ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันจากเซตXไปยังเซตY จะกำหนดให้กับแต่ละองค์ประกอบของXเพียงหนึ่งองค์ประกอบของYเท่านั้น^{[ 1 ]}เซตXเรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน^{[ 2 ]}และเซตYเรียกว่าโคโดเมนของฟังก์ชัน^{[ 3 ]}

เดิมทีฟังก์ชันคือแบบจำลองในอุดมคติของความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่เปลี่ยนแปลงกับปริมาณอื่น ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งของดาวเคราะห์เป็นฟังก์ชันของเวลาในทางประวัติศาสตร์แนวคิดนี้ได้รับการพัฒนาเพิ่มเติมด้วยแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 และจนถึงศตวรรษที่ 19 ฟังก์ชันที่ถูกพิจารณาคือฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ (กล่าวคือ มีความสม่ำเสมอสูง) แนวคิดของฟังก์ชันได้รับการกำหนดเป็นทางการในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 ในแง่ของทฤษฎีเซตและสิ่งนี้ได้เพิ่มขอบเขตการประยุกต์ใช้ที่เป็นไปได้ของแนวคิดนี้อย่างมาก

โดยทั่วไป ฟังก์ชันมักจะถูกแทนด้วยตัวอักษร เช่นf , gหรือhค่าของฟังก์ชันfที่องค์ประกอบx ใน โดเมนของฟังก์ชัน (นั่นคือ องค์ประกอบของโคโดเมนที่เกี่ยวข้องกับx ) จะถูกแทนด้วยf ( x )ตัวอย่างเช่น ค่าของfที่x = 4จะถูกแทนด้วยf (4)โดยทั่วไป ฟังก์ชันเฉพาะจะถูกกำหนดโดยใช้การแสดงออกที่ขึ้นอยู่กับxเช่นในกรณีนี้ อาจจำเป็นต้องมีการคำนวณบางอย่างที่เรียกว่าการประเมินค่าฟังก์ชันเพื่อหาค่าของฟังก์ชันที่ค่าใดค่าหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้ว${\displaystyle f(x)=x^{2}+1;}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+1,}$${\displaystyle f(4)=4^{2}+1=17.}$

เมื่อกำหนดโดเมนและโคโดเมนแล้ว ฟังก์ชันจะถูกแทนด้วยเซตของคู่ ทั้งหมด ( x , f ( x ))ที่เรียกว่ากราฟของฟังก์ชันซึ่งเป็นวิธีการที่นิยมใช้ในการแสดงภาพฟังก์ชัน^{[หมายเหตุ 1 ] [ 4 ]}เมื่อโดเมนและโคโดเมนเป็นเซตของจำนวนจริง แต่ละคู่ดังกล่าวอาจถือได้ว่าเป็นพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดในระนาบ

ฟังก์ชันถูกนำมาใช้กันอย่าง แพร่หลายในวิทยาศาสตร์วิศวกรรมและในสาขาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ กล่าวกันว่าฟังก์ชันเป็น "วัตถุหลักของการวิจัย" ในสาขาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่^{[ 5 ]}

แนวคิดเรื่องฟังก์ชันมีการพัฒนาอย่างมากตลอดหลายศตวรรษ จากจุดเริ่มต้นที่ไม่เป็นทางการในคณิตศาสตร์โบราณไปจนถึงการกำหนดรูปแบบที่เป็นทางการในศตวรรษที่ 19 ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ที่ ประวัติความเป็นมาของแนวคิดเรื่องฟังก์ชัน

ฟังก์ชันfจากเซตXไปยังเซตY คือการกำหนดค่าหนึ่งให้กับสมาชิกหนึ่งของYให้กับสมาชิกแต่ละตัวของXเซตXเรียกว่าโดเมนของฟังก์ชัน และเซตYเรียกว่าโคโดเมนของฟังก์ชัน

ถ้าฟังก์ชันf กำหนดค่าyในY ให้กับ xในXเราจะกล่าวว่าf แมปxไปยังyซึ่งโดยทั่วไปจะเขียนว่าในสัญลักษณ์นี้xคืออาร์กิวเมนต์หรือตัวแปรของฟังก์ชัน ${\displaystyle y=f(x).}$

องค์ประกอบx เฉพาะ ของXคือค่าของตัวแปรและองค์ประกอบที่สอดคล้องกันของYคือค่าของฟังก์ชันที่xหรือภาพของxภายใต้ฟังก์ชันภาพของฟังก์ชันบางครั้งเรียกว่าช่วง ของฟังก์ชัน คือเซตของภาพขององค์ประกอบทั้งหมดในโดเมน^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

ฟังก์ชันfโดเมนXและโคโดเมนYมักระบุด้วยสัญลักษณ์เราอาจเขียนแทน โดยที่สัญลักษณ์(อ่านว่า ' แมปไปยัง ') ใช้เพื่อระบุว่าองค์ประกอบx ใด ในโดเมนถูกแมปไปยังที่ใดโดยfวิธีนี้ช่วยให้สามารถกำหนดฟังก์ชันได้โดยไม่ต้องตั้งชื่อ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันกำลังสองคือ ฟังก์ชัน${\displaystyle f:X\to Y.}$${\displaystyle x\mapsto y}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle \mapsto }$${\displaystyle x\mapsto x^{2}.}$

โดเมนและโคโดเมนไม่ได้ระบุไว้อย่างชัดเจนเสมอไปเมื่อมีการนิยามฟังก์ชัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เป็นเรื่องปกติที่เราอาจรู้โดยไม่ต้องคำนวณ (ซึ่งอาจยาก) ว่าโดเมนของฟังก์ชันเฉพาะนั้นบรรจุอยู่ในเซตที่ใหญ่กว่า ตัวอย่างเช่น ถ้า f เป็นฟังก์ชันจริงการหาโดเมนของฟังก์ชันต้องอาศัยการรู้ค่าศูนย์ของfนี่เป็นหนึ่งในเหตุผลที่ในคณิตศาสตร์วิเคราะห์ "ฟังก์ชันจากXไปY "อาจหมายถึงฟังก์ชันที่มีเซตย่อยที่แท้จริงของXเป็นโดเมน^{[หมายเหตุ 2 ]}ตัวอย่างเช่น "ฟังก์ชันจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง" อาจหมายถึง ฟังก์ชัน ค่าจริงของตัวแปรจริงที่มีโดเมนเป็นเซตย่อยที่แท้จริงของจำนวนจริง โดยทั่วไปจะเป็นเซตย่อยที่มี ช่วงเปิดที่ไม่ว่างเปล่า ฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่า ฟังก์ชัน บาง ส่วน${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto 1/f(x)}$

ฟังก์ชันfบนเซตS หมาย ถึง ฟังก์ชันจากโดเมนSโดยไม่ระบุโคโดเมน อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคนใช้คำนี้เป็นคำย่อเพื่อบอกว่าฟังก์ชันนั้นคือf  : S → S

นิยามของฟังก์ชันข้างต้นนั้นโดยพื้นฐานแล้วเป็นนิยามของนักคณิตศาสตร์ผู้ก่อตั้งแคลคูลัสได้แก่ไลบ์นิซ นิวตันและออยเลอร์อย่างไรก็ตาม นิยามนี้ไม่สามารถทำให้เป็นทางการได้เนื่องจากไม่มีนิยามทางคณิตศาสตร์ของ "การกำหนดค่า" จนกระทั่งปลายศตวรรษที่ 19 จึงมีการนิยามฟังก์ชันอย่างเป็นทางการครั้งแรกในแง่ของทฤษฎีเซตนิยามเชิงทฤษฎีเซตนี้ตั้งอยู่บนข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันสร้างความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของโดเมนและองค์ประกอบบางส่วน (อาจทั้งหมด) ของโคโดเมน ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์ทวิภาคระหว่างสองเซตXและYคือเซตย่อยของเซตของคู่ลำดับ ทั้งหมด โดยที่และเซตของคู่ลำดับทั้งหมดเหล่านี้เรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของXและYและใช้สัญลักษณ์ดังนั้น นิยามข้างต้นจึงสามารถทำให้เป็นทางการได้ดังนี้ ${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y.}$${\displaystyle X\times Y.}$

ฟังก์ชันที่มีโดเมนXและโคโดเมนYคือความสัมพันธ์แบบไบนารีRระหว่างXและYที่ตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้: ^{[ 10 ]}

• สำหรับทุกสิ่งที่มีอยู่ จะมีอยู่ เช่นนั้น ในสิ่งนั้น${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (x,y)\in R.}$
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle (x,y)\in R}$${\displaystyle (x,z)\in R,}$${\displaystyle y=z.}$

นิยามนี้สามารถเขียนใหม่ให้เป็นทางการมากขึ้นได้ โดยไม่ต้องอ้างถึงแนวคิดเรื่องความสัมพันธ์โดยตรง แต่ใช้สัญลักษณ์เพิ่มเติม (รวมถึงสัญลักษณ์การสร้างเซต ):

ฟังก์ชันประกอบด้วยเซตสามชุด (มักเป็นสามชุดที่มีลำดับ) ได้แก่โดเมน โคโดเมนและกราฟซึ่งต้องเป็นไปตามเงื่อนไขสามข้อต่อไปนี้ ${\displaystyle X,}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle R}$

• ${\displaystyle R\subseteq \{(x,y)\mid x\in X,y\in Y\}}$
• ${\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,\left(x,y\right)\in R\qquad }$
• ${\displaystyle (x,y)\in R\land (x,z)\in R\implies y=z\qquad }$

ความสัมพันธ์ที่ตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้เรียกว่าความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน

คำศัพท์และสัญลักษณ์ที่ใช้กันทั่วไปสามารถอนุมานได้จากนิยามอย่างเป็นทางการนี้ ดังต่อไปนี้ ให้⁠ ⁠${\displaystyle f}$เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดยความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน⁠ ⁠${\displaystyle R}$สำหรับทุก⁠ ⁠${\displaystyle x}$ในโดเมนของ⁠ ⁠${\displaystyle f}$องค์ประกอบเฉพาะของโคโดเมนที่เกี่ยวข้องกับ⁠ ⁠${\displaystyle x}$จะถูกแทนด้วย⁠ ⁠${\displaystyle f(x)}$ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle y}$เป็นองค์ประกอบนี้ โดยทั่วไปจะเขียน⁠ ⁠${\displaystyle y=f(x)}$แทน⁠ ⁠${\displaystyle (x,y)\in R\,}$หรือ⁠ ⁠${\displaystyle xRy}$และจะกล่าวว่า " ⁠ ⁠${\displaystyle f}$แมป⁠ ⁠ ไป${\displaystyle x}$ยัง⁠ ⁠${\displaystyle y}$ ", " ⁠ ⁠${\displaystyle y}$คือภาพที่ได้จาก⁠ ⁠${\displaystyle f}$ของ⁠ ⁠${\displaystyle x}$ ", หรือ "การประยุกต์ใช้⁠ ⁠ กับ${\displaystyle f}$ ⁠ ⁠ ให้${\displaystyle x}$ผลลัพธ์เป็น ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ " เป็นต้น

