ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิอัลตราเมตริกคือปริภูมิเมตริกที่ความไม่เท่าเทียมกันของสามเหลี่ยมได้รับการเสริมความแข็งแกร่งขึ้น${\displaystyle d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}}$สำหรับทุกคน${\displaystyle x}$,${\displaystyle y}$, และ${\displaystyle z}$บางครั้งเมตริกที่เกี่ยวข้องก็เรียกว่าเมตริกที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนหรือซูเปอร์เมตริกด้วย

เครื่องวัดอัลตราเมตริกในชุดอุปกรณ์${\displaystyle M}$เป็นฟังก์ชันค่าจริง

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

(ที่ไหน${\displaystyle \mathbb {R} }$(แทนจำนวนจริง ) โดยที่สำหรับทุก${\displaystyle x,y,z\in M}$:

1. ${\displaystyle d(x,y)\geq 0}$ด้วยความเท่าเทียมกันก็ต่อเมื่อ${\displaystyle x=y}$( ไม่เสื่อมถอย )
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$( สมมาตร )
3. ถ้า${\displaystyle d(x,y)=0}$แล้ว${\displaystyle x=y}$
4. ${\displaystyle d(x,z)\leq \max\{d(x,y),d(y,z)\}}$( อสมการสามเหลี่ยมที่แข็งแกร่งหรืออสมการอัลตราเมตริก )

ปริภูมิอัลตราเมตริกคือคู่หนึ่ง${\displaystyle (M,d)}$ประกอบด้วยชุด${\displaystyle M}$พร้อมกับอัลตราเมตริก${\displaystyle d}$บน${\displaystyle M}$ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันระยะทางสัมพันธ์ของปริภูมิ (หรือเรียกว่าเมตริก )

ถ้า${\displaystyle d}$ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมด ยกเว้นอาจจะเป็นเงื่อนไขที่ 3 แล้ว${\displaystyle d}$เรียกว่าอัลตราซูโดเมตริกบน${\displaystyle M}$พื้นที่อัลตราซูโดเมตริกคือคู่หนึ่ง${\displaystyle (M,d)}$ประกอบด้วยชุด${\displaystyle M}$และอัลตราซูโดเมตริก${\displaystyle d}$บน${\displaystyle M}$[ ^{1 ]​}

ในกรณีที่${\displaystyle M}$เป็นกลุ่มอาเบเลียน (เขียนในรูปการบวก) และ${\displaystyle d}$สร้างขึ้นโดยฟังก์ชันความยาว${\displaystyle \|\cdot \|}$ (เพื่อที่ว่า)${\displaystyle d(x,y)=\|xy\|}$) คุณสมบัติสุดท้ายสามารถทำให้แข็งแกร่งขึ้นได้โดยใช้ การลับคม แบบ Krullดังนี้:

${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$ด้วยความเท่าเทียมกันหาก${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$.

เราต้องการพิสูจน์ว่าถ้า${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$โดยไม่เสียความเป็นทั่วไปเราสมมติว่า${\displaystyle \|x\|>\|y\|.}$นี่หมายความว่า${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|}$แต่เรายังสามารถคำนวณได้อีกด้วย${\displaystyle \|x\|=\|(x+y)-y\|\leq \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$ตอนนี้ มูลค่าของ${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$ไม่สามารถเป็นไปได้${\displaystyle \|y\|}$เพราะถ้าเป็นเช่นนั้น เราก็จะมี${\displaystyle \|x\|\leq \|y\|}$ตรงกันข้ามกับสมมติฐานเริ่มต้น ดังนั้น${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}=\|x+y\|}$, และ${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|}$โดยใช้ความไม่เท่าเทียมกันเบื้องต้น เราจะได้ว่า${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|}$และด้วยเหตุนี้${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|}$.

จากคำจำกัดความข้างต้น เราสามารถสรุปคุณสมบัติทั่วไปหลายประการของอัลตราเมตริกได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับทุกๆ${\displaystyle x,y,z\in M}$อย่างน้อยหนึ่งในสามความเท่าเทียมกัน${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$หรือ${\displaystyle d(x,z)=d(y,z)}$หรือ${\displaystyle d(x,y)=d(z,x)}$เป็นจริง กล่าวคือ จุดสามจุดทุกจุดในปริภูมิจะประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วดังนั้นปริภูมิทั้งหมดจึงเป็นเซตหน้าจั่ว

