ในทฤษฎีเซตจำนวนเชิงลำดับหรือลำดับคือ การขยายความทั่วไปของจำนวนเชิงลำดับ (อันดับแรก อันดับที่สอง อันดับที่ nเป็นต้น) โดยมุ่งขยายการนับไปยังเซตอนันต์ [ ^{1 ] โดย}ปกติจะใช้อักษรกรีก สำหรับ ตัวแปร จำนวนเชิงลำดับ เพื่อช่วยแยกแยะออกจากตัวแปร จำนวนธรรมชาติ

เซตจำกัดสามารถแจงนับได้โดยการติดป้ายกำกับแต่ละองค์ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ ที่น้อยที่สุด ที่ยังไม่เคยถูกใช้มาก่อน เพื่อขยายกระบวนการนี้ไปยังเซตอนันต์ ต่างๆ จำนวนเชิงอันดับจึงถูกนิยามอย่างทั่วไปมากขึ้นว่าเป็น กลุ่มของจำนวน ที่มีลำดับเชิงเส้นซึ่งรวมถึงจำนวนธรรมชาติและมีคุณสมบัติที่ว่ากลุ่ม ( เซตหรือกลุ่มย่อย ) ของจำนวนเชิงอันดับทุกกลุ่มที่ไม่ว่างเปล่าจะมีองค์ประกอบที่น้อยที่สุดหรือ "เล็กที่สุด" (ซึ่งจำเป็นสำหรับการให้ความหมายแก่ "องค์ประกอบที่น้อยที่สุดที่ยังไม่ได้ใช้") คำนิยามทั่วไปนี้ทำให้เราสามารถกำหนดจำนวนเชิงอันดับ(โอเมกา) ให้เป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุดที่มากกว่าจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน พร้อมกับจำนวนเชิงอันดับ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , เป็นต้น ซึ่งมากกว่า⁠ ⁠อีก ด้วย${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega +2}$${\displaystyle \omega }$

ทฤษฎีเซต ของZermelo–Fraenkelกล่าวว่า สำหรับ เซตของจำนวนเชิงอันดับ ใดๆจะมีจำนวนเชิงอันดับอื่นที่มากกว่าจำนวนเชิงอันดับทั้งหมดในเซตนั้น คำตอบของคำถามที่ว่า "ถ้าเซตนั้นคือเซตของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมดล่ะ?" ( ปริศนา Burali-Forti ) คือ กลุ่มของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมดนั้นไม่ใช่เซต แต่เป็นคลาสที่แท้จริง

ลำดับเชิงเส้นที่ทุกเซตย่อยที่ไม่ว่างมีสมาชิกที่เล็กที่สุดเรียกว่าลำดับที่ดี (well-order) สัจพจน์ของการเลือก ( axiom of choice)บ่งชี้ว่าทุกเซตสามารถมีลำดับที่ดีได้ เมื่อกำหนดเซตที่มีลำดับที่ดีสองเซต เซตหนึ่งจะสม isomorphicกับส่วนเริ่มต้นของอีกเซตหนึ่ง และการสม isomorphic นั้นมีเพียงหนึ่งเดียว สิ่งนี้ทำให้สามารถกำหนดลำดับ (ordinal) ที่ไม่ซ้ำกันให้กับแต่ละเซตที่มีลำดับที่ดีได้ ซึ่งเรียกว่าประเภทลำดับ (order type ) ของเซตนั้น

จำนวนเชิงอันดับแตกต่างจากจำนวนเชิงปริมาณซึ่งใช้วัดขนาดของเซต แม้ว่าความแตกต่างระหว่างจำนวนเชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณจะไม่ชัดเจนนักในเซตจำกัด (เราสามารถเปลี่ยนจากจำนวนเชิงอันดับไปเป็นจำนวนเชิงปริมาณได้โดยการนับป้ายกำกับ) แต่ในกรณีอนันต์ จำนวนเชิงอันดับและจำนวนเชิงปริมาณจะแตกต่างกันมาก โดยที่จำนวนเชิงอันดับอนันต์ที่แตกต่างกันอาจสอดคล้องกับเซตที่มีจำนวนเชิงปริมาณเดียวกัน เช่นเดียวกับจำนวนประเภทอื่นๆ จำนวนเชิงอันดับสามารถบวก คูณ และยกกำลังได้แม้ว่าการดำเนินการเหล่านี้จะไม่เป็นไปตามสมบัติการสลับที่ก็ตาม

Georg Cantorได้นำเสนอลำดับเชิงอันดับในปี พ.ศ. 2426 ^{[ 2 ]}เพื่อรองรับลำดับอนันต์และจำแนกเซตอนุพันธ์ซึ่งเขาได้นำเสนอไว้ก่อนหน้านี้ในปี พ.ศ. 2415 ขณะศึกษาความเป็นเอกลักษณ์ของอนุกรมตรีโกณมิติ^{[ 3 ]}

จำนวนธรรมชาติ (ซึ่งในบริบทนี้รวมถึงเลข0 ด้วย ) สามารถใช้ได้สองวัตถุประสงค์ คือ เพื่ออธิบายขนาดของเซตหรือเพื่ออธิบายตำแหน่งของสมาชิกในลำดับเมื่อขยายความไปสู่เซตอนันต์ แนวคิดเรื่องขนาดจะนำไปสู่จำนวนเชิงคาร์ดินัลและแนวคิดเรื่องตำแหน่งจะนำไปสู่จำนวนเชิงอันดับดังที่ได้อธิบายไว้ในที่นี้

ในความหมายทางคณิตศาสตร์ที่กว้างขึ้น การนับสามารถมองได้ว่าเป็นตัวอย่างของอุปนัยทางคณิตศาสตร์การแจงนับเซตที่มีลำดับที่ดีนั้นก็เหมือนกับการตรวจสอบคุณสมบัติของสมาชิกในเซตนั้นตามลำดับ สำหรับจำนวนธรรมชาติ นี่คืออุปนัยมาตรฐาน: ถ้าคุณสมบัตินั้นเป็นจริงสำหรับ 0 และความจริงของมันสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle n}$บ่งบอกถึงความจริงของมันสำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle n+1}$ แล้ว คุณสมบัติ นั้นจะเป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติทั้งหมด กระบวนการนี้สอดคล้องกับลำดับอนันต์แรก⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$

บริบททางคณิตศาสตร์มักต้องการการวนซ้ำที่เกินกว่าขีดจำกัดอนันต์เดียว จำนวนเชิงอันดับ⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{2}}$ (แสดงในรูป) เป็นตัวอย่างของแนวคิดการอุปมานแบบซ้อนกันประกอบด้วยลำดับของสำเนาที่แตกต่างกันของจำนวนธรรมชาติที่เรียงลำดับต่อกัน เพื่อตรวจสอบคุณสมบัติสำหรับจำนวนเชิงอันดับทั้งหมดที่น้อยกว่า⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{2}}$เราจะทำการอุปมาน "ภายใน" (นับผ่าน⁠ ⁠${\displaystyle 0,1,2,\dots }$ ) กำหนดขีดจำกัดที่⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$แล้วดำเนินการต่อในลำดับถัดไป ( ⁠ ⁠${\displaystyle \omega +1,\omega +2,\dots }$ ) โครงสร้างนี้คล้ายกับลูปซ้อนกันในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (เช่น การวนซ้ำผ่านคู่ของจำนวนธรรมชาติ⁠ ⁠${\displaystyle (j,i)}$ที่เรียง ลำดับตาม พจนานุกรม ) จำนวนเชิงอันดับช่วยให้สามารถกำหนดกระบวนการที่มีความซับซ้อนตามอำเภอใจได้ เช่น⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{3}}$ (การซ้อนกันสามชั้น) หรือ⁠ ⁠${\displaystyle \โอเมก้า ^{\โอเมก้า }}$ (การอุปมานเหนือความลึกของการอุปมานแบบซ้อนกัน)

ความถูกต้องของการนับแบบอุปนัยขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของความมีรากฐานที่ดีโดยเฉพาะอย่างยิ่งข้อกำหนดที่ว่าทุกกระบวนการสามารถสืบย้อนกลับไปยังองค์ประกอบ "พื้นฐาน" ได้ ลำดับเชิงเส้นที่แสดงให้เห็นถึงความมีรากฐานที่ดีนี้เรียกว่าลำดับที่ดีการมีอยู่ขององค์ประกอบ "น้อยที่สุด" หรือองค์ประกอบขั้นต่ำในทุกเซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของเซตที่มีลำดับที่ดีเป็นพื้นฐานของหลักการอุปนัยอนันต์ซึ่งเป็นการขยายความอุปนัยมาตรฐานโดยการรับรองว่าหากคุณสมบัติใดไม่เป็นจริง จะมีตัวอย่างค้านที่น้อยที่สุดที่เฉพาะเจาะจงอยู่

ลำดับทำหน้าที่เป็นนามธรรมมาตรฐานของโครงสร้างที่มีลำดับที่ดีเหล่านี้^{[ 4 ]}ทฤษฎีบทพื้นฐานในทฤษฎีเซตกำหนดว่าเซตที่มีลำดับที่ดีสองเซตใดๆ สามารถเปรียบเทียบกันได้ กล่าวคือ เมื่อกำหนดลำดับที่ดีสองลำดับแล้ว ลำดับทั้งสองจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันหรือลำดับหนึ่งจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกับส่วนเริ่มต้น ที่เหมาะสม ของอีกลำดับหนึ่ง ความเป็นเอกลักษณ์นี้หมายความว่าลำดับที่ดีสามารถจำแนกได้ด้วยโครงสร้างของมันเพียงอย่างเดียว โดยไม่ขึ้นอยู่กับการแสดงแทนที่เฉพาะเจาะจง ดังนั้นจำนวนลำดับจึงถูกกำหนดให้เป็นรูปแบบตัวแทนของคลาสไอโซมอร์ฟิซึมเหล่านี้