ฟังก์ชันบางส่วนถูกนิยามในลักษณะเดียวกับฟังก์ชันทั่วไป โดยตัดเงื่อนไข "ทั้งหมด" ออกไป กล่าวคือฟังก์ชันบางส่วนจากXไปยังYคือความสัมพันธ์ทวิภาคRระหว่างXและYโดยที่สำหรับทุก ๆจะมีyในY ไม่เกินหนึ่งตัวเท่านั้นที่ทำให้${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle (x,y)\in R.}$

เมื่อใช้สัญลักษณ์เชิงฟังก์ชัน หมายความว่า หากกำหนดให้จะอยู่ในYหรือไม่ก็ไม่มีค่า ${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle f(x)}$

เซตของสมาชิกในXที่กำหนดให้ และเป็นสมาชิกในYเรียกว่าโดเมนของการนิยามของฟังก์ชัน ดังนั้น ฟังก์ชันบางส่วนจากXไปยังYจึงเป็นฟังก์ชันธรรมดาที่มีโดเมนเป็นเซตย่อยของXที่เรียกว่าโดเมนของการนิยามของฟังก์ชัน ถ้าโดเมนของการนิยามเท่ากับXเรามักจะกล่าวว่าฟังก์ชันบางส่วนนั้นเป็นฟังก์ชัน ทั้งหมด${\displaystyle f(x)}$

ในสาขาคณิตศาสตร์หลายสาขา คำว่า "ฟังก์ชัน" มักหมายถึงฟังก์ชันย่อยมากกว่าฟังก์ชันทั่วไป (ฟังก์ชันทั้งหมด) โดยทั่วไปแล้วจะเป็นเช่นนี้เมื่อฟังก์ชันถูกกำหนดในลักษณะที่ทำให้ยากหรือเป็นไปไม่ได้เลยที่จะหาโดเมนของฟังก์ชันนั้น

ในแคลคูลัสฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงหรือฟังก์ชันจริงคือฟังก์ชันย่อยจากเซตของจำนวนจริงไปยังตัวมันเอง เมื่อกำหนดฟังก์ชันจริงมาให้ ตัวผกผันการคูณ ของฟังก์ชัน นั้นก็จะเป็นฟังก์ชันจริงเช่นกัน การหาโดเมนของการนิยามของตัวผกผันการคูณของฟังก์ชัน (ย่อย) นั้นเทียบเท่ากับการคำนวณหาค่าศูนย์ของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นค่าที่ฟังก์ชันนิยามได้ แต่ตัวผกผันการคูณไม่นิยามได้ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f:x\mapsto f(x)}$${\displaystyle x\mapsto 1/f(x)}$

ในทำนองเดียวกันฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนโดยทั่วไปเป็นฟังก์ชันบางส่วนที่มีโดเมนการนิยามเป็นเซตย่อยของจำนวนเชิงซ้อน ความยากลำบากในการกำหนดโดเมนการนิยามของฟังก์ชันเชิงซ้อนนั้นแสดงให้เห็นได้จากตัวผกผันการคูณของฟังก์ชันซีตาของรีมันน์การกำหนดโดเมนการนิยามของฟังก์ชันนั้นเทียบเท่ากับการพิสูจน์หรือหักล้างข้อปัญหาสำคัญข้อหนึ่งในคณิตศาสตร์ นั่นคือสมมติฐาน ของรีมันน์${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle z\mapsto 1/\zeta (z)}$

ในทฤษฎีความสามารถในการคำนวณฟังก์ชันเวียนเกิดทั่วไปคือฟังก์ชันบางส่วนจากจำนวนเต็มไปยังจำนวนเต็ม ซึ่งค่าของฟังก์ชันเหล่านี้สามารถคำนวณได้ด้วยอัลกอริทึม (โดยคร่าวๆ) โดเมนของนิยามของฟังก์ชันดังกล่าวคือเซตของอินพุตที่อัลกอริทึมไม่ทำงานไปเรื่อยๆ ทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีความสามารถในการคำนวณคือ ไม่มีอัลกอริทึมใดที่รับฟังก์ชันเวียนเกิดทั่วไปใดๆ เป็นอินพุตและทดสอบว่า0อยู่ในโดเมนของนิยามหรือไม่ (ดูปัญหาการหยุดทำงาน )

ฟังก์ชันหลายตัวแปรหรือฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวคือฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับตัวแปรหลายตัว ฟังก์ชันประเภทนี้พบได้ทั่วไป ตัวอย่างเช่น ตำแหน่งของรถยนต์บนถนนเป็นฟังก์ชันของเวลาที่ใช้เดินทางและความเร็วเฉลี่ยของรถยนต์

ตามหลักการแล้ว ฟังก์ชันของ ตัวแปร nตัว คือฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของคู่ลำดับn ตัว^{[หมายเหตุ 3 ]}ตัวอย่างเช่น การคูณจำนวนเต็มเป็นฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว หรือฟังก์ชันทวิภาคซึ่งมีโดเมนเป็นเซตของคู่ลำดับ ทั้งหมด (คู่ลำดับ 2 ตัว) ของจำนวนเต็ม และมีโคโดเมนเป็นเซตของจำนวนเต็ม เช่นเดียวกันนี้ใช้ได้กับการดำเนินการทวิภาค ทุกอย่าง กราฟของพื้นผิวทวิภาคบนโดเมนจำนวนจริงสองมิติอาจถูกตีความว่าเป็นการกำหนดพื้นผิวพาราเมตริกดังที่ใช้ในตัวอย่างเช่นการประมาณค่าแบบทวิภาค

โดยทั่วไปn -tuple จะถูกแสดงด้วยวงเล็บ เช่น ใน เมื่อใช้สัญกรณ์เชิงฟังก์ชันมักจะละเว้นวงเล็บที่ล้อมรอบ tuple โดยเขียน แทนที่จะเป็น${\displaystyle (1,2,\ldots ,n).}$${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle f((x_{1},\ldots ,x_{n})).}$

กำหนดให้nเซต เซตของ n -tuple ทั้งหมดที่มีคุณสมบัติว่าเรียกว่าผลคูณคาร์ทีเซียนของและเขียนแทนด้วย${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle x_{1}\in X_{1},\ldots ,x_{n}\in X_{n}}$${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n},}$${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

ดังนั้น ฟังก์ชันหลายตัวแปร คือ ฟังก์ชันที่มีผลคูณคาร์ทีเซียน หรือเซตย่อยที่แท้จริงของผลคูณคาร์ทีเซียน เป็นโดเมน

$${\displaystyle f:U\to Y,}$$

โดยที่โดเมนUมีรูปแบบดังนี้

$${\displaystyle U\subseteq X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$$

ถ้าค่าทั้งหมดเท่ากับเซตของจำนวนจริงหรือเซตของจำนวนเชิงซ้อน เราจะเรียกว่า ฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัวหรือฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวตามลำดับ ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

มีวิธีการมาตรฐานหลายวิธีในการแสดงฟังก์ชัน วิธีการที่ใช้กันมากที่สุดคือ สัญกรณ์ฟังก์ชัน ซึ่งเป็นสัญกรณ์แรกที่อธิบายไว้ด้านล่าง

สัญกรณ์เชิงฟังก์ชันกำหนดให้ต้องตั้งชื่อให้กับฟังก์ชัน ซึ่งในกรณีที่ไม่ได้ระบุฟังก์ชัน มักจะใช้ตัวอักษรfจากนั้น การประยุกต์ใช้ฟังก์ชันกับอาร์กิวเมนต์จะแสดงด้วยชื่อฟังก์ชัน ตามด้วยอาร์กิวเมนต์ (หรือในกรณีของฟังก์ชันหลายตัวแปร อาร์กิวเมนต์หลายตัว) ที่อยู่ในวงเล็บ เช่น ใน

$${\displaystyle f(x),\quad \sin(3),\quad {\text{or}}\quad f(x^{2}+1).}$$

อาร์กิวเมนต์ที่อยู่ระหว่างวงเล็บอาจเป็นตัวแปร ซึ่ง มักจะ เป็น xที่แทนองค์ประกอบใดๆ ในโดเมนของฟังก์ชัน องค์ประกอบเฉพาะในโดเมน ( 3ในตัวอย่างข้างต้น) หรือนิพจน์ที่สามารถประเมินค่าได้เป็นองค์ประกอบในโดเมน ( ในตัวอย่างข้างต้น) การใช้ตัวแปรที่ไม่ระบุในวงเล็บมีประโยชน์สำหรับการกำหนดฟังก์ชันอย่างชัดเจน เช่นใน "let " ${\displaystyle x^{2}+1}$${\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}$

เมื่อสัญลักษณ์ที่ใช้แทนฟังก์ชันประกอบด้วยอักขระหลายตัวและไม่มีความกำกวมเกิดขึ้น วงเล็บในสัญลักษณ์ฟังก์ชันอาจถูกละเว้นได้ ตัวอย่างเช่น เป็นเรื่องปกติที่จะเขียนsin x แทนที่จะเขียนsin( x )

เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ใช้สัญกรณ์ฟังก์ชันเป็นครั้งแรกในปี ค.ศ. 1734 ^{[ 11 ]}ฟังก์ชันที่ใช้กันอย่างแพร่หลายบางฟังก์ชันแสดงด้วยสัญลักษณ์ที่ประกอบด้วยตัวอักษรหลายตัว (โดยปกติสองหรือสามตัว ซึ่งโดยทั่วไปจะเป็นตัวย่อของชื่อฟังก์ชัน) ในกรณีนี้ มักใช้ ตัวพิมพ์โรมันแทน เช่น " sin " สำหรับฟังก์ชันไซน์ในทางตรงกันข้ามกับตัวพิมพ์เอียงสำหรับสัญลักษณ์ตัวอักษรเดียว

โดยทั่วไปแล้ว สัญลักษณ์เชิงฟังก์ชันมักถูกใช้ในภาษาพูดเพื่ออ้างถึงฟังก์ชันและระบุชื่ออาร์กิวเมนต์ไปพร้อมกัน เช่น "ให้เป็นฟังก์ชัน" นี่เป็นการใช้สัญลักษณ์ที่ผิดวิธีซึ่งมีประโยชน์สำหรับการเขียนในรูปแบบที่ง่ายกว่า ${\displaystyle f(x)}$

สัญกรณ์ลูกศร (Arrow notation) กำหนดกฎของฟังก์ชันโดยตรง โดยไม่จำเป็นต้องระบุชื่อฟังก์ชัน โดยใช้สัญลักษณ์ลูกศร ↦ ซึ่งอ่านว่า " แมปไปยัง " ตัวอย่างเช่นคือฟังก์ชันที่รับจำนวนจริงเป็นอินพุตและส่งคืนค่าจำนวนนั้นบวก 1 นอกจากนี้ โดเมนและโคโดเมนของก็มีความหมายโดยปริยายอยู่แล้ว ${\displaystyle x\mapsto x+1}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

นอกจากนี้ยังสามารถระบุโดเมนและโคโดเมนได้อย่างชัดเจน เช่น:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}}$$

นี่เป็นการกำหนดฟังก์ชันsqrจากจำนวนเต็มไปยังจำนวนเต็ม ซึ่งจะส่งคืนค่ากำลังสองของค่าที่ป้อนเข้าไป

