ในทางคณิตศาสตร์การจำแนกกลุ่มง่ายจำกัดระบุว่า ทุกกลุ่มง่ายจำกัด เป็นกลุ่มวัฏจักรหรือกลุ่มสลับหรืออยู่ใน 1 ใน 16 ตระกูลของกลุ่มประเภทลีหรืออยู่ใน 1 ใน 26 กลุ่มสปอราดิก

รายการด้านล่างนี้แสดงกลุ่มง่ายจำกัดทั้งหมด พร้อมด้วยอันดับ ของกลุ่ม ขนาดของตัวคูณชูร์ขนาดของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก โดยปกติจะ มีตัวแทนขนาดเล็กบางส่วนและรายการของกลุ่มที่ซ้ำกันทั้งหมด

ตารางต่อไปนี้เป็นรายการที่สมบูรณ์ของกลุ่มง่ายจำกัด 18 ตระกูล และกลุ่มง่ายแบบสปอร์าดิก 26 ตระกูล พร้อมด้วยอันดับของกลุ่มเหล่านั้น สมาชิกที่ไม่ใช่กลุ่มง่ายของแต่ละตระกูลจะถูกระบุไว้ เช่นเดียวกับสมาชิกที่ซ้ำกันภายในตระกูลเดียวกันหรือระหว่างตระกูล (ในการลบสมาชิกที่ซ้ำกันนั้น เป็นประโยชน์ที่จะสังเกตว่าไม่มีกลุ่มง่ายจำกัดสองกลุ่มใดที่มีอันดับเดียวกัน ยกเว้นกลุ่ม A ₈  =  A ₃ (2) และA ₂ (4) ซึ่งทั้งคู่มีอันดับ 20160 และกลุ่มB _n ( q ) มีอันดับเดียวกันกับ C _n ( q ) สำหรับqคี่n  > 2 กลุ่มที่เล็กที่สุดในคู่กลุ่มหลังนี้คือB ₃ (3) และC ₃ (3) ซึ่งทั้งคู่มีอันดับ 4585351680)

มีความขัดแย้งที่ไม่พึงประสงค์ระหว่างสัญลักษณ์สำหรับกลุ่มสลับ A _nและกลุ่มประเภท Lie A _n ( q ) ผู้เขียนบางท่านใช้แบบอักษรที่แตกต่างกันสำหรับ A _nเพื่อแยกแยะความแตกต่าง ในบทความนี้ เราจะแยกความแตกต่างโดยกำหนดให้กลุ่มสลับ A _nใช้แบบอักษรโรมัน และกลุ่มประเภท Lie A _n ( q ) ใช้แบบอักษรตัวเอียง

ต่อไปนี้nคือจำนวนเต็มบวก และqคือกำลังบวกของจำนวนเฉพาะpโดยมีข้อจำกัดตามที่ระบุไว้ สัญลักษณ์ ( a , b ) แทนตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนเต็มaและb