เซตจำกัดสามารถแจงนับได้โดยการติดป้ายกำกับแต่ละองค์ประกอบด้วยจำนวนธรรมชาติ ที่น้อยที่สุด ที่ยังไม่เคยถูกใช้มาก่อน เพื่อขยายกระบวนการนี้ไปยังเซตอนันต์ ต่างๆ จำนวนเชิงอันดับจึงถูกนิยามอย่างทั่วไปมากขึ้นว่าเป็น กลุ่มของจำนวน ที่มีลำดับเชิงเส้นซึ่งรวมถึงจำนวนธรรมชาติและมีคุณสมบัติที่ว่ากลุ่ม ( เซตหรือกลุ่มย่อย ) ของจำนวนเชิงอันดับทุกกลุ่มที่ไม่ว่างเปล่าจะมีองค์ประกอบที่น้อยที่สุดหรือ "เล็กที่สุด" (ซึ่งจำเป็นสำหรับการให้ความหมายแก่ "องค์ประกอบที่น้อยที่สุดที่ยังไม่ได้ใช้") คำนิยามทั่วไปนี้ทำให้เราสามารถกำหนดจำนวนเชิงอันดับ(โอเมกา) ให้เป็นองค์ประกอบที่น้อยที่สุดที่มากกว่าจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน พร้อมกับจำนวนเชิงอันดับ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , เป็นต้น ซึ่งมากกว่า⁠ ⁠อีก ด้วย${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega +1}$${\displaystyle \omega +2}$${\displaystyle \omega }$

ขั้นตอนการสร้างลำดับอนันต์บ่งชี้ว่าลำดับที่ใช้ในการกำหนดป้ายกำกับองค์ประกอบนั้นมีลำดับที่ดี [ ^{5 ] ซึ่ง}หมายความว่า:

ทุกชุดลำดับที่ไม่ว่างเปล่าจะมี${\displaystyle T}$องค์ประกอบที่เล็กที่สุดเพียงหนึ่งเดียว

โดยสัญชาตญาณแล้ว จำนวนเชิงลำดับที่น้อยที่สุดใน⁠ ⁠${\displaystyle T}$ คือจำนวนเชิงลำดับ "ถัดไป" ที่ปรากฏขึ้นหลังจาก ใช้จำนวนเชิงลำดับทั้งหมดที่น้อยกว่าจำนวนเชิงลำดับทุกจำนวนใน⁠ ⁠ ไปแล้ว ในทางตรงกันข้าม ${\displaystyle T}$⁠ ⁠${\displaystyle T}$ไม่จำเป็นต้องมีองค์ประกอบที่มากที่สุด ตัวอย่างเช่น เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle T}$คือเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด

การเรียงลำดับที่ดีนั้นแข็งแกร่งกว่าการเรียงลำดับเชิงเส้น เพียงอย่างเดียว ตัวอย่างเช่นจำนวนจริงมีการเรียงลำดับเชิงเส้นตามธรรมชาติ แต่ช่วงเปิด ใดๆ ก็ ไม่มีสมาชิกที่เล็กที่สุด

ความสำคัญของการจัดลำดับ ที่ดีคือการทำให้การเหนี่ยวนำอนันต์เป็นไป ได้ หากข้อความเกี่ยว${\displaystyle P(\alpha )}$กับลำดับไม่เป็นจริงโดยทั่วไปสำหรับทุก ๆกล่าวคือหากมีตัวอย่างค้านใด ๆ ก็จะต้องมีตัวอย่างค้านที่เล็กที่สุด ในทางกลับกัน หากสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงเมื่อใดก็ตามที่เป็นจริงสำหรับทุก ๆแล้วจะไม่สามารถมีตัวอย่างค้านที่เล็กที่สุดได้ และด้วยเหตุนี้จึงไม่สามารถมีตัวอย่างค้านใด ๆ ได้เลย กล่าวคือ มันเป็นจริงโดยทั่วไป^{[ 6 ]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle P(\alpha )}$${\displaystyle P(\beta )}$${\displaystyle \beta <\alpha }$

ในการกำหนดรูปแบบอย่างเป็นทางการของทฤษฎีเซตแบบZermelo–Fraenkel (ZF) เซตที่มีลำดับดี (well-ordered set) คือเซต ที่มีลำดับ สมบูรณ์ (totally ordered set )${\displaystyle (S,\leq )}$โดยที่เซตย่อยที่ไม่ว่างเปล่าทุกเซตจะมี${\displaystyle T\subseteq S}$สมาชิกที่เล็กที่สุด ในที่นี้ “เซต” หมายถึงกลุ่มของสิ่งต่างๆ ที่เป็นวัตถุของ ZF ไม่ใช่ คลาส ที่ แท้จริง

เซตที่มีลำดับที่ดีสามารถเขียนได้เป็นลำดับอนันต์โดยการกำหนดป้ายกำกับลำดับให้กับองค์ประกอบในลักษณะที่เคารพลำดับ: ⁠ ⁠${\displaystyle a_{\alpha }\leq a_{\beta }}$ก็ต่อเมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \leq \beta }$ เท่านั้น (การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตที่มีลำดับสองเซตเรียกว่าไอโซมอร์ฟิซึมลำดับ ) ป้ายกำกับที่ใช้ในการแจงนับดังกล่าวจะสร้างส่วนเริ่มต้นของลำดับ ในแง่ที่ว่าหากมีการใช้ป้ายกำกับหนึ่ง ป้ายกำกับลำดับที่เล็กกว่าทุกอันก็จะถูกใช้ด้วยเช่นกัน ด้วยลำดับที่ดี จะมีลำดับที่เล็กที่สุดที่ไม่ซ้ำกันซึ่งไม่ได้ใช้เป็นป้ายกำกับ ลำดับนี้จะกำหนด "ความยาว" ของลำดับ และเรียกว่าประเภทลำดับของลำดับที่ดี ต้องขอบคุณการจัดทำดัชนีแบบ 0-basedประเภทลำดับจะตรงกับจำนวนสมาชิกสำหรับเซตจำกัด รวมถึงเซตว่าง^{[ 1 ]}อย่างไรก็ตาม สำหรับเซตอนันต์ ความสัมพันธ์ลำดับที่ดีที่แตกต่างกันสามารถ${\displaystyle \leq }$มีประเภทลำดับที่แตกต่างกัน ได้

ประเภทของลำดับสามารถกำหนดได้โดยไม่ต้องมีแนวคิดเรื่องลำดับก่อนหลังมาก่อน โดยการทำงานโดยตรงกับไอโซมอร์ฟิซึมของลำดับ ระหว่างเซตที่มีลำดับที่ดีทั่วไป เช่นเดียวกับ ที่สามารถกำหนดจำนวนสมาชิก ได้ผ่านการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ระหว่างเซตทั่วไป (ที่ไม่มีลำดับ) เช่นเดียวกับการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง การเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของลำดับเป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซตที่มีลำดับที่ดีชั้นสมมูล ของมัน สอดคล้องกับประเภทของลำดับ (ลำดับก่อนหลัง)

ใน แนวทาง ของ Principia Mathematicaประเภทลำดับของเซตที่มีลำดับดี⁠ ⁠${\displaystyle (S,\leq )}$จะถูกระบุด้วยชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของมันกล่าวคือ เซตของเซตที่มีลำดับดีทั้งหมด⁠ ⁠${\displaystyle (S',\leq ')}$ที่มีลำดับไอโซมอร์ฟิซึมกับ⁠ ⁠${\displaystyle (S,\leq )}$เนื่องจากองค์ประกอบของ⁠ ⁠${\displaystyle S'}$สามารถเป็นอะไรก็ได้คำจำกัดความนี้จึงมีลักษณะเป็น “ เซตของเซตทั้งหมด ” และใน ZF กลุ่มดังกล่าวโดยทั่วไปมีขนาดใหญ่เกินกว่าจะเป็นเซตได้ คำจำกัดความนี้ยังคงสามารถใช้ได้ในทฤษฎีประเภทและในทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ของ Quine New Foundationsและระบบที่เกี่ยวข้อง^{[ a ]}

ในZFและระบบทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ ที่เกี่ยวข้อง ชั้นสมมูลเหล่านี้โดยทั่วไปมีขนาดใหญ่เกินกว่าจะก่อตัวเป็นเซตได้ ดังนั้นจึงจำเป็นต้องเลือกตัวแทนมาตรฐานที่ไม่ซ้ำกันจากแต่ละชั้น ซึ่งเป็นเซตเดียวที่รวบรวมโครงสร้างของการเรียงลำดับที่ดี เนื่องจากความสัมพันธ์พื้นฐานในทฤษฎีเซตคือการเป็นสมาชิกของเซต ( ⁠ ⁠${\displaystyle \in }$ ) การแสดงผลในอุดมคติ จึง เป็นการแสดงผลที่ความสัมพันธ์ลำดับนามธรรม⁠ ⁠${\displaystyle <}$ถูกแปลโดยตรงเป็นความสัมพันธ์การเป็นสมาชิก⁠ ⁠${\displaystyle \in }$

การนำเสนอของ von Neumann ^{[ 7 ]}ให้รูปแบบมาตรฐานนี้ โดยอาศัยการสังเกตว่าความสัมพันธ์ที่มีพื้นฐานดี ซึ่งตรงตามคุณสมบัติบางอย่างสามารถแมปไปยังเซตเฉพาะที่ความสัมพันธ์กลายเป็นสมาชิกของเซตได้ การแม ป นี้เรียกว่าทฤษฎีบทการยุบตัวของ Mostowski

เมื่อนำไปใช้กับการเรียงลำดับที่ดี การยุบตัวของ Mostowski จะให้เซตเฉพาะที่ความ${\displaystyle S}$สัมพันธ์ลำดับเป็นจริง${\displaystyle x<y}$ก็ต่อเมื่อเซตที่${\displaystyle x\in y}$ได้มีคุณสมบัติเป็น เซต ถ่ายทอด กล่าวคือ ทุกองค์ประกอบของเป็น${\displaystyle S}$เซตย่อยของ( ${\displaystyle S}$กล่าว คือ ผลรวมของเซต อยู่ในเซต ) ในการแสดงแบบนี้ จำนวนเชิงอันดับแต่ละจำนวนจะถูกระบุด้วยเซตของจำนวนเชิงอันดับก่อนหน้าทั้งหมด

ดังนั้นจำนวนเชิงอันดับฟอนนอยมันน์ จำกัด จึงถูกกำหนดแบบเวียนเกิดดังนี้⁠ ⁠${\displaystyle 0=\emptyset }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 1=\{0\}}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle 2=\{0,1\}}$ , เป็นต้น จำนวนเชิงอันดับอนันต์แรก⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$แทนด้วยเซตของจำนวนเชิงอันดับจำกัดทั้งหมด นั่นคือ เซตของจำนวนธรรมชาติฟอนนอยมันน์ ⁠ ⁠ จาก${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}}$นั้น⁠ ⁠${\displaystyle \omega +1=\{0,1,2,\ldots ,\omega \}=\mathbb {N} \cup \{\omega \}}$ , และอื่นๆ ต่อไป