ในการใช้สัญลักษณ์ลูกศรทั่วไป สมมติว่า f _เป็นฟังก์ชันในสองตัวแปร และเราต้องการอ้างถึงฟังก์ชันที่ถูกนำไปใช้บางส่วนโดยการกำหนดค่าอาร์กิวเมนต์ที่สองให้เป็นค่าt₀โดยไม่ต้องสร้างชื่อฟังก์ชันใหม่ แผนที่ดังกล่าวสามารถแสดงได้โดยใช้สัญลักษณ์ลูกศร นิพจน์(อ่านว่า: "แผนที่ที่นำxไปยังfของxคอม_มา t₀ ") แสดงถึงฟังก์ชันใหม่นี้ที่มีอาร์กิวเมนต์เพียงตัวเดียว ใน ขณะที่นิพจน์f ( x₀ _, t₀ ) อ้างถึง ค่า ของฟังก์ชันfที่จุด( x₀ , _{t₀ )}${\displaystyle f:X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$${\displaystyle x\mapsto f(x,t_{0})}$

สามารถใช้สัญกรณ์ดัชนีแทนสัญกรณ์ฟังก์ชันได้ กล่าวคือ แทนที่จะเขียนf ( x )ก็เขียนว่า${\displaystyle f_{x}.}$

กรณีนี้มักเกิดขึ้นกับฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตของจำนวนธรรมชาติฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าลำดับและในกรณีนี้ สมาชิกตัวที่ n เรียกว่า สมาชิกตัวที่ nของลำดับ ${\displaystyle f_{n}}$

สัญกรณ์ดัชนียังสามารถใช้เพื่อแยกแยะตัวแปรบางตัวที่เรียกว่าพารามิเตอร์ออกจาก "ตัวแปรจริง" ได้อีกด้วย ที่จริงแล้ว พารามิเตอร์คือตัวแปรเฉพาะที่ถือว่าคงที่ในระหว่างการศึกษาปัญหา ตัวอย่างเช่น แผนที่(ดูด้านบน) จะถูกแสดงด้วยสัญกรณ์ดัชนี หากเรากำหนดชุดของแผนที่ด้วยสูตรสำหรับทุกๆ ${\displaystyle x\mapsto f(x,t)}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t}}$${\displaystyle f_{t}(x)=f(x,t)}$${\displaystyle x,t\in X}$

ในสัญลักษณ์นี้ สัญลักษณ์xไม่ได้แทนค่าใดๆ มันเป็นเพียงตัวแทนตำแหน่งหมายความว่า ถ้าxถูกแทนที่ด้วยค่าใดๆ ทางด้านซ้ายของลูกศร ค่าเดียวกันนั้นก็ควรถูกแทนที่ด้วยค่าเดียวกันทางด้านขวาของลูกศรเช่นกัน ดังนั้น ในนิพจน์ทางด้านขวาของลูกศรxอาจถูกแทนที่ด้วยสัญลักษณ์ตัวแทนตำแหน่ง ซึ่งมักจะเป็นเครื่องหมายวรรคตอน " ⋅ " หรือเครื่องหมายขีด " – " และนิพจน์ใหม่นี้ที่ประกอบด้วยสัญลักษณ์ตัวแทนตำแหน่งสามารถใช้เป็นตัวย่อสำหรับฟังก์ชันนั้นได้ เช่นเดียวกับในกรณีของสัญลักษณ์ลูกศร วิธีนี้มีประโยชน์ในกรณีที่ฟังก์ชันไม่ได้ระบุชื่ออย่างชัดเจน เช่นfหรือsinเป็นต้น ${\displaystyle x\mapsto f(x),}$

ตัวอย่างเช่นหรืออาจหมายถึงฟังก์ชันและหรืออาจหมายถึงฟังก์ชันที่กำหนดโดยปริพันธ์ที่มีขอบเขตบนแปรผันได้: ${\displaystyle a(\cdot )^{2}}$${\displaystyle a(-)^{2}}$${\displaystyle x\mapsto ax^{2}}$${\textstyle \int _{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du}$${\textstyle \int _{a}^{\,(-)}f(u)\,du}$${\textstyle x\mapsto \int _{a}^{x}f(u)\,du}$

ในสาขาย่อยของคณิตศาสตร์บางสาขา ยังมีสัญลักษณ์เฉพาะทางอื่นๆ สำหรับฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ในพีชคณิตเชิงเส้นและการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันรูปแบบเชิงเส้นและเวกเตอร์ที่ รูปแบบ เหล่านั้นกระทำ จะถูกแทนด้วยคู่ทวิภาค (dual pair)เพื่อแสดงถึงความเป็นทวิภาค ที่อยู่เบื้องหลัง ซึ่งคล้ายกับการใช้สัญลักษณ์ bra–ketในกลศาสตร์ควอนตัม ในตรรกศาสตร์และทฤษฎีการคำนวณ สัญลักษณ์ฟังก์ชันของแคลคูลัสแลมบ์ดา (lambda calculus)ใช้เพื่อแสดงแนวคิดพื้นฐานของนามธรรมและการประยุกต์ใช้ ฟังก์ชันอย่างชัดเจน ในทฤษฎีหมวดหมู่และพีชคณิตเชิง โฮโมโลยี เครือข่ายของฟังก์ชันจะถูกอธิบายในแง่ของการสลับที่กันของฟังก์ชันและองค์ประกอบของฟังก์ชัน โดยใช้แผนภาพการสลับที่ขยายและวางนัยทั่วไปของสัญลักษณ์ลูกศรสำหรับฟังก์ชันที่อธิบายไว้ข้างต้น

ในบางกรณี อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันอาจเป็นคู่ลำดับขององค์ประกอบที่เลือกมาจากเซตใดเซตหนึ่งหรือหลายเซต ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันfสามารถนิยามได้ว่าเป็นการแมปคู่ของจำนวนจริงใดๆไปยังผลรวมของกำลังสองของจำนวนจริงเหล่านั้นฟังก์ชัน ดังกล่าวโดยทั่วไปเขียนเป็นและเรียกว่า "ฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว" ในทำนองเดียวกัน เราอาจมีฟังก์ชันของตัวแปรสามตัวขึ้นไป โดยใช้สัญลักษณ์เช่น,${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$${\displaystyle f(w,x,y)}$${\displaystyle f(w,x,y,z)}$

ฟังก์ชันอาจถูกเรียกว่าแผนที่หรือการแมปได้ เช่นกัน แต่ผู้เขียนบางคนแยกความแตกต่างระหว่างคำว่า "แผนที่" และ "ฟังก์ชัน" ตัวอย่างเช่น คำว่า "แผนที่" มักสงวนไว้สำหรับ "ฟังก์ชัน" ที่มีโครงสร้างพิเศษบางอย่าง (เช่นแผนที่ของแมนิโฟลด์ ) โดยเฉพาะอย่างยิ่งแผนที่อาจถูกใช้แทนโฮโมมอร์ฟิซึมเพื่อความกระชับ (เช่นแผนที่เชิงเส้นหรือแผนที่จากGไปHแทนที่จะเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มจากGไปH ) ผู้เขียนบางคน^{[ 14 ]}สงวนคำว่าการแมปไว้สำหรับกรณีที่โครงสร้างของโคโดเมนเป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความของฟังก์ชันอย่างชัดเจน

ผู้เขียนบางคน เช่นSerge Lang [ ^{13 ] ใช้คำ ว่า} "ฟังก์ชัน" เฉพาะในการอ้างถึงแผนที่ซึ่งโคโดเมนเป็นเซตย่อยของ จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนและใช้คำว่าการแมปสำหรับฟังก์ชันทั่วไปมากกว่า

ในทฤษฎีระบบพลวัต แผนที่ (map) หมายถึงฟังก์ชันวิวัฒนาการที่ใช้ในการสร้างระบบพลวัตแบบไม่ต่อเนื่องดูเพิ่มเติมที่แผนที่ปวงกาเร (Poincaré map )

ไม่ว่า จะใช้คำจำกัดความใดของคำว่า "แผนที่" คำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง เช่น โดเมนโคโดเมน อินเจกทีฟ คอนทินิวอัลก็มีความหมายเหมือนกับคำศัพท์ที่ใช้กับฟังก์ชัน

ตามนิยามแล้ว เมื่อกำหนดฟังก์ชัน หนึ่ง ๆ แล้ว จะมีองค์ประกอบที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวที่เกี่ยวข้องกับแต่ละองค์ประกอบ นั้นนั่นคือค่าของที่จุดนั้น ๆมีหลายวิธีในการระบุหรืออธิบายความสัมพันธ์ระหว่าง กับทั้งแบบชัดเจนและโดยนัย บางครั้ง ทฤษฎีบทหรือสัจพจน์ยืนยันการมีอยู่ของฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติบางอย่าง โดยไม่ต้องอธิบายรายละเอียดเพิ่มเติม บ่อยครั้งที่การระบุหรือคำอธิบายนั้นเรียกว่านิยามของฟังก์ชัน ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$

บนเซตจำกัด ฟังก์ชันสามารถกำหนดได้โดยการระบุองค์ประกอบของโคโดเมนที่สัมพันธ์กับองค์ประกอบของโดเมน ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้วเราสามารถกำหนดฟังก์ชันได้โดย${\displaystyle A=\{1,2,3\}}$${\displaystyle f:A\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4.}$

โดยทั่วไป ฟังก์ชันมักถูกกำหนดโดยนิพจน์ที่อธิบายถึงการรวมกันของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และฟังก์ชันที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ สูตรดังกล่าวช่วยให้สามารถคำนวณค่าของฟังก์ชันจากค่าขององค์ประกอบใดๆ ในโดเมนได้ ตัวอย่างเช่น ในตัวอย่างข้างต้นสามารถกำหนดได้ด้วยสูตรโดย ที่${\displaystyle f}$${\displaystyle f(n)=n+1}$${\displaystyle n\in \{1,2,3\}}$

เมื่อกำหนดฟังก์ชันด้วยวิธีนี้ การหาโดเมนของฟังก์ชันนั้นบางครั้งอาจทำได้ยาก หากสูตรที่กำหนดฟังก์ชันนั้นมีการหาร ค่าของตัวแปรที่มีตัวหารเป็นศูนย์จะต้องถูกตัดออกจากโดเมน ดังนั้น สำหรับฟังก์ชันที่ซับซ้อน การหาโดเมนจึงต้องอาศัยการคำนวณหาค่าศูนย์ของฟังก์ชันเสริม ในทำนองเดียวกัน หากมีรากที่สองปรากฏในนิยามของฟังก์ชันจากไปยังโดเมนจะรวมอยู่ในเซตของค่าตัวแปรที่ค่าของรากที่สองไม่เป็นลบ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$

ตัวอย่างเช่นกำหนดฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเนื่องจากมีค่าเป็นบวกเสมอถ้าxเป็นจำนวนจริง ในทางกลับกันกำหนดฟังก์ชันจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริงที่มีโดเมนลดลงเหลือช่วง[−1, 1] (ในตำราเก่า โดเมนดังกล่าวเรียกว่าโดเมนของการนิยามฟังก์ชัน) ${\displaystyle f(x)={\sqrt {1+x^{2}}}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle 1+x^{2}}$${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$

