การวิเคราะห์เชิงซ้อนซึ่งเดิมเรียกว่าทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนเป็นสาขาหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ที่ศึกษาฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนของจำนวนเชิงซ้อนมีประโยชน์ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ รวมถึงการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันเรขาคณิตเชิงพีชคณิตทฤษฎีจำนวน คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงเชิงวิเคราะห์และคณิตศาสตร์ประยุกต์ตลอดจนในฟิสิกส์รวมถึงสาขาอุทกพลศาสตร์อุณหพลศาสตร์ กลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีทวิสเตอร์นอกจากนี้ การใช้การวิเคราะห์เชิงซ้อนยังมีการประยุกต์ใช้ในสาขาวิศวกรรม เช่นวิศวกรรมนิวเคลียร์วิศวกรรมการบินและอวกาศวิศวกรรมเครื่องกลและวิศวกรรมไฟฟ้า^{[ 1 ]}

มองเผินๆ แล้ว การวิเคราะห์เชิงซ้อนคือการศึกษาฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกซึ่งเป็น ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ของตัวแปรเชิงซ้อน แตกต่างจากกรณีของจำนวนจริง ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกจะหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้ง เสมอ และเท่ากับผลรวมของอนุกรมเทย์เลอร์ในบริเวณใกล้เคียง แต่ละจุดใน โดเมนของมันนี่ทำให้วิธีการและผลลัพธ์ของการวิเคราะห์เชิงซ้อนแตกต่างอย่างมากจากการวิเคราะห์เชิงจริง ฟังก์ชันเชิงซ้อนยังมีพฤติกรรมที่แตกต่างกันมากภายใต้การอินทิเกรตตามเส้นโค้ง : อินทิกรัลของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนเส้นโค้งในระนาบเชิงซ้อนไม่ขึ้นอยู่กับรายละเอียดของเส้นโค้ง แต่ขึ้นอยู่กับว่ามันวนรอบจุดเอกฐานของฟังก์ชันอย่างไร การที่สามารถย้ายเส้นโค้งที่กำหนดไปยังเส้นโค้งที่เหมาะสมกว่ามักนำไปสู่การลดความซับซ้อนอย่างมากในการพิสูจน์

ทฤษฎีตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวเป็นการขยายทฤษฎีฟังก์ชันเชิงซ้อนตัวแปรเดียวไปสู่มิติเชิงซ้อนมากกว่าหนึ่งมิติ แม้ว่าเทคนิคหลายอย่างของตัวแปรเชิงซ้อนเดียวจะถูกนำมาใช้และขยายความในบริบทนี้ แต่ทฤษฎีตัวแปรเชิงซ้อนหลายตัวยังใช้เทคนิคเพิ่มเติม เช่นพีชคณิตบานาคและทฤษฎีชีฟโดยมักเกี่ยวข้องกับคำถามที่น่าสนใจในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและปริภูมิ สมมาตร

การวิเคราะห์เชิงซ้อนเป็นหนึ่งในสาขาคลาสสิกของคณิตศาสตร์ โดยมีรากฐานมาจากศตวรรษที่ 18 และก่อนหน้านั้นเล็กน้อย นักคณิตศาสตร์สำคัญที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเชิงซ้อน ได้แก่ออยเลอร์ , เกาส์ , รีมันน์ , โคชี , ไว เออร์สตรัสและอีกมากมายในศตวรรษที่ 20 การวิเคราะห์เชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีการแปลงแบบคอนฟอร์มอลมีการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์หลายด้าน และยังใช้ในทฤษฎีจำนวนเชิงวิเคราะห์ อีกด้วย ในยุคปัจจุบัน การวิเคราะห์เชิงซ้อนได้รับความนิยมอย่างมากจากแรงผลักดันใหม่จากพลศาสตร์เชิงซ้อนและภาพของแฟรกทัลที่เกิดจากการทำซ้ำฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกการประยุกต์ใช้ที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งของการวิเคราะห์เชิงซ้อนคือในทฤษฎีสตริงซึ่งตรวจสอบตัวแปรคอนฟอร์มอลในทฤษฎีสนามควอนตัม