ระดับ	ตระกูล	คำสั่ง	ข้อยกเว้น	สำเนา
กลุ่มวงจร	ซพี	พี ไพรม์	ไม่มี	ไม่มี
กลุ่มสลับกัน	แอนเอ็น  > 4	${\displaystyle {\frac {n!}{2}}}$	ไม่มี	A 5 ≃ A 1 (4) ≃ A 1 (5) A 6 ≃ A 1 (9) A 8 ≃ A 3 (2)
กลุ่มเชอวัลเลย์คลาสสิก	แอน ( q )	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)}$	A 1 (2), A 1 (3)	A 1 (4) ≃ A 1 (5) ≃ A 5 A 1 (7) ≃ A 2 (2) A 1 (9) ≃ A 6 A 3 (2) ≃ A 8
	B n ( q ) n  > 1	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	B 2 (2)	B n (2 m ) ≃ C n (2 m ) B 2 (3) ≃ 2 A 3 (2 2 )
	C n ( q ) n  > 2	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	ไม่มี	C n (2 m ) ≃ B n (2 m )
	D n ( q ) n  > 3	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	ไม่มี	ไม่มี
กลุ่ม Chevalleyที่โดดเด่น	E 6 ( q )	${\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q-1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right)}$	ไม่มี	ไม่มี
	E 7 ( q )	${\displaystyle {\frac {q^{63}}{(2,q-1)}}\prod _{i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right)}$	ไม่มี	ไม่มี
	E 8 ( q )	${\displaystyle q^{120}\prod _{i\in \{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\left(q^{i}-1\right)}$	ไม่มี	ไม่มี
	F 4 ( q )	${\displaystyle q^{24}\prod _{i\in \{2,6,8,12\}}\left(q^{i}-1\right)}$	ไม่มี	ไม่มี
	G 2 ( q )	${\displaystyle q^{6}\prod _{i\in \{2,6\}}\left(q^{i}-1\right)}$	G 2 (2)	ไม่มี
กลุ่มสไตน์เบิร์กแบบคลาสสิก	2 A n ( q 2 ) n  > 1	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)}$	2 A 2 (2 2 )	2 A 3 (2 2 ) ≃ B 2 (3)
	2 D n ( q 2 ) n  > 3	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	ไม่มี	ไม่มี
กลุ่ม Steinbergที่โดดเด่น	2 E 6 ( q 2 )	${\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q+1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right)}$	ไม่มี	ไม่มี
	3 D 4 ( q 3 )	${\displaystyle q^{12}\left(q^{8}+q^{4}+1\right)\left(q^{6}-1\right)\left(q^{2}-1\right)}$	ไม่มี	ไม่มี
กลุ่มบริษัทซูซูกิ	2 B 2 ( q ) q  = 2 2 n +1	${\displaystyle q^{2}\left(q^{2}+1\right)\left(q-1\right)}$	ไม่มี	ไม่มี
กลุ่มรี + กลุ่มทิตส์	2 F 4 ( q ) q  = 2 2 n +1	${\displaystyle q^{12}\left(q^{6}+1\right)\left(q^{4}-1\right)\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)}$	ไม่มี	ไม่มี
	2 F 4 (2)′	2 12 (2 6 + 1)(2 4 − 1)(2 3 + 1)(2 − 1)/2 =17 971 200
	2 G 2 ( q ) q = 3 2 n +1	${\displaystyle q^{3}\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)}$	ไม่มี	ไม่มี
กลุ่มของมาติเยอ	ม. 11	7920
	ม. 12	95 040
	เอ็ม22	443 520
	ม. 23	10 200 960
	ม. 24	244 823 040
กลุ่ม Janko	เจ1	175 560
	เจ2	604 800
	เจ3	50 232 960
	เจ4	86 775 571 046 077 562 880
กลุ่มคอนเวย์	โค3	495 766 656 000
	โค2	42 305 421 312 000
	โค1	4 157 776 806 543 360 000
กลุ่มฟิชเชอร์	ไฟ22	64 561 751 654 400
	ฟิ23	4 089 470 473 293 004 800
	ฟี24 ′	1 255 205 709 190 661 721 292 800
กลุ่มฮิกแมน-ซิมส์	เอชเอส	44,352,000 บาท​
กลุ่มแมคลาฟลิน	แม็คแอล	898 128 000
กลุ่มที่จัดขึ้น	เขา	4 030 387 200
กลุ่มรุดวาลิส	รู	145 926 144 000
กลุ่มซูซูกิแบบกระจัดกระจาย	ซูซ	448 345 497 600
กลุ่มโอแนน	บน	460 815 505 920
กลุ่มฮาราดะ-นอร์ตัน	เอชเอ็น	273 030 912 000 000
กลุ่มไลออนส์	ลี	51 765 179 004 000 000
กลุ่มทอมป์สัน	ไทย	90 745 943 887 872 000
กลุ่มเบบี้มอนสเตอร์	บี	4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
กลุ่มมอนสเตอร์	เอ็ม	808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

ความเรียบง่าย:เรียบง่ายสำหรับpที่เป็นจำนวนเฉพาะ

ลำดับ: p

ตัวคูณของ Schur:ง่ายมาก

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:วัฏจักรลำดับp  − 1

ชื่ออื่นๆ: Z/ p Z, C _p

หมายเหตุ:กลุ่มเหล่านี้เป็นกลุ่มอย่างง่ายเพียงกลุ่มเดียวที่ไม่ใช่กลุ่มสมบูรณ์แบบ

ความเรียบง่าย:สามารถแก้ได้เมื่อ n ≤ 2 และ n = 4มิฉะนั้นจะเป็นปัญหาที่เรียบง่าย

ลำดับ: n !/2 เมื่อn  > 1

ตัวคูณของ Schur: 2 สำหรับn  = 5 หรือn  > 7, 6 สำหรับn  = 6 หรือ 7; ดูกลุ่มปกคลุมของกลุ่มสลับและกลุ่มสมมาตร