ฟังก์ชันสามารถจำแนกได้ตามลักษณะของสูตรที่ใช้กำหนดฟังก์ชันนั้น:

• ฟังก์ชันกำลังสองคือ ฟังก์ชันที่สามารถเขียนได้ในรูปโดยที่a , bและcเป็นค่าคงที่${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,}$
• โดยทั่วไปแล้วฟังก์ชันพหุนามคือฟังก์ชันที่สามารถกำหนดได้ด้วยสูตรที่เกี่ยวข้องกับการบวก การลบ การคูณ และการยกกำลังด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบเท่านั้น ตัวอย่างเช่นและเป็นฟังก์ชันพหุนามของ${\displaystyle f(x)=x^{3}-3x-1}$${\displaystyle f(x)=(x-1)(x^{3}+1)+2x^{2}-1}$${\displaystyle x}$
• ฟังก์ชันตรรกยะก็เช่นเดียวกัน โดยอนุญาตให้มีการหารได้ เช่นและ${\displaystyle f(x)={\frac {x-1}{x+1}},}$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x+1}}+{\frac {3}{x}}-{\frac {2}{x-1}}.}$
• ฟังก์ชันพีชคณิตก็เช่นเดียวกัน โดย อนุญาตให้ มีรากที่nและรากของพหุนามได้ด้วย
• ฟังก์ชันพื้นฐาน^{[หมายเหตุ 4 ]}ก็เหมือนกัน โดยอนุญาตให้ใช้ฟังก์ชันลอการิทึมและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ได้

ฟังก์ชันที่มีโดเมนXและโคโดเมนYเรียกว่า ฟังก์ชันหนึ่งต่อ หนึ่งทั่วถึง (bijective function ) ถ้าสำหรับทุกyในY จะมีเพียงองค์ประกอบ xเพียงหนึ่งเดียวในXที่ทำให้y = f ( x )ในกรณีนี้ฟังก์ชันผกผันของfคือฟังก์ชันที่แมปไปยังองค์ประกอบ x ที่ทำให้y = f ( x )ตัวอย่างเช่นลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากจำนวนจริงบวกไปยังจำนวนจริง ดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผันที่เรียกว่าฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งแมปจำนวนจริงไปยังจำนวนบวก ${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle f^{-1}:Y\to X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$

หากฟังก์ชันไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijective) อาจเกิดขึ้นได้ว่าเราสามารถเลือกเซตย่อยและได้เช่นนั้นการจำกัดฟังก์ชันfบนEจะเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากEไปยังFและดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผันฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกผกผันถูกนิยามด้วยวิธีนี้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันโคไซน์เหนี่ยวนำให้เกิดฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากการจำกัดช่วง[0, π ]ไปยังช่วง[−1, 1]และฟังก์ชันผกผันของมันเรียกว่าอาร์คโคไซน์ (arccosine ) จะแมปช่วง[−1, 1]ไปยัง[0, π ]ฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกผกผันอื่นๆ ถูกนิยามในทำนองเดียวกัน ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle E\subseteq X}$${\displaystyle F\subseteq Y}$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดความสัมพันธ์ทวิภาคRระหว่างเซตสองเซตXและYให้Eเป็นเซตย่อยของXโดยที่สำหรับทุก x ∈ R จะมี y บางตัวที่ทำให้x ∈ R yถ้ามีเกณฑ์ที่อนุญาตให้เลือกy ดังกล่าว สำหรับทุก x ∈ R เกณฑ์นี้ จะกำหนดฟังก์ชันที่เรียกว่าฟังก์ชันโดยปริยาย เพราะมันถูกกำหนดโดยปริยายจาก ความ สัมพันธ์R${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in E,}$${\displaystyle f:E\to Y,}$

ตัวอย่างเช่น สมการของวงกลมหน่วย กำหนดความสัมพันธ์บนจำนวนจริง ถ้า−1 < x < 1จะมีค่าy ที่เป็นไปได้สองค่า คือ ค่าบวกและค่าลบ สำหรับx = ± 1ค่าทั้งสองนี้จะเท่ากับ 0 มิฉะนั้นจะไม่มีค่าy ที่เป็นไปได้เลย ซึ่งหมายความว่าสมการนี้กำหนดฟังก์ชันโดยปริยายสองฟังก์ชันที่มีโดเมน[−1, 1]และโคโดเมน[0, +∞)และ(−∞, 0] ตาม ลำดับ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

ในตัวอย่างนี้ สมการสามารถหาคำตอบได้ในyโดยให้ผลลัพธ์เป็นแต่ในตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านี้ เป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์กำหนดให้yเป็นฟังก์ชันโดยปริยายของxเรียกว่ารากที่ n ของ Bringซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็น รากที่ n ของ Bring ไม่สามารถแสดงในรูปของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ทั้งสี่และรากที่nได้ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {1-x^{2}}},}$${\displaystyle y^{5}+y+x=0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยายให้ เงื่อนไข ความสามารถในการหาอนุพันธ์ อย่างง่าย สำหรับการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของฟังก์ชันโดยปริยายในบริเวณใกล้เคียงจุดหนึ่ง

ฟังก์ชันหลายฟังก์ชันสามารถนิยามได้ว่าเป็นปฏิอนุพันธ์ของฟังก์ชันอื่น ตัวอย่างเช่นลอการิทึมธรรมชาติซึ่งเป็นปฏิอนุพันธ์ของ1/ xที่มีค่าเป็น 0 เมื่อx = 1อีกตัวอย่างที่พบได้ทั่วไปคือฟังก์ชัน ความคลาดเคลื่อน

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันหลายฟังก์ชัน รวมถึงฟังก์ชันพิเศษ ส่วนใหญ่ สามารถนิยามได้ว่าเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดน่าจะเป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังซึ่งสามารถนิยามได้ว่าเป็นฟังก์ชันเฉพาะที่เท่ากับอนุพันธ์ของมันและมีค่าเท่ากับ 1 เมื่อx = 0

อนุกรมกำลังสามารถใช้กำหนดฟังก์ชันบนโดเมนที่ฟังก์ชันนั้นลู่เข้าได้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันเลขชี้กำลังกำหนดโดยอย่างไรก็ตาม เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของอนุกรมค่อนข้างเป็นไปตามอำเภอใจ ฟังก์ชันที่เป็นผลรวมของอนุกรมลู่เข้าจึงมักถูกกำหนดด้วยวิธีอื่น และลำดับของสัมประสิทธิ์เป็นผลมาจากการคำนวณบางอย่างโดยอิงจากนิยามอื่น จากนั้น อนุกรมกำลังสามารถใช้เพื่อขยายโดเมนของฟังก์ชันได้ โดยทั่วไป หากฟังก์ชันสำหรับตัวแปรจริงเป็นผลรวมของอนุกรมเทย์เลอร์ในช่วงใดช่วงหนึ่ง อนุกรมกำลังนี้จะช่วยให้สามารถขยายโดเมนไปยังเซตย่อยของจำนวนเชิงซ้อน ได้ทันที ซึ่งก็คือ จานลู่เข้าของอนุกรม จากนั้นการต่อยอดเชิงวิเคราะห์จะช่วยให้สามารถขยายโดเมนต่อไปได้อีกจนครอบคลุมเกือบทั้งระนาบเชิงซ้อนกระบวนการนี้เป็นวิธีการที่ใช้โดยทั่วไปในการกำหนดฟังก์ชันลอการิทึมเลขชี้กำลังและตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน ${\textstyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}$

ฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ซึ่งเรียกว่าลำดับบางครั้งถูกกำหนดโดยความสัมพันธ์เวียนเกิด

ฟังก์ชันแฟกทอเรียลบนจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ( ) เป็นตัวอย่างพื้นฐาน เนื่องจากสามารถกำหนดได้ด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิด ${\displaystyle n\mapsto n!}$

$${\displaystyle n!=n(n-1)!\quad {\text{for}}\quad n>0,}$$

และเงื่อนไขเริ่มต้น

$${\displaystyle 0!=1.}$$

กราฟเป็นเครื่องมือที่ใช้กันทั่วไปเพื่อให้เห็นภาพของฟังก์ชันได้อย่างชัดเจน ตัวอย่างเช่น เราสามารถเห็นได้ง่ายจากกราฟว่าฟังก์ชันนั้นเพิ่มขึ้นหรือลดลง ฟังก์ชันบางอย่างอาจแสดงด้วยแผนภูมิแท่งได้ เช่นกัน

เมื่อกำหนดฟังก์ชันหนึ่งแล้วกราฟ ของฟังก์ชัน นั้นในเชิงรูปธรรมคือเซต ${\displaystyle f:X\to Y,}$

$${\displaystyle G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.}$$

ในกรณีทั่วไปที่XและYเป็นเซตย่อยของจำนวนจริง (หรืออาจระบุได้ด้วยเซตย่อยดังกล่าว เช่นช่วง ) องค์ประกอบหนึ่งอาจถูกระบุด้วยจุดที่มีพิกัดx , yในระบบพิกัด 2 มิติ เช่นระนาบคาร์ทีเซียนบางส่วนของสิ่งนี้อาจสร้างเป็นกราฟที่แสดง (บางส่วนของ) ฟังก์ชัน การใช้กราฟนั้นแพร่หลายมากจนเรียกกราฟนั้นว่ากราฟของฟังก์ชัน เช่นกัน การแสดงฟังก์ชันด้วยกราฟยังสามารถทำได้ในระบบพิกัดอื่น ๆ ตัวอย่างเช่น กราฟของฟังก์ชันกำลังสอง${\displaystyle (x,y)\in G}$

$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$$

ฟังก์ชันกำลังสองประกอบด้วยจุดทั้งหมดที่มีพิกัดซึ่งให้ผลผลิต เมื่อแสดงในพิกัดคาร์ทีเซียน จะได้เป็นพาราโบลา ที่รู้จักกันดี ถ้าหากนำฟังก์ชันกำลังสองเดียวกันนี้ที่มีกราฟรูปแบบเดียวกัน ซึ่งประกอบด้วยคู่ของตัวเลข มาพล็อตในพิกัดเชิงขั้ว แทน จะได้เป็นเกลียวของแฟร์มาต์ ${\displaystyle (x,x^{2})}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle x\mapsto x^{2},}$${\displaystyle (r,\theta )=(x,x^{2}),}$

ฟังก์ชันสามารถแสดงได้ในรูปตารางค่า หากโดเมนของฟังก์ชันมีจำกัด ฟังก์ชันนั้นก็สามารถระบุได้อย่างสมบูรณ์ด้วยวิธีนี้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันการคูณที่กำหนดโดยสามารถแสดงได้ด้วยตารางการคูณ ที่เราคุ้นเคย${\displaystyle f:\{1,\ldots ,5\}^{2}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x,y)=xy}$

