ในคณิตศาสตร์ตรรกศาสตร์และปรัชญาคณิตศาสตร์สิ่งที่เรียกว่า"ไม่สามารถ ระบุได้" (impredicative )คือนิยามที่อ้างอิงถึงตัวเองโดยคร่าวๆ แล้ว นิยามจะเรียกว่าไม่สามารถระบุได้ หากนิยามนั้นอ้างถึง (กล่าวถึงหรือระบุปริมาณของ) เซตที่กำลังถูกนิยาม หรือ (โดยทั่วไป) เซตอื่นที่ประกอบด้วยสิ่งที่ถูกนิยามนั้น ไม่มีนิยามที่ยอมรับกันโดยทั่วไปอย่างแม่นยำว่าการเป็น "สามารถระบุได้" (predicative) หรือ "ไม่สามารถระบุได้" (impredicative) หมายความว่าอย่างไร ผู้เขียนได้ให้นิยามที่แตกต่างกันแต่มีความเกี่ยวข้องกัน

สิ่งที่ตรงข้ามกับภาวะไม่สามารถกำหนดคุณสมบัติได้ (impredicativity) คือ ภาวะสามารถกำหนดคุณสมบัติได้ (predicativity) ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วหมายถึงการสร้าง ทฤษฎี แบบแบ่งชั้น (หรือแบบแตกแขนง) โดยที่การกำหนดปริมาณของประเภทใน 'ระดับ' หนึ่ง จะส่งผลให้เกิดประเภทในระดับใหม่ที่สูงขึ้น ตัวอย่างต้นแบบคือทฤษฎีประเภทเชิงสัญชาตญาณ (intuitionistic type theory ) ซึ่งยังคงรักษาการแตกแขนง (โดยไม่มีระดับที่ชัดเจน) เพื่อที่จะละทิ้งภาวะไม่สามารถกำหนดคุณสมบัติได้ 'ระดับ' ในที่นี้สอดคล้องกับจำนวนชั้นของการพึ่งพาในคำจำกัดความของคำศัพท์

ปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์เป็นตัวอย่างที่มีชื่อเสียงของการสร้างแบบไม่สามารถระบุได้ (impredicative construction) กล่าวคือเซตของเซตทั้งหมดที่ไม่บรรจุตัวเองปรากฏการณ์ขัดแย้งก็คือ เซตดังกล่าวไม่สามารถมีอยู่ได้: ถ้ามันมีอยู่จริง คำถามก็คือว่ามันบรรจุตัวเองหรือไม่—ถ้ามันบรรจุตัวเองแล้วโดยนิยามมันก็ไม่ควรบรรจุตัวเอง และถ้ามันไม่บรรจุตัวเองแล้วโดยนิยามมันก็ควรบรรจุตัวเอง

ขอบล่างสุดของเซตX , glb( X )ยังมีนิยามแบบไม่สามารถระบุได้: y = glb( X ) ก็ต่อเมื่อ สำหรับองค์ประกอบ xทั้งหมดของX , yน้อยกว่าหรือเท่ากับxและz ใดๆ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับองค์ประกอบทั้งหมดของXน้อยกว่าหรือเท่ากับyนิยามนี้ระบุปริมาณเหนือเซต (อาจเป็นอนันต์ ขึ้นอยู่กับลำดับที่ถาม) ซึ่งสมาชิกคือขอบล่างของXโดยหนึ่งในนั้นคือ glb เอง ดังนั้นลัทธิการบ่งชี้จะปฏิเสธนิยามนี้^{[ 1 ]}

คำว่า "predicative" และ "impredicative" ถูกนำมาใช้โดยเบอร์แทรนด์ รัสเซลล์แม้ว่าความหมายจะเปลี่ยนแปลงไปบ้างนับตั้งแต่นั้นมา

โซโลมอน เฟเฟอร์แมนนำเสนอการทบทวนประวัติศาสตร์ของความสามารถในการทำนาย โดยเชื่อมโยงกับปัญหาการวิจัยที่โดดเด่นในปัจจุบัน^{[ 2 ]}

หลักการวงจรชั่วร้ายได้รับการเสนอแนะโดยHenri Poincaré (1905–6, 1908) ^{[ 3 ]}และBertrand Russellหลังจากเกิดความขัดแย้งในฐานะข้อกำหนดสำหรับข้อกำหนดเซตที่ถูกต้อง เซตที่ไม่ตรงตามข้อกำหนดเรียกว่าเซตที่ไม่สามารถ ระบุได้

