ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันจริงหรือฟังก์ชันเชิงซ้อน ของตัวแปรเดียวจะเรียกว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน นั้น มีอยู่จริงที่ทุกจุดในโดเมน ของฟังก์ชันนั้น สำหรับฟังก์ชันค่าจริงของตัวแปรจริงกราฟของฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้จะมีเส้นสัมผัส ที่ไม่เป็น เส้นแนวตั้งที่ทุกจุดภายในโดเมนของฟังก์ชันนั้น ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้นั้น สามารถประมาณ ค่าได้ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นที่ทุกจุดภายใน และไม่มีจุดหักมุมจุดโค้ง หรือจุด แหลมคม ใดๆ

ถ้าเป็นจุดภายในในโดเมนของฟังก์ชันจริงแล้วจะกล่าวได้ว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดถ้ามีค่า อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้ สำหรับทุกและมีค่า อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้ สำหรับทุกและกล่าวอีกนัยหนึ่ง กราฟของมีเส้นสัมผัสที่ไม่เป็นเส้นแนวตั้งที่จุดจะกล่าวได้ว่า สามารถหาอนุพันธ์ได้บนเซตย่อยถ้าสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุดใน และจะกล่าวได้ว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง ถ้าอนุพันธ์ของมันเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนโดเมน ของ ด้วย${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \delta >0}$${\displaystyle x\in (x_{0}-\delta ,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+\delta )}$${\displaystyle {\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\in (L-\epsilon ,L+\epsilon )}$${\displaystyle f}$${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$${\displaystyle f}$${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle U}$${\displaystyle f}$${\textstyle f}$

ฟังก์ชันต่อเนื่องอาจไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้เลยในโดเมนของมัน เช่นฟังก์ชันไวเออร์สตรัสการหาอนุพันธ์ย้อนกลับของฟังก์ชันดังกล่าวอย่างต่อเนื่องจะทำให้ได้ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้เพียงจำนวนจำกัดครั้ง โดยจำนวนจำกัดนั้นเป็นจำนวนเต็มบวกใดๆ ก็ได้ เมื่อกำหนดจำนวนเต็มบวก ฟังก์ชันจะเรียกว่าอยู่ในคลาสถ้าอนุพันธ์อันดับ แรกของฟังก์ชันนั้น มีอยู่และต่อเนื่องในโดเมนของ ${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{k}}$${\displaystyle k}$${\textstyle f^{\prime },f^{\prime \prime },\ldots ,f^{(k)}}$${\displaystyle f}$

สำหรับฟังก์ชันหลายตัวแปร ดังที่แสดงไว้ในที่นี้ความสามารถในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นมีความซับซ้อนมากกว่าการมีอยู่ของอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชันนั้น

ฟังก์ชันซึ่งกำหนดบนเซตเปิดกล่าวได้ว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ถ้าอนุพันธ์ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$${\textstyle U\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle a\in U}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}}$

มีอยู่จริง ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่จุด a

กล่าวได้ว่าฟังก์ชันf สามารถหาอนุพันธ์ได้บนUถ้าสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุดบนUในกรณีนี้ อนุพันธ์ของfจึงเป็นฟังก์ชันจากUไปยัง U${\displaystyle \mathbb {R} .}$

ฟังก์ชันต่อเนื่องไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้เสมอไป แต่ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้นั้นจำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง (ที่ทุกจุดที่หาอนุพันธ์ได้) ดังแสดงไว้ด้านล่าง (ในหัวข้อความสามารถในการหาอนุพันธ์และความต่อเนื่อง ) ฟังก์ชันจะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง ก็ต่อ เมื่ออนุพันธ์ของฟังก์ชันนั้นเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องด้วย มีฟังก์ชันบางฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง (ตัวอย่างอยู่ในหัวข้อ ประเภทของความสามารถในการหาอนุพันธ์ )

นิยามข้างต้นสามารถขยายเพื่อกำหนดอนุพันธ์ที่จุดขอบเขตของโดเมนซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของโดเมนด้วย อนุพันธ์ของฟังก์ชันที่กำหนดบนเซตย่อยปิดของจำนวนจริง ซึ่งประเมินค่าที่จุดขอบเขตสามารถกำหนดได้เป็นลิมิตด้านเดียวต่อไปนี้ โดยที่อาร์กิวเมนต์เข้าใกล้ค่าคงที่เสมอ: ${\textstyle f:A\to \mathbb {R} }$${\textstyle A\subsetneq \mathbb {R} }$${\textstyle c}$${\textstyle x}$${\textstyle c}$${\textstyle A}$

${\displaystyle f'(c)=\lim _{\scriptstyle x\to c \atop \scriptstyle x\in A}{\frac {f(x)-f(c)}{xc}}.}$

เพื่อให้คงอยู่ภายในซึ่งเป็นเซตย่อยของจำนวนจริง ดังนั้นขีดจำกัดนี้จะถูกกำหนดเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งดังต่อไปนี้ ${\textstyle x}$${\textstyle A}$

${\displaystyle f'(c)=\lim _{x\to c^{+}}{\frac {f(x)-f(c)}{xc}}\quad {\text{หรือ}}\quad f'(c)=\lim _{x\to c^{-}}{\frac {f(x)-f(c)}{xc}}.}$

ถ้า ฟังก์ชัน fสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดx₀แล้ว_{ฟังก์ชัน}fจะต้องต่อเนื่องที่x₀ ด้วย โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จะต้องต่อเนื่องที่ทุกจุดในโดเมนของฟังก์ชันนั้น แต่_{ข้อความ}กลับกันนั้นไม่เป็นจริง กล่าวคือ ฟังก์ชันต่อเนื่องไม่จำเป็นต้องหาอนุพันธ์ได้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่มีส่วนโค้งส่วนแหลมหรือเส้นสัมผัสแนวตั้งอาจต่อเนื่อง แต่หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ตำแหน่งของจุดผิดปกตินั้น

ฟังก์ชันส่วนใหญ่ที่พบในทางปฏิบัติจะมีอนุพันธ์ที่ทุกจุดหรือเกือบทุกจุด อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ของStefan Banachระบุว่าเซตของฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ที่จุดใดจุดหนึ่งเป็นเซตที่เล็กมากในปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมด^{[ 1 ]}โดยไม่เป็นทางการ หมายความว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้นั้นค่อนข้างผิดปกติในบรรดาฟังก์ชันต่อเนื่อง ตัวอย่างแรกที่รู้จักของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องทุกที่แต่หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ใดเลยคือฟังก์ชัน Weierstrass

กล่าวได้ว่าฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องก็ต่อเมื่ออนุพันธ์มีอยู่และตัวอนุพันธ์เองก็เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แม้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้จะไม่เกิดการไม่ต่อเนื่องแบบกระโดดแต่ก็เป็นไปได้ที่อนุพันธ์จะมีการไม่ต่อเนื่องที่สำคัญตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ 0 เนื่องจาก อนุพันธ์มีอยู่ อย่างไรก็ตาม สำหรับกฎการหาอนุพันธ์หมายความว่า ซึ่งไม่มีลิมิตเมื่อดังนั้น ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ของฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง (กล่าวคือ อนุพันธ์ไม่ใช่ฟังก์ชันต่อเนื่อง) อย่างไรก็ตามทฤษฎีบทของดาร์บูซ์บ่งชี้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันใดๆ ก็สอดคล้องกับข้อสรุปของทฤษฎีบท ค่ากลาง${\textstyle f}$${\textstyle f^{\prime }(x)}$$${\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\sin(1/x)&{\text{ ถ้า }}x\neq 0\\0&{\text{ ถ้า }}x=0\end{cases}}}$$$${\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\sin(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0}$$${\displaystyle x\neq 0,}$$${\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)\;,}$$${\displaystyle x\to 0.}$

ในทำนองเดียวกันกับที่ฟังก์ชันต่อเนื่องถูกเรียกว่าอยู่ในคลาส${\displaystyle C^{0},}$ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องบางครั้งก็ถูกเรียกว่าอยู่ในคลาส${\displaystyle C^{1}}$ฟังก์ชันจะอยู่ในคลาส ถ้า ${\displaystyle C^{2}}$อนุพันธ์อันดับที่หนึ่งและ อันดับที่สอง ของฟังก์ชันมีอยู่และต่อเนื่อง โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันจะถูกเรียกว่าอยู่ในคลาส${\displaystyle C^{k}}$ถ้าอนุพันธ์อันดับ ที่หนึ่ง ทั้งหมดมีอยู่และต่อเนื่อง ถ้าอนุพันธ์มีอยู่สำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมดฟังก์ชันนั้นจะเรียบหรือเทียบเท่ากับอยู่ในคลาส${\displaystyle k}$${\textstyle f^{\prime }(x),f^{\prime \prime }(x),\ldots ,f^{(k)}(x)}$${\displaystyle f^{(n)}}$${\textstyle n,}$${\displaystyle C^{\infty }.}$

ฟังก์ชันของตัวแปรจริงหลายตัวf : R ^m → R ⁿกล่าวได้ว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดx ₀ถ้ามีแผนที่เชิงเส้นJ : R ^m → R ⁿอยู่จริง โดยที่

${\displaystyle \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\|\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x_{0}} )-\mathbf {J} \mathbf {(h)} \|_{\mathbf {R} ^{n}}}{\|\mathbf {h} \|_{\mathbf {R} ^{m}}}}=0.}$

ถ้าฟังก์ชันสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่x ₀ แล้ว อนุพันธ์ย่อยทั้งหมดจะมีอยู่ ณx ₀และแผนที่เชิงเส้นJจะกำหนดโดยเมทริกซ์จาโคเบียน ซึ่งในกรณีนี้ คือเมทริกซ์ n × m สูตรที่คล้ายกันของอนุพันธ์มิติสูงกว่านั้นได้มาจากทฤษฎีบทการเพิ่มขึ้นพื้นฐานที่พบในแคลคูลัสตัวแปรเดียว

ถ้าอนุพันธ์ย่อยทั้งหมดของฟังก์ชันมีอยู่จริงในบริเวณใกล้เคียงจุดx₀และมีความต่อเนื่องที่จุดx₀แล้ว ฟังก์ชันนั้นสามารถหาอนุพันธ์_ได้ที่ _จุดx₀ _นั้น

อย่างไรก็ตาม การมีอยู่ของอนุพันธ์ย่อย (หรือแม้แต่ของอนุพันธ์ทิศทาง ทั้งหมด ) ไม่ได้เป็นการรับประกันว่าฟังก์ชันนั้นสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดใดจุดหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันf : R ² → Rที่กำหนดโดย

$${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}x&{\text{if }}y\neq x^{2}\\0&{\text{if }}y=x^{2}\end{cases}}}$$

ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด(0, 0)แต่ค่าอนุพันธ์ย่อยและค่าอนุพันธ์ทิศทางทั้งหมดมีอยู่ ณ จุดนี้ สำหรับตัวอย่างแบบต่อเนื่อง ฟังก์ชัน

${\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}y^{3}/(x^{2}+y^{2})&{\text{if }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{if }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}}$

ไม่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่(0, 0)แต่ยังคงมีอนุพันธ์ย่อยและอนุพันธ์ทิศทางทั้งหมดอยู่

ในการวิเคราะห์เชิงซ้อนความสามารถในการหาอนุพันธ์เชิงซ้อนถูกนิยามโดยใช้นิยามเดียวกับฟังก์ชันจริงตัวแปรเดียว ซึ่งเป็นไปได้เพราะสามารถหารจำนวนเชิงซ้อนได้ดังนั้น ฟังก์ชันจะกล่าวได้ว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุดใดจุดหนึ่งเมื่อ ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\textstyle x=a}$

${\displaystyle f'(a)=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}.}$

แม้ว่าคำจำกัดความนี้จะดูคล้ายกับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันจริงตัวแปรเดียว แต่ก็เป็นเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่า ฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ ณ จุดหนึ่งจะหาอนุพันธ์ได้ ณ จุดนั้นโดยอัตโนมัติ เมื่อมองในฐานะฟังก์ชันเนื่องจากการหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้นั้นหมายความว่า ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\textstyle x=a}$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

${\displaystyle \lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {|f(a+h)-f(a)-f'(a)h|}{|h|}}=0.}$

อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันหนึ่งอาจหาอนุพันธ์ได้ในฐานะฟังก์ชันหลายตัวแปร แต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ ตัวอย่างเช่น สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ทุกจุด เมื่อมองว่าเป็น ฟังก์ชันจริงสองตัวแปรแต่ไม่สามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ที่จุดใด ๆ เพราะลิมิตให้ค่าที่แตกต่างกันสำหรับค่าที่เข้าใกล้ 0 ต่างกัน ${\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$${\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}}$${\displaystyle f(x,y)=x}$${\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}}$

ฟังก์ชันใดๆ ที่สามารถหาอนุพันธ์เชิงซ้อนได้ในบริเวณใกล้เคียงจุดหนึ่ง เรียกว่าฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกณ จุดนั้น ฟังก์ชันดังกล่าวจะต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้อนันต์ครั้ง และในความเป็นจริงแล้วเป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ด้วย

ถ้าMเป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ฟังก์ชันค่าจริงหรือค่าเชิงซ้อนfบนMจะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุดpถ้าฟังก์ชันนั้นหาอนุพันธ์ได้เทียบกับแผนภูมิพิกัดบางแผนภูมิ (หรือแผนภูมิใดๆ) ที่กำหนดรอบจุดpถ้าMและNเป็นแมนิโฟลด์ที่หาอนุพันธ์ได้ ฟังก์ชันf :  M  →  Nจะเรียกว่าหาอนุพันธ์ได้ที่จุดpถ้าฟังก์ชันนั้นหาอนุพันธ์ได้เทียบกับแผนภูมิพิกัดบางแผนภูมิ (หรือแผนภูมิใดๆ) ที่กำหนดรอบจุดpและf ( p )

• การสรุปทั่วไปของอนุพันธ์
• ความสามารถในการหาอนุพันธ์แบบกึ่ง
• การเขียนโปรแกรมเชิงอนุพันธ์