ฟังก์ชันเชิงซ้อนคือฟังก์ชันจากจำนวนเชิงซ้อนไปยังจำนวนเชิงซ้อน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นฟังก์ชันที่มีเซตย่อยของจำนวนเชิงซ้อนเป็นโดเมนและจำนวนเชิงซ้อนเป็นโคโดเมน โดยทั่วไป แล้ว ฟังก์ชันเชิงซ้อนจะถือว่ามีโดเมนที่ประกอบด้วยเซตเปิด ที่ไม่ว่างเปล่า ในระนาบเชิงซ้อน

สำหรับฟังก์ชันเชิงซ้อนใดๆ ค่าจากโดเมนและภาพของค่าเหล่านั้นในช่วงพิสัยสามารถแยกออกเป็น ส่วน จริงและ ส่วน จินตนาการได้ : ${\displaystyle z}$${\displaystyle f(z)}$

${\displaystyle z=x+iy\quad {\text{ และ }}\quad f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y),}$

โดยที่ค่าทั้งหมดเป็นค่าจริง ${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันเชิงซ้อนสามารถแยกออกเป็นฟังก์ชันค่าจริงสองฟังก์ชัน ( , ) ของตัวแปรจริงสองตัว ( , ): ${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle u:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} \quad }$และ${\displaystyle \quad v:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} .}$

ฟังก์ชันเชิงซ้อนจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อฟังก์ชันเวกเตอร์สองตัวแปรที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเชิงซ้อนนั้นต่อเนื่องด้วย อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์นี้ไม่ได้ขยายไปถึงความสามารถในการหาอนุพันธ์นิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนคล้ายคลึงกับของฟังก์ชันจริงมาก แต่ความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริงสองตัวแปรที่เกี่ยวข้องไม่ได้หมายความว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อนจะมีอยู่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าฟังก์ชันเชิงซ้อนมีอนุพันธ์ มันจะมีอนุพันธ์ทุกอันดับและเท่ากับผลรวมของอนุกรมเทย์เลอร์ในบริเวณใกล้เคียงทุกจุดในโดเมนของมัน

ดังนั้น ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้สองฟังก์ชันที่เท่ากันในบริเวณใกล้เคียงจุดหนึ่ง จะเท่ากันที่จุดตัดของโดเมนของฟังก์ชันนั้น หากโดเมนทั้งสองเชื่อมต่อกันคุณสมบัติหลังนี้เป็นพื้นฐานของหลักการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ซึ่งช่วยให้สามารถขยายฟังก์ชันวิเคราะห์ จริงหรือเชิงซ้อนทุกฟังก์ชัน ในลักษณะเฉพาะ เพื่อให้ได้ฟังก์ชันวิเคราะห์เชิงซ้อนที่มีโดเมนเป็นระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด โดย ตัด ส่วนโค้งออกไปจำนวนจำกัด ฟังก์ชันเชิงซ้อนพื้นฐานและพิเศษ หลาย ฟังก์ชันถูกกำหนดด้วยวิธีนี้ รวมถึงฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนฟังก์ชันลอการิทึมเชิงซ้อนและฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ฟังก์ชันเชิงซ้อนที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุดของเซตย่อยเปิด ของระนาบเชิงซ้อนเรียกว่าเป็น ฟังก์ชันโฮโลมอ ร์ฟิกบนในบริบทของการวิเคราะห์เชิงซ้อน อนุพันธ์ของที่ถูกกำหนดให้เป็น^{[ 2 ]}${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle z_{0}}$

