมรีมันน์ได้ โดยที่ขั้วของฟังก์ชันตรรกยะจะแมปไปยังอนันต์ โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิก ใดๆ ก็สามารถคิดได้ว่าเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่มีโคโดเมนเป็นทรงกลมรีมันน์ ${\displaystyle 1/0=\infty }$

ในทางเรขาคณิตทรงกลมรีมันน์เป็นตัวอย่างต้นแบบของพื้นผิวรีมันน์และเป็นหนึ่งในแมนิโฟลด์เชิงซ้อน ที่ง่ายที่สุด ในเรขาคณิตเชิงโปรเจ ก ทีฟ ทรงกลมเป็นตัวอย่างของปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อนและสามารถคิดได้ว่าเป็นเส้นเชิงโปร เจ ก ทีฟเชิงซ้อน ซึ่งเป็น ปริภูมิเชิงโปรเจกทีฟ ของ เส้นเชิงซ้อนทั้งหมดในเช่นเดียวกับ พื้นผิวรีมันน์ แบบกะทัดรัด ใดๆ ทรงกลมอาจถูกมองว่าเป็นเส้นโค้งพีชคณิตเชิงโปรเจก ทีฟได้เช่นกัน ทำให้มันเป็นตัวอย่างพื้นฐานในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตนอกจากนี้ยังพบประโยชน์ในสาขาวิชาอื่นๆ ที่ขึ้นอยู่กับการวิเคราะห์และเรขาคณิต เช่นทรงกลมบล็อกในกลศาสตร์ควอนตัมและในสาขาอื่นๆของฟิสิกส์ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbf {C} )}$${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$

จำนวนเชิงซ้อนแบบขยายประกอบด้วยจำนวนเชิงซ้อน n และn เซตของจำนวนเชิงซ้อนแบบขยายสามารถเขียนได้เป็น n และมักจะแสดงโดยการเติมสัญลักษณ์ตกแต่งบางอย่างลงบนตัวอักษร n เช่น n = n ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }},\quad {\overline {\mathbb {C} }},\quad {\text{หรือ}}\quad \mathbb {C} _{\infty }.}$

สัญกรณ์นี้ยังถูกนำมาใช้ด้วย แต่เนื่องจากสัญกรณ์นี้ยังใช้สำหรับระนาบที่ถูกเจาะจึงอาจทำให้เกิดความกำกวมได้^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

ในทางเรขาคณิต เซตของจำนวนเชิงซ้อนแบบขยายเรียกว่าทรงกลมรีมันน์ (หรือระนาบเชิงซ้อนแบบขยาย)

การบวกจำนวนเชิงซ้อนสามารถขยายได้โดยการกำหนดสำหรับ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle z+\infty =\infty }$

และการคูณอาจนิยามได้โดย

${\displaystyle z\times \infty =\infty }$

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดโดยที่สังเกตว่า, , และไม่ได้ถูกนิยามไว้ต่างจากจำนวนเชิงซ้อนทั่วไป จำนวนเชิงซ้อนแบบขยายไม่ได้เป็นฟิลด์เนื่องจากไม่มีตัวผกผันการบวกหรือการคูณอย่างไรก็ตาม เป็นเรื่องปกติที่จะกำหนดการหารบนโดย ${\displaystyle z}$${\displaystyle \infty \times \infty =\infty }$${\displaystyle \infty +\infty }$${\displaystyle \infty -\infty }$${\displaystyle 0\times \infty }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

${\displaystyle {\frac {z}{0}}=\infty \quad {\text{and}}\quad {\frac {z}{\infty }}=0}$

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดที่มีและ โดย ที่ผลหารและจะไม่ถูกนิยาม ${\displaystyle z}$${\displaystyle \infty /0=\infty }$${\displaystyle 0/\infty =0}$${\displaystyle 0/0}$${\displaystyle \infty /\infty }$