ความขัดแย้งสมัยใหม่ครั้งแรกปรากฏขึ้นพร้อมกับคำถามเกี่ยวกับจำนวนอนันต์ของCesare Burali-Forti ในปี 1897 ^{[ 4 ]}และจะกลายเป็นที่รู้จักในชื่อความขัดแย้งของ Burali-Forti Georg Cantorดูเหมือนจะค้นพบความขัดแย้งเดียวกันนี้ในทฤษฎีเซตแบบ "ไร้เดียงสา" ของเขา (Cantor) และสิ่งนี้กลายเป็นที่รู้จักในชื่อความขัดแย้งของ Cantorความตระหนักของ Russell เกี่ยวกับปัญหานี้มีต้นกำเนิดในเดือนมิถุนายน 1901 ^{[ 5 ]}จากการอ่าน ตำรา ตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ของFrege ซึ่ง เป็น Begriffsschriftในปี 1879 ประโยคที่เป็นปัญหาใน Frege คือดังต่อไปนี้:

ในทางกลับกัน อาจเป็นไปได้ว่าอาร์กิวเมนต์นั้นกำหนดได้และฟังก์ชันนั้นไม่กำหนด^{[ 6 ]}

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมื่อกำหนดf ( a ) แล้ว ฟังก์ชันfคือตัวแปร และaคือส่วนที่ไม่เปลี่ยนแปลง ดังนั้นทำไมไม่แทนค่าf ( a ) ลง ในfเองล่ะ? รัสเซลล์รีบเขียนจดหมายถึงเฟรเกเพื่อชี้ให้เห็นว่า:

คุณระบุว่า...ฟังก์ชันก็สามารถทำหน้าที่เป็นองค์ประกอบที่ไม่แน่นอนได้เช่นกัน ก่อนหน้านี้ฉันเคยเชื่อเช่นนั้น แต่ตอนนี้ฉันเริ่มสงสัยในมุมมองนี้เพราะความขัดแย้งดังต่อไปนี้ ให้wเป็นภาคแสดง: เป็นภาคแสดงที่ไม่สามารถเป็นภาคแสดงของตัวมันเองได้w สามารถ เป็นภาคแสดงของตัวมันเองได้หรือไม่? จากแต่ละคำตอบจะมีคำตอบตรงกันข้ามตามมา ดังนั้นเราต้องสรุปว่าwไม่ใช่ภาคแสดง ในทำนองเดียวกันไม่มีคลาส (ในฐานะที่เป็นทั้งหมด) ของคลาสเหล่านั้นซึ่งแต่ละคลาสเมื่อนำมาเป็นทั้งหมดแล้วจะไม่เป็นส่วนหนึ่งของตัวมันเอง จากนี้ฉันจึงสรุปได้ว่าภายใต้สถานการณ์บางอย่าง คอลเลกชันที่กำหนดได้จะไม่ก่อให้เกิดความเป็นทั้งหมด^{[ 7 ]}

เฟรเกรีบเขียนตอบกลับรัสเซลเพื่อรับทราบปัญหาดังกล่าว:

การค้นพบความขัดแย้งของคุณทำให้ฉันประหลาดใจอย่างมาก และเกือบจะพูดได้ว่าตกใจ เพราะมันสั่นคลอนพื้นฐานที่ฉันตั้งใจจะสร้างเลขคณิต^{[ 8 ]}

แม้ว่าปัญหานี้จะส่งผลเสียต่อตัวบุคคลของทั้งสองคน (ทั้งคู่มีงานที่ต้องแก้ไขที่โรงพิมพ์) แต่แวน เฮย์เยนูร์ทตั้งข้อสังเกตว่า "ความขัดแย้งนี้ทำให้โลกของนักตรรกศาสตร์สั่นสะเทือน และเสียงก้องยังคงรู้สึกได้จนถึงทุกวันนี้ ... ความขัดแย้งของรัสเซล ซึ่งใช้แนวคิดพื้นฐานของเซตและองค์ประกอบ ตกอยู่ในขอบเขตของตรรกศาสตร์อย่างชัดเจน ความขัดแย้งนี้ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกโดยรัสเซลในหนังสือหลักการของคณิตศาสตร์ (1903) และมีการอธิบายรายละเอียดไว้ในนั้น..." ^{[ 9 ]}หลังจากเริ่มต้นผิดพลาดมาหกปี ในที่สุดรัสเซลก็ตอบคำถามนี้ด้วยทฤษฎีประเภทใน ปี 1908 โดย "เสนอสัจพจน์ของการลดทอนได้ซึ่งกล่าวว่าฟังก์ชันใดๆ ก็ตามมีความสอดคล้องกับสิ่งที่เขาเรียกว่า ฟังก์ชัน ทำนาย : ฟังก์ชันที่ประเภทของตัวแปรที่ปรากฏไม่สูงกว่าประเภทของอาร์กิวเมนต์" ^{[ 10 ]}แต่ "สัจพจน์" นี้กลับได้รับการต่อต้านจากทุกฝ่าย

การปฏิเสธนิยามเชิงบังคับของวัตถุทางคณิตศาสตร์ (ในขณะที่ยอมรับจำนวนธรรมชาติในความหมายดั้งเดิม) นำไปสู่แนวคิดในปรัชญาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าลัทธิกำหนดนิยาม (Predicativism) ซึ่งได้รับการสนับสนุนโดยอองรี ปวงกาเรและเฮอร์มันน์ เวย์ลในหนังสือDas Kontinuum ของเขา ปวงกาเรและเวย์ลโต้แย้งว่านิยามเชิงบังคับนั้นเป็นปัญหาเฉพาะเมื่อเซตพื้นฐานอย่างน้อยหนึ่งเซตเป็นอนันต์