โดยทั่วไปแล้ว เราอาจนิยามลำดับ (ordinal) แบบเวียนซ้ำได้ว่าเป็น เซต ปิดแบบลงล่างของลำดับ การนิยามแบบเวียนซ้ำเช่นนี้มักได้รับการพิสูจน์โดยการปิดแบบถ่ายทอด (transitive closure ) อย่างไรก็ตาม ลำดับของฟอน นอยมันน์ (von Neumann ordinals) เป็นเซตแบบถ่ายทอด อยู่แล้ว ทำให้สามารถนิยามอย่างเป็นทางการได้ด้วยประโยคสั้นๆ ดังนี้:

เซตเป็นเซตเชิงอันดับก็ต่อเมื่อเซตนั้นมีคุณสมบัติถ่ายทอด (สมาชิกทุกตัวของเซตเป็นเซตย่อยของเซต) และเรียงลำดับอย่างดีอย่างเคร่งครัด^{[ b ]}โดยสมาชิกภาพของเซต ( )${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \in }$

โดยทั่วไปแล้ว เซต⁠ ⁠${\displaystyle \omega \equiv \mathbb {N} }$จะถูกนิยามว่าเป็นเซตอุปนัยที่เล็กที่สุด (ซึ่งประกอบด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \emptyset }$และปิดภายใต้ตัวสืบทอด) ข้อจำกัด "เล็กที่สุด" นี้รับประกันว่าแต่ละองค์ประกอบของ⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$จะเป็นศูนย์หรือเป็นตัวสืบทอดขององค์ประกอบอื่นใน⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$ซึ่งทำให้การอุปนัยสามารถพิสูจน์ได้ว่า⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$เป็นไปตามนิยามอย่างเป็นทางการของลำดับที่กล่าวไว้ข้างต้น

เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ลำดับที่เข้มงวดเป็นความ${\displaystyle <}$สัมพันธ์การเป็นสมาชิกที่จำกัด${\displaystyle \in }$เฉพาะคลาสของลำดับทั้งหมด ลักษณะเฉพาะแบบเวียนเกิดจะลด${\displaystyle \gamma =\{\alpha \mid \alpha <\gamma \}}$ลงเหลือข้อความต่อไปนี้:

• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \in \beta }$และ⁠ ⁠${\displaystyle \beta }$เป็นลำดับแล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$ ก็ เป็นลำดับเช่นกัน : การถ่ายทอดของ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$ในฐานะเซตจะพบได้จากการพบว่าลำดับที่เกี่ยวข้องทั้งหมดเป็นองค์ประกอบของ⁠ ⁠${\displaystyle \beta }$จากนั้นใช้การถ่ายทอดของ ความสัมพันธ์ ⁠ ⁠${\displaystyle \in }$ภายใน⁠ ⁠${\displaystyle \beta }$ ; ความเป็นระเบียบเรียบร้อยของ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$เป็นผลโดยตรงจากความเป็นระเบียบเรียบร้อยของ⁠ ⁠ ${\displaystyle \beta }$^{[ 8 ]}

ความ${\displaystyle \leq }$สัมพันธ์ลำดับที่ไม่เข้มงวดมีลักษณะเฉพาะอีกแบบหนึ่ง คือ ก็ต่อ${\displaystyle \alpha \leq \beta }$เมื่อสำหรับลำดับ ทิศทาง" ถ้า" ${\displaystyle \alpha \subseteq \beta }$มาจากคุณสมบัติการถ่ายทอดของและทิศทาง "เฉพาะเมื่อ" มาจาก :${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle \beta }$

• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \neq \beta }$เป็นลำดับทั้งคู่และ ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \subset \beta }$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \in \beta }$ : ให้⁠ ⁠${\displaystyle \gamma =\min\{\beta \setminus \alpha \}}$ . ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$เป็นคุณสมบัติถ่ายทอด ดังนั้น⁠ ⁠${\displaystyle \alpha =\{\xi \in \beta \mid \xi <\gamma \}=\gamma \in \beta }$ . ^{[ 9 ]}

นี่หมายความว่า⁠ ⁠${\displaystyle \leq }$เป็นอันดับบางส่วน แต่ในความเป็นจริงแล้วมันเป็นอันดับทั้งหมดและเป็นอันดับที่ดีด้วย :

• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$และ⁠ ⁠${\displaystyle \beta }$เป็นจำนวนเชิงอันดับทั้งคู่ แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \alpha \subseteq \beta }$หรือ⁠ ⁠${\displaystyle \beta \subseteq \alpha }$ : ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma =\alpha \cap \beta }$เป็นจำนวนเชิงอันดับ ดังนั้น⁠ ⁠${\displaystyle \gamma =\alpha }$หรือ⁠ ⁠${\displaystyle \gamma =\beta }$หรือมิฉะนั้น⁠ ⁠${\displaystyle \gamma \in \gamma }$ซึ่งขัดแย้งกับความไม่สะท้อนกลับ^{[ 9 ]}
• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle A}$เป็นเซตลำดับที่ไม่ว่างเปล่า⁠ ⁠${\displaystyle \min A=\bigcap A}$จะต้องอยู่ใน⁠ ⁠${\displaystyle A}$ตามตรรกะที่คล้ายกัน^{[ 10 ]}

ดังนั้นจำนวนเชิงลำดับทั้งหมดจึงประกอบกันเป็นชั้นที่มีลำดับที่ดีและด้วยเหตุนี้ เซตของจำนวนเชิงลำดับที่ไม่ว่างเปล่าใดๆ ที่มีคุณสมบัติ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathrm {ON} }$จึงเป็นเซตที่มีลำดับที่ดีเช่น กัน${\displaystyle \leq }$

ลำดับเฉพาะสามารถสร้างขึ้นได้อย่างชัดเจนโดยใช้หลักการต่อไปนี้:

• เป็น${\displaystyle 0=\emptyset }$ลำดับที่
• สำหรับลำดับใดๆ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {succ} \;\alpha =\alpha \cup \{\alpha \}}$ก็เป็นลำดับและ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {succ} \;\alpha =\min\{\beta \mid \beta >\alpha \}}$ . ^{[ 10 ]}
• ถ้า A เป็นเซตของลำดับแล้ว ก็เป็นลำดับเช่นกัน^{[ 10 ]}${\displaystyle \sup A=\bigcup A}$

รูปแบบที่ชัดเจนของ⁠ ⁠${\displaystyle \mathrm {succ} }$และ⁠ ⁠${\displaystyle \sup }$บ่งชี้ว่าสำหรับเซตของลำดับใดๆ จะมีลำดับอื่นที่มากกว่าลำดับทั้งหมดเหล่านั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

• ( ปรากฏการณ์ Burali-Forti ) คลาสของลำดับทั้งหมดไม่ใช่${\displaystyle \mathrm {ON} }$เซต มิฉะนั้นจะเป็น${\displaystyle \mathrm {succ} \sup \mathrm {ON} }$ลำดับ^ที่ไม่อยู่ใน^[ 10 ${\displaystyle \mathrm {ON} }$^]

เซตที่มีลำดับที่ดีทุกเซตจะสมมูลกับลำดับเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น ซึ่งเรียกว่าประเภทลำดับ ของมัน ความเป็นเอกลักษณ์ได้รับการรับประกันเนื่องจากเซตที่มีลำดับที่ดีไม่สามารถสมมูลกับส่วนเริ่มต้นที่เหมาะสมของตัวมันเองได้ ซึ่งป้องกันความสมมูลกับลำดับที่แตกต่างกันสองลำดับ การมีอยู่ของลำดับนี้ได้รับการพิสูจน์โดยการกำหนดแผนที่จับคู่แต่ละกับลำดับที่แสดงถึงประเภทลำดับของส่วนเริ่มต้น⁠ ⁠ตามแบบแผนสัจพจน์ของการแทนที่ ช่วงของแผนที่นี้เป็นเซตของลำดับ เนื่องจากช่วงนี้ปิดลง (ประเภทลำดับของส่วนของส่วนเป็นลำดับที่เล็กกว่า) ช่วงจึงเป็นลำดับด้วยตัวมันเองโดเมนของความสมมูลต้องเป็นทั้งหมดของมิฉะนั้น องค์ประกอบที่เล็กที่สุดที่อยู่นอกโดเมนจะหมายถึงซึ่งจะรวม ไว้ในโดเมนอย่างมีประสิทธิภาพ ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง ดังนั้น. ^{[ 11 ]}${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle S_{x}=\{y\in S\mid y<x\}}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle S}$${\displaystyle z\in S}$${\displaystyle S_{z}\cong \gamma }$${\displaystyle z}$${\displaystyle S\cong \gamma }$

จำนวนลำดับทุกจำนวนเป็นหนึ่งในสามประเภท ได้แก่ จำนวนลำดับที่ศูนย์ จำนวนลำดับถัดไป หรือจำนวนลำดับจำกัด

• ศูนย์ : ลำดับที่น้อยที่สุดคือลำดับที่น้อยที่สุด${\displaystyle 0=\emptyset }$
• จำนวนเชิงลำดับที่สืบทอด : จำนวนเชิงลำดับหนึ่งจะเป็นจำนวนเชิงลำดับที่สืบทอดได้ก็ต่อเมื่อสำหรับจำนวนเชิงลำดับบางจำนวนในกรณีนี้คือองค์ประกอบสูงสุดของ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =S(\beta )=\beta \cup \{\beta \}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$
• จำนวนเชิงอันดับจำกัด : จำนวนเชิงอันดับจะเป็นจำนวนเชิงอันดับจำกัดก็ต่อเมื่อและไม่ใช่จำนวนเชิงอันดับต่อเนื่อง${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \lambda }$

มีความแตกต่างในคำจำกัดความของลำดับลิมิตเกี่ยวกับการรวมศูนย์ ตำราบางเล่ม เช่นIntroduction to Cardinal Arithmeticโดย Holz et al. กำหนดลำดับลิมิตเป็นลำดับที่ไม่ใช่ศูนย์ที่ไม่ใช่ตัวสืบทอด^{[ 12 ]}ในทางตรงกันข้าม ตำราทฤษฎีเซตมาตรฐานอื่นๆ รวมถึงSet Theory ของ Jech และ Discovering Modern Set Theoryของ Just และ Weese กำหนดลำดับลิมิตอย่างง่ายๆ ว่าเป็นลำดับใดๆ ที่ไม่ใช่ตัวสืบทอด ซึ่งหมายความว่า 0 เป็นลำดับลิมิต^{[ 13 ] [ 14 ]}เมื่อใช้คำจำกัดความทางโทโพโลยี (ตามโทโพโลยีลำดับ ) 0 ไม่ใช่ลำดับลิมิตเพราะไม่ใช่จุดลิมิตของเซตของลำดับที่เล็กกว่า (ซึ่งว่างเปล่า) Linear Orderings ของ Rosenstein ใช้คำจำกัดความนี้^{[ 15 ]}เมื่อรวม 0 เป็นขีดจำกัด ลำดับที่มากกว่า 0 อย่างเคร่งครัดและไม่ใช่ลำดับถัดไปมักจะเรียกว่า "ลำดับที่มีขีดจำกัดไม่เป็นศูนย์"

คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นลักษณะเฉพาะของลำดับลิมิตที่ไม่เป็นศูนย์:

${\displaystyle \lambda }$เป็นลิมิตเชิงอันดับที่ไม่ใช่ศูนย์ก็ต่อเมื่อและสำหรับทุกอันดับ ตัวถัดไปก็มีค่าน้อยกว่าด้วย${\displaystyle \lambda \neq 0}$${\displaystyle \alpha <\lambda }$${\displaystyle S(\alpha )}$${\displaystyle \lambda }$

นี่หมายความว่าจำนวนเชิงอันดับจำกัดที่ไม่เป็นศูนย์จะเท่ากับค่าสูงสุดของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมดที่น้อยกว่ามันอย่างเคร่งครัด:

${\displaystyle \lambda }$เป็นลำดับลิมิตที่ไม่เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อและ${\displaystyle \lambda =\sup\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}=\bigcup \lambda }$${\displaystyle \lambda \neq 0}$

ตัวอย่างเช่น เป็นจำนวนเชิงอันดับลิมิต เพราะจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ตาม ย่อมน้อยกว่าและจำนวนถัดไปของจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็เป็นจำนวนธรรมชาติเช่นกัน (ดังนั้นจึงน้อยกว่า) นอกจาก นี้ยังเป็น จำนวนเชิงอันดับลิมิตที่น้อยที่สุด เพราะจำนวนธรรมชาติแต่ละจำนวนจะ เป็น ศูนย์หรือเป็นจำนวนถัดไปเท่านั้น ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle n\in \omega }$

ลำดับของจำนวนเชิงอันดับใดๆ ที่ลดลงอย่างเคร่งครัดจะ${\displaystyle \alpha _{0}>\alpha _{1}>\alpha _{2}>\cdots }$ต้องเป็นจำนวนจำกัด สิ่งนี้เป็นผลโดยตรงจากการเรียงลำดับตามธรรมชาติของจำนวนเชิงอันดับซึ่งเป็นลำดับที่ดี: หากมีลำดับที่ลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุดเช่นนั้น เซตดังกล่าวจะ${\displaystyle \{\alpha _{i}\mid i\in \mathbb {N} \}}$เป็นเซตของจำนวนเชิงอันดับที่ไม่มีองค์ประกอบที่เล็กที่สุด ด้วยเหตุผลเดียวกัน เซตที่มีลำดับที่ดีจะไม่มีโซ่ที่ลดลงอย่างเคร่งครัดอย่างไม่มีที่สิ้นสุด อันที่จริง หากสมมติว่าสัจพจน์ของการเลือกแบบพึ่งพา ลำดับทั้งหมดใดๆที่ตรงตามเงื่อนไขนี้จะเป็นลำดับที่ดี ซึ่งให้ลักษณะเฉพาะทางเลือกของเซตที่มีลำดับที่ดี^{[ 16 ]}ความจริงที่ว่าสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนธรรมชาติเป็นพื้นฐานของวิธีการพิสูจน์โดยการลดลงอย่างไม่มีที่สิ้นสุด ของแฟร์มาต์ ซึ่งสามารถขยายไปสู่จำนวนเชิงอันดับและคลาสที่มีลำดับที่ดีอื่นๆ ได้เช่นกัน ในฐานะกรณีพิเศษของ การ เหนี่ยว นำแบบอนันต์ซึ่งการพิสูจน์ใดๆต้องการเพียง${\displaystyle P(\alpha )}$สำหรับอย่างมาก${\displaystyle P(\beta )}$ที่สุดหนึ่ง${\displaystyle \beta <\alpha }$เฉพาะ

คุณสมบัตินี้อาจสร้างความประหลาดใจเมื่อค่าเริ่มต้นเป็นลำดับอนันต์ อันที่จริง สำหรับลำดับที่เริ่มต้นจากจำนวนธรรมชาติ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ลำดับที่ยาวที่สุดมักจะเป็นลำดับที่ลดลงทีละ 1 ในแต่ละขั้น ทำให้ได้ลำดับที่มี⁠ ⁠${\displaystyle n}$ขั้น ( ⁠ ⁠${\displaystyle n+1}$องค์ประกอบ) กลยุทธ์การลดลงไปยังตัวก่อนหน้าโดยตรงนี้ยังคงใช้ได้กับลำดับที่ตามมา อย่างไรก็ตาม ลำดับลิมิต⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$ไม่มีตัวก่อนหน้าโดยตรงที่จะลดลงไป ดังนั้นพจน์ถัดไปใดๆ จะต้องกระโดดไปยัง⁠ ⁠${\displaystyle \beta <\lambda }$ บางค่า โดยข้ามลำดับอนันต์จำนวนมากระหว่าง⁠ ⁠${\displaystyle \beta }$และ⁠ ⁠${\displaystyle \lambda }$ อย่างเคร่งครัด ตัวอย่างเช่น เมื่อลดลงจาก⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$เราต้องเลือกจำนวนธรรมชาติที่จำกัด และด้วยเหตุนี้จึง "ผูกมัด" กับจำนวนขั้นที่เหลือสูงสุด การลงจาก⁠ ⁠${\displaystyle \omega \cdot k}$ช่วยให้สามารถผูกมัดได้⁠ ⁠${\displaystyle k}$ครั้ง และการลงจาก⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{2}}$ช่วยให้สามารถผูกมัดกับค่าจำกัดของ⁠ ⁠${\displaystyle k}$ได้ ลำดับที่ใหญ่กว่าอาจอนุญาตให้มีโครงสร้างการตัดสินใจที่ซับซ้อนมากขึ้น แต่จำนวนขั้นตอนการลงยังคงไม่จำกัดแต่จำกัด^{[ 17 ]}

คุณสมบัตินี้มีประโยชน์สำหรับการพิสูจน์การสิ้นสุดของกระบวนการใดๆ หากสถานะของการคำนวณ (โปรแกรมคอมพิวเตอร์หรือเกม) สามารถเรียงลำดับได้อย่างดี กล่าวคือแต่ละขั้นตอนจะตามด้วยขั้นตอนที่ "ต่ำกว่า" การคำนวณนั้นก็จะสิ้นสุดลง

ถ้าเป็นจำนวนเชิงอันดับใดๆ และเป็นเซตลำดับของสมาชิกในเซต ที่มีดัชนีเป็นจำนวนเชิงอันดับจะเป็นฟังก์ชันจากไปยังแนวคิดนี้ เรียกว่าลำดับ อนันต์ (ถ้าเป็นอนันต์) หรือลำดับที่มีดัชนีเป็น จำนวนเชิงอันดับ ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของลำดับธรรมดา ลำดับธรรมดาจะสอดคล้องกับกรณีในขณะที่ลำดับจำกัดจะสอดคล้องกับทูเปิลหรือสตริง${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =\omega }$${\displaystyle \alpha }$

ลำดับที่จัดทำดัชนีโดยลำดับเฉพาะตัวหนึ่งเป็นเซต ในขณะที่ลำดับที่จัดทำดัชนีโดยกลุ่มของลำดับทั้งหมดเป็นกลุ่มที่แท้จริงแผนผังสัจพจน์ของการแทนที่รับประกันว่าส่วนเริ่มต้นใดๆ ของลำดับกลุ่มดังกล่าว (การจำกัดฟังก์ชันให้อยู่กับลำดับเฉพาะตัวหนึ่ง) เป็นเซต ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \delta }$

เมื่อลำดับอนันต์ของจำนวนเชิงอันดับถูกกำหนดดัชนีโดยจำนวนเชิงอันดับลิมิตและลำดับนั้นเพิ่มขึ้น (เช่น) ลิมิตของ ลำดับนั้น จะถูกกำหนดให้เป็นขอบเขตบนน้อยที่สุดของเซต${\displaystyle \langle x_{\iota }\mid \iota <\lambda \rangle }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \iota <\rho \implies x_{\iota }<x_{\rho }}$${\displaystyle \{x_{\iota }\mid \iota <\lambda \}}$

ลำดับอนันต์ที่แปลงลำดับ เชิงอันดับไปเป็นลำดับเชิงอันดับอื่น ๆ จะเรียกว่าต่อเนื่อง (ในโทโพโลยีเชิงอันดับ) ถ้าสำหรับลำดับเชิงอันดับลิมิตทุกตัวในโดเมนของมัน ${\displaystyle f}$${\displaystyle \lambda }$

• ถ้าf (λ) เป็นลำดับลิมิต และสำหรับทุก ε < f (λ) จะมี δ < λ อยู่เช่นนั้น สำหรับทุก γ ถ้า δ < γ < λ แล้ว ε < f (γ) ≤ f (λ) และ
• ถ้าf (λ) ไม่ใช่ลิมิตออร์ดินัล จะมี δ < λ อยู่จริง โดยที่สำหรับทุก γ ถ้า δ < γ < λ แล้วf (γ) = f (λ)

ลำดับเรียกว่าลำดับปกติถ้าลำดับนั้นเป็นลำดับเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและต่อเนื่อง ถ้าลำดับfเป็นลำดับเพิ่มขึ้น (ไม่จำเป็นต้องเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด) และต่อเนื่อง และ λ เป็นลำดับลิมิตแล้ว ${\displaystyle f(\lambda )=\bigcup _{\beta <\lambda }f(\beta )}$

การอุปนัยแบบอนันต์ใช้ได้กับ เซต ที่มีลำดับที่ดี ใดๆ แต่มีความสำคัญอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวข้องกับลำดับ จึงควรกล่าวซ้ำอีกครั้งในที่นี้

คุณสมบัติใดๆ ที่ถ่ายทอดจากเซตของลำดับที่เล็กกว่าลำดับที่กำหนดให้ α ไปยัง α เอง จะเป็นจริงสำหรับลำดับทั้งหมด