ฟังก์ชันตรรกยะ ใดๆ(กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ อัตราส่วนของฟังก์ชันพหุนามและ ฟังก์ชัน ที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน โดยที่และไม่มีตัวประกอบร่วม) สามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนทรงกลมรีมันน์ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นจำนวนเชิงซ้อนที่ตัวส่วนเป็นศูนย์แต่ตัวเศษไม่เป็นศูนย์ แล้วสามารถนิยามได้เป็นนอกจากนี้ ยังสามารถนิยามได้เป็นลิมิตของเมื่อซึ่งอาจเป็นค่าจำกัดหรืออนันต์ก็ได้ ${\displaystyle f(z)=g(z)/h(z)}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle h(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle g(z)}$${\displaystyle h(z)}$${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle h(z_{0})}$${\displaystyle g(z_{0})}$${\displaystyle f(z_{0})}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle f(\infty )}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle z\to \infty }$

เซตของฟังก์ชันตรรกยะเชิงซ้อน—ซึ่งมีสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์คือ —ประกอบเป็น ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากทรงกลมรีมันน์ไปยังตัวมันเอง เมื่อมองว่าเป็นพื้นผิวรีมันน์ยกเว้นฟังก์ชันคงที่ซึ่งมีค่าเท่ากับ ทุกที่ ฟังก์ชันของประกอบกันเป็นฟิลด์พีชคณิต ซึ่งรู้จักกันในชื่อฟิลด์ของฟังก์ชันตรรกยะบนทรงกลม ${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mathbb {C} (z)}$

ตัวอย่างเช่น เมื่อกำหนดฟังก์ชันแล้ว

${\displaystyle f(z)={\frac {6z^{2}+1}{2z^{2}-50}}}$

เราอาจกำหนดได้ว่า เนื่องจากตัวส่วนเป็นศูนย์ที่และเนื่องจากเมื่อโดยใช้คำจำกัดความเหล่านี้จะกลายเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องจากทรงกลมรีมันน์ไปยังตัวมันเอง ${\displaystyle f(\pm 5)=\infty }$${\displaystyle \pm 5}$${\displaystyle f(\infty )=3}$${\displaystyle f(z)\to 3}$${\displaystyle z\to \infty }$${\displaystyle f}$

ทรงกลมรีมันน์เป็น แมนิโฟลด์เชิงซ้อนหนึ่งมิติ ซึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยแผนภูมิ สองแผนภูมิ โดยทั้งสองแผนภูมิมีโดเมนเท่ากับระนาบจำนวนเชิงซ้อนให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนในสำเนาหนึ่งของและให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนในอีกสำเนาหนึ่งของระบุจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์แต่ละตัวของสำเนาแรกให้ตรงกับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ของสำเนาที่สองจากนั้นแผนที่ ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle 1/\xi }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$

เรียกว่าแผนที่การเปลี่ยนผ่านระหว่างสำเนาสองชุดของ—ที่เรียกว่าแผนภูมิ—ซึ่งเชื่อมต่อเข้าด้วยกัน เนื่องจากแผนที่การเปลี่ยนผ่านเป็นแบบโฮโลมอร์ฟิก จึง กำหนดแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่เรียกว่าทรงกลม รีมันน์ ในฐานะ ที่เป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนที่มีมิติเชิงซ้อน 1 มิติ (เช่น มิติจริง 2 มิติ) จึงเรียกว่าพื้นผิวรีมันน์ด้วย ${\displaystyle \mathbf {C} }$

โดยสัญชาตญาณแล้ว แผนผังการเปลี่ยนผ่านแสดงให้เห็นถึงวิธีการเชื่อมระนาบสองระนาบเข้าด้วยกันเพื่อสร้างทรงกลมรีมันน์ ระนาบจะถูกเชื่อมเข้าด้วยกันในลักษณะ "จากภายในสู่ภายนอก" ทำให้ระนาบทั้งสองทับซ้อนกันเกือบทุกที่ โดยแต่ละระนาบจะมีจุดเพียงจุดเดียว (จุดกำเนิด) ที่ขาดหายไปจากอีกระนาบหนึ่ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง (เกือบ) ทุกจุดในทรงกลมรีมันน์มีทั้งค่า และค่า และค่าทั้งสองมีความสัมพันธ์กันโดยจุดที่ควรจะมีค่า " "; ในแง่นี้ จุดกำเนิดของแผนภูมิ ทำหน้าที่แทนในแผนภูมิ ในทำนองเดียวกัน จุดกำเนิดของแผนภูมิ ทำหน้าที่แทนในแผนภูมิ ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \zeta =1/\xi }$${\displaystyle \xi =0}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle 1/0}$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \xi }$