กำหนดทรงกลม (เปิด)ที่มีรัศมี${\displaystyle r>0}$ศูนย์กลางอยู่ที่${\displaystyle x\in M}$เช่น${\displaystyle B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}}$เรามีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

• ทุกจุดภายในทรงกลมล้วนเป็นจุดศูนย์กลางของทรงกลมนั้น กล่าวคือ ถ้า${\displaystyle d(x,y)<r}$แล้ว${\displaystyle B(x;r)=B(y;r)}$.
• ลูกบอลที่ตัดกันจะอยู่ภายในกันและกัน กล่าวคือ ถ้า${\displaystyle B(x;r)\cap B(y;s)}$หากไม่ว่างเปล่า ก็อาจเป็น อย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้${\displaystyle B(x;r)\subseteq B(y;s)}$หรือ${\displaystyle B(y;s)\subseteq B(x;r)}$.
• ลูกบอลทุกลูกที่มีรัศมีเป็นบวกอย่างเคร่งครัดเป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิดในโทโพโลยี ที่เหนี่ยวนำ กล่าวคือ ลูกบอลเปิดก็เป็นเซตปิดด้วย และลูกบอลปิดก็เป็นเซตปิดด้วย (แทนที่${\displaystyle <}$กับ${\displaystyle \leq }$( ) ก็เปิดให้บริการเช่นกัน
• ชุดของลูกบอลเปิดทั้งหมดที่มีรัศมี${\displaystyle r}$และจุดศูนย์กลางอยู่ในทรงกลมปิดที่มีรัศมี${\displaystyle r>0}$ก่อให้เกิดการแบ่งส่วนของส่วนหลัง และระยะห่างระหว่างลูกบอลเปิดสองลูกที่แตกต่างกันนั้น (มากกว่าหรือ) เท่ากับ${\displaystyle r}$.

การพิสูจน์ข้อความเหล่านี้เป็นแบบฝึกหัดที่ให้ความรู้^{[ 2 ]}ทั้งหมดได้มาโดยตรงจากอสมการสามเหลี่ยมอัลตราเมตริก โปรดทราบว่า ตามข้อความที่สอง ลูกบอลอาจมีจุดศูนย์กลางหลายจุดที่มีระยะทางไม่เป็นศูนย์ สัญชาตญาณเบื้องหลังผลกระทบที่ดูแปลกประหลาดเช่นนี้ก็คือ เนื่องจากอสมการสามเหลี่ยมที่เข้มงวด ระยะทางในอัลตราเมตริกจึงไม่รวมกัน

• เมตริกแบบไม่ต่อเนื่องเป็นเมตริกขั้นสูง
• จำนวนp -adicก่อให้เกิดปริภูมิอัลตราเมตริกที่สมบูรณ์
• พิจารณาเซตของคำที่มีความยาวไม่จำกัด (ทั้งแบบจำกัดและแบบอนันต์)${\displaystyle \Sigma ^{*}}$เหนือตัวอักษรบางตัว${\displaystyle \Sigma }$กำหนดระยะห่างระหว่างคำสองคำที่แตกต่างกันให้เป็น${\displaystyle 2^{-n}}$, ที่ไหน${\displaystyle n}$เป็นจุดแรกที่คำทั้งสองแตกต่างกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือเมตริกแบบอัลตราเมตริก
• ชุดคำที่มีปลายติดกันตามความยาว${\displaystyle n}$เหนือตัวอักษรบางตัว${\displaystyle \Sigma }$เป็นปริภูมิอัลตราเมตริกโดยสัมพันธ์กับ ระยะทาง p-ปิด สองคำ${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$ถือว่าp -close ถ้าสตริงย่อยใดๆ ที่มี ตัวอักษร pตัวเรียงกัน (${\displaystyle p<n}$) ปรากฏจำนวนครั้งเท่ากัน (ซึ่งอาจเป็นศูนย์ก็ได้) ทั้งใน${\displaystyle x}$และ${\displaystyle y}$[ ^{3 ]​}
• ถ้า${\displaystyle r=(r_{n})}$เป็นลำดับของจำนวนจริงที่ลดลงจนเป็นศูนย์ ดังนั้น${\displaystyle |x|_{r}:=\limsup _{n\rightarrow \infty }|x_{n}|^{r_{n}}}$เหนี่ยวนำให้เกิดอัลตราเมตริกบนปริภูมิของลำดับเชิงซ้อนทั้งหมดซึ่งมีค่าจำกัด (โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่เซมินอร์มเนื่องจากขาดความเป็นเอกรูป—ถ้า${\displaystyle r_{n}}$หากอนุญาตให้เป็นศูนย์ได้ ควรใช้ธรรมเนียมที่ค่อนข้างแปลกประหลาดดังนี้${\displaystyle 0^{0}=0}$( ศูนย์ยกกำลังศูนย์ )
• ถ้า${\displaystyle G}$เป็นกราฟแบบไม่มี ทิศทางที่มีน้ำหนักขอบ โดยน้ำหนักขอบทั้งหมดเป็นค่าบวก และ${\displaystyle d(u,v)}$คือน้ำหนักของเส้นทางมินิแม็กซ์ระหว่าง${\displaystyle u}$และ${\displaystyle v}$(นั่นคือ น้ำหนักสูงสุดของขอบบนเส้นทางที่เลือกเพื่อลดน้ำหนักสูงสุดนี้ให้เหลือน้อยที่สุด) จากนั้นจุดยอดของกราฟ โดยวัดระยะทางด้วย${\displaystyle d}$ก่อให้เกิดพื้นที่อัลตราเมตริก และพื้นที่อัลตราเมตริกจำกัดทั้งหมดสามารถแสดงได้ด้วยวิธีนี้^{[ 4 ]}