ในทางกลับกัน หากโดเมนของฟังก์ชันมีความต่อเนื่อง ตารางสามารถให้ค่าของฟังก์ชันที่ค่าเฉพาะของโดเมนได้ หากต้องการค่าระหว่างกลางสามารถใช้การประมาณค่าในช่วง เพื่อประมาณค่าของฟังก์ชันได้ ^{[หมายเหตุ 5 ]} ตัวอย่างเช่น ส่วนหนึ่งของตารางสำหรับฟังก์ชันไซน์อาจแสดงได้ดังนี้ โดยค่าต่างๆ จะถูกปัดเศษเป็นทศนิยม 6 ตำแหน่ง:

ก่อนการมาถึงของเครื่องคิดเลขพกพาและคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล ตารางดังกล่าวมักจะถูกรวบรวมและเผยแพร่สำหรับฟังก์ชันต่างๆ เช่น ลอการิทึมและฟังก์ชันตรีโกณมิติ^{[หมายเหตุ 6 ]}

แผนภูมิแท่งสามารถแสดงฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นเซตจำกัดจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็มในกรณีนี้ องค์ประกอบxของโดเมนจะถูกแทนด้วยช่วงบน แกน xและค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันf ( x )จะถูกแทนด้วยสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีฐานเป็นช่วงที่สอดคล้องกับxและความสูงเป็นf ( x ) (อาจเป็นค่าลบ ซึ่งในกรณีนี้แท่งจะยื่นลงไปใต้ แกน x )

ส่วนนี้อธิบายถึงคุณสมบัติทั่วไปของฟังก์ชัน ซึ่งไม่ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติเฉพาะของโดเมนและโคโดเมน

มีฟังก์ชันมาตรฐานจำนวนหนึ่งที่เกิดขึ้นบ่อยครั้ง:

• สำหรับทุกเซตXจะมีฟังก์ชันเฉพาะตัวหนึ่งเรียกว่า ฟังก์ชันฟังก์ชันว่างหรือแผนที่ว่างจากเซตว่างไปยังXกราฟของฟังก์ชันว่างคือเซตว่าง ^{[หมายเหตุ 7 ]}การมีอยู่ของฟังก์ชันว่างมีความจำเป็นทั้งเพื่อความสอดคล้องของทฤษฎีและเพื่อหลีกเลี่ยงข้อยกเว้นเกี่ยวกับเซตว่างในข้อความหลายๆ ข้อความ ภายใต้นิยามทางทฤษฎีเซตตามปกติของฟังก์ชันในฐานะสามลำดับ(หรือเทียบเท่า) จะมีฟังก์ชันว่างเพียงฟังก์ชันเดียวสำหรับแต่ละเซต ดังนั้นฟังก์ชันว่างจะไม่เท่ากับ ก็ต่อเมื่อแม้ว่ากราฟของทั้งสองจะเป็นเซตว่างก็ตาม${\displaystyle \varnothing \to X}$${\displaystyle \varnothing \to Y}$${\displaystyle X\neq Y}$
• สำหรับทุกเซตXและทุกเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว{ s }จะมีฟังก์ชันเฉพาะตัวจากXไปยัง{ s }ซึ่งแมปสมาชิกทุกตัวของXไปยังs ฟังก์ชัน นี้เป็นการส่งแบบทั่วถึง (ดูด้านล่าง) เว้นแต่ว่าXจะเป็นเซตว่าง
• เมื่อกำหนดฟังก์ชัน f แล้ว การ ส่งแบบทั่วถึงเชิงแคนอนิกของf ไปยังภาพของมันคือฟังก์ชันจากXไปยังf ( X )ที่แมปxไปยังf ( x )${\displaystyle f:X\to Y,}$${\displaystyle f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}}$
• สำหรับเซตย่อยA ทุกเซต ของเซตXแผนที่การรวมของAเข้าสู่Xคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (ดูด้านล่าง) ที่แมปทุกองค์ประกอบของAไปยังตัวมันเอง
• ฟังก์ชันเอกลักษณ์บนเซตXซึ่งมักใช้สัญลักษณ์id _XคือการรวมXเข้าไปในตัวมันเอง

กำหนดให้ฟังก์ชันสองฟังก์ชัน g และ f โดยที่โดเมนของgคือโคโดเมนของf การประกอบกันของฟังก์ชันทั้งสองนี้คือฟังก์ชันที่กำหนดโดย ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle g\circ f:X\rightarrow Z}$

$${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x)).}$$

กล่าวคือ ค่าของ y ได้มาจากการนำฟังก์ชันf ไปใช้ กับx ก่อน เพื่อให้ได้y = f ( x )จากนั้นจึงนำฟังก์ชันg ไปใช้ กับผลลัพธ์yเพื่อให้ได้g ( y ) = g ( f ( x ))ในสัญลักษณ์นี้ ฟังก์ชันที่นำมาใช้ก่อนจะเขียนไว้ทางด้านขวาเสมอ ${\displaystyle g\circ f}$

การประกอบฟังก์ชัน (composition) เป็นการดำเนินการกับฟังก์ชันซึ่งจะนิยามได้ก็ต่อเมื่อโคโดเมนของฟังก์ชันแรกเป็นโดเมนของฟังก์ชันที่สองเท่านั้น แม้ว่าทั้ง f และ g จะตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ การประกอบฟังก์ชันก็ไม่จำเป็นต้องสลับที่ได้เสมอไปกล่าวคือ ฟังก์ชัน f และ g ไม่จำเป็นต้องเท่ากัน และอาจให้ค่าที่แตกต่างกันสำหรับอาร์กิวเมนต์เดียวกัน ตัวอย่างเช่น ให้f ( x ) = x²และg ( x ) = x + 1 แล้ว f ^และ g จะเท่ากัน ก็ต่อเมื่อ x + 1 มีค่าต่างกันเท่านั้น${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle g(f(x))=x^{2}+1}$${\displaystyle f(g(x))=(x+1)^{2}}$${\displaystyle x=0.}$

การประกอบฟังก์ชันมีคุณสมบัติการสลับที่ในแง่ที่ว่า ถ้าฟังก์ชันหนึ่ง ถูกกำหนด แล้วฟังก์ชันอีกฟังก์ชันหนึ่งก็จะถูกกำหนดด้วย และทั้งสองฟังก์ชันจะเท่ากัน นั่นคือดังนั้น โดยทั่วไปจึงมักเขียนเพียงแค่${\displaystyle (h\circ g)\circ f}$${\displaystyle h\circ (g\circ f)}$${\displaystyle (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f).}$${\displaystyle h\circ g\circ f.}$

ฟังก์ชันเอกลักษณ์ และเป็นฟังก์ชันเอกลักษณ์ทางขวาและฟังก์ชันเอกลักษณ์ทางซ้ายสำหรับฟังก์ชันจากXไปยังY ตามลำดับ กล่าวคือ ถ้าfเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนXและโคโดเมนYจะได้ว่า ${\displaystyle \operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{Y}}$${\displaystyle f\circ \operatorname {id} _{X}=\operatorname {id} _{Y}\circ f=f.}$

• 
  ฟังก์ชันประกอบg ( f ( x )) สามารถมองเห็นได้ว่าเป็นการรวมกันของ "เครื่องจักร" สองเครื่อง
• 
  ตัวอย่างง่ายๆ ของการประกอบฟังก์ชัน
• 
  องค์ประกอบอื่น ในตัวอย่างนี้( g ∘ f )(c) = # .

ให้ภาพภายใต้fขององค์ประกอบxของโดเมนXคือf ( x ) ^{[ 6 ]}ถ้าAเป็นเซตย่อยใดๆ ของ^Xแล้วภาพของ A ภายใต้fซึ่งแสดงด้วยf ( A )คือเซตย่อยของโคโดเมนYที่ประกอบด้วยภาพทั้งหมดขององค์ประกอบของA [ ^{6 ]}นั่นคือ ${\displaystyle f:X\to Y.}$

$${\displaystyle f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.}$$

ภาพของf คือ ภาพของโดเมนทั้งหมด นั่นคือf ( X ) [ ^{17 ] เรียก}อีกอย่างว่าเรนจ์ของf [ ^{6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}แม้ว่าคำว่าเรนจ์ อาจ ^หมายถึงโคโดเมนด้วย^{[ 9 ] [ 17 ] [ 18 ]}

ในทางกลับกันภาพผกผันหรือภาพก่อนหน้าภายใต้fขององค์ประกอบyของโคโดเมนYคือเซตขององค์ประกอบทั้งหมดของโดเมน^{X ซึ่งภาพภายใต้ f เท่ากับ y [ 6 ]}ในเชิงสัญลักษณ์ภาพก่อนหน้า^{ของ y}จะถูกแทนด้วยและกำหนดโดยสมการ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}.}$$

ในทำนองเดียวกัน ภาพก่อนหน้าของเซตย่อยBของโคโดเมนYคือเซตของภาพก่อนหน้าขององค์ประกอบของBนั่นคือ เป็นเซตย่อยของโดเมนXที่ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของX ซึ่งภาพ ^ขององค์ประกอบเหล่านั้นอยู่ในB ^{[ 6} ] มันถูกแสดงด้วยและกำหนดโดยสมการ ${\displaystyle f^{-1}(B)}$

$${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}.}$$

ตัวอย่างเช่น ภาพผกผันของภายใต้ฟังก์ชันกำลังสองคือ เซต${\displaystyle \{4,9\}}$${\displaystyle \{-3,-2,2,3\}}$

ตามนิยามของฟังก์ชัน ภาพขององค์ประกอบxในโดเมนจะเป็นองค์ประกอบเดียวในโคโดเมนเสมอ อย่างไรก็ตาม ภาพผกผันขององค์ประกอบyในโคโดเมนอาจว่างเปล่าหรือมีองค์ประกอบจำนวนใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น ถ้าfเป็นฟังก์ชันจากจำนวนเต็มไปยังตัวมันเองซึ่งแปลงจำนวนเต็มทุกตัวเป็น 0 แล้ว ${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle f^{-1}(0)=\mathbb {Z} }$

ถ้าเป็นฟังก์ชัน และ AกับBเป็นเซตย่อยของXและCกับDเป็นเซตย่อยของYแล้ว จะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle A\subseteq B\Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)}$
• ${\displaystyle C\subseteq D\Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)}$
• ${\displaystyle A\subseteq f^{-1}(f(A))}$
• ${\displaystyle C\supseteq f(f^{-1}(C))}$
• ${\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)}$
• ${\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)}$

ภาพผกผันของfกับองค์ประกอบyในโคโดเมน บางครั้งเรียกว่าไฟเบอร์ของyภายใต้fใน บางบริบท

ถ้าฟังก์ชันfมีฟังก์ชันผกผัน (ดูด้านล่าง) ฟังก์ชันผกผันนี้จะใช้สัญลักษณ์ในกรณีนี้อาจใช้สัญลักษณ์ เพื่อแทนภาพหรือสัญลักษณ์ เพื่อแทนภาพต้นฉบับของ C ก็ได้ซึ่งไม่ใช่ปัญหา เพราะเซตเหล่านี้เท่ากัน สัญลักษณ์และอาจกำกวมในกรณีของเซตที่มีเซตย่อยเป็นสมาชิก เช่นในกรณีนี้ อาจต้องระมัดระวังเป็นพิเศษ เช่น ใช้เครื่องหมายวงเล็บเหลี่ยมสำหรับภาพและภาพต้นฉบับของเซตย่อย และใช้เครื่องหมายวงเล็บธรรมดาสำหรับภาพและภาพต้นฉบับของสมาชิก ${\displaystyle f^{-1}.}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle f^{-1}}$${\displaystyle f(A)}$${\displaystyle f^{-1}(C)}$${\displaystyle \{x,\{x\}\}.}$${\displaystyle f[A],f^{-1}[C]}$