ในทางทอพอโลยีพื้นที่ที่ได้นั้นเป็นการบีอัดระนาบหนึ่งจุดลงในทรงกลม อย่างไรก็ตาม ทรงกลมรีมันน์ไม่ใช่เพียงแค่ทรงกลมทางทอพอโลยีเท่านั้น มันเป็นทรงกลมที่มีโครงสร้างเชิงซ้อน ที่กำหนดไว้อย่างดี ดังนั้นรอบๆ ทุกจุดบนทรงกลมจึงมีบริเวณใกล้เคียงที่สามารถ ระบุได้ แบบ ไบโฮ โลมอร์ฟิก กับ${\displaystyle \mathbf {C} }$

ในทางกลับกันทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกภาพซึ่งเป็นผลลัพธ์สำคัญในการจำแนกประเภทของพื้นผิวรีมันน์ ระบุว่า พื้นผิวรีมันน์ ที่เชื่อมต่ออย่างง่าย ทุก พื้นผิวจะเป็นไบโฮโลมอร์ฟิกกับระนาบเชิงซ้อน ระนาบไฮเปอร์โบลิกหรือทรงกลมรีมันน์ ในบรรดาพื้นผิวเหล่านี้ ทรงกลมรีมันน์เป็นเพียงพื้นผิวเดียวที่เป็นพื้นผิวปิด ( พื้นผิว ขนาดกะทัดรัดที่ไม่มีขอบเขต ) ดังนั้น ทรงกลมสองมิติจึงมีโครงสร้างเชิงซ้อนที่ไม่ซ้ำกัน ทำให้มันกลายเป็นแมนิโฟลด์เชิงซ้อนหนึ่งมิติ

ทรงกลมรีมันน์สามารถนิยามได้ว่าเป็นเส้นตรงเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ จุดบนเส้นตรงเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟสามารถนิยามได้ว่าเป็นชั้นสมมูลของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์ในปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อน กล่าวคือ เวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัว คือและ จะสมมูลกันก็ต่อ เมื่อมีสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์บางตัว${\displaystyle \mathbf {C} ^{2}}$${\displaystyle (w,z)}$${\displaystyle (u,v)}$${\displaystyle (w,z)=(\lambda u,\lambda v)}$${\displaystyle \lambda \in \mathbf {C} }$

ในกรณีนี้ ชั้นสมมูลจะถูกเขียนโดยใช้พิกัดเชิงโปรเจกทีฟ เมื่อกำหนดจุดใดๆบนเส้นเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน ค่าใดค่าหนึ่งของและจะต้องไม่เป็นศูนย์ เช่นจากนั้นโดยแนวคิดเรื่องสมมูลซึ่งอยู่ในแผนภูมิสำหรับแมนิโฟลด์ทรงกลมรีมันน์^{[ 3 ]}${\displaystyle [w,z]}$${\displaystyle [w,z]}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle w\neq 0}$${\displaystyle [w,z]=\left[1,z/w\right]}$

การพิจารณาทรงกลมรีมันน์ในลักษณะนี้เชื่อมโยงกับเรขาคณิตเชิงโปรเจกทีฟได้ง่ายที่สุด ตัวอย่างเช่น เส้นตรงใดๆ (หรือภาคตัดกรวยเรียบ) ในระนาบเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน จะเป็นไบโฮโลมอร์ฟิกกับเส้นตรงเชิงโปรเจกทีฟเชิงซ้อน นอกจากนี้ยังสะดวกสำหรับการศึกษา ออโตมอร์ฟิซึมของทรงกลมซึ่งจะกล่าวถึงในภายหลังในบทความนี้

ทรงกลมรีมันน์สามารถมองเห็นได้ว่าเป็นทรงกลมหน่วยในปริภูมิสามมิติเพื่อจุดประสงค์นี้ ให้พิจารณาการฉายภาพสเตอริโอกราฟิกจากทรงกลมหน่วยลบจุดนั้นลงบนระนาบซึ่งเรากำหนดให้เป็นระนาบเชิงซ้อนโดยในพิกัดคาร์ทีเซียนและพิกัดทรงกลมบนทรงกลม (โดยมีมุมซีเนทและมุมอะซิมุท ) การฉายภาพคือ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle z=0,}$${\displaystyle \zeta =x+iy}$${\displaystyle (x,y,z)}$${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \zeta ={\frac {x+iy}{1-z}}={\cot }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{i\varphi }.}$