นั่นคือ ถ้าP (α) เป็นจริงเมื่อใดก็ตามที่P (β) เป็นจริงสำหรับβ < α ทั้งหมด แล้วP (α) จะเป็นจริงสำหรับ α ทั้งหมดหรือในทางปฏิบัติมากขึ้น: เพื่อพิสูจน์คุณสมบัติPสำหรับลำดับ α ทั้งหมด เราสามารถสมมติว่าคุณสมบัตินั้นเป็นที่รู้จักอยู่แล้วสำหรับβ < αที่ เล็กกว่าทั้งหมด ^{[ 6 ]}

การอุปนัยแบบอนันต์ไม่เพียงแต่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทเท่านั้น แต่ยังใช้ในการกำหนดฟังก์ชันบนจำนวนเชิงอันดับได้อีกด้วย ซึ่งเรียกว่าการเรียกซ้ำแบบอนันต์

ตามหลักการแล้ว ฟังก์ชันFถูกกำหนดโดยการเรียกซ้ำแบบอนันต์บนลำดับ ถ้าสำหรับลำดับα ทุกตัว ค่า⁠ ⁠${\displaystyle F(\alpha )}$จะถูกระบุโดยใช้เซตของค่า ${\displaystyle \{F(\beta )\mid \beta <\alpha \}}$

บ่อยครั้งที่เมื่อกำหนดฟังก์ชันFโดยใช้การเรียกซ้ำแบบอนันต์บนจำนวนเชิงอันดับทั้งหมด การกำหนดนั้นจะถูกแยกออกเป็นกรณีต่างๆ โดยพิจารณาจากประเภทของจำนวนเชิงอันดับ:

1. กรณีพื้นฐาน : กำหนดค่า.${\displaystyle F(0)}$
2. ขั้นตอนถัดไป : กำหนดสมมติฐานว่าได้มีการกำหนดไว้แล้ว${\displaystyle F(\alpha +1)}$${\displaystyle F(\alpha )}$
3. ขั้นตอนลิมิต : สำหรับลิมิตเชิงอันดับให้กำหนดเป็นลิมิตของสำหรับทุก(ไม่ว่าจะเป็นในแง่ของลิมิตเชิงอันดับหรือแนวคิดอื่น ๆ ของลิมิต หากโดเมนร่วมอนุญาต)${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle F(\lambda )}$${\displaystyle F(\beta )}$${\displaystyle \beta <\lambda }$

ขั้นตอนที่น่าสนใจในนิยามมักจะเป็นขั้นตอนถัดไป ถ้าลิมิตของลำดับถูกกำหนดให้เป็นลิมิตสูงสุดของสำหรับและมีค่าเป็นลำดับ และเป็นฟังก์ชันไม่ลดลง ฟังก์ชันนั้นจะต่อเนื่องตามที่นิยามไว้ข้างต้น การบวก การคูณ และการยกกำลังของลำดับนั้นต่อเนื่องในฐานะฟังก์ชันของตัวแปรตัวที่สอง ${\displaystyle F(\alpha )}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle F(\beta )}$${\displaystyle \beta <\alpha }$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

การมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของฟังก์ชันดังกล่าวได้รับการพิสูจน์โดยการสร้างฟังก์ชันนั้นขึ้นมาจากการรวมกันของการประมาณค่าบางส่วน การพิสูจน์ดำเนินไปในสามขั้นตอน:

1. การมีอยู่เฉพาะที่:สำหรับลำดับδ ใดๆ ก็ตาม จะ มีการพิสูจน์การมีอยู่ของ "ส่วนของการเรียกซ้ำ" ที่ไม่ซ้ำกัน ซึ่งเป็นฟังก์ชันที่กำหนดบนδที่สอดคล้องกับกฎการเรียกซ้ำสำหรับทุก⁠ ⁠${\displaystyle \beta <\delta }$
2. ความเป็นเอกลักษณ์และความเข้ากันได้:สามารถพิสูจน์ได้ว่าเซ็กเมนต์การเรียกซ้ำสองเซ็กเมนต์ใดๆ ก็ตามจะเห็นพ้องต้องกันในโดเมนร่วมกัน หาก⁠ ⁠${\displaystyle g_{1}}$เป็นเซ็กเมนต์บน⁠ ⁠${\displaystyle \delta _{1}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle g_{2}}$เป็นเซ็กเมนต์บน⁠ ⁠${\displaystyle \delta _{2}}$ ที่ มี⁠ ⁠ แล้ว${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$ ⁠ ⁠ ที่${\displaystyle g_{2}}$จำกัดให้อยู่บน⁠ ⁠${\displaystyle \delta _{1}}$จะเหมือนกับ⁠ ⁠${\displaystyle g_{1}}$
3. นิยามโดยรวม:ฟังก์ชันคลาสโดยรวมF ถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของเซ็กเมนต์การเรียกซ้ำที่ไม่ซ้ำกันทั้งหมด สำหรับลำดับα ใดๆ ค่า⁠ ⁠${\displaystyle F(\alpha )}$คือค่าที่กำหนดให้กับαโดยเซ็กเมนต์การเรียกซ้ำใดๆ ที่กำหนดไว้บนโดเมนที่ใหญ่กว่าα

การให้เหตุผลอย่างเข้มงวดสำหรับการดำรงอยู่เฉพาะที่นั้นอาศัยแผนผังสัจพจน์ของการแทนที่สำหรับขั้นตอนของลำดับลิมิตเพื่อรวบรวมส่วนของการเรียกซ้ำเข้าเป็นเซต

โครงสร้างนี้ช่วยให้คำจำกัดความต่างๆ เช่น การบวก การคูณ และการยกกำลังตามลำดับ มีความแม่นยำ ตัวอย่างเช่น การยกกำลัง⁠ ⁠${\displaystyle \alpha ^{\beta }}$ถูกกำหนดแบบเวียนซ้ำบนβ :

• ${\displaystyle \alpha ^{0}=1}$
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta +1}=\alpha ^{\beta }\cdot \alpha }$(สำหรับลำดับที่สืบทอดต่อมา)
• ${\displaystyle \alpha ^{\lambda }=\bigcup _{0<\beta <\lambda }\alpha ^{\beta }}$(สำหรับลำดับลิมิตλ )

หลักการของการเรียกซ้ำแบบอนันต์ยังหมายความว่าการเรียกซ้ำสามารถทำได้จนถึงลำดับที่เฉพาะเจาะจง(ซึ่งกำหนดเซตแทนที่จะเป็นคลาสที่แท้จริง) หลักการนี้มักใช้ในการกำหนดลำดับที่มีความยาวn ตัวอย่างเช่น เพื่อพิสูจน์ว่าฟังก์ชันปกติมีจุดตรึง ขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ เราสร้างลำดับที่เริ่มต้นด้วยลำดับใดๆและกำหนดโดยการเรียกซ้ำบนจากนั้นลิมิตจะเป็นจุดตรึงของเพราะความต่อเนื่องรับประกันว่า ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \gamma _{0}}$${\displaystyle \gamma _{n+1}=f(\gamma _{n})}$${\displaystyle n<\omega }$${\displaystyle \delta =\sup _{n<\omega }\gamma _{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\delta )=f(\sup \gamma _{n})=\sup f(\gamma _{n})=\sup \gamma _{n+1}=\delta }$

เซตที่มีลำดับที่ดีใดๆ จะคล้ายคลึงกัน (สมมาตรเชิงลำดับ) กับจำนวนเชิงอันดับที่ไม่ซ้ำกันกล่าวคือ สมาชิกของเซตนั้นสามารถระบุลำดับได้โดยใช้จำนวนเชิงอันดับที่น้อยกว่า⁠ ⁠ โดยเรียงลำดับ จากน้อยไปมาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สิ่งนี้ใช้ได้กับเซตของจำนวนเชิงอันดับใดๆ เซตของจำนวนเชิงอันดับใดๆ สามารถระบุลำดับได้โดยใช้จำนวนเชิงอันดับที่น้อยกว่า⁠ ⁠ บาง ค่า เช่นเดียวกันนี้ใช้ได้กับกลุ่มของจำนวนเชิงอันดับ (กลุ่มของจำนวนเชิงอันดับ ซึ่งอาจมีขนาดใหญ่เกินกว่าจะเป็นเซตได้ กำหนดโดยคุณสมบัติบางอย่าง) โดยมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย กลุ่มของจำนวนเชิงอันดับใดๆ สามารถระบุลำดับได้โดยใช้จำนวนเชิงอันดับ (และเมื่อกลุ่มนั้นไม่มีขอบเขตในกลุ่มของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมด สิ่งนี้จะทำให้กลุ่มนั้นมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับกลุ่มของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมด) ดังนั้นสมาชิกลำดับที่ n ในกลุ่ม (โดยมีข้อตกลงว่า "ลำดับที่ 0" คือสมาชิกที่เล็กที่สุด "ลำดับที่ 1" คือสมาชิกที่เล็กที่สุดถัดไป และอื่นๆ) สามารถกล่าวถึงได้อย่างอิสระ ตามหลักการแล้ว นิยามนี้มาจากการอุปนัยอนันต์: องค์ประกอบ ที่ -th ของคลาสถูกกำหนด (โดยมีเงื่อนไขว่าได้มีการกำหนดไว้แล้วสำหรับทุก) ว่าเป็นองค์ประกอบที่เล็กที่สุดที่มากกว่าองค์ประกอบที่ -th สำหรับทุก⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \beta <\gamma }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta <\gamma }$

ตัวอย่างเช่น สามารถนำไปประยุกต์ใช้กับกลุ่มของจำนวนเชิงอันดับลิมิตได้: จำนวนเชิงอันดับที่ n ซึ่งเป็นได้ทั้งลิมิตหรือศูนย์ คือ(ดูพีชคณิตเชิงอันดับสำหรับนิยามของการคูณจำนวนเชิงอันดับ) ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิจารณาจำนวนเชิงอันดับที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ด้วยการ บวก (หมายถึงจำนวนเชิงอันดับที่ไม่ใช่ศูนย์ซึ่งไม่ใช่ผลรวมของจำนวนเชิงอันดับที่เล็กกว่าอย่างเคร่งครัดสองจำนวน): จำนวนเชิงอันดับที่ไม่สามารถแยกส่วนได้ด้วยการบวกที่ n จะถูกกำหนดดัชนีเป็น⁠ ⁠เทคนิคการกำหนดดัชนีกลุ่มของจำนวนเชิงอันดับมักมีประโยชน์ในบริบทของจุดตรึง: ตัวอย่างเช่นจำนวนเชิงอันดับที่ n ซึ่งจะเขียนเป็น⁠ ⁠สิ่งเหล่านี้เรียกว่า " จำนวนเอปไซลอน " ${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega \cdot \gamma }$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \omega ^{\gamma }}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \varepsilon _{\gamma }}$