ให้เป็นฟังก์ชัน ${\displaystyle f:X\to Y}$

ฟังก์ชันfเป็นฟังก์ชันหนึ่ง ต่อ หนึ่ง(หรือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งหรือเป็นฟังก์ชันฉีด ) ถ้าf ( a ) ≠ f ( b )สำหรับทุกสององค์ประกอบที่แตกต่างกันaและbของX ^{[ 17 ] [ 19 ]}หรือเทียบเท่าfเป็นฟังก์ชันฉีดก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกภาพผกผันมีองค์ประกอบไม่เกินหนึ่งตัว ฟังก์ชันว่างเป็นฟังก์ชันฉีดเสมอ ถ้าXไม่ใช่เซตว่างfเป็นฟังก์ชันฉีดก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันอยู่เช่นนั้นนั่นคือ ถ้าfมี ตัว ผกผันซ้าย^{[ 19 ]}พิสูจน์ : ถ้าfเป็นฟังก์ชันฉีด สำหรับการกำหนดgเราเลือกองค์ประกอบในX (ซึ่งมีอยู่เนื่องจากXถือว่าไม่ว่าง) ^{[หมายเหตุ 8 ]}และเรากำหนดgโดยถ้าและถ้าในทางกลับกัน ถ้าและ แล้วและดังนั้น${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle g(y)=x}$${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle g(y)=x_{0}}$${\displaystyle y\not \in f(X).}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X},}$${\displaystyle y=f(x),}$${\displaystyle x=g(y),}$${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\}.}$

ฟังก์ชันfเป็นฟังก์ชันทั่วถึง (หรือทั่วถึงหรือเป็นการส่งทั่วถึง ) ถ้าช่วงของมันเท่ากับโคโดเมนนั่นคือ ถ้าสำหรับแต่ละองค์ประกอบของโคโดเมน จะมีองค์ประกอบบางอย่างของโดเมนที่ทำให้(กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ภาพผกผันของทุกไม่ว่างเปล่า) ^{[ 17 ] [ 20 ]} ถ้า สมมติสัจพจน์ของการเลือกตามปกติในคณิตศาสตร์สมัยใหม่fจะเป็นฟังก์ชันทั่วถึงก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันที่ทำให้ นั่นคือ ถ้าfมีตัวผกผันทางขวา^{[ 20} ] สัจพจน์ของการเลือกมีความจำเป็น เพราะถ้าfเป็นฟังก์ชันทั่วถึง เราจะกำหนดgโดยที่เป็น องค์ประกอบ ที่เลือกโดยพล^การของ${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=y}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y},}$${\displaystyle g(y)=x,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f^{-1}(y).}$

ฟังก์ชันfเป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อ หนึ่งทั่วถึง (หรือเป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ) ถ้าเป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและฟังก์ชันทั่วถึง[ ^{17 ] [ 21 ] กล่าว}คือfเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง ถ้าสำหรับทุกๆภาพผกผันมีองค์ประกอบเพียงหนึ่งเดียว ฟังก์ชันfเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชันผกผันนั่นคือฟังก์ชันที่และ^{[ 21 ]} (ตรงกันข้ามกับกรณีของการจับคู่แบบทั่วถึง สิ่งนี้ไม่จำเป็นต้องใช้สัจพจน์ของการเลือก การพิสูจน์นั้นตรงไปตรงมา) ${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle f^{-1}(y)}$${\displaystyle g:Y\to X}$${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$${\displaystyle f\circ g=\operatorname {id} _{Y}.}$

ทุกฟังก์ชันสามารถแยกตัวประกอบได้เป็นการประกอบกันของการส่งทั่วถึงตามด้วยการส่งหนึ่งต่อหนึ่ง โดยที่sคือการส่งทั่วถึงแบบแคนอนิกจากXไปยังf ( X )และiคือการส่งหนึ่งต่อหนึ่งแบบแคนอนิกจากf ( X )ไปยังYนี่คือการแยกตัวประกอบแบบแคนอนิก ของf${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle i\circ s}$

คำว่า "หนึ่งต่อหนึ่ง" และ "ต่อ" เป็นคำที่ใช้กันทั่วไปในวรรณกรรมภาษาอังกฤษยุคเก่า ส่วนคำว่า "injective", "surjective" และ "bijective" นั้นเดิมทีเป็นคำภาษาฝรั่งเศสที่บัญญัติขึ้นในไตรมาสที่สองของศตวรรษที่ 20 โดยกลุ่ม Bourbakiและนำเข้ามาในภาษาอังกฤษ^{[ 22 ]}ข้อควรระวังคือ "ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง" หมายถึงฟังก์ชันแบบ injective ในขณะที่ "การจับคู่หนึ่งต่อหนึ่ง" หมายถึงฟังก์ชันแบบ bijective นอกจากนี้ ประโยค " fแมปXไปยังY " แตกต่างจาก " f แมปXไปยังB " ตรงที่ประโยคแรกบ่งบอกว่าfเป็น surjective ในขณะที่ประโยคหลังไม่ได้ระบุถึงลักษณะของfในการให้เหตุผลที่ซับซ้อน ความแตกต่างเพียงตัวอักษรเดียวอาจถูกมองข้ามไปได้ง่าย เนื่องจากความสับสนของคำศัพท์เก่าเหล่านี้ คำศัพท์เหล่านี้จึงได้รับความนิยมลดลงเมื่อเทียบกับคำศัพท์ของ Bourbaki ซึ่งมีข้อดีคือมีความสมมาตรมากกว่า

ถ้าเป็นฟังก์ชัน และSเป็นเซตย่อยของXแล้วการจำกัดของบนSซึ่งเขียนแทนด้วยคือฟังก์ชันจากSไปยังYที่กำหนดโดย ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f|_{S}}$

$${\displaystyle f|_{S}(x)=f(x)}$$

สำหรับทุกxในSข้อจำกัดสามารถใช้เพื่อกำหนดฟังก์ชันผกผัน บางส่วนได้ : ถ้ามีเซตย่อยSของโดเมนของฟังก์ชันที่ เป็นฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง (injective) แล้ว การส่งแบบทั่วถึง (surjection) ของไปยังภาพของฟังก์ชันนั้นจะเป็นการส่งแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (bijection) และดังนั้นจึงมีฟังก์ชันผกผันจากไปยังSการประยุกต์ใช้อย่างหนึ่งคือการกำหนดฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกผกผันตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน โคไซน์เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเมื่อจำกัดอยู่ในช่วง[0, π ]ภาพของการจำกัดนี้คือช่วง[−1, 1]ดังนั้นการจำกัดนี้จึงมีฟังก์ชันผกผันจาก[−1, 1]ไปยัง[0, π ]ซึ่งเรียกว่าอาร์คโคไซน์ (arccosine ) และเขียนแทนด้วยarccos${\displaystyle f}$${\displaystyle f|_{S}}$${\displaystyle f|_{S}}$${\displaystyle f|_{S}(S)=f(S)}$${\displaystyle f(S)}$

การจำกัดฟังก์ชันอาจใช้เพื่อ "เชื่อม" ฟังก์ชันเข้าด้วยกันได้เช่นกัน สมมติให้X เป็นการ แยกส่วนของ X เป็นการรวมกันของเซตย่อย และสมมติว่ามีการกำหนดฟังก์ชันบนแต่ละ เซตย่อย โดยที่สำหรับแต่ละคู่ของดัชนี การจำกัดของและบน เซตย่อยนั้น เท่ากัน จากนั้นสิ่งนี้จะกำหนดฟังก์ชันที่ไม่ซ้ำกัน เพียงฟังก์ชันเดียว โดยที่สำหรับทุกiนี่คือวิธีการกำหนด ฟังก์ชันบน แมนิโฟลด์${\textstyle X=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$${\displaystyle f_{i}:U_{i}\to Y}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle i,j}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f|_{U_{i}}=f_{i}}$

การขยายฟังก์ชันfคือฟังก์ชันgที่fเป็นการจำกัดขอบเขตของgตัวอย่างการใช้งานทั่วไปของแนวคิดนี้คือกระบวนการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ซึ่งช่วยให้สามารถขยายฟังก์ชันที่มีโดเมนเป็นส่วนเล็ก ๆ ของระนาบเชิงซ้อนไปเป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนเกือบครอบคลุมระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดได้

นี่คือตัวอย่างคลาสสิกอีกตัวอย่างหนึ่งของการขยายฟังก์ชันที่พบเจอเมื่อศึกษาโฮโมกราฟีของเส้นจำนวนจริงโฮโมกราฟีคือฟังก์ชันที่ad − bc ≠ 0โดเมนของมันคือเซตของจำนวนจริง ทั้งหมด ที่ต่างจาก 0 และภาพของมันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดที่ต่างจาก 0 ถ้าเราขยายเส้นจำนวนจริงไปเป็นเส้นจำนวนจริงที่ขยายเชิงโปรเจกทีฟโดยรวม∞ เข้าไปด้วย เรา สามารถขยายhไปเป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งจากเส้นจำนวนจริงที่ขยายแล้วไปยังตัวมันเองได้โดยกำหนดให้ ∞ = 0 และ ∞ = 0 ${\displaystyle h(x)={\frac {ax+b}{cx+d}}}$${\displaystyle -d/c,}$${\displaystyle a/c.}$${\displaystyle h(\infty )=a/c}$${\displaystyle h(-d/c)=\infty }$

แนวคิดเรื่องฟังก์ชัน ซึ่งเริ่มต้นในศตวรรษที่ 17 เป็นพื้นฐานสำคัญของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ แบบใหม่ ในเวลานั้น มีเพียงฟังก์ชันค่าจริง ของ ตัวแปรจริง เท่านั้น ที่ถูกพิจารณา และฟังก์ชันทั้งหมดถูกสมมติว่าเป็นฟังก์ชันเรียบแต่ในไม่ช้า นิยามนี้ก็ถูกขยายไปสู่ฟังก์ชันของหลายตัวแปรและฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 นิยามที่เข้มงวดทางคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันได้รับการนำเสนอ และมีการกำหนดฟังก์ชันที่มีโดเมนและโคโดเมนใดๆ ก็ได้

ปัจจุบันฟังก์ชันถูกนำไปใช้ในทุกสาขาของคณิตศาสตร์ ในแคลคูลัส เบื้องต้น เมื่อ ใช้คำว่าฟังก์ชัน โดยไม่มีคำอธิบายเพิ่มเติม จะหมายถึงฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงตัวเดียว คำจำกัดความทั่วไปของฟังก์ชันมักจะถูกแนะนำให้กับนักศึกษาระดับวิทยาลัยปีที่สองหรือสามที่เรียนสาขา วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยี วิศวกรรมศาสตร์ และคณิตศาสตร์และในปีสุดท้าย พวกเขาจะได้เรียนรู้แคลคูลัสในบริบทที่กว้างขวางและเข้มงวดมากขึ้นในหลักสูตรต่างๆ เช่นการวิเคราะห์เชิงจริงและ การ วิเคราะห์ เชิงซ้อน