ในทำนองเดียวกัน การฉายภาพสเตอริโอกราฟิกจากไปยังระนาบที่ระบุด้วยสำเนาอีกชุดของระนาบเชิงซ้อนโดย จะเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle z=0,}$${\displaystyle \xi =x-iy,}$

${\displaystyle \xi ={\frac {x-iy}{1+z}}={\tan }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\theta {\bigr )}\,e^{-i\varphi }.}$

ภาพผกผันของภาพฉายสเตอริโอกราฟิกทั้งสองนี้คือแผนที่จากระนาบเชิงซ้อนไปยังทรงกลม ภาพผกผันแรกครอบคลุมทรงกลมยกเว้นจุดและภาพผกผันที่สองครอบคลุมทรงกลมยกเว้นจุดระนาบเชิงซ้อนทั้งสองซึ่งเป็นโดเมนของแผนที่เหล่านี้ถูกระบุแตกต่างกันกับระนาบเนื่องจาก จำเป็นต้องมีการกลับ ทิศทางเพื่อรักษาทิศทางที่สอดคล้องกันบนทรงกลม ${\displaystyle (0,0,1)}$${\displaystyle (0,0,-1)}$${\displaystyle z=0}$

แผนที่การเปลี่ยนผ่านระหว่างพิกัด x และพิกัด y ได้มาจากการประกอบการฉายภาพหนึ่งเข้ากับการฉายภาพผกผันของอีกการฉายภาพหนึ่ง ซึ่งปรากฏว่าเป็นและดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น ดังนั้นทรงกลมหน่วยจึงมีลักษณะสมมาตรแบบดิฟเฟอเรนเชียลกับทรงกลมรีมันน์ ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \zeta =1/\xi }$${\displaystyle \xi =1/\zeta }$

ภายใต้การแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลนี้ วงกลมหน่วยในแผนภูมิ-chart วงกลมหน่วยในแผนภูมิ-chart และเส้นศูนย์สูตรของทรงกลมหน่วย ล้วนถูกระบุให้เหมือนกัน จานหน่วยถูกระบุว่าเป็นซีกโลกใต้ในขณะที่จานหน่วยถูกระบุว่าเป็นซีกโลกเหนือ ${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle \xi }$${\displaystyle |\zeta |<1}$${\displaystyle z<0}$${\displaystyle |\xi |<1}$${\displaystyle z>0}$

พื้นผิวรีมันน์ไม่ได้มาพร้อมกับเมตริกรีมันน์ แบบใดแบบหนึ่ง โดยเฉพาะ อย่างไรก็ตาม โครงสร้างเชิงคอนฟอร์มอลของพื้นผิวรีมันน์นั้นกำหนดคลาสของเมตริกได้ นั่นคือ เมตริกทั้งหมดที่มีโครงสร้างเชิงคอนฟอร์มอลย่อยเป็นเมตริกที่กำหนดให้ กล่าวโดยละเอียดคือ โครงสร้างเชิงซ้อนของพื้นผิวรีมันน์กำหนดเมตริกได้อย่างเฉพาะเจาะจงจนถึงความสมมูลเชิงคอนฟอร์มอล (เมตริกสองตัวจะถือว่าสมมูลเชิงคอนฟอร์มอลกันหากแตกต่างกันโดยการคูณด้วยฟังก์ชันเรียบ ที่เป็นบวก ) ในทางกลับกัน เมตริกใดๆ บนพื้นผิวที่มีทิศทางจะกำหนดโครงสร้างเชิงซ้อนได้อย่างเฉพาะเจาะจง ซึ่งขึ้นอยู่กับเมตริกเพียงแค่จนถึงความสมมูลเชิงคอนฟอร์มอลเท่านั้น ดังนั้น โครงสร้างเชิงซ้อนบนพื้นผิวที่มีทิศทางจึงสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับคลาสเชิงคอนฟอร์มอลของเมตริกบนพื้นผิวนั้น

ภายในกลุ่มสมมาตรเชิงคอนฟอร์มัลที่กำหนด เราสามารถใช้สมมาตรเชิงคอนฟอร์มัลเพื่อค้นหาเมตริกตัวแทนที่มีคุณสมบัติที่สะดวกได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะมีเมตริกสมบูรณ์ที่มีความโค้งคงที่ เสมอ ในกลุ่มสมมาตรเชิงคอนฟอร์มัลใดๆ ก็ตาม

ในกรณีของทรงกลมรีมันน์ทฤษฎีบทเกาส์-บอนเนต์บ่งชี้ว่าเมตริกที่มีความโค้งคง ที่ต้องมีความโค้ง เป็นบวก ดังนั้นเมตริกจึงต้องสมมาตรกับทรงกลมที่มีรัศมีโดยผ่านการฉายภาพแบบสเตอริโอกราฟิก ในแผนภูมิบนทรงกลมรีมันน์ เมตริก ที่มีกำหนดโดย ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle K}$${\displaystyle 1/{\sqrt {K}}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$${\displaystyle \zeta }$${\displaystyle K=1}$

${\displaystyle ds^{2}=2\gamma _{\zeta {\overline {\zeta }}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}={\frac {4}{\left(1+\zeta {\overline {\zeta }}\right)^{2}}}\,d\zeta \,d{\overline {\zeta }}=\left({\frac {2}{1+|\zeta |^{2}}}\right)^{2}\,|d\zeta |^{2}.}$

ในระบบพิกัดจริงสูตรคือ ${\displaystyle \zeta =u+iv}$

${\displaystyle ds^{2}={\frac {4}{\left(1+u^{2}+v^{2}\right)^{2}}}\left(du^{2}+dv^{2}\right).}$

เมตริกนี้สอดคล้องกับเมตริก Fubini–Study มาตรฐานบนปริภูมิเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ (ซึ่งทรงกลมรีมันน์เป็นตัวอย่างหนึ่ง) โดยมีค่าคงที่ตัวคูณร่วม สัญลักษณ์ Christoffel สองตัวที่ไม่เป็นศูนย์ ของการเชื่อมต่อ Levi-Civitaคือ และคู่ควบของมัน ดังนั้นเมตริกนี้จึงเท่ากับความโค้ง Ricci ของมันเอง , . ${\displaystyle \Gamma _{\zeta \zeta }^{\zeta }=-2{\overline {\zeta }}/(1+|\zeta |^{2})}$${\displaystyle \gamma =\mathrm {Ric} }$

เมื่อพิจารณาในแง่ของมาตราส่วน นี่เป็น เมตริก เดียวบนทรงกลมที่มีกลุ่มของไอโซเมตรีที่รักษาทิศทางเป็น 3 มิติ (และไม่มีกลุ่มใดมีมากกว่า 3 มิติ) กลุ่มนั้นเรียกว่าในแง่นี้ นี่เป็นเมตริกที่สมมาตรที่สุดบนทรงกลม (กลุ่มของไอโซเมตรีทั้งหมด ซึ่งรู้จักกันในชื่อก็เป็น 3 มิติเช่นกัน แต่ต่างจาก ตรงที่ไม่ใช่ปริภูมิที่เชื่อมต่อกัน) ${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$${\displaystyle {\mbox{O}}(3)}$${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$

ในทางกลับกัน ให้แทนทรงกลม (ในฐานะที่เป็นแมนิโฟลด์เรียบหรือเชิงทอพอโลยีแบบนามธรรม ) โดยทฤษฎีบทการทำให้เป็นเอกรูป จะมีโครงสร้างเชิงซ้อนที่ไม่ซ้ำกันบนจนถึงความสมมูลเชิงคอนฟอร์มัล ดังนั้น เมตริกใดๆ บน จึงมีความสมมูลเชิงคอนฟอร์มัลกับเมตริกทรงกลม เมตริกดังกล่าวทั้งหมดกำหนดเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มัลเดียวกัน เมตริกทรงกลมจึงไม่ใช่คุณสมบัติที่แท้จริงของทรงกลมรีมันน์ เนื่องจาก "ความกลม" ไม่ใช่ค่าคงที่ของเรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มัล ทรงกลมรีมันน์เป็นเพียงแมนิโฟลด์เชิง คอนฟอร์มัล ไม่ใช่แมนิโฟลด์รีมันน์อย่างไรก็ตาม หากจำเป็นต้องทำเรขาคณิตรีมันน์บนทรงกลมรีมันน์ เมตริกทรงกลมเป็นตัวเลือกที่เหมาะสม (โดยมีรัศมีคงที่ใดๆ ก็ได้ แม้ว่ารัศมีจะเป็นตัวเลือกที่ง่ายที่สุดและพบได้บ่อยที่สุด) นั่นเป็นเพราะเมตริกทรงกลมบนทรงกลมรีมันน์เท่านั้นที่มีกลุ่มไอโซเมตรีเป็นกลุ่ม 3 มิติ (กล่าวคือ กลุ่มที่รู้จักกันในชื่อ ซึ่งเป็น กลุ่มต่อเนื่อง ("กลุ่มลี") ที่เป็น ปริภูมิเชิงฉายภาพสามมิติในเชิงโทโพโลยี) ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{3}}$