โดยทั่วไปแล้ว การดำเนินการกับจำนวนเชิงอันดับมีสามอย่าง ได้แก่ การบวก การคูณ และการยกกำลัง แต่ละอย่างสามารถกำหนดได้สองวิธีหลักๆ คือ โดยการสร้างเซตที่มีลำดับชัดเจนที่แสดงถึงการดำเนินการ หรือโดยการใช้การเรียกซ้ำแบบอนันต์รูปแบบปกติของแคนเตอร์ เป็นวิธีการเขียนจำนวนเชิงอันดับแบบมาตรฐาน โดยแสดงจำนวนเชิงอันดับแต่ละจำนวนเป็นผลรวมจำกัดของกำลังเชิงอันดับของ ω อย่างไม่ซ้ำกัน อย่างไรก็ตาม วิธี นี้ ไม่สามารถเป็นพื้นฐานของสัญกรณ์จำนวนเชิงอันดับสากลได้ เนื่องจากมีการแสดงแบบอ้างอิงตนเอง เช่น ε ₀ = ω ^{ε ₀}

จำนวนเชิงอันดับเป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มจำนวนเหนือจริงและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่เรียกว่า "ธรรมชาติ" สำหรับจำนวนเหนือจริงนั้นเป็นอีกวิธีหนึ่งในการรวมจำนวนเชิงอันดับเข้าด้วยกันทางคณิตศาสตร์ โดยยังคงคุณสมบัติการสลับที่ไว้ได้ แต่เสียคุณสมบัติความต่อเนื่องไป

เมื่อตีความว่าเป็นนิมเบอร์ซึ่งเป็นรูปแบบหนึ่งของจำนวนในทฤษฎีเกม จำนวนเชิงอันดับสามารถนำมารวมกันได้โดยใช้การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของนิมเบอร์ การดำเนินการเหล่านี้มีคุณสมบัติการสลับที่ได้ แต่ข้อจำกัดที่ใช้กับจำนวนธรรมชาติโดยทั่วไปจะไม่เหมือนกับการบวกจำนวนธรรมชาติทั่วไป

จำนวนเชิงอันดับแต่ละจำนวนจะสัมพันธ์กับ จำนวนเชิง คาร์ดินัล หนึ่งจำนวน ซึ่งเรียกว่า จำนวนสมาชิกของเซตนั้น ถ้ามีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจำนวนเชิงอันดับสองจำนวน (เช่นω = 1 + ωและω + 1 > ω ) จำนวนเชิงอันดับทั้งสองนั้นจะสัมพันธ์กับจำนวนเชิงคาร์ดินัลเดียวกัน เซตที่มีลำดับดีใดๆ ที่มีจำนวนเชิงอันดับเป็นประเภทลำดับ จะมีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนเชิงอันดับนั้น จำนวนเชิงอันดับที่น้อยที่สุดที่สัมพันธ์กับจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่กำหนด เรียกว่าจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้นของจำนวนเชิงคาร์ดินัลนั้น จำนวนเชิงอันดับจำกัดทุกจำนวน (จำนวนธรรมชาติ) เป็นจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้น และไม่มีจำนวนเชิงอันดับอื่นใดที่สัมพันธ์กับจำนวนเชิงคาร์ดินัลของมัน แต่จำนวนเชิงอันดับอนันต์ส่วนใหญ่ไม่ใช่จำนวนเชิงอันดับเริ่มต้น เนื่องจากจำนวนเชิงอันดับอนันต์จำนวนมากสัมพันธ์กับจำนวนเชิงคาร์ดินัลเดียวกันสัจพจน์ของการเลือกเทียบเท่ากับข้อความที่ว่าทุกเซตสามารถมีลำดับดีได้ กล่าวคือ จำนวนเชิงคาร์ดินัลทุกจำนวนมีจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้น ในทฤษฎีที่มีสัจพจน์ของการเลือก จำนวนเชิงคาร์ดินัลของเซตใดๆ จะมีจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้น และเราสามารถใช้การกำหนดจำนวนเชิงคาร์ดินัลของฟอน นอยมันน์เป็นตัวแทนของจำนวนเชิงคาร์ดินัลได้ (อย่างไรก็ตาม เราต้องระมัดระวังในการแยกแยะระหว่างเลขคณิตเชิงคาร์ดินัลและเลขคณิตเชิงลำดับ) ในทฤษฎีเซตที่ไม่มีสัจพจน์ของการเลือก คาร์ดินัลอาจถูกแทนด้วยเซตของเซตที่มีขนาดเท่ากับจำนวนนั้นและมีอันดับต่ำสุด (ดูเทคนิคของสก็อตต์ )

ปัญหาอย่างหนึ่งของเทคนิคของสก็อตต์คือ มันระบุจำนวนเชิงคาร์ดินัลกับ⁠ ⁠ซึ่งในบางรูปแบบก็คือจำนวนเชิงอันดับ⁠ ⁠อาจจะชัดเจนกว่าหากใช้การกำหนดจำนวนเชิงคาร์ดินัลของฟอน นอยมันน์กับกรณีจำกัด และใช้เทคนิคของสก็อตต์กับเซตที่เป็นอนันต์หรือไม่สามารถเรียงลำดับได้ดี โปรดทราบว่าเลขคณิตเชิงคาร์ดินัลและเชิงอันดับนั้นสอดคล้องกันสำหรับจำนวนจำกัด ${\displaystyle 0}$${\displaystyle \{\emptyset \}}$${\displaystyle 1}$

จำนวนเชิงอนันต์เริ่มต้นลำดับที่ α เขียนว่า ⁠ ⁠${\displaystyle \omega _{\alpha }}$ซึ่งเป็นจำนวนเชิงลิมิตเสมอ จำนวนสมาชิกของมันเขียนว่า⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$ตัวอย่างเช่น จำนวนสมาชิกของ ω ₀ = ω คือ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$ซึ่งเป็นจำนวนสมาชิกของ ω ²หรือ ε ₀ ด้วย (ทั้งหมดเป็นจำนวนเชิงนับได้) ดังนั้น ω สามารถระบุได้ว่าเป็น⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{0}}$ยกเว้นว่าใช้สัญลักษณ์เมื่อเขียนจำนวนเชิงปริมาณ และใช้ ω เมื่อเขียนจำนวนเชิงลำดับ (นี่เป็นสิ่งสำคัญเนื่องจาก ตัวอย่างเช่น= ในขณะที่) นอกจากนี้ ยังเป็นลำดับที่เล็กที่สุดที่นับไม่ได้ (เพื่อดูว่ามีอยู่จริงหรือไม่ ให้พิจารณาเซตของชั้นสมมูลของการเรียงลำดับที่ดีของจำนวนธรรมชาติ: การเรียงลำดับที่ดีแต่ละแบบจะกำหนดลำดับที่นับได้ และเป็นประเภทลำดับของเซตนั้น) ยังเป็นลำดับที่เล็กที่สุดที่มีจำนวนสมาชิกมากกว่าและอื่นๆ และยังเป็นลิมิตของสำหรับจำนวนธรรมชาติn (ลิมิตของจำนวนสมาชิกใดๆ ก็เป็นจำนวนสมาชิก ดังนั้นลิมิตนี้จึงเป็นจำนวนสมาชิกตัวแรกหลังจากทั้งหมด) ${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{0}^{2}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \omega ^{2}>\omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$${\displaystyle \omega _{n}}$${\displaystyle \omega _{n}}$

ความร่วมสุดท้าย (cofinality)ของลำดับ (ordinal) คือลำดับที่เล็กที่สุดที่เป็นประเภทลำดับ (order type) ของเซต ย่อย ร่วมสุดท้ายของโปรดสังเกตว่าผู้เขียนหลายท่านกำหนดนิยามของความร่วมสุดท้ายหรือใช้ความร่วมสุดท้ายเฉพาะกับลำดับลิมิตเท่านั้น ความร่วมสุดท้ายของเซตของลำดับหรือเซตที่มีลำดับที่ดีอื่นๆ คือความร่วมสุดท้ายของประเภทลำดับของเซตนั้น ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha }$

ดังนั้น สำหรับลำดับลิมิต จะมีลำดับเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดที่มีดัชนีเป็น ω อยู่ โดยมีลิมิต เป็น ω ⁠ ⁠ ตัวอย่างเช่น โคฟินาลิตี้ของ ω ²คือ ω เพราะลำดับ ω· m (โดยที่mครอบคลุมจำนวนธรรมชาติ) มีแนวโน้มเข้าสู่ ω ²แต่โดยทั่วไปแล้ว ลำดับลิมิตที่นับได้ใดๆ ก็มีโคฟินาลิตี้เป็น ω ลำดับลิมิตที่นับไม่ได้อาจมีโคฟินาลิตี้เป็น ω เช่นเดียวกับหรืออาจมีโคฟินาลิตี้ที่นับไม่ได้ก็ได้ ${\displaystyle \delta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{\omega }}$

ค่าโคฟินาลิตี้ของ 0 คือ 0 และค่าโคฟินาลิตี้ของลำดับถัดไปใดๆ คือ 1 ค่าโคฟินาลิตี้ของลำดับลิมิตใดๆ มีค่าอย่างน้อย⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$ .

จำนวนเชิงอันดับที่มีค่าเท่ากับค่าร่วมปลายของมันเรียกว่าจำนวนเชิงอันดับปกติและมันเป็นจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้นเสมอ ลิมิตใดๆ ของจำนวนเชิงอันดับปกติก็เป็นลิมิตของจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้น และดังนั้นจึงเป็นจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้นด้วย แม้ว่ามันจะไม่ใช่จำนวนเชิงอันดับปกติ ซึ่งโดยปกติแล้วมันก็ไม่ใช่ ถ้าสัจพจน์ของการเลือกเป็นจริงจะเป็นจำนวนเชิงอันดับปกติสำหรับแต่ละαในกรณีนี้ จำนวนเชิงอันดับ 0, 1, ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , และเป็นจำนวนเชิงอันดับปกติ ในขณะที่ 2, 3, ⁠ ⁠ , และ ω _ω·2เป็นจำนวนเชิงอันดับเริ่มต้นที่ไม่ใช่จำนวนเชิงอันดับปกติ ${\displaystyle \omega _{\alpha +1}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \omega _{\omega }}$

ความร่วมสุดท้าย (cofinality) ของลำดับα ใดๆ ก็ตาม เป็นลำดับปกติ กล่าวคือ ความร่วมสุดท้ายของความร่วมสุดท้ายของαนั้นเหมือนกับความร่วมสุดท้ายของαดังนั้น การดำเนินการความร่วมสุดท้ายจึงเป็นการดำเนินการที่สมมูลตัวเอง (idempotent )

แนวคิดเรื่องเซตปิดและเซตไม่จำกัดมักถูกกำหนดขึ้นสำหรับเซตย่อยของจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติ ที่ไม่สามารถนับได้ เซตย่อยจะเรียกว่าไม่จำกัด (หรือโคฟินัล) ในถ้าสำหรับทุกจำนวนเชิงอันดับn จะมีบางn ที่ทำให้n = n ในการกำหนดคุณสมบัติของการเป็นเซตปิด ก่อนอื่นต้องกำหนดจุดลิมิต: จำนวนเชิงอันดับที่ไม่เป็นศูนย์เป็นจุดลิมิตของถ้า n = nเซตปิดในถ้ามันประกอบด้วยจุดลิมิตทั้งหมดของเซตนั้นที่อยู่ต่ำกว่า n เซตที่ทั้งปิดและไม่จำกัดมักเรียกว่าเซต คลับ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle C\subseteq \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \alpha <\kappa }$${\displaystyle \beta \in C}$${\displaystyle \alpha <\beta }$${\displaystyle \delta <\kappa }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \sup(C\cap \delta )=\delta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

ตัวอย่างของเซตคลับเป็นพื้นฐานสำคัญของทฤษฎีเซต เซตของจำนวนเชิงลิมิต ทั้งหมด ที่น้อยกว่าเป็นเซตคลับ เนื่องจากมีจำนวนเชิงลิมิตที่มากกว่าจำนวนเชิงลิมิตใดๆ ที่อยู่ต่ำกว่า เสมอและลิมิตของจำนวนเชิงลิมิตเองก็เป็นจำนวนเชิงลิมิต ถ้าเป็นจำนวนเชิงลิมิต เซตของจำนวนเชิงลิมิต ทั้งหมด ที่อยู่ต่ำกว่าจะไม่มีขอบเขต และเซตของจุดลิมิต— จำนวนเชิงลิมิต —จะก่อตัวเป็นเซตปิดที่ไม่มีขอบเขต ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าเป็นจำนวนเชิงลิมิตที่เข้มงวด (เช่นจำนวนเชิงลิมิตที่เข้าถึงไม่ได้ ) เซตของจำนวนเชิงลิมิตที่เข้มงวดที่อยู่ต่ำกว่าก็เป็นเซตคลับด้วย ตัวอย่างที่สำคัญอีกประการหนึ่งเกิดขึ้นจากฟังก์ชันปกติ (ฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและต่อเนื่อง) พิสัยของฟังก์ชันปกติใดๆ เป็นเซตย่อยปิดที่ไม่มีขอบเขตของ ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle f:\kappa \to \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

เซตคลับมีคุณสมบัติเชิงโครงสร้างที่ทำให้สามารถสร้างตัวกรองได้เนื่องจากเซตคลับเป็นเซตปกติและนับไม่ได้ การตัดกันของเซตคลับสองเซตใดๆ ก็จะเป็นเซตคลับเช่นกัน โดยทั่วไปแล้ว การตัดกันของเซตคลับน้อยกว่าเซตคลับก็จะเป็นเซตคลับเช่นกัน ด้วยเหตุนี้ การรวบรวมเซตย่อยทั้งหมดของเซตคลับที่ประกอบด้วยเซตคลับจึงก่อให้เกิดตัวกรองที่ไม่ใช่หลักที่สมบูรณ์แบบในระดับ -complete ซึ่งรู้จักกันในชื่อตัวกรองปิดที่ไม่จำกัดขอบเขต (หรือตัวกรองคลับ ) ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$

เซตย่อยหนึ่งเรียกว่า เซต คงที่ (stationary set) ถ้ามันมีส่วนร่วมที่ไม่ว่างเปล่ากับทุกเซตปิดที่ไม่จำกัดขอบเขตในโดยทั่วไปแล้ว เซตคงที่นั้นมีขนาด "ใหญ่" พอที่จะไม่สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยเซตคลับ (club set) ใดๆ เมื่อใช้สัญลักษณ์ของตัวกรอง (filter) เซตหนึ่งจะเป็นเซตคงที่ก็ต่อเมื่อมันไม่ได้อยู่ในอุดมคติคู่ (dual ideal) ของตัวกรองคลับ (อุดมคติของเซตที่ไม่คงที่) ถึงแม้ว่าทุกเซตคลับจะเป็นเซตคงที่ แต่ไม่ใช่ทุกเซตคงที่จะเป็นเซตคลับ ตัวอย่างเช่น เซตคงที่อาจไม่ใช่เซตปิด นอกจากนี้ ในขณะที่ส่วนร่วมของเซตคงที่และเซตคลับเป็นเซตคงที่ แต่ส่วนร่วมของเซตคงที่สองเซตอาจว่างเปล่า ${\displaystyle S\subseteq \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle S}$

ความแตกต่างระหว่างเซตคลับและเซตคงที่เป็นหัวใจสำคัญของคำจำกัดความของจำนวนคาร์ดินัลขนาดใหญ่ บางจำนวน ถ้าเป็นจำนวนคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้ ที่เล็กที่สุด เซตของจำนวนคาร์ดินัลลิมิตที่แข็งแกร่งเอกพจน์ที่อยู่ต่ำกว่าจะก่อให้เกิดเซตปิดที่ไม่มีขอบเขต เนื่องจากเซตคลับนี้ไม่มีจำนวนคาร์ดินัลปกติ เซตของจำนวนคาร์ดินัลปกติที่อยู่ต่ำกว่าจำนวนคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้ตัวแรกจึงไม่ใช่เซตคงที่ ข้อเท็จจริงนี้ยังคงเป็นจริงถ้าเป็นจำนวนคาร์ดินัลที่เข้าถึงไม่ได้ลำดับที่ สำหรับบางค่า จำนวนคาร์ดินัลปกติที่อยู่ต่ำกว่าจะไม่ก่อให้เกิดเซตคงที่ จำนวนคาร์ดินัลจะถูกนิยามว่าเป็นจำนวนคาร์ดินัล Mahloก็ต่อเมื่อเซตของจำนวนคาร์ดินัลปกติที่อยู่ต่ำกว่านั้นเป็นเซตคงที่ โดยการผ่อนปรนเงื่อนไขเกี่ยวกับจำนวนคาร์ดินัลลิมิต เราสามารถนิยามจำนวนคาร์ดินัล ว่าเป็นMahlo แบบอ่อนได้ถ้าจำนวนคาร์ดินัลนั้นเข้าถึงไม่ได้แบบอ่อนและเซตของจำนวนคาร์ดินัลปกติที่อยู่ต่ำกว่านั้นเป็นเซตคงที่ ${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n<\kappa }$${\displaystyle \kappa }$

ตัวกรองแบบปิดที่ไม่จำกัดขอบเขตไม่ใช่ตัวกรองพิเศษภายใต้ทฤษฎีเซต Zermelo–Fraenkel มาตรฐานที่มีสัจพจน์ของการเลือก (ZFC) เนื่องจากสามารถหาเซตคงที่ที่ไม่ซ้ำกันได้สองเซต ซึ่งทำให้ตัวกรองไม่สามารถตัดสินสมาชิกภาพสำหรับทุกเซตย่อยได้ สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัลปกติใดๆเซตของจำนวนเชิงลำดับที่มีcofinalityและเซตของจำนวนเชิงลำดับที่มี cofinality เป็นเซตย่อยคงที่ที่ไม่ซ้ำกันของในกรณีเฉพาะของการไม่มีอยู่ของตัวกรองพิเศษขึ้นอยู่กับสัจพจน์ของการเลือกภายใต้ ZFC เซตของจำนวนเชิงลำดับลิมิตในสามารถแบ่งออกเป็นเซตคงที่ที่ไม่ซ้ำกันได้ (ผลลัพธ์ที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของ Fodor ) อย่างไรก็ตาม ในแบบจำลองของทฤษฎีเซตที่ไม่มีสัจพจน์ของการเลือก เช่น แบบจำลองที่สอดคล้องกับสัจพจน์ของการกำหนดตัวกรองคลับบนสามารถเป็นตัวกรองพิเศษได้ ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่เชื่อมโยงกับการเป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัลที่วัดได้ในบริบทเหล่านั้น ${\displaystyle \kappa >\omega _{1}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa =\omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