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:โดยทั่วไปมี 2 กลุ่ม ข้อยกเว้น: สำหรับn  = 1, n  = 2 กลุ่มนี้เป็นกลุ่มที่ไม่มีสมาชิกอื่น และสำหรับn  = 6กลุ่มนี้จะมีอันดับ 4 (กลุ่มอาเบเลียนพื้นฐาน)

ชื่ออื่นๆ: Alt _n .

ไอโซมอร์ฟิซึม: A ₁และ A ₂เป็นแบบไม่สำคัญ A ₃เป็นแบบวัฏจักรอันดับ 3 A ₄เป็นไอโซมอร์ฟิกกับA ₁ (3) (แก้ได้) A ₅เป็นไอโซมอร์ฟิกกับA ₁ (4) และกับA ₁ (5) A ₆เป็นไอโซมอร์ฟิกกับA ₁ (9) และกับกลุ่มอนุพันธ์B ₂ (2)′ A ₈เป็นไอโซมอร์ฟิกกับA ₃ (2)

หมายเหตุ:เป็น กลุ่มย่อย ดัชนี 2 ของกลุ่มสมมาตรของการเรียงสับเปลี่ยนของ จุด nจุด เมื่อn  > 1

สัญลักษณ์: nคือจำนวนเต็มบวก, q > 1 คือกำลังของจำนวนเฉพาะpและ คืออันดับของฟิลด์จำกัด พื้นฐานบางฟิลด์ อันดับของกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกเขียนเป็น d ⋅ f ⋅ gโดยที่dคืออันดับของกลุ่ม "ออโตมอร์ฟิซึมแนวทแยง", fคืออันดับของกลุ่ม (วัฏจักร) ของ "ออโตมอร์ฟิซึมฟิลด์" (ที่สร้างขึ้นโดยออโตมอร์ฟิซึม Frobenius ) และgคืออันดับของกลุ่ม "ออโตมอร์ฟิซึมกราฟ" (ที่มาจากออโตมอร์ฟิซึมของแผนภาพ Dynkin ) กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกมักจะ แต่ไม่เสมอไป สม isomorphic กับผลคูณกึ่งตรงซึ่งกลุ่มเหล่านี้ทั้งหมด เป็นกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับ d, f, g ตาม ลำดับยกเว้นประเภท, odd ซึ่งกลุ่มที่มีอันดับคือและ (เฉพาะเมื่อ) กลุ่มสมมาตรบนสามองค์ประกอบ สัญลักษณ์ ( a , b ) แทนตัวหารร่วมมากที่สุดของจำนวนเต็มaและb${\displaystyle D\rtimes (F\times G)}$${\displaystyle D,F,G}$${\displaystyle D_{n}(q)}$${\displaystyle q}$${\displaystyle d=4}$${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$${\displaystyle n=4}$${\displaystyle G=S_{3}}$