ฟังก์ชันจริงคือ ฟังก์ชัน ค่าจริงของตัวแปรจริงกล่าวคือ ฟังก์ชันที่มีโคโดเมนเป็นฟิลด์ของจำนวนจริงและโดเมนเป็นเซตของจำนวนจริงที่ประกอบด้วยช่วงในส่วนนี้ ฟังก์ชันเหล่านี้จะถูกเรียกว่าฟังก์ชัน เฉยๆ

ฟังก์ชันที่นิยมใช้กันมากที่สุดในคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ มักมีความสม่ำเสมอ กล่าวคือ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องหาอนุพันธ์ได้และแม้กระทั่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ความสม่ำเสมอนี้ทำให้สามารถแสดงภาพฟังก์ชันเหล่านี้ได้ด้วยกราฟในส่วนนี้ ฟังก์ชันทั้งหมดจะหาอนุพันธ์ได้ในช่วงใดช่วงหนึ่ง

ฟังก์ชันมีโอเปอเรชันแบบจุดต่อจุดกล่าวคือ ถ้าfและgเป็นฟังก์ชัน ผลรวม ผลต่าง และผลคูณของทั้งสองฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\(f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\\end{aligned}}.}$$

โดเมนของฟังก์ชันที่ได้จะเป็นส่วนร่วมของโดเมนของfและgส่วนผลหารของฟังก์ชันสองฟังก์ชันนั้นกำหนดไว้ในทำนองเดียวกันโดย

$${\displaystyle {\frac {f}{g}}(x)={\frac {f(x)}{g(x)}},}$$

แต่โดเมนของฟังก์ชันที่ได้นั้นได้มาจากการลบค่า ศูนย์ของg ออก จากส่วนที่ทับซ้อนกันของโดเมนของfและg

ฟังก์ชันพหุนามถูกกำหนดโดยพหุนามและโดเมนของฟังก์ชันพหุนามคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชันพหุนามประกอบด้วยฟังก์ชันค่าคงที่ฟังก์ชันเชิงเส้นและฟังก์ชันกำลังสอง ฟังก์ชันตรรกยะเป็นผลหารของฟังก์ชันพหุนามสองฟังก์ชัน และโดเมนของฟังก์ชันตรรกยะคือจำนวนจริง โดยตัดจำนวนจริงบางส่วนออกไปเพื่อหลีกเลี่ยงการหารด้วยศูนย์ฟังก์ชันตรรกยะที่ง่ายที่สุดคือฟังก์ชันที่มีกราฟเป็นรูปไฮเปอร์โบลาและโดเมนของฟังก์ชันตรรกยะคือเส้นจำนวนจริง ทั้งหมด ยกเว้น 0 ${\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}},}$

อนุพันธ์ของฟังก์ชันจริงที่หาอนุพันธ์ได้คือฟังก์ชันจริงปฏิอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริงต่อเนื่องคือฟังก์ชันจริงที่มีอนุพันธ์เป็นฟังก์ชันเดิม ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันนั้นต่อเนื่องและหาอนุพันธ์ได้บนจำนวนจริงบวก ดังนั้น ปฏิอนุพันธ์หนึ่งซึ่งมีค่าเป็นศูนย์เมื่อx = 1คือฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ เรียกว่าลอการิทึม ธรรมชาติ${\textstyle x\mapsto {\frac {1}{x}}}$

ฟังก์ชันจริงfเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกในช่วงหนึ่ง ถ้าเครื่องหมายของอนุพันธ์ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกxและyในช่วงนั้น ถ้าฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ในช่วงนั้น ฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกก็ต่อเมื่อเครื่องหมายของอนุพันธ์คงที่ในช่วงนั้น ถ้าฟังก์ชันจริงfเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกในช่วงI ฟังก์ชัน นั้นจะมีฟังก์ชันผกผันซึ่งเป็นฟังก์ชันจริงที่มีโดเมนf ( I )และภาพIนี่คือวิธีการ นิยาม ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยที่ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิก ตัวอย่างอื่น: ลอการิทึมธรรมชาติเป็นฟังก์ชันโมโนโทนิกบนจำนวนจริงบวก และภาพของมันคือเส้นจำนวนจริงทั้งหมด ดังนั้นมันจึงมีฟังก์ชันผกผันที่เป็นการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจำนวนจริงและจำนวนจริงบวก ฟังก์ชันผกผันนี้คือฟังก์ชัน เลขชี้กำลัง${\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}}$

ฟังก์ชันจริงอื่นๆ อีกมากมายถูกกำหนดโดยทฤษฎีบทฟังก์ชันโดยปริยาย (ฟังก์ชันผกผันเป็นตัวอย่างเฉพาะ) หรือเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน ไซน์และโคไซน์เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้น

$${\displaystyle y''+y=0}$$

โดยที่

$${\displaystyle \sin 0=0,\quad \cos 0=1,\quad {\frac {\partial \sin x}{\partial x}}(0)=1,\quad {\frac {\partial \cos x}{\partial x}}(0)=0.}$$

เมื่อองค์ประกอบของโคโดเมนของฟังก์ชันเป็นเวกเตอร์ฟังก์ชันนั้นเรียกว่าฟังก์ชันค่าเวกเตอร์ ฟังก์ชันเหล่านี้มีประโยชน์อย่างยิ่งในการประยุกต์ใช้งาน เช่น การจำลองคุณสมบัติทางกายภาพ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่เชื่อมโยงเวกเตอร์ความเร็ว ของแต่ละจุดในของเหลว เป็นฟังก์ชันค่าเวกเตอร์

ฟังก์ชันเวกเตอร์บางฟังก์ชันถูกนิยามบนเซตย่อยของ หรือปริภูมิอื่นๆ ที่มี คุณสมบัติทางเรขาคณิตหรือทางโทโพโลยี ร่วม กับ เช่นแมนิโฟลด์ฟังก์ชันเวกเตอร์เหล่านี้เรียกว่าฟิลด์เวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันปริภูมิฟังก์ชันคือเซตของ ฟังก์ชัน ที่มีค่าเป็นสเกลาร์หรือเวกเตอร์ซึ่งมีคุณสมบัติเฉพาะร่วมกันและก่อตัวเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงโทโพโลยี ตัวอย่างเช่นฟังก์ชันเรียบ จริง ที่มีขอบเขตจำกัด (กล่าวคือ มีค่าเป็นศูนย์นอกเซตจำกัด บางเซต ) ก่อตัวเป็นปริภูมิฟังก์ชันที่เป็นพื้นฐานของทฤษฎีการ แจกแจง

ปริภูมิฟังก์ชันมีบทบาทพื้นฐานในคณิตศาสตร์วิเคราะห์ขั้นสูง โดยอนุญาตให้ใช้คุณสมบัติทางพีชคณิตและทางโทโพโลยีในการศึกษาคุณสมบัติของฟังก์ชัน ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบททั้งหมดเกี่ยวกับการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของคำตอบของสม การเชิงอนุพันธ์ สามัญหรือเชิงอนุพันธ์ย่อยล้วนเป็นผลมาจากการศึกษาปริภูมิฟังก์ชัน

วิธีการหลายวิธีในการกำหนดฟังก์ชันของตัวแปรจริงหรือตัวแปรเชิงซ้อนเริ่มต้นจากนิยามเฉพาะที่ของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งหรือบริเวณใกล้เคียงจุดนั้น แล้วจึงขยายฟังก์ชันนั้นโดยใช้ความต่อเนื่องไปยังโดเมนที่ใหญ่กว่ามาก บ่อยครั้งที่สำหรับจุดเริ่มต้นหนึ่งจุดจะมีค่าเริ่มต้นที่เป็นไปได้หลายค่าสำหรับฟังก์ชันนั้น ${\displaystyle x_{0},}$

ตัวอย่างเช่น ในการนิยามรากที่สองว่าเป็นฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันกำลังสอง สำหรับจำนวนจริงบวกใดๆจะมีค่ารากที่สองให้เลือกสองค่า ค่าหนึ่งเป็นบวกและใช้สัญลักษณ์และอีกค่าหนึ่งเป็นลบและใช้สัญลักษณ์ค่าที่เลือกได้เหล่านี้กำหนดฟังก์ชันต่อเนื่องสองฟังก์ชัน โดยทั้งสองฟังก์ชันมีจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบเป็นโดเมน และมีจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบหรือจำนวนจริงที่ไม่เป็นบวกเป็นภาพ เมื่อพิจารณากราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ จะเห็นได้ว่าเมื่อรวมกันแล้ว ฟังก์ชันทั้งสองจะสร้างเส้นโค้งเรียบเส้น เดียว ดังนั้นจึงมักเป็นประโยชน์ที่จะพิจารณาฟังก์ชันรากที่สองทั้งสองนี้เป็นฟังก์ชันเดียวที่มีค่าx สองค่าสำหรับค่าบวก ค่าหนึ่งค่าสำหรับ 0 และไม่มีค่าสำหรับค่าลบ x${\displaystyle x_{0},}$${\displaystyle {\sqrt {x_{0}}},}$${\displaystyle -{\sqrt {x_{0}}}.}$

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ตัวเลือกหนึ่งคือรากที่สองที่เป็นบวก ดูเป็นธรรมชาติมากกว่าอีกตัวเลือกหนึ่ง แต่โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่เช่นนั้น ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาฟังก์ชันโดยปริยายที่แมปyไปยังรากxของ(ดูรูปทางด้านขวา) สำหรับy = 0เราสามารถเลือกxได้ ทั้งสองแบบ ตาม ทฤษฎีบทฟังก์ชันโดย ปริยาย แต่ละตัวเลือกจะกำหนดฟังก์ชัน สำหรับตัวเลือกแรก โดเมน (สูงสุด) คือช่วง[−2, 2]และภาพคือ[−1, 1]สำหรับตัวเลือกที่สอง โดเมนคือ[−2, ∞)และภาพคือ[1, ∞ ) สำหรับฟังก์ชันสุดท้าย โดเมนคือ(−∞, 2]และภาพคือ(−∞, −1]เนื่องจากกราฟทั้งสามรวมกันเป็นเส้นโค้งเรียบ และไม่มีเหตุผลใดที่จะเลือกฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งเป็นพิเศษ ฟังก์ชันทั้งสามนี้จึงมักถูกพิจารณาว่าเป็นฟังก์ชันหลายค่า เดียว ของyที่มีสามค่าสำหรับ−2 < y < 2และมีเพียงค่าเดียวสำหรับy ≤ −2และy ≥ −2 ${\displaystyle x^{3}-3x-y=0}$${\displaystyle 0,{\sqrt {3}},{\text{ or }}-{\sqrt {3}}}$