นิยามเหล่านี้สามารถขยายไปสู่กลุ่มของจำนวนเชิงอันดับได้ กลุ่มของจำนวนเชิงอันดับจะเรียกว่าไม่จำกัดขอบเขตหากประกอบด้วยจำนวนเชิงอันดับขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ และจะเรียกว่าปิดขอบเขตหากลิมิตของลำดับจำนวนเชิงอันดับใดๆ ในกลุ่มนั้นก็อยู่ในกลุ่มนั้นด้วย นิยามเชิงโทโพโลยีนี้เทียบเท่ากับการสมมติว่าฟังก์ชันกลุ่มดัชนีของกลุ่มนั้นต่อเนื่อง ตัวอย่างที่โดดเด่นของกลุ่มที่ไม่จำกัดขอบเขตและปิดขอบเขต ได้แก่ กลุ่มของจำนวนเชิงอันดับอนันต์ทั้งหมด กลุ่มของจำนวนเชิงอันดับลิมิตและกลุ่มของจุดตรึงของฟังก์ชัน ในทางตรงกันข้าม กลุ่มของจำนวนเชิงอันดับปกติไม่จำกัดขอบเขตแต่ไม่ปิดขอบเขต กลุ่มหนึ่งเรียกว่ากลุ่มคงที่หากตัดกับทุกกลุ่มที่ไม่จำกัดขอบเขตและปิดขอบเขต ${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \aleph }$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น (ดูรูปแบบปกติของแคนเตอร์ ) ลำดับ ε ₀คือลำดับที่เล็กที่สุดที่สอดคล้องกับสมการ⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$ดังนั้นจึงเป็นลิมิตของลำดับ 0, 1, ⁠ ⁠${\displaystyle \omega }$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}$เป็นต้น ลำดับจำนวนมากสามารถกำหนดได้ในลักษณะที่เป็นจุดคงที่ของฟังก์ชันลำดับบางอย่าง ( ลำดับที่ n ที่เรียกว่า⁠ ⁠จากนั้นเราสามารถพยายามหาลำดับที่ n ที่⁠ ⁠ต่อไปได้ "และอื่นๆ" แต่ความซับซ้อนทั้งหมดอยู่ที่ "และอื่นๆ") เราสามารถพยายามทำเช่นนี้อย่างเป็นระบบ แต่ไม่ว่าระบบใดจะถูกใช้ในการกำหนดและสร้างลำดับ ก็จะมีจำนวนลำดับหนึ่งที่อยู่เหนือจำนวนลำดับทั้งหมดที่สร้างขึ้นโดยระบบนั้นเสมอ บางทีลำดับที่สำคัญที่สุดที่จำกัดระบบการสร้างในลักษณะนี้คือลำดับChurch–Kleene (ถึงแม้จะมีคำว่า "นับ" อยู่ในชื่อ แต่ลำดับนี้สามารถนับได้) ซึ่งเป็นลำดับที่เล็กที่สุดที่ไม่ใช่ลำดับที่คำนวณได้ (กล่าวคือ ประเภทลำดับของการเรียงลำดับที่ดีของจำนวนธรรมชาติที่ทำให้ภาคแสดงสามารถคำนวณได้) อย่างไรก็ตาม สามารถกำหนดลำดับขนาดใหญ่กว่ามากได้ด้านล่างซึ่งใช้วัดความแข็งแกร่งเชิงทฤษฎีการพิสูจน์ของระบบที่เป็นทางการ บางระบบ (ตัวอย่างเช่นใช้วัดความแข็งแกร่งของเลขคณิต Peano ) นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดลำดับที่นับได้ขนาดใหญ่ เช่นลำดับที่ยอมรับได้ แบบนับได้ เหนือลำดับ Church-Kleene ซึ่งมีความน่าสนใจในส่วนต่างๆ ของตรรกศาสตร์ ${\displaystyle \iota }$${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \varepsilon _{\iota }}$${\displaystyle \iota }$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle <}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \varepsilon _{0}}$

จำนวนเชิงอันดับใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีได้โดยการกำหนดทอพอโลยีเชิง อันดับให้กับมัน ทอพอโลยีนี้เป็นแบบไม่ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ ω ในทางตรงกันข้าม เซตย่อยของ ω + 1 จะเป็นเซตเปิดในทอพอโลยีเชิงอันดับก็ต่อเมื่อมันเป็น เซต จำกัดร่วมหรือไม่มี ω เป็นสมาชิก

โปรดดู ส่วน "โทโพโลยีและลำดับ " ในบทความ "โทโพโลยีลำดับ"

จำนวนเชิงอนันต์ซึ่งปรากฏครั้งแรกในปี พ.ศ. 2426 ^{[ 18 ]}มีต้นกำเนิดมาจากงานของแคนเตอร์เกี่ยวกับเซตที่ได้มาหากPเป็นเซตของจำนวนจริง เซตที่ได้มาP ′คือเซตของจุดลิมิตของPในปี พ.ศ. 2415 แคนเตอร์สร้างเซตP ^{( n )}โดยการใช้การดำเนินการเซตที่ได้มาnครั้งกับPในปี พ.ศ. 2423 เขาชี้ให้เห็นว่าเซตเหล่านี้ก่อตัวเป็นลำดับP' ⊇ ··· ⊇ P ^{( n )} ⊇ P ^{( n + 1)} ⊇ ···และเขายังคงดำเนินกระบวนการหาอนุพันธ์ต่อไปโดยกำหนดP ^(∞)เป็นจุดตัดของเซตเหล่านี้ จากนั้นเขาทำซ้ำการดำเนินการเซตที่ได้มาและการตัดกันเพื่อขยายลำดับของเซตของเขาไปสู่อนันต์: P ^(∞) ⊇ P ^{(∞ + 1)} ⊇ P ^{(∞ + 2)} ⊇ ··· ⊇ P ^(2∞) ⊇ ··· ⊇ P ^{(∞ 2 )} ⊇ ··· ^{[ 19 ]}ตัวยกที่มี ∞ เป็นเพียงดัชนีที่กำหนดโดยกระบวนการอนุพันธ์^{[ 20 ]}

แคนเตอร์ใช้เซตเหล่านี้ในทฤษฎีบท:

ทฤษฎีบทเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์โดยการแบ่งP ′ออกเป็น เซต ที่ไม่ซ้ำกันเป็นคู่ๆ : P ′ = ( P ′ \ P ⁽²⁾ ) ∪ ( P ( ²⁾ \ P ^{( 3)} ) ∪ ··· ∪ ( P (∞) \ P ^{(∞ + 1)} ) ∪ ··· ∪ P ^{( α )} สำหรับβ < α : เนื่องจากP ^{( β + 1)}ประกอบด้วยจุดลิมิตของP ^{( β )}ดังนั้นเซตP ^{( β )} \ P ^{( β + 1)}จึงไม่มีจุดลิมิต ดังนั้นจึงเป็นเซตแบบไม่ต่อเนื่องจึงนับได้ การพิสูจน์ทฤษฎีบทแรก: ถ้าP ^{( α )} = ∅สำหรับดัชนีα บางตัว แล้วP ′คือการรวมกันแบบนับได้ของเซตแบบนับได้ ดังนั้นP ′จึงนับได้^{[ 21 ]}

ทฤษฎีบทที่สองต้องการการพิสูจน์การมีอยู่ของαที่ทำให้P ^{( α )} = ∅เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ แคนเตอร์พิจารณาเซตของα ทั้งหมด ที่มีบรรพบุรุษที่นับได้ เพื่อกำหนดเซตนี้ เขาได้กำหนดจำนวนเชิงอันดับอนันต์และแปลงดัชนีอนันต์ให้เป็นจำนวนเชิงอันดับโดยการแทนที่ ∞ ด้วยωซึ่งเป็นจำนวนเชิงอันดับอนันต์ตัวแรก แคนเตอร์เรียกเซตของจำนวนเชิงอันดับจำกัดว่าชั้นจำนวน แรก ชั้นจำนวนที่สองคือเซตของจำนวนเชิงอันดับที่มีบรรพบุรุษเป็นเซตอนันต์ที่นับได้ เซตของα ทั้งหมด ที่มีบรรพบุรุษที่นับได้—นั่นคือเซตของจำนวนเชิงอันดับที่นับได้—คือการรวมกันของชั้นจำนวนทั้งสองนี้ แคนเตอร์พิสูจน์ว่าจำนวนสมาชิกของชั้นจำนวนที่สองคือจำนวนสมาชิกที่นับไม่ได้ตัวแรก^{[ 22 ]}

ทฤษฎีบทข้อที่สองของแคนเตอร์คือ: ถ้าP ′เป็นเซตที่นับได้ จะมีลำดับที่นับได้αที่ทำให้P ^{( α )} = ∅การพิสูจน์ใช้การพิสูจน์โดยการขัดแย้งให้P ′เป็นเซตที่นับได้ และสมมติว่าไม่มี α ดังกล่าว สมมติฐานนี้ทำให้เกิดสองกรณี

ในทั้งสองกรณีP ′นับไม่ได้ ซึ่งขัดแย้งกับ ข้อเท็จจริงที่ว่า P ′นับได้ ดังนั้นจึงมีลำดับที่นับได้αเช่นนั้นP ^{( α )} = ∅งานของแคนเตอร์เกี่ยวกับเซตอนุพันธ์และจำนวนเชิงลำดับนำไปสู่ทฤษฎีบทแคนเตอร์-เบนดิกซ์สัน^{[ 24 ]}

โดยใช้ตัวสืบทอด ขีดจำกัด และจำนวนสมาชิก แคนเตอร์ได้สร้างลำดับที่ไม่จำกัดของจำนวนเชิงอันดับและชั้นจำนวน^{[ 25 ]}ชั้น จำนวนลำดับที่ ( α + 1)คือเซตของจำนวนเชิงอันดับซึ่งตัวก่อนหน้าประกอบเป็นเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ ชั้นจำนวนลำดับที่ αจำนวนสมาชิกของชั้นจำนวนลำดับที่( α + 1) คือจำนวนสมาชิกที่อยู่ถัดจากจำนวนสมาชิกของ ชั้นจำนวนลำดับที่α ทันที ^{[ 26 ]}สำหรับจำนวนเชิงอันดับลิมิตαชั้น จำนวนลำดับที่ αคือการรวมกันของ ชั้นจำนวนลำดับที่ βสำหรับβ < α ^{[ 27} ] จำนวนสมาชิกของมันคือลิมิตของจำนวนสมาชิกของชั้นจำนวนเหล่า ^นี้

ถ้าnเป็นจำนวนจำกัด ชั้นจำนวนที่ nจะมีขนาดเท่ากับ⁠ ⁠${\displaystyle \aleph _{n-1}}$ถ้าα ≥ ωชั้นจำนวนที่α จะมีขนาด เท่ากับ⁠ ⁠ ${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$^{[ c ]}ดังนั้น ขนาดสมาชิกของชั้นจำนวนจะสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนอะเลฟนอกจากนี้ ชั้นจำนวนที่ αประกอบด้วยลำดับที่แตกต่างจากลำดับในชั้นจำนวนก่อนหน้าก็ต่อเมื่อαเป็นลำดับที่ไม่ใช่ลิมิต ดังนั้น ชั้นจำนวนที่ไม่ใช่ลิมิตจึงแบ่งลำดับออกเป็นเซตที่ไม่ซ้ำกันเป็นคู่ๆ

• การนับ
• ลำดับคู่และลำดับคี่
• ลำดับที่นับไม่ได้แรก
• พื้นที่ลำดับ
• จำนวนเหนือจริง (Surreal number)คือการขยายแนวคิดของจำนวนเชิงอันดับ (ordinal number) ซึ่งรวมถึงค่าลบ ค่าจริง และค่าอนันต์

ค้นหาคำว่า "ordinal"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี

• "จำนวนลำดับ" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ลำดับขั้นที่ ProvenMath
• โปรแกรม คำนวณลำดับ (Ordinal calculator) เป็นซอฟต์แวร์ฟรี ภายใต้ลิขสิทธิ์ GPLสำหรับการคำนวณด้วยลำดับและสัญลักษณ์ลำดับ
• บทที่ 4 ของบันทึกการบรรยาย เรื่องทฤษฎีเซต ของดอน มังก์ เป็นบทนำเกี่ยวกับจำนวนเชิงอันดับ (ordinals)