การศึกษาวัตถุทางคณิตศาสตร์ ใดๆ จะง่ายขึ้นหากเข้าใจกลุ่มของออโตมอร์ฟิซึม ซึ่งหมายถึงแผนที่จากวัตถุไปยังตัวมันเองที่รักษาโครงสร้างพื้นฐานของวัตถุไว้ ในกรณีของทรงกลมรีมันน์ ออโตมอร์ฟิซึมคือแผนที่คอนฟอร์มอล ที่ผกผันได้ (เช่น แผนที่ไบโฮโลมอร์ฟิก) จากทรงกลมรีมันน์ไปยังตัวมันเอง ปรากฏว่าแผนที่ดังกล่าวมีเพียงการแปลงโมเบียส เท่านั้น ซึ่งเป็นฟังก์ชันในรูปแบบ

${\displaystyle f(\zeta )={\frac {a\zeta +b}{c\zeta +d}},}$

โดยที่, , , และเป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่งตัวอย่างของการแปลงโมเบียส ได้แก่การขยายการหมุนการเลื่อนและการผกผันเชิงซ้อน อันที่จริง การแปลงโมเบียสใดๆ ก็สามารถเขียนได้ในรูปของการประกอบกันของสิ่งเหล่านี้ ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$${\displaystyle ad-bc\neq 0}$

การแปลงโมเบียสเป็นโฮโมกราฟีบนเส้นโปรเจคทีฟเชิงซ้อน ในพิกัดโปรเจคทีฟการแปลงfสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle [\zeta ,\ 1]{\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}\ =\ [a\zeta +b,\ c\zeta +d]\ =\ {\begin{pmatrix}{\tfrac {a\zeta +b}{c\zeta +d}}&1\end{pmatrix}}\ =\ [f(\zeta ),\ 1].}$

ดังนั้น การแปลงโมเบียสจึงสามารถอธิบายได้ว่าเป็นเมทริกซ์เชิงซ้อนขนาดสองคูณสองที่มีดีเทอร์มิแนนต์ ไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากเป็นการกระทำบนพิกัดเชิงโปรเจกทีฟ เมทริกซ์สองเมทริกซ์จะให้การแปลงโมเบียสเดียวกันก็ต่อเมื่อเมทริกซ์ทั้งสองแตกต่างกันด้วยตัวประกอบที่ไม่เป็นศูนย์กลุ่มของการแปลงโมเบียสคือกลุ่มเชิงเส้นเชิงโปรเจก ที ฟ ${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$

หากเรากำหนดเมตริกฟูบินี-สตูดีให้กับทรงกลมรีมันน์การแปลงโมเบียสทั้งหมดจะไม่ใช่ไอโซเมตรี ตัวอย่างเช่น การขยายและการเลื่อนไม่ใช่ไอโซเมตรี ไอโซเมตรีก่อตัวเป็นกลุ่มย่อยที่แท้จริงของ นั่น คือกลุ่มย่อยนี้สม isomorphic กับกลุ่มการหมุนซึ่งเป็นกลุ่มสมมาตรของทรงกลมหน่วยใน(ซึ่งเมื่อจำกัดอยู่บนทรงกลม จะกลายเป็นไอโซเมตรีของทรงกลม) ${\displaystyle {\mbox{PGL}}(2,\mathbf {C} )}$${\displaystyle {\mbox{PSU}}(2)}$${\displaystyle {\mbox{SO}}(3)}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อน ฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกบนระนาบเชิงซ้อน (หรือบนพื้นผิวรีมันน์ใดๆ ก็ตาม) คืออัตราส่วนของฟังก์ชันโฮโลเมอร์ฟิกสองฟังก์ชันคือ และในฐานะแผนที่ไปยังจำนวนเชิงซ้อน ฟังก์ชันนี้จะไม่นิยามเมื่อใดก็ตามที่ มีค่าเป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม มันจะเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่โฮโลเมอร์ฟิกไปยังเส้นตรงเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟ ซึ่งนิยามได้ดีแม้ในกรณีที่การสร้างนี้มีประโยชน์ในการศึกษาฟังก์ชันโฮโลเมอร์ฟิกและเมโรเมอร์ฟิก ตัวอย่างเช่น บนพื้นผิวรีมันน์แบบกระชับ จะไม่มีแผนที่โฮโลเมอร์ฟิกที่ไม่คงที่ไปยังจำนวนเชิงซ้อน แต่แผนที่โฮโลเมอร์ฟิกไปยังเส้นตรงเชิงซ้อนแบบโปรเจคทีฟนั้นมีอยู่มากมาย ${\displaystyle f/g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle g}$${\displaystyle (f,g)}$${\displaystyle g=0}$

ทรงกลมรีมันน์มักถูกยกมาเป็นตัวอย่างของโครงสร้างที่ช่วยให้มองเห็นภาพวงกลมทั่วไปการแปลงโมเบียสและการแปลงเชิงคอนฟอร์มัลระหว่างเซตเปิดที่เชื่อมต่อกันของระนาบเชิงซ้อนแบบขยายได้อย่าง ง่ายดาย

ทรงกลมรีมันน์มีประโยชน์มากมายในฟิสิกส์ ในกลศาสตร์ควอนตัม จุดบนเส้นโปรเจคทีฟเชิงซ้อนเป็นค่าธรรมชาติสำหรับสถานะโพลาไรเซชันของ โฟ ตอน สถานะ สปินของอนุภาคมวลที่ มีสปิ น และอนุภาค 2 สถานะโดยทั่วไป (ดูเพิ่มเติมที่บิตควอนตัมและทรงกลมบล็อก ) ทรงกลมรีมันน์ได้รับการเสนอให้เป็น แบบจำลอง สัมพัทธภาพสำหรับ ทรง กลมท้องฟ้า^{[ 4 ]}ในทฤษฎีสตริงแผ่นโลกของสตริงเป็นพื้นผิวรีมันน์ และทรงกลมรีมันน์ซึ่งเป็นพื้นผิวรีมันน์ที่ง่ายที่สุด มีบทบาทสำคัญ นอกจากนี้ยังมีความสำคัญในทฤษฎีทวิสเตอร์ด้วย ${\displaystyle 1/2}$

• เรขาคณิตเชิงคอนฟอร์มอล  – การศึกษาการแปลงรูปทรงเรขาคณิตโดยรักษาองศาไว้
• อัตราส่วนไขว้  – ค่าคงที่ในเรขาคณิตเชิงโปรเจคทีฟ
• Dessin d'enfant  – การวาดกราฟที่ใช้ในการศึกษาพื้นผิวรีมันน์
• กลุ่มเส้นใย ฮอปฟ์ (Hopf bundle)  – กลุ่มเส้นใยของทรงกลม 3 มิติที่อยู่เหนือทรงกลม 2 มิติ โดยมีทรงกลม 1 มิติเป็นเส้นใยPages displaying short descriptions of redirect targets
• ระนาบโมเบียส
• ตัวดำเนินการขนาน § คุณสมบัติ
• เส้นจำนวนจริงที่ขยายโดยเชิงโปรเจคชัน  – จำนวนจริงที่มีจุดเพิ่มที่อนันต์
• แผนภูมิสมิธ  – เครื่องคำนวณกราฟิกสำหรับวิศวกรไฟฟ้า
• ทฤษฎีวงล้อ  – พีชคณิตที่การหารมีนิยามเสมอ

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับทรงกลมรีมันน์

• "ทรงกลมรีมันน์" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• การเปิดเผยการแปลงโมเบียสโดยดักลาส เอ็น. อาร์โนลด์และ โจนาธาน โรเนส (วิดีโอโดยศาสตราจารย์สองท่านจากมหาวิทยาลัยมินนิโซตา อธิบายและแสดงภาพการแปลงโมเบียสโดยใช้การฉายภาพสามมิติจากทรงกลม)