Ernst Zermeloในบทความปี 1908 ของเขาเรื่อง "การพิสูจน์ใหม่ของความเป็นไปได้ของการเรียงลำดับที่ดี " ^{[ 11 ]}นำเสนอส่วนทั้งหมด "b. ข้อโต้แย้งเกี่ยวกับนิยามที่ไม่เป็นเชิงทำนาย " ซึ่งเขาโต้แย้งกับ "Poincaré (1906, หน้า 307) [ซึ่งระบุว่า] นิยามจะเป็น 'เชิงทำนาย' และยอมรับได้ทางตรรกะก็ต่อเมื่อมันไม่รวมวัตถุทั้งหมดที่ขึ้นอยู่กับแนวคิดที่ถูกกำหนด นั่นคือ ที่สามารถกำหนดได้โดยมันในทุกวิถีทาง" ^{[ 12 ]}เขาให้ตัวอย่างสองตัวอย่างของนิยามที่ไม่เป็นเชิงทำนาย – (i) แนวคิดของโซ่ Dedekind และ (ii) "ในการวิเคราะห์เมื่อใดก็ตามที่ค่าสูงสุดหรือต่ำสุดของเซตตัวเลขZ ที่ "สมบูรณ์" ที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ ถูกใช้เพื่อการอนุมานเพิ่มเติม สิ่งนี้เกิดขึ้น ตัวอย่างเช่น ในการพิสูจน์ของ Cauchy ที่เป็นที่รู้จักกันดี..." ^{[ 13 ]}เขาจบส่วนของเขาด้วยข้อสังเกตดังต่อไปนี้: "คำจำกัดความอาจอาศัยแนวคิดที่เทียบเท่ากับสิ่งที่ถูกนิยามได้ ในความเป็นจริง ในทุกคำจำกัดความdefiniensและdefiniendumเป็นแนวคิดที่เทียบเท่ากัน และการปฏิบัติตามข้อเรียกร้องของ Poincaré อย่างเคร่งครัดจะทำให้คำจำกัดความทุกอย่าง ดังนั้นวิทยาศาสตร์ทั้งหมดจึงเป็นไปไม่ได้" ^{[ 14 ]}

ตัวอย่างของ Zermelo เกี่ยวกับค่าต่ำสุดและสูงสุดของเซตตัวเลข "สมบูรณ์" ที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ ปรากฏขึ้นอีกครั้งในKleene 1952:42-42 ซึ่ง Kleene ใช้ตัวอย่างของขอบเขตบนน้อยที่สุดในการอภิปรายเกี่ยวกับคำจำกัดความที่ไม่สามารถระบุได้ Kleene ไม่ได้แก้ไขปัญหานี้ ในย่อหน้าถัดไป เขาพูดถึงความพยายามของ Weyl ในDas Kontinuum ( The Continuum ) ปี 1918 ของเขาที่จะกำจัดคำจำกัดความที่ไม่สามารถระบุได้ และความล้มเหลวของเขาในการรักษา "ทฤษฎีบทที่ว่าเซตMของจำนวนจริงที่ไม่ว่างเปล่า ใดๆ ที่มีขอบเขตบนจะมีขอบเขตบนน้อยที่สุด (ดู Weyl 1919 ด้วย)" ^{[ 15 ]}

แรมซีย์แย้งว่านิยามแบบ "ไม่สามารถระบุได้" อาจไม่มีอันตราย ตัวอย่างเช่น นิยามของ "คนที่สูงที่สุดในห้อง" เป็นนิยามแบบไม่สามารถระบุได้ เนื่องจากขึ้นอยู่กับเซตของสิ่งต่างๆ ที่มันเป็นองค์ประกอบอยู่ นั่นคือเซตของบุคคลทั้งหมดในห้องนั้น สำหรับคณิตศาสตร์ ตัวอย่างของนิยามแบบไม่สามารถระบุได้คือจำนวนที่เล็กที่สุดในเซต ซึ่งนิยามอย่างเป็นทางการว่าy = min( X )ก็ต่อเมื่อสำหรับองค์ประกอบx ทั้งหมด ของX , yน้อยกว่าหรือเท่ากับxและyอยู่ ในX

เบอร์เจส (2005) ได้อภิปรายทฤษฎีเชิงทำนายและเชิงไม่ทำนายไว้อย่างละเอียดในบริบทของตรรกศาสตร์ของเฟรเก , เลขคณิตของพีอาโน , เลขคณิตอันดับสองและทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์

• เกอเดล, เอสเชอร์, บาค
• โพลีมอร์ฟิซึมที่ขัดขวาง
• ตรรกะนิยม
• ความขัดแย้งของริชาร์ด