ประโยชน์ของแนวคิดเรื่องฟังก์ชันหลายค่าจะชัดเจนยิ่งขึ้นเมื่อพิจารณาฟังก์ชันเชิงซ้อน โดยทั่วไปคือฟังก์ชันวิเคราะห์โดเมนที่ฟังก์ชันเชิงซ้อนสามารถขยายได้โดยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์โดยทั่วไปประกอบด้วยระนาบเชิงซ้อน เกือบทั้งหมด อย่างไรก็ตาม เมื่อขยายโดเมนผ่านเส้นทางที่แตกต่างกันสองเส้นทาง มักจะได้ค่าที่แตกต่างกัน ตัวอย่างเช่น เมื่อขยายโดเมนของฟังก์ชันรากที่สองไปตามเส้นทางของจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตนาการเป็นบวก จะได้iสำหรับรากที่สองของ −1 ในขณะที่เมื่อขยายผ่านจำนวนเชิงซ้อนที่มีส่วนจินตนาการเป็นลบ จะได้−iโดยทั่วไปมีสองวิธีในการแก้ปัญหา วิธีหนึ่งคือการกำหนดฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องตามเส้นโค้งบางเส้น เรียกว่า รอยตัดสาขาฟังก์ชันดังกล่าวเรียกว่าค่าหลักของฟังก์ชัน อีกวิธีหนึ่งคือการพิจารณาว่าเรามีฟังก์ชันหลายค่าซึ่งเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ทุกที่ยกเว้นจุดเอกฐานที่แยกเดี่ยว แต่ค่าของมันอาจ "กระโดด" หากเราตามวงปิดรอบจุดเอกฐาน การกระโดดนี้เรียกว่าโมโนโดรมี

นิยามของฟังก์ชันที่กล่าวถึงในบทความนี้จำเป็นต้องใช้แนวคิดของเซตเนื่องจากโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชันต้องเป็นเซต ในทางคณิตศาสตร์ทั่วไปนั้น นี่ไม่ใช่ปัญหา เพราะโดยทั่วไปแล้วการพิจารณาเฉพาะฟังก์ชันที่มีโดเมนและโคโดเมนเป็นเซตซึ่งนิยามไว้อย่างดีนั้นไม่ใช่เรื่องยาก แม้ว่าโดเมนจะไม่ได้นิยามไว้อย่างชัดเจนก็ตาม อย่างไรก็ตาม บางครั้งการพิจารณาฟังก์ชันทั่วไปอื่นๆ ก็มีประโยชน์

ตัวอย่างเช่นเซตซิงเกิลตันอาจถือได้ว่าเป็นฟังก์ชันโดเมนของมันจะรวมถึงเซตทั้งหมด และด้วยเหตุนี้จึงไม่ใช่เซต ในคณิตศาสตร์ทั่วไป เราหลีกเลี่ยงปัญหาประเภทนี้โดยการระบุโดเมน ซึ่งหมายความว่าเรามีฟังก์ชันซิงเกิลตันจำนวนมาก อย่างไรก็ตาม เมื่อสร้างรากฐานของคณิตศาสตร์ เราอาจต้องใช้ฟังก์ชันที่ไม่ได้ระบุโดเมน โคโดเมน หรือทั้งสองอย่าง และผู้เขียนบางคน ซึ่งมักจะเป็นนักตรรกศาสตร์ จะให้คำจำกัดความที่แม่นยำสำหรับฟังก์ชันที่ระบุอย่างหลวมๆ เหล่านี้^{[ 23 ]}${\displaystyle x\mapsto \{x\}.}$

ฟังก์ชันทั่วไปเหล่านี้อาจมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการพัฒนารูปแบบที่เป็นทางการของพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ตัวอย่างเช่นทฤษฎีเซตของฟอน นอยมันน์-เบอร์เนย์ส-เกอเดลเป็นส่วนขยายของทฤษฎีเซตที่กลุ่มของเซตทั้งหมดเป็นคลาสทฤษฎีนี้รวมถึงสัจพจน์การแทนที่ซึ่งอาจกล่าวได้ว่า ถ้าXเป็นเซตและFเป็นฟังก์ชัน แล้วF [ X ]เป็นเซต

ในการกำหนดรูปแบบทางเลือกของพื้นฐานของคณิตศาสตร์โดยใช้ทฤษฎีประเภทแทนทฤษฎีเซต ฟังก์ชันถือเป็นแนวคิดพื้นฐานแทนที่จะกำหนดจากวัตถุประเภทอื่น ฟังก์ชันเหล่านี้เป็นสมาชิกในประเภทฟังก์ชันและอาจสร้างขึ้นโดยใช้การแสดงออกในแคลคูลัสแลมบ์ดา^{[ 24 ]}

ใน การเขียน โปรแกรมคอมพิวเตอร์ฟังก์ชันโดยทั่วไปคือซับรูทีนที่ใช้แนวคิดนามธรรมของฟังก์ชัน กล่าวคือ เป็นหน่วยโปรแกรมที่สร้างผลลัพธ์สำหรับแต่ละอินพุตการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันเป็นกระบวนทัศน์การเขียนโปรแกรมที่ประกอบด้วยการสร้างโปรแกรมโดยใช้เฉพาะซับรูทีนที่ทำงานเหมือนฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ ซึ่งหมายความว่าไม่มีผลข้างเคียงและขึ้นอยู่กับอาร์กิวเมนต์เท่านั้น: พวกมันโปร่งใสในเชิงอ้างอิงตัวอย่างเช่น `f` เป็นฟังก์ชันที่รับฟังก์ชัน ( nullary ) สามฟังก์ชันเป็นอาร์กิวเมนต์ และขึ้นอยู่กับค่าของอาร์กิวเมนต์แรก ( จริงหรือเท็จ ) จะส่งคืนค่าของอาร์กิวเมนต์ที่สองหรือที่สาม ข้อดีที่สำคัญของการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันคือทำให้การพิสูจน์โปรแกรม ง่ายขึ้น เนื่องจากมีพื้นฐานมาจากทฤษฎีที่มั่นคงคือแคลคูลัสแลมบ์ดา (ดูด้านล่าง) อย่างไรก็ตาม ผลข้างเคียงโดยทั่วไปจำเป็นสำหรับโปรแกรมเชิงปฏิบัติ โปรแกรมที่ทำการป้อนข้อมูล/แสดงผล มีภาษาโปรแกรม เชิงฟังก์ชันบริสุทธิ์บางกลุ่มเช่นHaskellที่ห่อหุ้มความเป็นไปได้ของผลข้างเคียงไว้ในประเภทของฟังก์ชัน ภาษาอื่นๆ เช่น ตระกูล MLอนุญาตให้มีผลข้างเคียงได้ if_then_else

ในภาษาโปรแกรม หลาย ภาษา ทุกซับรูทีนจะถูกเรียกว่าฟังก์ชัน แม้ว่าจะไม่มีผลลัพธ์ใด ๆ แต่มีเพียงผลข้างเคียง และแม้ว่าหน้าที่การทำงานจะประกอบด้วยการแก้ไขข้อมูลบางอย่างในหน่วยความจำของคอมพิวเตอร์เท่านั้น

นอกบริบทของภาษาโปรแกรม "ฟังก์ชัน" มีความหมายทางคณิตศาสตร์ตามปกติในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ในด้านนี้ คุณสมบัติที่น่าสนใจอย่างยิ่งคือความสามารถในการคำนวณของฟังก์ชัน เพื่อให้ความหมายที่แม่นยำแก่แนวคิดนี้ และแนวคิดที่เกี่ยวข้องอย่างอัลกอริทึมจึงมีการนำเสนอแบบจำลองการคำนวณหลายแบบ โดยแบบจำลองเก่าๆ ได้แก่ ฟังก์ชันเวียนเกิดทั่วไปแคลคูลัสแลมบ์ดาและเครื่องจักรทัวริงทฤษฎีบทพื้นฐานของทฤษฎีความสามารถในการคำนวณคือแบบจำลองการคำนวณทั้งสามแบบนี้กำหนดชุดของฟังก์ชันที่คำนวณได้ชุดเดียวกันวิทยานิพนธ์ของเชิร์ช-ทัวริงคือข้ออ้างที่ว่าคำจำกัดความของฟังก์ชันที่คำนวณ ได้ที่ยอมรับได้ในเชิงปรัชญาทุก ข้อจะกำหนดฟังก์ชันเดียวกันด้วย แบบจำลองอื่นๆ ทั้งหมดของฟังก์ชันที่คำนวณได้ในทางปฏิบัติที่เคยเสนอมานั้น กำหนดชุดของฟังก์ชันที่คำนวณได้ชุดเดียวกันหรือชุดที่เล็กกว่า

ฟังก์ชันเรียกซ้ำทั่วไปคือฟังก์ชันบางส่วนจากจำนวนเต็มไปยังจำนวนเต็ม ซึ่งสามารถกำหนดได้จาก

• ฟังก์ชันคงที่
• ผู้สืบทอดและ
• ฟังก์ชันการฉายภาพ

ผ่านทางผู้ให้บริการ

• องค์ประกอบ ,
• การเรียกซ้ำแบบดั้งเดิมและ
• การลดขนาด

แม้ว่าจะถูกนิยามไว้สำหรับฟังก์ชันจากจำนวนเต็มไปยังจำนวนเต็มเท่านั้น แต่แบบจำลองเหล่านี้สามารถใช้จำลองฟังก์ชันที่คำนวณได้ใดๆ ก็ได้ อันเป็นผลมาจากคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• การคำนวณ คือ การจัดการลำดับสัญลักษณ์ที่มีจำนวนจำกัด (เช่น ตัวเลข สูตร ฯลฯ)
• ลำดับของสัญลักษณ์ทุกชุดสามารถเข้ารหัสเป็นลำดับของบิตได้
• ลำดับบิตสามารถตีความได้ว่าเป็นตัวแทนเลขฐานสองของจำนวนเต็ม

แคลคูลัสแลมบ์ดาเป็นทฤษฎีที่กำหนดฟังก์ชันที่คำนวณได้โดยไม่ต้องใช้ทฤษฎีเซตและเป็นพื้นฐานทางทฤษฎีของการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชัน ประกอบด้วยเทอมที่เป็นตัวแปร นิยามฟังก์ชัน ( เทอม 𝜆 ) หรือการประยุกต์ใช้ฟังก์ชันกับเทอม เทอมเหล่านี้ถูกจัดการโดยการตีความสัจพจน์ ( ความสมมูลα การลดรูป βและ การแปลง η ) เป็น กฎ การเขียนใหม่ซึ่งสามารถนำมาใช้ในการคำนวณได้

ในรูปแบบดั้งเดิม แคลคูลัสแลมบ์ดาไม่ได้รวมแนวคิดเรื่องโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชันไว้ โดยคร่าวๆ แล้ว แนวคิดเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในทฤษฎีภายใต้ชื่อของชนิดในแคลคูลัสแลมบ์ดาแบบมีชนิด แคลคูลัสแลมบ์ดาแบบมีชนิดส่วนใหญ่สามารถกำหนดฟังก์ชันได้น้อยกว่าแคลคูลัสแลมบ์ดาแบบไม่มีชนิด

• Wolfram Functions – เว็บไซต์ที่ให้สูตรและภาพประกอบของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์มากมาย
• ห้องสมุดดิจิทัลของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ NIST