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.}$

โดยผิวเผินแล้ว นิยามนี้คล้ายคลึงกับนิยามของอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริง อย่างไรก็ตาม อนุพันธ์เชิงซ้อนและฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้นั้นมีพฤติกรรมที่แตกต่างกันอย่างมากเมื่อเทียบกับฟังก์ชันจริง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เพื่อให้ลิมิตนี้มีอยู่จริง ค่าของผลหารต่างต้องเข้าใกล้จำนวนเชิงซ้อนเดียวกัน ไม่ว่าเราจะเข้าใกล้ด้วยวิธีใดในระนาบเชิงซ้อนก็ตาม ดังนั้น ความสามารถในการหาอนุพันธ์เชิงซ้อนจึงมีนัยสำคัญมากกว่าความสามารถในการหาอนุพันธ์เชิงจริง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกสามารถหาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งในขณะที่การมีอยู่ของ อนุพันธ์อันดับที่ nไม่จำเป็นต้องหมายความถึงการมีอยู่ของอนุพันธ์อันดับที่ ( n + 1) สำหรับฟังก์ชันจริง ยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทั้งหมดเป็นไปตามเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่าของความเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันนั้น ณ ทุกจุดในโดเมนของมัน จะได้รับจากอนุกรมกำลังลู่เข้าในระดับท้องถิ่น โดยพื้นฐานแล้ว นี่หมายความว่าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนสามารถประมาณค่าได้ดีอย่างไม่จำกัดด้วยพหุนามในบริเวณใกล้เคียงของทุกจุดในซึ่งแตกต่างอย่างสิ้นเชิงกับฟังก์ชันจริงที่หาอนุพันธ์ได้ มีฟังก์ชันจริงที่หาอนุพันธ์ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งแต่ไม่เป็น ฟังก์ชันวิเคราะห์ ในทุกที่โปรดดูฟังก์ชันเรียบที่ไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ § ฟังก์ชันเรียบที่ไม่เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์จริงในทุกที่ ${\displaystyle z_{0}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle \Omega }$

ฟังก์ชันพื้นฐานส่วนใหญ่ รวมถึงฟังก์ชัน เลขชี้กำลัง ฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันพหุนาม ทั้งหมด ซึ่งขยายอย่างเหมาะสมไปยังอาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนในฐานะฟังก์ชัน จะเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนระนาบเชิงซ้อนทั้งหมด ทำให้พวกมันเป็นฟังก์ชันเอนไทร์ในขณะที่ฟังก์ชันตรรกยะซึ่งpและqเป็นพหุนาม จะเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนโดเมนที่ยกเว้นจุดที่qเป็นศูนย์ ฟังก์ชันดังกล่าวที่เป็นโฮโลมอร์ฟิกทุกที่ยกเว้นเซตของจุดที่แยกเดี่ยวเรียกว่าฟังก์ชันเมโรเมอร์ฟิกในทางกลับกัน ฟังก์ชัน, ,และไม่เป็นโฮโลมอร์ฟิกที่ใดบนระนาบเชิงซ้อน ดังที่สามารถแสดงได้จากการที่พวกมันไม่เป็นไปตามเงื่อนไขโคชี-รีมันน์ (ดูด้านล่าง) ${\displaystyle \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle z\mapsto \Re (z)}$${\displaystyle z\mapsto |z|}$${\displaystyle z\mapsto {\bar {z}}}$

คุณสมบัติสำคัญอย่างหนึ่งของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกคือความสัมพันธ์ระหว่างอนุพันธ์ย่อยของส่วนจริงและส่วนจินตนาการ ซึ่งเรียกว่าเงื่อนไขโคชี-รีมันน์ถ้าซึ่งกำหนดโดย โดยที่เป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนบริเวณแล้วสำหรับ ทุก${\displaystyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$${\displaystyle x,y,u(x,y),v(x,y)\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle z_{0}\in \โอเมก้า }$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})=0,\ {\text{โดยที่ }}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}\mathrel {:=} {\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right).}$

ในแง่ของส่วนจริงและส่วนจินตนาการของฟังก์ชันuและvนั้น เทียบเท่ากับสมการคู่และโดยที่ตัวห้อยแสดงถึงการอนุพันธ์ย่อย อย่างไรก็ตาม เงื่อนไขของ Cauchy–Riemann ไม่ได้กำหนดลักษณะของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกโดยปราศจากเงื่อนไขความต่อเนื่องเพิ่มเติม (ดูทฤษฎีบท Looman–Menchoff ) ${\displaystyle u_{x}=v_{y}}$${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$

ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกแสดงคุณสมบัติที่น่าทึ่งบางประการ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของ Picardกล่าวว่าช่วงของฟังก์ชันเอนไทร์สามารถมีได้เพียงสามรูปแบบเท่านั้น คือ, ,หรือสำหรับบางค่ากล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าจำนวนเชิงซ้อนสองจำนวนที่แตกต่างกันและไม่อยู่ในช่วงของฟังก์ชันเอนไทร์แล้วจะเป็นฟังก์ชันคงที่ ยิ่งไปกว่านั้น ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนเซตเปิดที่เชื่อมต่อกันจะถูกกำหนดโดยการจำกัดฟังก์ชันนั้นไปยังเซตย่อยเปิดที่ไม่ว่างใดๆ ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{z_{0}\}}$${\displaystyle \{z_{0}\}}$${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z}$${\displaystyle w}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ในทางคณิตศาสตร์การแปลงแบบคอนฟอร์มอลคือฟังก์ชันที่รักษาค่ามุม ไว้ในระดับท้องถิ่น แต่ไม่จำเป็นต้องรักษาค่าความยาวไว้เสมอไป

กล่าวอย่างเป็นทางการมากขึ้น ให้และเป็นเซตย่อยเปิดของฟังก์ชันเรียกว่าฟังก์ชันคอนฟอร์มอล (หรือฟังก์ชันรักษาองศา) ที่จุดถ้ามันรักษาองศาระหว่างเส้นโค้ง ทิศทาง ที่ผ่านจุดรวมทั้งรักษาทิศทางด้วย แผนที่คอนฟอร์มอลรักษาทั้งองศาและรูปร่างของรูปทรงขนาดเล็กมาก แต่ไม่จำเป็นต้องรักษาขนาดหรือความโค้ง ของรูป ทรง เหล่านั้น${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to V}$${\displaystyle u_{0}\in U}$${\displaystyle u_{0}}$

คุณสมบัติเชิงคอนฟอร์มอลอาจอธิบายได้ในแง่ของ เมทริกซ์อนุพันธ์ จาโคเบียนของการแปลงพิกัดการแปลงจะเป็นเชิงคอนฟอร์มอลเมื่อใดก็ตามที่จาโคเบียน ณ แต่ละจุดเป็นสเกลาร์บวก คูณกับ เมทริกซ์การหมุน ( ออร์โธโกนอลที่ มีดีเทอร์ มิแนนต์เท่ากับหนึ่ง) ผู้เขียนบางคนกำหนดนิยามของความเป็นคอนฟอร์มอลให้รวมถึงการแมปแบบกลับทิศทางซึ่งจาโคเบียนสามารถเขียนได้เป็นสเกลาร์ใดๆ คูณกับเมทริกซ์ออร์โธโกนอลใดๆ^{[ 3 ]}

สำหรับการแมปในสองมิติ การแมปแบบคอนฟอร์มอล (ที่รักษาทิศทาง) คือ ฟังก์ชัน เชิงซ้อนวิเคราะห์ ที่ผกผันได้ในระดับท้องถิ่น ในสามมิติและมิติที่สูงกว่านั้นทฤษฎีบทของ Liouvilleจำกัดการแมปแบบคอนฟอร์มอลไว้เพียงไม่กี่ประเภทอย่างชัดเจน

แนวคิดเรื่องความสอดคล้องสามารถขยายไปสู่แผนที่ระหว่าง แมนิโฟลด์ แบบรีมันน์หรือแบบกึ่งรีมันน์ได้อย่าง เป็นธรรมชาติ

หนึ่งในเครื่องมือสำคัญของการวิเคราะห์เชิงซ้อนคือปริพันธ์ตามเส้นปริพันธ์ตามเส้นรอบวงของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกทุกจุดภายในพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยเส้นปิดนั้นจะมีค่าเป็นศูนย์เสมอ ดังที่ระบุไว้ในทฤษฎีบทปริพันธ์ของโคชีค่าของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกดังกล่าวภายในวงกลมสามารถคำนวณได้โดยใช้ปริพันธ์ตามเส้นทางบนขอบของวงกลม (ดังแสดงในสูตรปริพันธ์ของโคชี ) ปริพันธ์ตามเส้นทางในระนาบเชิงซ้อนมักใช้ในการหาปริพันธ์จริงที่ซับซ้อน และในที่นี้ทฤษฎีบท เศษเหลือ ( residue theory) และทฤษฎีบท อื่นๆ สามารถนำมาใช้ได้ (ดูวิธีการหาปริพันธ์ตามเส้นโค้ง ) "ขั้ว" (หรือจุดเอกฐานโดดเดี่ยว ) ของฟังก์ชันคือจุดที่ค่าของฟังก์ชันไม่มีขอบเขต หรือ "ระเบิด" หากฟังก์ชันมีขั้วดังกล่าว เราสามารถคำนวณเศษเหลือของฟังก์ชันที่จุดนั้นได้ ซึ่งสามารถนำมาใช้คำนวณปริพันธ์ตามเส้นทางที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันได้ นี่คือเนื้อหาของทฤษฎีบทเศษเหลืออัน ทรง พลังทฤษฎีบทของ Picardอธิบายพฤติกรรมที่น่าทึ่งของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกใกล้จุดเอกฐานสำคัญฟังก์ชันที่มีเฉพาะขั้วแต่ไม่มีจุดเอกฐานสำคัญเรียกว่า ฟังก์ชัน เมโรเมอร์ฟิก อนุกรมลอเรนต์เป็นอนุกรมค่าเชิงซ้อนที่เทียบเท่ากับอนุกรมเทย์เลอร์ แต่สามารถใช้ศึกษาพฤติกรรมของฟังก์ชันใกล้จุดเอกฐานผ่านผลรวมอนันต์ของฟังก์ชันที่เข้าใจ ได้ง่ายกว่า เช่น พหุนาม

ฟังก์ชัน ที่ มีขอบเขตและเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในระนาบเชิงซ้อนทั้งหมดจะต้องเป็นฟังก์ชันคงที่ นี่คือทฤษฎีบทของลิอูวิลล์ ทฤษฎีบทนี้สามารถนำมาใช้เป็นบทพิสูจน์ที่สั้นและเป็นธรรมชาติสำหรับทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตซึ่งกล่าวว่าฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต

ถ้าฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกตลอดทั้ง โดเมน ที่เชื่อมต่อกันค่าของฟังก์ชันนั้นจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยค่าของมันบนโดเมนย่อยที่เล็กกว่าใดๆ ฟังก์ชันบนโดเมนที่ใหญ่กว่านั้นกล่าวได้ว่าสามารถต่อยอดเชิงวิเคราะห์จากค่าของมันบนโดเมนที่เล็กกว่าได้ สิ่งนี้ทำให้สามารถขยายคำจำกัดความของฟังก์ชัน เช่นฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ซึ่งในตอนแรกกำหนดไว้ในรูปของผลรวมอนันต์ที่ลู่เข้าเฉพาะในโดเมนที่จำกัด ไปสู่ระนาบเชิงซ้อนเกือบทั้งหมดได้ บางครั้ง เช่นในกรณีของลอการิทึมธรรมชาติเป็นไปไม่ได้ที่จะต่อยอดเชิงวิเคราะห์ฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกไปยังโดเมนที่ไม่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายในระนาบเชิงซ้อน แต่เป็นไปได้ที่จะขยายมันไปยังฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนพื้นผิวที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดที่เรียกว่าพื้นผิวรีมันน์

ทั้งหมดนี้หมายถึงการวิเคราะห์เชิงซ้อนในตัวแปรเดียว นอกจากนี้ยังมีทฤษฎีการวิเคราะห์เชิงซ้อนที่ครอบคลุมมากในมิติเชิงซ้อนมากกว่าหนึ่งมิติซึ่งคุณสมบัติเชิงวิเคราะห์ เช่น การขยาย อนุกรมกำลัง ยังคงใช้ได้ ในขณะที่คุณสมบัติทางเรขาคณิตส่วนใหญ่ของฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกในมิติเชิงซ้อนหนึ่งมิติ (เช่นความสอดคล้อง ) นั้นใช้ไม่ได้ทฤษฎีบทการแมปของรีมันน์เกี่ยวกับความสัมพันธ์เชิงสอดคล้องของโดเมนบางอย่างในระนาบเชิงซ้อน ซึ่งอาจเป็นผลลัพธ์ที่สำคัญที่สุดในทฤษฎีหนึ่งมิติ กลับล้มเหลวอย่างมากในมิติที่สูงกว่า

การประยุกต์ใช้ ที่ สำคัญอย่างหนึ่งของปริภูมิเชิงซ้อน บางประเภท คือในกลศาสตร์ควอนตัมในรูปของฟังก์ชันคลื่น

• เรขาคณิตที่ซับซ้อน
• การวิเคราะห์ไฮเปอร์คอมเพล็กซ์
• รายชื่อหัวข้อการวิเคราะห์เชิงซับซ้อน
• ทฤษฎีบทโมโนโดรมี
• ทฤษฎีบทรีมันน์-รอช
• ทฤษฎีบทของรันเก
• แคลคูลัสเวกเตอร์

• Ablowitz, MJและAS Fokas , ตัวแปรเชิงซ้อน: บทนำและการประยุกต์ใช้ (เคมบริดจ์, 2003)
• Ahlfors, L. , การวิเคราะห์เชิงซ้อน (McGraw-Hill, 1953).
• Cartan, H. , Théorie élémentaire des fonctions analytiques d'une ou plusieurs ตัวแปรเชิงซ้อน. (เฮอร์มันน์, 1961) การแปลภาษาอังกฤษทฤษฎีเบื้องต้นของฟังก์ชันวิเคราะห์ของตัวแปรเชิงซ้อนหนึ่งหรือหลายตัวแปร (แอดดิสัน-เวสลีย์, 1963)
• Carathéodory, C. , Funktionentheorie. (Birkhäuser, 1950). แปลเป็นภาษาอังกฤษTheory of Functions of a Complex Variable (Chelsea, 1954). [2 เล่ม]
• Carrier, GF , M. Krook , & CE Pearson, ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน: ทฤษฎีและเทคนิค (McGraw-Hill, 1966)
• คอนเวย์, เจ.บี. , ฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อนหนึ่งตัว (สปริงเกอร์, 1973)
• ฟิชเชอร์, เอส., ตัวแปรเชิงซ้อน (วาดส์เวิร์ธ แอนด์ บรูคส์/โคล, 1990)
• ฟอร์ไซธ์, เอ. , ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน (เคมบริดจ์, 1893)
• Freitag, E. & R. Busam, Funktionentheorie . (สปริงเกอร์, 1995) การแปลภาษาอังกฤษ, การวิเคราะห์เชิงซ้อน . (สปริงเกอร์, 2005).
• Goursat, E. , หลักสูตรการวิเคราะห์คณิตศาสตร์ เล่ม 2 . (โกติเยร์-วิลลาร์ส, 1905) การแปลภาษาอังกฤษหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เล่ม 1 2 ส่วนที่ 1: ฟังก์ชั่นของตัวแปรที่ซับซ้อน (จินน์, 1916)
• Henrici, P. , การวิเคราะห์เชิงซ้อนประยุกต์และเชิงคำนวณ (Wiley). [สามเล่ม: 1974, 1977, 1986.]
• Kreyszig, E. , คณิตศาสตร์วิศวกรรมขั้นสูง (Wiley, 1962).
• Lavrentyev, M. & B. Shabat, Методы теории функций комплексного переменного. ( วิธีทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน ). (พ.ศ. 2494 ในภาษารัสเซีย)
• Markushevich, AI , ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน (Prentice-Hall, 1965) [สามเล่ม]
• Marsden & Hoffman, การวิเคราะห์เชิงซ้อนขั้นพื้นฐาน (Freeman, 1973)
• นีดแฮม, ที. , การวิเคราะห์เชิงซ้อนทางภาพ (อ็อกซ์ฟอร์ด, 1997). http://usf.usfca.edu/vca/
• Remmert, R. , ทฤษฎีฟังก์ชันเชิงซ้อน (Springer, 1990).
• รูดิน, ดับเบิลยู. , การวิเคราะห์เชิงจริงและเชิงซ้อน (แมคกรอว์-ฮิลล์, 1966)
• Shaw, WT, การวิเคราะห์เชิงซ้อนด้วย Mathematica (เคมบริดจ์, 2006)
• Stein, E.และ R. Shakarchi, การวิเคราะห์เชิงซ้อน (Princeton, 2003)
• Sveshnikov, AG & AN Tikhonovผู้จัดการทั่วไปของยูเครน (เนากา, 1967). แปลภาษาอังกฤษทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน (MIR, 1978)
• ทิทช์มาร์ช, อีซี , ทฤษฎีของฟังก์ชัน (ออกซ์ฟอร์ด, 1932)
• Wegert, E., ฟังก์ชั่น Visual Complex . (เบียร์เฮเซอร์, 2012).
• Whittaker, ET & GN Watson , A Course of Modern Analysis (Cambridge, 1902). ฉบับ พิมพ์ ครั้งที่ 3 (1920)

• หน้าวิเคราะห์เชิงซ้อนของ Wolfram Research บน MathWorld
• คู่มือการพัฒนาทักษะการวิเคราะห์เชิงซับซ้อน: การทำงานในสาขาที่ซับซ้อนโดย จิริ เลบล ( ลิขสิทธิ์ Creative Commons BY-NC-SA )