ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งใน ทฤษฎี ความสามารถในการคำนวณและทฤษฎีเซตจำนวน เชิงลำดับ ที่คำนวณได้ (หรือแบบเวียนเกิด ) คือจำนวนเชิงลำดับที่สามารถแสดงได้ในรูปของการเรียงลำดับที่ดีที่คำนวณได้ ของจำนวนธรรมชาติ

ลำดับที่⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$สามารถคำนวณได้หากมีลำดับที่ดีที่คำนวณได้⁠ ⁠ของเซตย่อย ที่คำนวณได้ ⁠ ⁠ของจำนวนธรรมชาติที่มีประเภทลำดับ⁠ ⁠ซึ่งหมายความว่าเมื่อกำหนด⁠ ⁠ ใดๆ จะสามารถตัดสินได้ ว่า ⁠ ⁠หรือ ไม่ และเมื่อกำหนด⁠ ⁠ ใดๆ จะสามารถตัดสิน ได้ว่า ⁠ ⁠ หรือ ไม่หรืออีกทางหนึ่ง เงื่อนไขนี้สามารถกำหนดลักษณะได้ด้วยเครื่องจักรทัวริงเครื่อง เดียว ที่ตัดสินว่า⁠ ⁠ หรือไม่ สำหรับ⁠ ⁠ ใด ๆ^{[ 1 ]}${\displaystyle \prec }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle x\in \mathbb {N} }$${\displaystyle x\in S}$${\displaystyle x,y\in S}$${\displaystyle x\prec y}$${\displaystyle x\in S\land y\in S\land x\preceq y}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {N} }$

นิยามที่เทียบเท่ากันอีกประการหนึ่งระบุว่า⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$สามารถคำนวณได้ก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนจำกัดหรือเป็นประเภทลำดับของการเรียงลำดับที่ดีที่คำนวณได้ของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด^{[ 2 ]}ความเทียบเท่านี้เป็นจริงเพราะถ้า⁠ ⁠${\displaystyle S}$เป็นอนันต์และคำนวณได้ เราสามารถคำนวณการจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่ง ⁠ ⁠${\displaystyle f:\mathbb {N} \to S}$ ได้ โดยให้⁠ ⁠${\displaystyle f(n)}$เป็น องค์ประกอบที่ ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ของ⁠ ⁠${\displaystyle S}$ในการเรียงลำดับปกติของจำนวนธรรมชาติ การค้นหาจะหยุดลงเสมอเพราะ⁠ ⁠${\displaystyle S}$เป็นอนันต์ ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \langle S,\prec \rangle }$เป็นการเรียงลำดับที่ดีที่คำนวณได้ที่มีประเภทลำดับ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$แล้วการกำหนด⁠ ⁠${\displaystyle x\prec _{f}y}$ ก็ต่อ เมื่อ⁠ ⁠${\displaystyle f(x)\prec f(y)}$ให้การเรียงลำดับที่ดีที่คำนวณได้⁠ ⁠${\displaystyle \langle \mathbb {N} ,\prec _{f}\rangle }$ที่มีประเภทลำดับเดียวกัน

โดยนิยามแล้ว จำนวนเชิงอันดับคำนวณได้ทั้งหมดสามารถนับได้ในทางกลับกัน สำหรับจำนวนเชิงอันดับนับได้จำนวนมาก พยาน "ตามธรรมชาติ" สำหรับความสามารถในการนับได้ก็เป็นพยานสำหรับความสามารถในการคำนวณได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ลำดับตามธรรมชาติของจำนวนธรรมชาติ${\displaystyle <}$ทั้งหมดมีประเภทลำดับเนื่องจาก${\displaystyle \omega }$มีเครื่องจักรทัวริงที่ตัดสินว่าเป็นจริง${\displaystyle x<y}$นั่นหมายความว่า เป็น จำนวนเชิงอันดับคำนวณ ได้${\displaystyle \omega }$

ตัวอย่างเพิ่มเติมคือ โครงสร้าง "มาตรฐาน" ของการเรียงลำดับที่ดีของจำนวนธรรมชาติทั้งหมดที่มีประเภทลำดับ ⁠ ⁠ มีดังนี้: อั${\displaystyle \prec }$ลกอริทึม${\displaystyle \โอเมก้า +\โอเมก้า }$ที่ ตัดสิน⁠ ⁠อาจเป็นดังนี้: ส่งคืนค่าจริงถ้า⁠ ⁠เป็นจำนวนคู่และ⁠ ⁠ เป็นจำนวน คี่ ส่งคืนค่าเท็จถ้า⁠ ⁠เป็นจำนวนคี่และ⁠ ⁠เป็นจำนวนคู่ และส่งคืนค่า ⁠ ⁠ ในกรณีอื่น ๆดังนั้น⁠ ⁠ จึงสามารถคำนวณได้เช่นกัน อันที่จริง ด้วยโครงสร้างที่คล้ายกันนี้ สามารถแสดงได้ว่าตัวสืบทอดของลำดับที่คำนวณได้ และผลรวม ผลคูณ และกำลังของลำดับที่คำนวณได้สองลำดับ ล้วนสามารถคำนวณได้ $${\displaystyle {\begin{matrix}0&2&4&6&8&\dots &1&3&5&7&9&\dots \end{matrix}}}$$${\displaystyle x\prec y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle \โอเมก้า +\โอเมก้า }$

เซตของลำดับที่คำนวณได้ทั้งหมดปิดลงด้านล่าง กล่าวคือ ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$คำนวณได้และ⁠ ⁠${\displaystyle \beta <\alpha }$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle \beta }$ก็คำนวณได้เช่นกัน^{[ 2 ]}นี่เป็นเพราะการเรียงลำดับที่ดี⁠ ⁠${\displaystyle \langle S,\prec \rangle }$ ใดๆ ที่มีประเภทลำดับ⁠ ⁠${\displaystyle \alpha }$จะมีเซกเมนต์เริ่มต้น⁠ ⁠${\displaystyle \langle S',\prec \rangle }$ที่มีประเภทลำดับ⁠ ⁠${\displaystyle \beta }$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle S'=\{x\in S\mid x\prec x_{\beta }\}}$ (สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle x_{\beta }\in S}$ ที่กำหนดไว้บางค่า ) เป็นเซตย่อยที่คำนวณได้ของ⁠ ⁠${\displaystyle S}$ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle \prec }$คำนวณได้

ค่าสูงสุดของลำดับที่คำนวณได้ทั้งหมดเรียกว่าลำดับ Church–Kleeneซึ่งเป็นลำดับที่ไม่เวียนเกิดตัวแรก และใช้สัญลักษณ์[ ^{3 ] ลำดับ} Church–Kleene เป็นลำดับลิมิตลำดับจะคำนวณได้ก็ต่อเมื่อมันเล็กกว่า[ ^{4 ] เนื่องจาก}มีความสัมพันธ์ทวิภาคที่คำนวณได้เพียงจำนวนนับได้ ดังนั้นจึงมีลำดับที่คำนวณได้เพียงจำนวนนับได้เช่นกัน ดังนั้น จึง นับได้ ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathsf {CK}}}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathsf {CK}}}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathsf {CK}}}$

ลำดับที่คำนวณได้คือลำดับที่มีสัญกรณ์ลำดับในKleene${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {O}}}$อย่าง แท้จริง ^{[ 5 ]}

• ลำดับชั้นทางคณิตศาสตร์
• ลำดับที่นับได้ขนาดใหญ่
• การวิเคราะห์เชิงลำดับ
• สัญกรณ์ลำดับ