	กลุ่มเชอวัลเลย์ , กลุ่มเชิงเส้น A n ( q )	กลุ่ม Chevalley , B n ( q ) n  > 1 กลุ่มเชิงตั้งฉาก	กลุ่ม Chevalley , C n ( q ) n  > 2 กลุ่มซิมเพล็กติก	กลุ่ม Chevalley , D n ( q ) n  > 3 กลุ่มเชิงตั้งฉาก
ความเรียบง่าย	A 1 (2) และA 1 (3) สามารถแก้ได้ ส่วนอันอื่น ๆ แก้ได้ง่าย	B 2 (2) ไม่ใช่กลุ่มที่เรียบง่าย แต่กลุ่มอนุพันธ์B 2 (2)′ เป็นกลุ่มย่อยที่เรียบง่ายที่มีดัชนี 2 ส่วนกลุ่มอื่นๆ เป็นกลุ่มที่เรียบง่าย	ทุกอย่างง่ายดาย	ทุกอย่างง่ายดาย
คำสั่ง	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)}$	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$
ตัวคูณชูร์	สำหรับกลุ่มง่ายๆ จะเป็นวัฏจักรอันดับ ( n + 1, q − 1) ยกเว้นA 1 (4) (อันดับ 2), A 1 (9) (อันดับ 6), A 2 (2) (อันดับ 2), A 2 (4) (อันดับ 48, ผลคูณของกลุ่มวัฏจักรอันดับ 3, 4, 4), A 3 (2) (อันดับ 2)	(2, q −1) ยกเว้นB 2 (2) = S 6 (ลำดับ 2 สำหรับB 2 (2), ลำดับ 6 สำหรับB 2 (2)′) และB 3 (2) (ลำดับ 2) และB 3 (3) (ลำดับ 6)	(2, q −1) ยกเว้นC 3 (2) (ลำดับที่ 2)	ลำดับคือ (4, q n −1) (วัฏจักรสำหรับnคี่, อาเบเลียนพื้นฐานสำหรับnคู่) ยกเว้นD 4 (2) (ลำดับ 4, อาเบเลียนพื้นฐาน)
กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก	(2, q −1)⋅ f ⋅1 สำหรับn  = 1; ( n +1, q −1)⋅ f ⋅2 สำหรับn  > 1 โดยที่q  =  p f	(2, q −1)⋅ f ⋅1 สำหรับqคี่หรือn  > 2; (2, q −1)⋅ f ⋅2 สำหรับqคู่และn  = 2 โดยที่q  =  p f	(2, q −1)⋅ f ⋅1 โดยที่q  =  p f	(2, q −1) 2 ⋅ f ⋅ S 3สำหรับn  = 4, (2, q −1) 2 ⋅ f ⋅2 สำหรับn  > 4 คู่, (4, q n −1)⋅ f ⋅2 สำหรับnคี่ โดยที่q  =  p fและ S 3คือกลุ่มสมมาตรอันดับ 3! บน 3 จุด
ชื่ออื่นๆ	กลุ่มเชิงเส้นพิเศษเชิงโปรเจกทีฟ PSL n +1 ( q ), L n +1 ( q ), PSL( n + 1, q )	O 2 n +1 ( q ), Ω 2 n +1 ( q ) (สำหรับqคี่)	กลุ่มซิมเพล็กติกเชิงโปรเจคทีฟ PSp 2 n ( q ), PSp n ( q ) (ไม่แนะนำ), S 2 n ( q ), กลุ่มอาเบเลียน (โบราณ)	O 2 n + ( q ), PΩ 2 n + ( q ). " กลุ่มไฮโปอาเบเลียน " เป็นชื่อโบราณสำหรับกลุ่มนี้ในลักษณะเฉพาะที่ 2
ไอโซมอร์ฟิซึม	A 1 (2) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มสมมาตรบน 3 จุดที่มีอันดับ 6 A 1 (3) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มสลับ A 4 (แก้ได้) A 1 (4) และA 1 (5) ต่างก็เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มสลับ A 5 A 1 ( 7) และ A 2 (2) เป็นไอโซมอร์ฟิกกันA 1 (8) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มอนุพันธ์2 G 2 (3)′ A 1 (9) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับ A 6และกลุ่มอนุพันธ์B 2 (2)′ A 3 (2) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับA 8	B n (2 m ) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับC n (2 m ) B 2 (2) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มสมมาตรบน 6 จุด และกลุ่มอนุพันธ์B 2 (2)′ เป็นไอโซมอร์ฟิกกับA 1 (9) และ A 6 B 2 ( 3) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับ2 A 3 (2 2 )	C n (2 m ) มีโครงสร้างเหมือนกับB n (2 m )
หมายเหตุ	กลุ่มเหล่านี้ได้มาจากกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป GL n +1 ( q ) โดยการเลือกองค์ประกอบที่มีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 (ซึ่งให้กลุ่มเชิงเส้นพิเศษ SL n +1 ( q )) แล้วหารด้วยจุดศูนย์กลาง	นี่คือกลุ่มที่ได้จากกลุ่มเชิงตั้งฉากในมิติ 2n + 1 โดยการหาเคอร์เนลของแผนที่ ดีเทอร์มิแนนต์และ สปินเนอร์นอร์มB 1 ( q ) ก็มีอยู่เช่นกัน แต่เหมือนกับA 1 ( q ) B 2 ( q ) มีออโตมอร์ฟิซึมกราฟที่ไม่ธรรมดาเมื่อqเป็นกำลังของ 2	กลุ่มนี้ได้มาจากกลุ่มซิมเพล็กติกในมิติ 2n โดยการหารศูนย์กลาง ออก C 1 ( q ) ก็มีอยู่เช่นกัน แต่เหมือนกับA 1 ( q ) C 2 ( q ) ก็มีอยู่เช่นกัน แต่เหมือนกับB 2 ( q )	นี่คือกลุ่มที่ได้จากกลุ่มออร์โธโกนอลแบบแยกส่วนในมิติ 2n โดยการใช้เคอร์เนลของดีเทอร์มิแนนต์ (หรือค่าคงที่ของดิกสันในลักษณะเฉพาะ 2) และ แผนที่ นอร์มสปินเนอร์แล้วจึงกำจัดศูนย์กลาง กลุ่มประเภทD4มีกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมไดอะแกรมขนาดใหญ่ผิดปกติที่มีอันดับ 6 ซึ่งประกอบด้วย ออ โตมอร์ฟิ ซึม ไตร เอตีD2 ( q ) ก็มีอยู่เช่นกัน แต่เหมือนกับA1 ( q ) × A1 ( q ) D3 ( q ) ก็มีอยู่ เช่นกันแต่เหมือนกับA3 ( q )

	กลุ่ม Steinberg , 2 A n ( q 2 ) n  > 1 กลุ่มเอกภาพ	กลุ่ม Steinberg , 2 D n ( q 2 ) n  > 3 กลุ่มเชิงตั้งฉาก	กลุ่มสไตน์เบิร์ก , 2 E 6 ( q 2 )	กลุ่มสไตน์เบิร์ก , 3 D 4 ( q 3 )
ความเรียบง่าย	2 A 2 (2 2 ) สามารถแก้ได้ ส่วนข้ออื่นๆ แก้ได้ง่าย	ทุกอย่างง่ายดาย	ทุกอย่างง่ายดาย	ทุกอย่างง่ายดาย
คำสั่ง	${\displaystyle {1 \over (n+1,q+1)}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)}$	${\displaystyle {1 \over (4,q^{n}+1)}q^{n(n-1)}(q^{n}+1)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	q 36 ( q 12 −1)( q 9 +1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 5 +1)( q 2 −1)/(3, q +1)	q 12 ( q 8 + q 4 +1)( q 6 −1)( q 2 −1)
ตัวคูณชูร์	กลุ่มวัฏจักรลำดับ ( n + 1, q + 1) สำหรับกลุ่มง่าย ยกเว้น2 A 3 (2 2 ) (ลำดับ 2), 2 A 3 (3 2 ) (ลำดับ 36, ผลคูณของกลุ่มวัฏจักรลำดับ 3, 3, 4), 2 A 5 (2 2 ) (ลำดับ 12, ผลคูณของกลุ่มวัฏจักรลำดับ 2, 2, 3)	วัฏจักรลำดับ (4, q n +1)	(3, q +1) ยกเว้น2 E 6 (2 2 ) (ลำดับ 12, ผลคูณของกลุ่มวัฏจักรลำดับ 2,2,3)	เรื่องเล็กน้อย
กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก	( n +1, q +1)⋅ f ⋅1 โดยที่q 2  =  p f	(4, q n +1)⋅ f ⋅1 โดยที่q 2  =  p f	(3, q +1)⋅ f ⋅1 โดยที่q 2  =  p f	1⋅ f ⋅1 โดยที่q 3  =  p f
ชื่ออื่นๆ	กลุ่ม Chevalley ที่บิดเบี้ยว กลุ่มเอกภาพเชิงโปรเจกทีฟ PSU n +1 ( q ), PSU( n + 1, q ), U n +1 ( q ), 2 A n ( q ), 2 A n ( q , q 2 )	2 D n ( q ), O 2 n − ( q ), PΩ 2 n − ( q ), กลุ่ม Chevalley ที่บิดเบี้ยว "กลุ่มไฮโปอาเบเลียน" เป็นชื่อโบราณสำหรับกลุ่มนี้ในลักษณะเฉพาะที่ 2	2 E 6 ( q ), กลุ่ม Chevalley ที่บิดเบี้ยว	3 D 4 ( q ), D 4 2 ( q 3 ), กลุ่ม Chevalley ที่บิดเบี้ยว
ไอโซมอร์ฟิซึม	กลุ่มที่แก้ได้2 A 2 (2 2 ) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับส่วนขยายของกลุ่มควอเทอร์เนียนอันดับ 8 โดยกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานอันดับ 9 2 A 2 (3 2 ) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับกลุ่มอนุพันธ์G 2 (2)′ 2 A 3 (2 2 ) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับB 2 (3)
หมายเหตุ	ได้มาจากกลุ่มเอกภาพใน มิติ n + 1 โดยการเลือกกลุ่มย่อยที่มีสมาชิกดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1 แล้วหารด้วยศูนย์กลาง	นี่คือกลุ่มที่ได้มาจากกลุ่มออร์โธโกนอลที่ไม่แยกส่วนในมิติ 2n โดยการนำเคอร์เนลของดีเทอร์มิแนนต์ (หรือค่าคงที่ของดิกสันในลักษณะเฉพาะ 2) และ แผนที่ นอร์มสปินเนอร์แล้วจึงกำจัดศูนย์กลาง2D2 ( q2 ) ก็มีอยู่เช่นกัน แต่เหมือนกับA1 ( q2 ) 2D3 ( q2 ) ก็ มี อยู่ เช่นกันแต่เหมือนกับ2A3 ( q2 )	หนึ่งในปกคู่ที่โดดเด่นของ2 E 6 (2 2 ) เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสัตว์ประหลาดตัวเล็ก และส่วนขยายกลางที่โดดเด่นโดยกลุ่มอาเบเลียนพื้นฐานอันดับ 4 เป็นกลุ่มย่อยของกลุ่มสัตว์ประหลาด	3 D 4 (2 3 ) กระทำบนแลตทิซคู่ 26 มิติที่ไม่ซ้ำกันของดีเทอร์มิแนนต์ 3 โดยไม่มีราก

ความเรียบง่าย:เรียบง่ายสำหรับn ≥ 1 กลุ่ม ² B ₂ (2) สามารถแก้ได้

ลำดับ: q ² ( q ² + 1) ( q  − 1) โดยที่ q  = 2 ^{2 n +1} .

ตัวคูณ Schur:ไม่สำคัญสำหรับn ≠ 1, อาเบเลียนพื้นฐานอันดับ 4 สำหรับ² B ₂ (8)

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:

1⋅ f ⋅1,

โดยที่f  = 2 n + 1

ชื่ออื่นๆ: Suz(2 ^{2 n +1} ), Sz(2 ^{2 n +1} )

ไอโซมอร์ฟิซึม: ² B ₂ (2) คือกลุ่มฟรอเบนิอุสอันดับ 20

หมายเหตุ:กลุ่มซูซูกิเป็นกลุ่มซาสเซนเฮาส์ที่กระทำบนเซตที่มีขนาด (2 ^{2 n +1} ) ²  + 1 และมีการแสดงแทนแบบ 4 มิติเหนือฟิลด์ที่มีสมาชิก 2 ^{2 n +1}ตัว พวกมันเป็นกลุ่มเชิงเดี่ยวที่ไม่เป็นวัฏจักรเพียงกลุ่มเดียวที่มีอันดับไม่หารด้วย 3 ลงตัว พวกมันไม่มีความเกี่ยวข้องกับกลุ่มซูซูกิแบบสปอราดิก

ความเรียบง่าย:เรียบง่ายสำหรับn  ≥ 1 กลุ่มอนุพันธ์² F ₄ (2)′ เรียบง่ายที่มีดัชนี 2 ใน² F ₄ (2) และเรียกว่ากลุ่ม Titsซึ่งตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวเบลเยียมJacques Tits