• การแมปการหดตัวอาจถูกมองว่าเป็นวิธีการประมาณผลลัพธ์สุดท้ายของการคำนวณ (ซึ่งสามารถรับประกันได้ว่ามีอยู่จริงโดยทฤษฎีบทจุดตรึงของบานาค ) แนวคิดที่คล้ายกันนี้สามารถพบได้ในทฤษฎีโดเมนการ วิเคราะห์ p -adicใช้ประโยชน์อย่างมากจากลักษณะอัลตราเมตริกของเมตริกp - adic
• ในฟิสิกส์สสารควบแน่นการ ทับซ้อน เฉลี่ยตัวเองระหว่างสปินในแบบจำลอง SKของสปินกลาส แสดงโครงสร้างอัลตราเมตริก โดยมีวิธีแก้ปัญหาที่กำหนดโดยกระบวนการทำลายสมมาตรแบบจำลองเต็มรูปแบบที่ Giorgio Parisiและเพื่อนร่วมงานได้อธิบายไว้เป็นครั้งแรก^{[ 5 ]}อัลตราเมตริกยังปรากฏในทฤษฎีของของแข็งที่ไม่เป็นคาบอีกด้วย^{[ 6 ]}
• ใน การจัด หมวดหมู่และ การสร้าง แผนภูมิวิวัฒนาการระยะทางอัลตราเมตริกยังถูกใช้โดยวิธีUPGMAและWPGMA ด้วย ^{[ 7 ]}อัลกอริทึมเหล่านี้ต้องการสมมติฐานอัตราคงที่และสร้างแผนภูมิที่ระยะทางจากรากไปยังปลายกิ่งทุกกิ่งเท่ากัน เมื่อวิเคราะห์ข้อมูลDNA , RNAและโปรตีน สมมติฐานอัลตราเมตริกเรียกว่า นาฬิกาโมเลกุล
• แบบจำลองของความไม่ต่อเนื่อง ใน ความปั่นป่วนสามมิติของของไหลใช้สิ่งที่เรียกว่าแคสเคด และในแบบจำลองแยกส่วนของแคสเคดแบบไดอะดิก ซึ่งมีโครงสร้างอัลตราเมตริก^{[ 8 ]}
• ในทางภูมิศาสตร์และนิเวศวิทยาภูมิทัศน์ระยะทางอัลตราเมตริกถูกนำมาใช้เพื่อวัดความซับซ้อนของภูมิทัศน์และเพื่อประเมินขอบเขตที่ฟังก์ชันภูมิทัศน์หนึ่งมีความสำคัญมากกว่าอีกฟังก์ชันหนึ่ง^{[ 9 ]}

• นาริซี, ลอว์เรนซ์; เบคเกนสไตน์, เอ็ดเวิร์ด (2011). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีคณิตศาสตร์บริสุทธิ์และประยุกต์ (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). โบคา ราตัน, ฟลอริดา: สำนักพิมพ์ CRC. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โล ยีGTMเล่ม 8 (  ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์ Springer New York. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 

• Kaplansky, I. (1977), ทฤษฎีเซตและปริภูมิเมตริก , สำนักพิมพ์ AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-2694-2.

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับเรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนในวิกิมีเดียนคอมมอนส์