ในทฤษฎีจำนวนเมื่อกำหนดจำนวนเฉพาะpแล้ว^{[ a ]}จำนวนp -adicก่อให้เกิดส่วนขยายของจำนวนตรรกยะที่แตกต่างจากจำนวนจริงแม้ว่าจะมีคุณสมบัติที่คล้ายคลึงกันบางประการ จำนวน p -adic สามารถเขียนในรูปแบบที่คล้ายกับทศนิยม (อาจเป็น อนันต์ ) แต่ตัวเลขจะอิงตามจำนวนเฉพาะpแทนที่จะเป็นสิบ และขยายไปทางซ้ายแทนที่จะเป็นทางขวา

ตัวอย่างเช่น การเปรียบเทียบการกระจายของจำนวนตรรกยะในฐาน3กับ การกระจายแบบ 3 -adic ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\tfrac {1}{5}}&{}=0.01210121\ldots \ ({\text{base }}3)&&{}=0\cdot 3^{0}+0\cdot 3^{-1}+1\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}+\cdots \\[5mu]{\tfrac {1}{5}}&{}=\dots 121012102\ \ ({\text{3-adic}})&&{}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}.\end{alignedat}}}$$

ตามหลักการแล้ว เมื่อกำหนดจำนวนเฉพาะpแล้ว จำนวน p -adic สามารถนิยามได้ว่าเป็นอนุกรม ที่kเป็นจำนวนเต็ม (อาจเป็นลบก็ได้) และแต่ละเป็นจำนวนเต็ม โดยที่จำนวนเต็ม p-adicคือจำนวน p - adic โดยที่$${\displaystyle s=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{k}p^{k}+a_{k+1}p^{k+1}+a_{k+2}p^{k+2}+\cdots }$$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p.}$${\displaystyle k\geq 0.}$

โดยทั่วไปแล้ว อนุกรมที่แสดงถึง จำนวน p -adic นั้นจะไม่ลู่เข้าในความหมายปกติ แต่จะลู่เข้าสำหรับค่าสัมบูรณ์p -adic โดยที่kคือจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดiเช่นนั้น(ถ้าทุกตัว เป็นศูนย์ จะมีจำนวน p -adic ศูนย์ซึ่งมีค่าสัมบูรณ์ p -adic เป็น0 )${\displaystyle |s|_{p}=p^{-k},}$${\displaystyle a_{i}\neq 0}$${\displaystyle a_{i}}$

จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถแสดงได้อย่างเฉพาะเจาะจงในรูปผลรวมของอนุกรมดังที่กล่าวมาข้างต้น โดยสัมพันธ์กับ ค่าสัมบูรณ์ p -adic วิธีนี้ทำให้สามารถพิจารณาจำนวนตรรกยะเป็น จำนวน p -adic พิเศษ และในทางกลับกัน สามารถนิยาม จำนวน p -adic ว่าเป็นส่วนเติมเต็มของจำนวนตรรกยะสำหรับ ค่าสัมบูรณ์ p -adic ได้เช่นเดียวกับที่จำนวนจริงเป็นส่วนเติมเต็มของจำนวนตรรกยะสำหรับค่าสัมบูรณ์ปกติ

จำนวนp -adic ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดย Kurt Henselในปี พ.ศ. 2440 ^{[ 1 ]}แม้ว่าเมื่อมองย้อนกลับไป งานก่อนหน้านี้บางส่วนของErnst Kummerสามารถตีความได้ว่าใช้จำนวนp -adic โดยปริยาย ^{[ b ]}

โดยคร่าวๆ แล้ว เลขคณิต มอดูลาร์มอดูลจำนวนเต็มบวกnประกอบด้วยการ "ประมาณค่า" จำนวนเต็มทุกจำนวนด้วยเศษเหลือจากการหารด้วยnซึ่งเรียกว่าเศษเหลือมอดูล nคุณสมบัติหลักของเลขคณิตมอดูลาร์คือ เศษเหลือมอดูลnของผลลัพธ์จากการดำเนินการต่อเนื่องกับจำนวนเต็มจะเหมือนกับผลลัพธ์จากการดำเนินการต่อเนื่องเดียวกันกับเศษเหลือมอดูล n

ในการศึกษาเกี่ยวกับสมการไดโอแฟนไทน์ บางครั้งการลดรูปสมการโดยใช้ตัวประกอบ pเฉพาะ อาจมีประโยชน์เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วจะช่วยให้เข้าใจสมการได้มากขึ้น อย่างไรก็ตาม การทำเช่นนี้จะทำให้สูญเสียข้อมูลบางส่วนไป เพราะการลดรูปนั้นไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ${\displaystyle \mathbb {Z} \twoheadrightarrow \mathbb {Z} /p}$

วิธีหนึ่งในการรักษาข้อมูลให้มากขึ้นคือการใช้โมดูลัสที่ใหญ่กว่า เช่น กำลังของจำนวนเฉพาะที่สูงกว่าp ² , p ³ , ...อย่างไรก็ตาม วิธีนี้ก็มีข้อเสียคือ ไม่ใช่ฟิลด์ ซึ่ง ทำให้สูญเสียคุณสมบัติทางพีชคณิตไปมาก^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{e}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$

เคิร์ท เฮนเซลค้นพบวิธีการที่ประกอบด้วยการใช้โมดูลัสจำนวนเฉพาะpและการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทของเฮนเซลเพื่อยกระดับคำตอบโมดูลัสpไปสู่โมดูลัส^p² , p³ , ^...กระบวนการนี้สร้างลำดับของเศษเหลือที่ไม่มีที่สิ้นสุด และ จำนวน p -adic ถูกกำหนดให้เป็น "ลิมิต" ของลำดับดังกล่าว

โดยพื้นฐานแล้วจำนวนp -adic ช่วยให้สามารถ "หารด้วย p ^eสำหรับe ทั้งหมด พร้อมกัน" คุณลักษณะเด่นของจำนวนp -adic จากเลขคณิตโมดูลัสทั่วไปคือ เซตของ จำนวนp -adic ก่อตัวเป็นฟิลด์ทำให้สามารถหารด้วยpได้ (ต่างจากเมื่อทำงานโมดูลัสp ^e ) นอกจากนี้ การแมปยังเป็นแบบหนึ่งต่อหนึ่งดังนั้นจึงไม่สูญเสียข้อมูลมากนักเมื่อลดรูปเป็นจำนวนp -adic ^{[ 2 ]}${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} \hookrightarrow \mathbb {Z} _{p}}$

มีหลายวิธีในการทำความเข้าใจจำนวน p -adic

วิธีหนึ่งในการทำความเข้าใจ จำนวนเต็ม p -adic คือการใช้ "ฐานp " ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนอยู่ในฐานpได้

$${\displaystyle 50=1212_{3}=1\cdot 3^{3}+2\cdot 3^{2}+1\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}}$$

โดยทั่วไปจำนวนเต็มp -adic สามารถคิดได้ว่าเป็นจำนวนเต็มในฐานpแต่ตัวเลขจะขยายไปทางซ้ายอย่างไม่มีที่สิ้นสุด^{[ 2 ]}

$${\displaystyle \ldots 121012102_{3}=\cdots +2\cdot 3^{3}+1\cdot 3^{2}+0\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}}$$

การบวกและการคูณ จำนวนเต็ม p -adic สามารถดำเนินการได้ในลักษณะที่ค่อนข้างคล้ายกับจำนวนเต็มในฐานp ^{[ 3 ]}

ตัวอย่างเช่น เมื่อบวกจำนวนเต็มp -adic สองจำนวนเข้าด้วยกันตัวเลขในแต่ละหลักจะถูกบวกเข้าด้วยกัน โดยตัวทดจะถูกส่งต่อจากขวาไปซ้าย ${\displaystyle \ldots 012102_{3}+\ldots 101211_{3}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{cccccccc}&&&_{1}&_{1}&&_{1}&\\&\cdots &0&1&2&1&0&2\,_{3}\\+&\cdots &1&0&1&2&1&1\,_{3}\\\hline &\cdots &1&2&1&0&2&0\,_{3}\end{array}}}$$

การคูณ จำนวนเต็ม p -adic ทำงานในลักษณะเดียวกันผ่านการคูณแบบยาวเนื่องจากการบวกและการคูณสามารถทำได้กับ จำนวนเต็ม p -adic จึงทำให้เกิดวงแหวนขึ้นซึ่งเขียนแทนด้วย หรือ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$

โปรดทราบว่าจำนวนตรรกยะบางจำนวนอาจเป็น จำนวนเต็ม p -adic ได้ แม้ว่ามันจะไม่ใช่จำนวนเต็มในความหมายที่แท้จริงก็ตาม ตัวอย่างเช่น จำนวนตรรกยะ⁠1/5เป็นจำนวนเต็ม 3 -adic และมีการกระจายแบบ 3-adic อย่างไรก็ตาม จำนวนตรรกยะบางจำนวน เช่นไม่สามารถเขียนเป็น จำนวนเต็ม p -adic ได้ ด้วยเหตุนี้จำนวนเต็มp -adic จึงถูกขยายความเพิ่มเติมไปเป็น จำนวน p -adic ดังนี้:${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}=\ldots 121012102_{3}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}}$

จำนวนp -adic สามารถมองได้ว่าเป็นจำนวนเต็ม p -adic ที่มี จำนวนหลักหลังจุดทศนิยมจำกัดตัวอย่างของจำนวน 3-adic คือ

$${\displaystyle \ldots 121012.102_{3}=\cdots +1\cdot 3^{1}+2\cdot 3^{0}+1\cdot 3^{-1}+0\cdot 3^{-2}+2\cdot 3^{-3}}$$

ในทำนองเดียวกัน จำนวน p -adic ทุกจำนวนจะมีรูปแบบโดยที่xเป็น จำนวนเต็ม p -adic ${\displaystyle {\tfrac {x}{p^{k}}}}$

สำหรับจำนวนp -adic ที่ไม่ใช่ศูนย์ x ใดๆ ตัว ผกผันการคูณ ของมันก็เป็น จำนวน p -adic เช่นกัน ซึ่งสามารถคำนวณได้โดยใช้การหารยาว แบบ ต่างๆ^{[ 3 ]}ด้วยเหตุนี้จำนวนp -adic จึงก่อตัว เป็น ฟิลด์ซึ่งแสดงด้วยหรือ${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}}$

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนด จำนวนเต็ม p -adic คือการแสดงเป็นลำดับของเศษเหลือmod สำหรับแต่ละจำนวนเต็ม^{[ 2 ]}โดยที่แต่ละหมายถึงจำนวนเต็มที่เป็นตัวแทนของชั้นเศษเหลือ modulo${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle p^{e}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle p^{i}}$

$${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$$

โดยต้องสอดคล้องกับความสัมพันธ์ความเข้ากันได้สำหรับในสัญลักษณ์นี้ การบวกและการคูณ จำนวนเต็ม p -adic จะถูกกำหนดแบบแยกส่วน: ${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$${\displaystyle i<j}$

$${\displaystyle x+y=(x_{1}+y_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}+y_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}+y_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$$$${\displaystyle x\cdot y=(x_{1}\cdot y_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\cdot y_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\cdot y_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$$

นี่เทียบเท่ากับนิยามฐานpเพราะ ตัวเลข k หลักสุดท้าย ของการขยายฐานpกำหนดค่า mod p ^k ได้อย่างเฉพาะเจาะจง และในทางกลับกัน

รูปแบบนี้ยังสามารถอธิบายได้ว่าทำไมจำนวนตรรกยะบางจำนวนจึงเป็น จำนวนเต็ม p -adic แม้ว่าพวกมันจะไม่ใช่จำนวนเต็มก็ตาม ตัวอย่างเช่น⁠1/5เป็นจำนวนเต็ม 3-adic เนื่องจากส่วนขยาย 3-adic ของมันประกอบด้วยตัวผกผันการคูณของ 5 mod 3, ^3² , 3³ ^, ...

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{5}}&=({\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3,~{\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3^{2},~{\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3^{3},~{\tfrac {1}{5}}\operatorname {mod} 3^{4},~\ldots )\\&=(2\operatorname {mod} 3,~2\operatorname {mod} 3^{2},~11\operatorname {mod} 3^{3},~65\operatorname {mod} 3^{4},~\ldots )\end{aligned}}}$$

มีนิยามที่เทียบเท่ากันหลายแบบสำหรับ จำนวน p -adic วิธีการสองวิธีที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ค่อนข้างพื้นฐาน

จำนวนเต็มp -adicมักถูกนิยามว่าเป็นอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการในรูปแบบ ที่แต่ละตัวแทน "ตัวเลขในฐานp " $${\displaystyle r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{0}+a_{1}p+a_{2}p^{2}+a_{3}p^{3}+\cdots }$$${\displaystyle a_{i}\in \{0,1,\ldots ,p-1\}}$

หน่วยp -adicคือ จำนวนเต็ม p -adic ที่มีหลักแรกไม่เป็นศูนย์ กล่าวคือเซตของ จำนวนเต็ม p -adic ทั้งหมดมักจะใช้สัญลักษณ์^{[ c ] [ 4 ]}${\displaystyle a_{0}\neq 0}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

จำนวน p-adicจะถูกนิยามเป็นอนุกรมลอเรนต์อย่างเป็นทางการในรูปแบบ ที่vเป็นจำนวนเต็ม (อาจเป็นลบ) และแต่ละ. ^{[ 5 ]}หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวน p -adic คือสิ่งใดก็ตามในรูปแบบโดยที่xเป็น จำนวนเต็ม p -adic $${\displaystyle r=\sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}=a_{v}p^{v}+a_{v+1}p^{v+1}+a_{v+2}p^{v+2}+a_{v+3}p^{v+3}+\cdots }$$${\displaystyle a_{i}\in \{0,1,\ldots ,p-1\}}$${\displaystyle {\tfrac {x}{p^{k}}}}$

ดัชนีแรกvที่ตัวเลขหลัก แรก ไม่ใช่ศูนย์ในrเรียกว่าค่าp -adic ของrซึ่งเขียนแทนด้วยถ้าแล้วดัชนีดังกล่าวจะไม่มีอยู่ ดังนั้นตามธรรมเนียมแล้ว. ${\displaystyle a_{v}}$${\displaystyle v_{p}(r)}$${\displaystyle r=0}$${\displaystyle v_{p}(0)=\infty }$

ในคำจำกัดความนี้ การบวก การลบ การคูณ และการหารของ จำนวน p -adic จะดำเนินการในลักษณะเดียวกับจำนวนในฐานpโดยที่ "ตัวทด" หรือ "ตัวยืม" จะเคลื่อนจากซ้ายไปขวาแทนที่จะเป็นขวาไปซ้าย^{[ 6 ]}ตัวอย่างเช่นใน ${\displaystyle \mathbb {Q} _{3}}$

$${\displaystyle {\begin{array}{lllllllllll}&&&_{1}&&&&_{1}&&_{1}\\&2\cdot 3^{0}&+&0\cdot 3^{1}&+&1\cdot 3^{2}&+&2\cdot 3^{3}&+&1\cdot 3^{4}&+\cdots \\+&1\cdot 3^{0}&+&1\cdot 3^{1}&+&2\cdot 3^{2}&+&1\cdot 3^{3}&+&0\cdot 3^{4}&+\cdots \\\hline &0\cdot 3^{0}&+&2\cdot 3^{1}&+&0\cdot 3^{2}&+&1\cdot 3^{3}&+&2\cdot 3^{4}&+\cdots \end{array}}}$$

การหาร จำนวน p -adic อาจดำเนินการ "อย่างเป็นทางการ" ผ่านการหารอนุกรมกำลังอย่างเป็นทางการโดยต้องระมัดระวังเกี่ยวกับการ "ทด" ^{[ 5 ]}

ด้วยการดำเนินการเหล่านี้ เซตของจำนวนp -adic จะก่อให้เกิด ฟิลด์ซึ่งใช้สัญลักษณ์แทน ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

จำนวนp -adic อาจถูกนิยามว่าเป็นชั้นสมมูลได้เช่นกัน ในทำนองเดียวกับการนิยามจำนวนจริงว่าเป็นชั้นสมมูลของลำดับโคชีโดยพื้นฐานแล้วมันขึ้นอยู่กับบทพิสูจน์ย่อยต่อไปนี้:

จำนวนตรรกยะr ที่ไม่ใช่ศูนย์ทุกจำนวน สามารถเขียนได้ในรูปโดยที่v , mและnเป็นจำนวนเต็ม และทั้งmและn ไม่ หารด้วยpลงตัว${\textstyle r=p^{v}{\frac {m}{n}},}$

เลขชี้กำลังvถูกกำหนดโดยr อย่างเฉพาะเจาะจง และเรียกว่า ค่า p -adic valuation ของมัน ซึ่งเขียนแทนด้วยการพิสูจน์บทตั้งนี้ได้มาจากทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตโดยตรง ${\displaystyle v_{p}(r)}$

อนุกรมp -adicคืออนุกรม Laurent อย่างเป็นทางการในรูปแบบ โดยที่เป็นจำนวนเต็ม (อาจเป็นจำนวนลบ) และเป็นจำนวนตรรกยะที่มีค่าเป็นศูนย์หรือมีค่าไม่เป็นลบ (กล่าวคือ ตัวส่วนของไม่สามารถหารด้วยp ลงตัว ) $${\displaystyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$$${\displaystyle v}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$

จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถมองได้ว่าเป็นอนุกรม p -adic ที่มีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงพจน์เดียว ซึ่งประกอบด้วยการแยกตัวประกอบในรูปแบบโดยที่mและnเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับp${\displaystyle p^{k}{\tfrac {m}{n}},}$

อนุกรมp -adic สอง อนุกรม และ จะเทียบเท่ากันก็ต่อเมื่อมีจำนวนเต็มNอยู่ ซึ่งสำหรับจำนวนเต็มทุกจำนวนนั้นจำนวนตรรกยะ จะเป็นศูนย์หรือมี ค่า p -adic มากกว่าn${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i}}$${\textstyle \sum _{i=w}^{\infty }s_{i}p^{i}}$${\displaystyle n>N,}$$${\displaystyle \sum _{i=v}^{n}r_{i}p^{i}-\sum _{i=w}^{n}s_{i}p^{i}}$$

อนุกรมp -adic จะถูกทำให้เป็นอนุกรมปกติก็ต่อเมื่อทุกตัวเป็นจำนวนเต็มที่และหรือทุกตัวเป็นศูนย์ ในกรณีหลัง อนุกรมนั้นเรียกว่าอนุกรม ศูนย์${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }a_{i}p^{i}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p,}$${\displaystyle a_{v}>0,}$${\displaystyle a_{i}}$

อนุกรม p -adic ทุกชุดเทียบเท่ากับอนุกรมมาตรฐานเพียงชุดเดียว อนุกรมมาตรฐานนี้ได้มาจากการแปลงลำดับ ซึ่งเป็นการเทียบเท่าของอนุกรม ดูหัวข้อ§ การทำให้อนุกรมp -adic เป็นมาตรฐาน ด้านล่าง

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ความสมมูลของ อนุกรม p -adic คือความสัมพันธ์สมมูลและแต่ละชั้นสมมูลจะมีอนุกรม p -adic ที่เป็นมาตรฐานเพียงหนึ่งเดียวเท่านั้น

การดำเนินการทั่วไปของอนุกรม (การบวก การลบ การคูณ การหาร) เข้ากันได้กับความสมมูลของ อนุกรม p -adic นั่นคือ การใช้สัญลักษณ์~ แทนความสมมูล ถ้าS , TและUเป็น อนุกรม p -adic ที่ไม่เป็นศูนย์ ซึ่งมีคุณสมบัติ ว่า${\displaystyle S\sim T,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S\pm U&\sim T\pm U,\\SU&\sim TU,\\1/S&\sim 1/T.\end{aligned}}}$$

ด้วยเหตุนี้ จำนวน p -adicจึงถูกนิยามว่าเป็นชั้นสมมูลของอนุกรม p -adic

คุณสมบัติความเป็นเอกลักษณ์ของการทำให้เป็นมาตรฐาน ช่วยให้สามารถแทนจำนวนp -adic ใดๆ ได้อย่างไม่ซ้ำกันด้วยอนุกรม p -adic ที่เป็นมาตรฐานที่สอดคล้องกัน ความเข้ากันได้ของความเท่าเทียมกันของอนุกรมนำไปสู่คุณสมบัติพื้นฐานของจำนวน p -adic ได้เกือบจะในทันที:

• การบวกการคูณและตัวผกผันการคูณของ จำนวน p -adic ถูกกำหนดไว้เช่นเดียวกับอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมตามด้วยการทำให้ผลลัพธ์เป็นค่าปกติ
• ด้วยการดำเนินการเหล่านี้ จำนวน p -adic จะก่อตัวเป็นฟิลด์ซึ่งเป็นฟิลด์ส่วนขยายของจำนวนตรรกยะ
• ค่าของจำนวนp -adic ที่ไม่ใช่ศูนย์xซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์คือเลขชี้กำลังของpในพจน์แรกที่ไม่เป็นศูนย์ของอนุกรมปกติที่สอดคล้องกัน ค่าของศูนย์คือ${\displaystyle v_{p}(x)}$${\displaystyle v_{p}(0)=+\infty }$
• ค่าสัมบูรณ์p -adicของจำนวนp -adic ที่ไม่ใช่ศูนย์ xคือสำหรับ จำนวน p -adic ที่เป็นศูนย์ จะได้ว่า${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v(x)};}$${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

เริ่มต้นด้วยอนุกรมที่เราต้องการ เพื่อให้ได้อนุกรมที่เทียบเท่ากัน โดยที่ค่าp -adic ของอนุกรมนั้น เป็นศูนย์ สำหรับสิ่งนั้น เราพิจารณาอนุกรมที่ไม่เป็นศูนย์ตัวแรกถ้า ค่า p -adic ของอนุกรมนั้นเป็นศูนย์ ก็เพียงพอที่จะเปลี่ยนvเป็นiนั่นคือ เริ่มการหาผลรวมจากvมิฉะนั้นค่าp -adic ของอนุกรม จะเป็นและโดยที่ค่าของอนุกรมนั้นเป็นศูนย์ ดังนั้น เราจะได้อนุกรมที่เทียบเท่ากันโดยการเปลี่ยนเป็น0และเป็นทำซ้ำกระบวนการนี้ไปเรื่อยๆ ในที่สุด เราจะได้อนุกรมที่เทียบเท่ากัน ซึ่งอาจเป็นอนุกรมศูนย์ หรือเป็นอนุกรมที่มีค่าของอนุกรมนั้นเป็นศูนย์ ${\textstyle \sum _{i=v}^{\infty }r_{i}p^{i},}$${\displaystyle r_{v}}$${\displaystyle r_{i}.}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle j>0,}$${\displaystyle r_{i}=p^{j}s_{i}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle r_{i+j}}$${\displaystyle r_{i+j}+s_{i}.}$${\displaystyle r_{v}}$

จากนั้น หากอนุกรมยังไม่ได้รับการทำให้เป็นมาตรฐาน ให้พิจารณาค่าที่ไม่เป็นศูนย์ค่าแรกที่ไม่ใช่จำนวนเต็มในช่วงโดยใช้ทฤษฎีบทของเบซูต์เขียนสิ่งนี้เป็น โดยที่และมีค่าที่ไม่เป็นลบ จากนั้นจะได้อนุกรมที่เทียบเท่ากันโดยการแทนที่ด้วยและเพิ่มเข้าไปใน ทำซ้ำกระบวนการนี้ อาจจะนับครั้งไม่ถ้วน ในที่สุดก็จะได้ อนุกรม p -adic ที่เป็นมาตรฐานตามที่ต้องการ${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle [0,p-1].}$${\displaystyle r_{i}=a_{i}+ps_{i}}$${\displaystyle a_{i}\in [0,p-1]}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle a_{i},}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle r_{i+1}.}$

นิยามที่เทียบเท่ากันอื่นๆ ใช้การเติมเต็มวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่อง (ดู§ จำนวนเต็ม p-adic ) การเติมเต็มปริภูมิเมตริก (ดู§ คุณสมบัติทางโทโพโลยี ) หรือลิมิตผกผัน (ดู§ คุณสมบัติแบบโมดูลาร์ )

จำนวน p - adic สามารถนิยามได้ว่าเป็นอนุกรมp -adic ที่ทำให้เป็นมาตรฐานเนื่องจากมีนิยามที่เทียบเท่ากันอื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไป จึงมักกล่าวว่าอนุกรมp -adic ที่ทำให้เป็นมาตรฐานนั้น แสดงถึงจำนวนp -adic แทนที่จะกล่าวว่ามันคือจำนวนp -adic เอง

อาจกล่าวได้ว่า อนุกรม p -adic ใดๆ ก็แทน จำนวน p -adic ได้เช่นกัน เนื่องจาก อนุกรม p -adic ทุกชุดเทียบเท่ากับ อนุกรม p -adic ที่เป็นมาตรฐานที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียว สิ่งนี้มีประโยชน์สำหรับการกำหนดการดำเนินการ (การบวก การลบ การคูณ การหาร) ของ จำนวน p -adic: ผลลัพธ์ของการดำเนินการดังกล่าวได้มาจากการทำให้ผลลัพธ์ของการดำเนินการที่สอดคล้องกันบนอนุกรมเป็นมาตรฐาน สิ่งนี้กำหนดการดำเนินการบน จำนวน p -adic ได้อย่างดี เนื่องจากการดำเนินการกับอนุกรมเข้ากันได้กับความเท่าเทียมกันของอนุกรม p -adic

ด้วยการดำเนินการเหล่านี้จำนวนp -adic จะก่อตัวเป็น ฟิลด์ที่เรียกว่าฟิลด์ของจำนวนp -adic และใช้สัญลักษณ์หรือมีโฮโมมอร์ฟิซึมฟิลด์ ที่ไม่ซ้ำกัน จากจำนวนตรรกยะไปยัง จำนวน p -adic ซึ่งแมปจำนวนตรรกยะไปยังการขยายp -adic ของมัน ภาพของโฮโมมอร์ฟิซึมนี้มักถูกระบุว่าเป็นฟิลด์ของจำนวนตรรกยะ ซึ่งทำให้สามารถพิจารณา จำนวน p -adic เป็นฟิลด์ส่วนขยายของจำนวนตรรกยะ และจำนวนตรรกยะเป็นฟิลด์ย่อยของ จำนวน p -adic ได้ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbf {Q} _{p}.}$

ค่าประเมินของจำนวนp -adic ที่ไม่ใช่ศูนย์ xซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์คือเลขชี้กำลังของpในพจน์ที่ไม่ใช่ศูนย์พจน์แรกของ อนุกรม p -adic ทุกตัวที่แทนxตามธรรมเนียมแล้ว ค่าประเมินของศูนย์คือค่าประเมินนี้เป็นค่าประเมินแบบไม่ต่อเนื่องการจำกัดค่าประเมินนี้เฉพาะจำนวนตรรกยะคือ ค่า ประเมิน p -adic ของนั่นคือเลขชี้กำลังvในการแยกตัวประกอบของจำนวนตรรกยะเป็นโดยที่ทั้งnและd เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กับp${\displaystyle v_{p}(x),}$${\displaystyle v_{p}(0)=\infty ;}$${\displaystyle \infty .}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle {\tfrac {n}{d}}p^{v},}$

มีรูปแบบการเขียน การกระจาย p -adic หลายแบบ บทความนี้ใช้รูปแบบการเขียน การกระจาย p -adic ที่กำลังของpเพิ่มขึ้นจากขวาไปซ้าย ด้วยรูปแบบการเขียนจากขวาไปซ้ายนี้ การกระจาย 3-adic ของ p เช่น จะเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}},}$$${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots 121012102_{3}.}$$

เมื่อทำการคำนวณเลขคณิตในรูปแบบการเขียนนี้ ตัวเลขจะถูกทดไปทางซ้าย นอกจากนี้ยังสามารถเขียน การกระจาย p -adic ได้โดยที่เลขชี้กำลังของpเพิ่มขึ้นจากซ้ายไปขวา และตัวเลขถูกทดไปทางขวา ด้วยการเขียนแบบซ้ายไปขวาเช่นนี้ การกระจาย 3-adic ของคือ ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$$${\displaystyle {\frac {1}{5}}=2.01210121\dots _{3}{\mbox{ or }}{\frac {1}{15}}=20.1210121\dots _{3}.}$$

การกระจาย p -adic อาจเขียนได้โดยใช้ชุดตัวเลขอื่นแทน{0, 1, ..., p − 1 } ตัวอย่างเช่น การกระจาย 3 -adic ของสามารถเขียนได้โดยใช้ตัวเลขฐานสามที่สมดุล{ 1 , 0, 1 } โดยที่1แทนลบหนึ่ง ดังนี้ ${\displaystyle {\tfrac {1}{5}}}$$${\displaystyle {\frac {1}{5}}=\dots {\underline {1}}11{\underline {11}}11{\underline {11}}11{\underline {1}}_{\text{3}}.}$$

ในความเป็นจริง เซตของ จำนวนเต็ม p ใดๆ ที่อยู่ในชั้นเศษเหลือ ที่แตกต่างกัน โมดูลpสามารถใช้เป็น ตัวเลข p -adic ได้ ในทฤษฎีจำนวน บางครั้ง ตัวแทน Teichmüllerก็ถูกใช้เป็นตัวเลข^{[ 7 ]}

สัญกรณ์คำพูดเป็นรูปแบบหนึ่งของการแสดงจำนวนตรรกยะแบบpที่เสนอโดยEric HehnerและNigel Horspoolเพื่อใช้ในการคำนวณเลขคณิต (ที่แม่นยำ) กับจำนวนเหล่านี้บนคอมพิวเตอร์ ^{[ 8 ]}สามารถใช้เป็นวิธีที่กระชับในการแสดงจำนวนตรรกยะ ซึ่งมีลำดับตัวเลขเป็นคาบอนันต์ ในสัญกรณ์นี้ เครื่องหมายคำพูด (') ใช้เพื่อแยกส่วนที่ซ้ำกันออกจากส่วนที่ไม่ซ้ำกัน $${\displaystyle {\frac {1}{5}}=1210\,'2_{3}}$$

การกระจายทศนิยมของจำนวนตรรกยะ บวก คือการแสดงจำนวนนั้นในรูปอนุกรม โดยที่เป็นจำนวนเต็ม และแต่ละก็เป็นจำนวนเต็มเช่นกัน โดยที่การกระจายนี้สามารถคำนวณได้โดยการหารยาวตัวเศษด้วยตัวส่วน ซึ่งอิงตามทฤษฎีบทต่อไปนี้: ถ้าเป็นจำนวนตรรกยะ โดยที่ จะมีจำนวนเต็ม ที่ทำให้และโดยที่การกระจายทศนิยมได้มาจากการนำผลลัพธ์นี้ไปใช้กับเศษเหลือซ้ำๆซึ่งในการทำซ้ำนั้นเศษเหลือจะทำหน้าที่เป็นจำนวนตรรกยะเดิม ${\displaystyle r}$$${\displaystyle r=\sum _{i=k}^{\infty }a_{i}10^{-i},}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<10.}$${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$${\displaystyle 0\leq r<1,}$${\displaystyle a}$${\displaystyle 0\leq a<10,}$${\displaystyle 10r=a+r',}$${\displaystyle 0\leq r'<1.}$${\displaystyle r'}$${\displaystyle r}$

การ กระจาย p - adicของจำนวนตรรกยะสามารถคำนวณได้ในทำนองเดียวกัน แต่มีขั้นตอนการหารที่แตกต่างกัน สมมติว่า d เป็นจำนวนตรรกยะที่มีค่าไม่เป็นลบ (นั่นคือd หารด้วย pไม่ลงตัว) ขั้นตอนการหารประกอบด้วยการเขียน ${\displaystyle r={\tfrac {n}{d}}}$$${\displaystyle r=a+p\,r'}$$ โดยที่เป็นจำนวนเต็มซึ่งและมีค่าไม่เป็นลบ ${\displaystyle a}$${\displaystyle 0\leq a<p,}$${\displaystyle r'}$

จำนวนเต็มaสามารถคำนวณได้จากตัวผกผันการคูณแบบมอดูลาร์ : . ด้วยเหตุนี้ การเขียนrในรูปแบบนี้จึงเป็นไปได้เสมอ และการแสดงแทนแบบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ${\displaystyle a=nd^{-1}\operatorname {mod} p}$

การ กระจาย p -adic ของจำนวนตรรกยะจะเป็นคาบ ในที่สุด ในทาง กลับกันอนุกรมที่มีจะลู่เข้า (สำหรับ ค่าสัมบูรณ์ p -adic) ไปยังจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่ออนุกรมนั้นเป็นคาบในที่สุด ในกรณีนี้ อนุกรมนั้นคือ การกระจาย p -adic ของจำนวนตรรกยะนั้นการพิสูจน์คล้ายกับการพิสูจน์ผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับทศนิยม ซ้ำ${\textstyle \sum _{i=k}^{\infty }a_{i}p^{i},}$${\displaystyle 0\leq a_{i}<p}$

เรามาคำนวณการกระจายแบบ 5-adic ของจำนวนนี้กัน เราสามารถเขียนจำนวนนี้ได้เป็นดังนั้นเราจึงใช้ในขั้นตอนแรก สำหรับขั้นตอนต่อไป เราสามารถเขียน "เศษเหลือ" ได้เป็นดังนั้นเราจึงใช้เรา สามารถเขียน "เศษเหลือ" ได้เป็นดังนั้นเราจึงใช้สังเกต ว่าเราได้ "เศษเหลือ" อีกครั้ง ซึ่งหมายความว่าตัวเลขจะซ้ำกันได้เท่านั้นจากจุดนี้เป็นต้นไป ในสัญกรณ์ 5-adic มาตรฐาน เราสามารถเขียนได้เป็น โดย มีจุดไข่ปลาอยู่ทางด้านซ้ายมือ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}.}$${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}=2+5\cdot {\tfrac {-1}{3}}}$${\displaystyle a=2}$$${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+5^{1}\cdot \left({\frac {-1}{3}}\right)}$$${\displaystyle {\tfrac {-1}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {-1}{3}}=3+5\cdot {\tfrac {-2}{3}}}$${\displaystyle a=3}$$${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5^{1}+5^{2}\cdot \left({\frac {-2}{3}}\right)}$$${\displaystyle {\tfrac {-2}{3}}}$${\displaystyle {\tfrac {-2}{3}}=1+5\cdot {\tfrac {-1}{3}}}$${\displaystyle a=1}$$${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5^{1}+1\cdot 5^{2}+5^{3}\cdot \left({\frac {-1}{3}}\right)}$$${\displaystyle {\tfrac {-1}{3}}}$$${\displaystyle {\frac {1}{3}}=2+3\cdot 5^{1}+1\cdot 5^{2}+3\cdot 5^{3}+1\cdot 5^{4}+3\cdot 5^{5}+1\cdot 5^{6}+\cdots }$$$${\displaystyle {\frac {1}{3}}=\ldots 1313132_{5}}$$${\displaystyle \ldots }$

จำนวนเต็มp -adicคือ จำนวน p -adic ที่มีค่าไม่เป็นลบ

จำนวนเต็ม a -adic สามารถแสดงได้เป็นลำดับ ของเศษเหลือmod สำหรับแต่ละจำนวนเต็มโดยที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ความเข้ากันได้ สำหรับ${\displaystyle p}$$${\displaystyle x=(x_{1}\operatorname {mod} p,~x_{2}\operatorname {mod} p^{2},~x_{3}\operatorname {mod} p^{3},~\ldots )}$$${\displaystyle x_{e}}$${\displaystyle p^{e}}$${\displaystyle e}$${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}~(\operatorname {mod} p^{i})}$${\displaystyle i<j}$

จำนวนเต็มทุก จำนวน เป็นจำนวนเต็ม -adic (รวมถึงศูนย์ด้วย เนื่องจาก) จำนวนตรรกยะในรูปแบบโดยที่ เป็น จำนวน เฉพาะสัมพัทธ์กับและก็เป็นจำนวนเต็ม -adic เช่นกัน (ด้วยเหตุผลที่ว่ามีตัวผกผัน mod สำหรับทุก) ${\displaystyle p}$${\displaystyle 0<\infty }$${\textstyle {\tfrac {n}{d}}p^{k}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle p}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d}$${\displaystyle p^{e}}$${\displaystyle e}$

จำนวนเต็มp -adic ก่อให้เกิดวงแหวนสลับที่ได้ซึ่งเขียนแทนด้วย หรือที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}}$

• เป็นโดเมนเชิงอินทิกรัลเนื่องจากเป็นซับริงของฟิลด์ หรือเนื่องจากพจน์แรกของการแสดงอนุกรมของผลคูณของ อนุกรม p -adic สองอนุกรมที่ไม่เป็นศูนย์ คือผลคูณของพจน์แรกของอนุกรมทั้งสองนั้น
• หน่วย ( องค์ประกอบที่ผกผันได้) ของคือ จำนวน p -adic ที่มีค่าเป็นศูนย์${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$
• เป็นโดเมนอุดมคติหลักโดยที่อุดมคติ แต่ละอย่างถูก สร้างขึ้นจากกำลังของp
• เป็นวงแหวนท้องถิ่นที่มีมิติ Krull เท่ากับหนึ่ง เนื่องจากอุดมคติเฉพาะ ของมัน คืออุดมคติศูนย์และอุดมคติที่สร้างขึ้นโดยpซึ่ง เป็น อุดมคติสูงสุดเพียงหนึ่งเดียว
• เป็นวงแหวนการประเมินค่าแบบไม่ต่อเนื่องเนื่องจากเป็นผลมาจากคุณสมบัติก่อนหน้านี้
• เป็นการเติมเต็มวงแหวนท้องถิ่นซึ่งเป็นการกำหนดตำแหน่งที่อุดมคติหลัก${\displaystyle \mathbb {Z} _{(p)}={\bigl \{}{\tfrac {n}{d}}\mathbin {\big |} n,d\in \mathbb {Z} ,\,d\not \in p\mathbb {Z} {\bigr \}},}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle p\mathbb {Z} .}$

คุณสมบัติสุดท้ายให้คำจำกัดความของ จำนวน p -adic ที่เทียบเท่ากับข้างต้น: ฟิลด์ของ จำนวน p -adic คือฟิลด์ของเศษส่วนของการเติมเต็มการกำหนดตำแหน่งของจำนวนเต็มที่อุดมคติเฉพาะที่สร้างโดย p

การ ประเมินค่าแบบ p -adic ช่วยให้สามารถกำหนดค่าสัมบูรณ์บนจำนวนp -adic ได้: ค่าสัมบูรณ์แบบp -adic ของ จำนวนp -adic ที่ไม่ใช่ศูนย์ xคือ โดยที่คือ การประเมินค่าแบบ p -adic ของx ค่าสัมบูรณ์ แบบp -adic ของคือนี่คือค่าสัมบูรณ์ที่สอดคล้องกับอสมการสามเหลี่ยมที่แข็งแกร่งเนื่องจากสำหรับทุกxและy : $${\displaystyle |x|_{p}=p^{-v_{p}(x)},}$$${\displaystyle v_{p}(x)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle |0|_{p}=0.}$

• ${\displaystyle |x|_{p}=0}$ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x=0;}$
• ${\displaystyle |x|_{p}\cdot |y|_{p}=|xy|_{p};}$
• ${\displaystyle |x+y|_{p}\leq \max\{|x|_{p},|y|_{p}\}\leq |x|_{p}+|y|_{p}.}$

นอกจากนี้ ถ้าหากแล้ว${\displaystyle |x|_{p}\neq |y|_{p},}$${\displaystyle |x+y|_{p}=\max {\bigl (}|x|_{p},|y|_{p}{\bigr )}.}$

สิ่งนี้ทำให้จำนวนp -adic เป็น ปริภูมิเมตริกและแม้กระทั่งปริภูมิอัลตราเมตริกโดยมี ระยะทาง p -adic ที่กำหนดโดย ${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}.}$

ในฐานะปริภูมิเมตริก จำนวน p -adic ก่อให้เกิดการเติมเต็มของจำนวนตรรกยะที่มาพร้อมกับ ค่าสัมบูรณ์ p -adic ซึ่งเป็นอีกวิธีหนึ่งในการกำหนด จำนวน p -adic

เนื่องจากเมตริกถูกกำหนดจากค่าประเมินแบบไม่ต่อเนื่อง ดังนั้น ลูกบอลเปิดทุก ลูกจึงเป็น ลูกบอลปิดด้วยกล่าวคือ ลูกบอลเปิดเท่ากับลูกบอลปิด โดยที่vคือจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่ทำให้ในทำนองเดียวกันโดยที่wคือจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่ทำให้${\displaystyle B_{r}(x)=\{y\mid d_{p}(x,y)<r\}}$${\displaystyle \textstyle B_{p^{-v}}[x]=\{y\mid d_{p}(x,y)\leq p^{-v}\},}$${\displaystyle \textstyle p^{-v}<r.}$${\displaystyle \textstyle B_{r}[x]=B_{p^{-w}}(x),}$${\displaystyle \textstyle p^{-w}>r.}$

สิ่งนี้หมายความว่าจำนวนp -adic ก่อให้เกิดพื้นที่กระชับเฉพาะที่ ( ฟิลด์กระชับเฉพาะที่ ) และจำนวนเต็มp -adic —นั่นคือลูกบอล—ก่อให้เกิดพื้นที่กระชับ^{[ 9 ]}${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle B_{1}[0]=B_{p}(0)}$

ปริภูมิของจำนวนเต็ม 2-adic เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับเซตแคนเตอร์ [ ^{10 ] [ 11 ] สิ่ง}นี้สามารถเห็นได้จากการพิจารณาการแมปแบบต่อเนื่อง 1 ต่อ 1 ที่กำหนดโดย ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับp ใดๆ จะเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับและดังนั้นจึงเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับเซตแคนเตอร์ด้วย^{[ 12 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \psi :\mathbb {Z} _{2}\to {\mathcal {C}}}$$${\displaystyle \psi :~a_{0}+a_{1}2+a_{2}2^{2}+a_{3}2^{3}+\cdots ~\longmapsto ~{\frac {2a_{0}}{3}}+{\frac {2a_{1}}{3^{2}}}+{\frac {2a_{2}}{3^{3}}}+{\frac {2a_{3}}{3^{4}}}+\cdots }$$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

กลุ่มคู่ของ Pontryaginของกลุ่มจำนวนเต็มp -adic คือ กลุ่มp- Prüfer และกลุ่มคู่ของ Pontryagin ของ กลุ่ม p- Prüfer คือกลุ่มจำนวนเต็มp -adic ^{[ 13 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$

วงแหวนผลหาร สามารถระบุได้ว่าเป็นวงแหวนของจำนวนเต็มมอดูลซึ่งสามารถแสดงได้โดยการสังเกตว่าจำนวนเต็มp -adic ทุกตัว ซึ่งแทนด้วยอนุกรม p -adic ที่เป็นมาตรฐาน จะสมมูลมอดูลกับผลรวมย่อยซึ่งมีค่าเป็นจำนวนเต็มในช่วงการตรวจสอบโดยตรงแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้กำหนดไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากไปยัง${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle p^{n}.}$${\displaystyle p^{n}}$${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a_{i}p^{i},}$${\displaystyle [0,p^{n}-1].}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$

ลิมิตผกผันของวงแหวนถูกกำหนดให้เป็นวงแหวนที่เกิดจากลำดับต่างๆโดย ที่และสำหรับทุกi${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots }$${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} /p^{i}\mathbb {Z} }$${\textstyle a_{i}\equiv a_{i+1}{\pmod {p^{i}}}}$

การแมปที่แปลงอนุกรมp -adic ที่เป็นมาตรฐานไปเป็นลำดับของผลรวมย่อยของมัน คือ ไอโซมอร์ฟิซึมของวงแหวนจากไปยังลิมิตผกผันของสิ่งนี้ให้วิธีการอีกวิธีหนึ่งในการกำหนด จำนวนเต็ม p -adic ( โดยไม่รวมไอโซมอร์ฟิซึม) ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}.}$

นิยามของ จำนวนเต็ม p -adic นี้มีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการคำนวณในทางปฏิบัติ เนื่องจากช่วยให้สามารถสร้างจำนวนเต็ม p -adic ได้โดยใช้การประมาณค่าต่อเนื่อง

ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณ ตัวผกผันเชิงการคูณ ( p -adic inverse) ของจำนวนเต็ม สามารถใช้วิธีของนิวตัน ได้ โดยเริ่มจากตัวผกผันมอดูล pจากนั้นในแต่ละขั้นตอนของนิวตันจะคำนวณตัวผกผันมอดูลจากตัวผกผันมอดูล${\textstyle p^{n^{2}}}$${\textstyle p^{n}.}$

สามารถใช้วิธีเดียวกันนี้ในการคำนวณรากที่สองp -adic ของจำนวนเต็มที่เป็นเศษเหลือกำลังสองมอดูล pได้ วิธีนี้ดูเหมือนจะเป็นวิธีที่เร็วที่สุดเท่าที่ทราบสำหรับการทดสอบว่าจำนวนเต็มขนาดใหญ่เป็นกำลังสองหรือไม่ กล่าวคือ เพียงแค่ทดสอบว่าจำนวนเต็มที่กำหนดเป็นกำลังสองของค่าที่พบในนั้นก็เพียงพอแล้วการใช้วิธีของนิวตันเพื่อหารากที่สองนั้น จำเป็นต้องมีค่ามากกว่าสองเท่าของจำนวนเต็มที่กำหนด ซึ่งสามารถทำได้อย่างรวดเร็ว ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}/p^{n}\mathbb {Z} _{p}}$${\textstyle p^{n}}$

การยกแบบเฮนเซล (Hensel lifting)เป็นวิธีการที่คล้ายกัน ซึ่งช่วยให้สามารถ "ยก" การแยกตัวประกอบมอดูลpของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ไปเป็นการแยกตัวประกอบมอดูลสำหรับค่าn ขนาดใหญ่ วิธีนี้มักใช้ในอัลกอริธึม การแยกตัวประกอบพหุนาม${\textstyle p^{n}}$

ทั้งและต่างก็ไม่สามารถนับได้และมีจำนวนสมาชิกเท่ากับจำนวนต่อเนื่อง [ ^{14 ] เนื่องจาก}ผลลัพธ์นี้มาจาก การแสดงแทน p -adic ซึ่งกำหนดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งของบนเซตกำลังเนื่องจากผลลัพธ์นี้มาจากการแสดงออกเป็นการรวมกันของสำเนาของ ที่นับได้และไม่มีที่สิ้นสุด : ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p},}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \{0,\ldots ,p-1\}^{\mathbb {N} }.}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}=\bigcup _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{p^{i}}}\mathbb {Z} _{p}.}$$

ฟิลด์นี้ประกอบด้วยและเป็นฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

เนื่องจาก0สามารถเขียนเป็นผลรวมของกำลังสองได้ ดังนั้น^{[ d ]} จึงไม่สามารถแปลงเป็นฟิลด์เรียงลำดับได้ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

ฟิลด์ของจำนวนจริง มีส่วนขยายพีชคณิต ที่เหมาะสมเพียงอันเดียวเท่านั้น นั่น คือ จำนวนเชิงซ้อนกล่าวอีกนัยหนึ่ง ส่วนขยายกำลังสอง นี้ ปิดทางพีชคณิตแล้วในทางตรงกันข้ามการปิดทางพีชคณิตของซึ่งแสดงด้วยมีดีกรีอนันต์^{[ 15 ]}นั่นคือมีส่วนขยายพีชคณิตที่ไม่เท่ากันจำนวนอนันต์ นอกจากนี้ เมื่อเปรียบเทียบกับกรณีของจำนวนจริง แม้ว่าจะมีส่วนขยายที่ไม่ซ้ำกันของ การประเมินค่า p -adic ไปยังจำนวนจริง แต่ก็ไม่สมบูรณ์ (ในเชิงเมตริก) ^{[ 16 ] [ 17 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} _{p}}},}$

^{การเติมเต็ม (}เมตริก) ของมันถูกแสดงด้วยหรือ[ ^{17 ] [ 18 ]}และบางครั้งเรียกว่าจำนวนp -adic เชิงซ้อนโดยเปรียบเทียบกับจำนวนเชิงซ้อน ฟิลด์นี้ปิดทางพีชคณิต^{[ 17 ] [ 19 ]}อย่างไรก็ตาม ต่างจากฟิลด์นี้ไม่เป็น ฟิลด์ กระชับเฉพาะที่^{[ 18 ]}${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \Omega _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ฟิลด์และเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน^{[ e ]}ดังนั้นเราอาจถือว่ามีเมตริกที่แปลกใหม่ การพิสูจน์การมีอยู่ของไอโซมอร์ฟิซึมของฟิลด์ดังกล่าวอาศัยสัจพจน์ของการเลือกและไม่ได้ให้ตัวอย่างที่ชัดเจนของไอโซมอร์ฟิซึมดังกล่าว (นั่นคือ มันไม่ใช่แบบสร้างสรรค์ ) ${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ถ้ากลุ่มกา โลอิสใดๆ เป็น ส่วนขยายกาโลอิสจำกัดก็จะสามารถแก้ได้ดังนั้นกลุ่มกาโลอิสสัมบูรณ์จึงสามารถแก้ได้แบบโปรโซล เวเบิ ล ${\displaystyle K}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(K/\mathbb {Q} _{p}\right)}$${\displaystyle {\operatorname {Gal} }{\bigl (}\,{\overline {\mathbb {Q} _{p}}}/\mathbb {Q} _{p}{\bigr )}}$

กลุ่มหน่วยบรรจุอยู่ในกลุ่มการคูณ พวกมันมี กลุ่มย่อยทอร์ชั่นเดียวกัน(กลุ่มย่อยขององค์ประกอบที่มีอันดับจำกัด) เลมมาของเฮนเซลบ่งชี้ว่ากลุ่มย่อยทอร์ชั่นของแมปแบบทั่วถึงไปยังเคอร์เนลคือเมื่อและเมื่อโดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มย่อยทอร์ชั่นของเป็นกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับเมื่อและเท่ากับเมื่อดังนั้น สำหรับn > 2ฟิลด์ประกอบด้วยฟิลด์ไซโคลโท มิก ที่nก็ต่อเมื่อn | p − 1 ^{[ 20 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }=\mathbb {Q} _{p}-\{0\}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}^{\times }}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}^{\times }}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle p>2}$${\displaystyle \{\pm 1\}}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$${\displaystyle p-1}$${\displaystyle p>2}$${\displaystyle \{\pm 1\}}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

กำหนดให้จำนวนธรรมชาติkเป็นกลุ่มของ กำลังที่ kของสมาชิกใน กลุ่มนั้น แล้วดัชนีจะเป็นค่าจำกัด ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times k}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}^{\times }}$${\displaystyle (\mathbb {Q} _{p}^{\times }:\mathbb {Q} _{p}^{\times k})}$

หลักการท้องถิ่น-สากลของเฮลมุต ฮัสเซ่กล่าวว่าใช้ได้กับสมการก็ต่อเมื่อสามารถหาคำตอบได้บนจำนวนตรรกยะก็ต่อเมื่อสามารถหาคำตอบได้บนจำนวนจริงและบน จำนวน p -adic สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ  pหลักการนี้ใช้ได้กับสมการที่กำหนดโดยรูปแบบกำลังสองแต่ใช้ไม่ได้กับพหุนามที่มีตัวแปรหลายตัว

จำนวนp -adic ปรากฏขึ้นในหลายสาขาของคณิตศาสตร์ รวมถึงฟิสิกส์ด้วย

เช่นเดียวกับสาขาคลาสสิกอย่าง การวิเคราะห์ เชิงจริงและเชิงซ้อนซึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันบนจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนตามลำดับการวิเคราะห์ เชิง p -adic ศึกษาฟังก์ชันบน จำนวน p -adic ทฤษฎีของฟังก์ชันเชิงตัวเลขที่มีค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อนบน จำนวน p -adic เป็นส่วนหนึ่งของทฤษฎีกลุ่มกระชับเฉพาะที่ ( การวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเชิงนามธรรม ) ความหมายทั่วไปของ การวิเคราะห์เชิง p -adic คือ ทฤษฎีของ ฟังก์ชันที่มีค่าเป็น p -adic บนปริภูมิที่สนใจ

การประยุกต์ใช้ การวิเคราะห์ p -adic ส่วนใหญ่พบในทฤษฎีจำนวน ซึ่งมีบทบาทสำคัญในเรขาคณิตไดโอแฟนไทน์และการประมาณค่าไดโอแฟนไทน์การประยุกต์ใช้บางอย่างจำเป็นต้องมีการพัฒนาการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันp -adic และทฤษฎีสเปกตรัมในหลายๆ ด้าน การวิเคราะห์ p -adic นั้นไม่ซับซ้อนเท่ากับการวิเคราะห์แบบคลาสสิกเนื่องจากอสมการอัลตราเมตริกหมายความว่า ตัวอย่างเช่น การลู่เข้าของอนุกรมอนันต์ของ จำนวน p -adic นั้นง่ายกว่ามากปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีเหนือ ฟิลด์ p -adic แสดงคุณลักษณะที่โดดเด่น ตัวอย่างเช่น ด้านที่เกี่ยวข้องกับความนูนและทฤษฎีบทฮาห์น-บานาคมีความแตกต่างกัน

แนวคิดสำคัญสองประการจาก การวิเคราะห์ p -adic คือทฤษฎีบทของมาห์เลอร์ซึ่งอธิบายลักษณะ ของฟังก์ชัน p -adic ต่อเนื่องทุกฟังก์ชันในรูปของพหุนาม และปริพันธ์โวลเคนบอร์นซึ่งเป็นวิธีการหาปริพันธ์สำหรับฟังก์ชัน p -adic

ทฤษฎี p -adic Hodgeเป็นทฤษฎีที่ให้วิธีการจำแนกและศึกษาการแทนค่า Galois p -adic ของฟิลด์เฉพาะ ที่มี ลักษณะเฉพาะ 0 และลักษณะเฉพาะตกค้าง p (เช่น Q _p ) ทฤษฎีนี้มีจุดเริ่มต้นมาจากการศึกษาโมดูล Tateของวาไรตี้อาเบเลียนและแนวคิดของการแทนค่า Hodge–Tate โดย Jean-Pierre Serreและ John Tateการแทนค่า Hodge–Tate เกี่ยวข้องกับการแยกส่วนบางอย่างของทฤษฎีโคฮอโมโลยีp -adic ที่คล้ายคลึงกับ การแยกส่วน Hodgeดังนั้นจึงได้ชื่อว่า ทฤษฎี p -adic Hodge การพัฒนาเพิ่มเติมได้รับแรงบันดาลใจจากคุณสมบัติของ การแทนค่า Galois p -adic ที่เกิดขึ้นจากโคฮอโมโลยี étaleของวาไรตี้ Jean-Marc Fontaineได้แนะนำแนวคิดพื้นฐานหลายอย่างของฟิลด์นี้

ทฤษฎี Teichmüller แบบp -adic อธิบายถึง "การทำให้เป็นเอกรูป" ของ เส้นโค้ง p -adic และค่าสัมบูรณ์ ของเส้นโค้งเหล่านั้น โดยเป็นการขยาย ทฤษฎี Teichmüllerทั่วไปที่อธิบายถึงการทำให้เป็นเอกรูปของพื้นผิว Riemannและค่าสัมบูรณ์ของพื้นผิวเหล่านั้น ทฤษฎีนี้ได้รับการแนะนำและพัฒนาโดย Shinichi Mochizuki

กลศาสตร์ควอนตัมp -adic คือกลุ่มงานวิจัยที่เกี่ยวข้องในฟิสิกส์ควอนตัมซึ่งแทนที่จำนวนจริงด้วย จำนวน p -adic ในอดีต งานวิจัยนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากการค้นพบว่าแอมพลิจูดเวเนเซียโน ของ สตริงโบซอนิกแบบเปิดซึ่งคำนวณโดยใช้ปริพันธ์เหนือจำนวนจริง สามารถขยายไปสู่ จำนวน p -adic ได้ การสังเกตนี้เป็นจุดเริ่มต้นของการศึกษาทฤษฎีสตริงp - adic

จำนวนจริงและ จำนวน p -adic เป็นส่วนเติมเต็มของจำนวนตรรกยะ นอกจากนี้ยังสามารถเติมเต็มฟิลด์อื่นๆ ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่นฟิลด์จำนวนพีชคณิต ทั่วไป ในลักษณะเดียวกัน ซึ่งจะอธิบายต่อไปนี้

สมมติว่าDเป็นโดเมนเดเดคินด์และEเป็นฟิลด์เศษส่วน ของ D เลือกไอเดียล เฉพาะที่ ไม่เป็นศูนย์PของDถ้าxเป็นสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ของEแล้วxDเป็นไอเดียลเศษส่วนและสามารถแยกตัวประกอบได้อย่างไม่ซ้ำกันเป็นผลคูณของกำลังบวกและลบของไอเดียลเฉพาะที่ไม่เป็นศูนย์ของDดังนั้น การเขียน ord _P ( x ) สำหรับเลขชี้กำลังของPในการแยกตัวประกอบนี้จะให้ค่าแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดไว้อย่างดี และสำหรับการเลือกจำนวนc ใดๆ ที่มากกว่า 1 เราสามารถกำหนดได้ การทำให้สมบูรณ์โดยสัมพันธ์กับค่าสัมบูรณ์|⋅| _P นี้ จะให้ฟิลด์E _Pซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปที่เหมาะสมของฟิลด์ของ จำนวน p -adic ไปสู่การตั้งค่านี้ การเลือกcไม่เปลี่ยนแปลงการทำให้สมบูรณ์ (การเลือกที่แตกต่างกันให้แนวคิดเดียวกันของลำดับโคชี ดังนั้นการทำให้สมบูรณ์จึงเหมือนกัน) เป็นเรื่องสะดวก เมื่อฟิลด์เศษเหลือD / Pมีขนาดจำกัด ให้เลือกcที่ มีขนาดเท่ากับD / P$${\displaystyle |x|_{P}=c^{-\!\operatorname {ord} _{P}(x)}.}$$

ตัวอย่างเช่น เมื่อEเป็นฟิลด์จำนวนและDเป็นริงของจำนวนเต็มของ Eทฤษฎีบทของ Ostrowski กล่าวว่า ค่าสัมบูรณ์ที่ไม่ใช่ค่าศูนย์และไม่ใช่ค่าอาร์คิมีเดียนทุก ค่า บนEเกิดขึ้นจาก|⋅| _Pบางค่า ส่วนค่าสัมบูรณ์ที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ที่เหลือบนEเกิดขึ้นจากการฝังEลงในจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบต่างๆ (อันที่จริง ค่าสัมบูรณ์ที่ไม่ใช่ค่าอาร์คิมีเดียนสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นเพียงการฝังEลงในฟิลด์C _p ในรูปแบบต่างๆ ซึ่งทำให้การอธิบายค่าสัมบูรณ์ที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ทั้งหมดของฟิลด์จำนวนอยู่ในพื้นฐานเดียวกัน)

บ่อยครั้งที่จำเป็นต้องติดตามความสมบูรณ์ทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้นพร้อมกัน เมื่อEเป็นฟิลด์ตัวเลข (หรือโดยทั่วไปแล้วเป็นฟิลด์ทั่วโลก ) ซึ่งถือเป็นการเข้ารหัสข้อมูล "เฉพาะที่" สิ่งนี้สามารถทำได้โดยใช้วงแหวนอะเดลและกลุ่มอะเดล

จำนวนเต็ม p -adic สามารถขยายไปเป็น โซลีนอยด์ p -adic ได้ มีแผนที่จากไปยังกลุ่มวงกลมที่มีไฟเบอร์เป็นจำนวนเต็มp -adic ในทำนองเดียวกับที่มีแผนที่จากไปยังวงกลมที่มีไฟเบอร์เป็น ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

จำนวนเต็มp -adic ยังสามารถขยายไปยังจำนวนเต็ม profinite ซึ่งสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นผลคูณโดยตรงของวงแหวน ต่างจาก จำนวนเต็ม p -adic ซึ่งขยายโมดูลัสเหนือกำลังของจำนวนเฉพาะp ^k เท่านั้น จำนวนเต็ม profinite ขยายโมดูลัสเหนือจำนวนธรรมชาติn ทั้งหมดทฤษฎีบทเศษเหลือของจีนยังบ่งบอกถึงโครงสร้างของฐานประกอบ: สำหรับn ใดๆ ที่มีตัวประกอบเฉพาะที่แตกต่างกันอย่างน้อยสองตัว วงแหวนจำนวนเต็มn -adic จะสมสัณฐานกับ^{[ 21 ]}${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$$${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle \prod _{p|n}\mathbb {Z} _{p}}$

วิกิมีเดียคอมมอน ส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับตัวเลข P-adic

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "จำนวนพี-แอดิก" . แมธเวิลด์ .
• จำนวนp -adic ในสารานุกรมคณิตศาสตร์ออนไลน์ของ Springer