ลำดับ: q ¹² ( q ⁶  + 1) ( q 4 ⁻  1) ( q ³  + 1) ( q  − 1) โดยที่ q  = 2 ^{2 n +1}

กลุ่ม Tits มีลำดับที่ 17971200 = 2 ¹¹ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 13

ตัวคูณของ Schur:ไม่สำคัญสำหรับn  ≥ 1 และสำหรับกลุ่ม Tits

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:

1⋅ f ⋅1,

โดยที่f  = 2 n  + 1 ลำดับที่ 2 สำหรับกลุ่ม Tits

หมายเหตุ:ต่างจากกลุ่ม Lie type ง่ายๆ อื่นๆ กลุ่ม Tits ไม่มีคู่ BNแม้ว่ากลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันจะมี ดังนั้นผู้เขียนส่วนใหญ่จึงจัดให้เป็นกลุ่ม Lie type "กิตติมศักดิ์"

ความเรียบง่าย:เรียบง่ายสำหรับn  ≥ 1 กลุ่ม² G ₂ (3) ไม่ใช่กลุ่มเรียบง่าย แต่กลุ่มอนุพันธ์² G ₂ (3)′ เป็นกลุ่มย่อยเรียบง่ายที่มีดัชนี 3

ลำดับ: q ³ ( q ³  + 1) ( q  − 1) โดยที่ q  = 3 ^{2 n +1}

ตัวคูณ Schur:ไม่สำคัญสำหรับn  ≥ 1 และสำหรับ² G ₂ (3)′

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:

1⋅ f ⋅1,

โดยที่f  = 2 n  + 1

ชื่ออื่นๆ: Ree(3 ^{2 n +1} ), R(3 ^{2 n +1} ), E ₂ ^∗ (3 ^{2 n +1} ) .

ไอโซมอร์ฟิซึม:กลุ่มอนุพันธ์² G ₂ (3)′ เป็นไอโซมอร์ฟิกกับA ₁ (8)

หมายเหตุ: ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) มีการแสดงการเรียงสับเปลี่ยนแบบถ่ายทอดสองเท่าบนจุด 3 ^{3(2 n +1)}  + 1 จุด และกระทำบนปริภูมิเวกเตอร์ 7 มิติเหนือฟิลด์ที่มีองค์ประกอบ 3 ^{2 n +1}

ลำดับ: 2 ⁹ ⋅ 3 ² ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

ตัวคูณชูร์: อันดับ 2

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:อันดับ 2

หมายเหตุ:ทำหน้าที่เป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนลำดับที่ 3 บนกราฟ Higman Sims ที่มี 100 จุด และอยู่ใน Co ₂และในCo ₃

ลำดับ: 2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

ตัวคูณชูร์: อันดับ 3

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:อันดับ 2

หมายเหตุ:ทำหน้าที่เป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนลำดับที่ 3 บนกราฟ McLaughlin ที่มี 275 จุด และอยู่ใน Co ₂และในCo ₃

ลำดับ: 2 ¹⁰ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ³ ⋅ 17 = 4030387200

ตัวคูณของ Schur:ง่ายมาก

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:อันดับ 2

ชื่ออื่นๆ:กลุ่ม Held–Higman–McKay, HHM, F ₇ , HTH

หมายเหตุ:รวมศูนย์องค์ประกอบลำดับที่ 7 ในกลุ่มมอนสเตอร์

ลำดับ: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

ตัวคูณชูร์:อันดับ 2

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:ไม่สำคัญ

หมายเหตุ:การปกคลุมสองชั้นกระทำบนโครงข่าย 28 มิติเหนือจำนวนเต็มเกาส์เซียน

ลำดับ: 2 ¹³ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

ตัวคูณชูร์: อันดับ 6

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:อันดับ 2

ชื่ออื่นๆ: Sz

หมายเหตุ:การปกคลุมแบบ 6 เท่ากระทำบนโครงข่าย 12 มิติเหนือจำนวนเต็มไอเซนสไตน์มันไม่เกี่ยวข้องกับกลุ่มซูซูกิประเภทลี

ลำดับ: 2 ⁹ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ⋅ 7 ³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

ตัวคูณชูร์:อันดับ 3

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:อันดับ 2

ชื่ออื่นๆ:กลุ่มโอแนน-ซิมส์, โอเอ็นเอส, โอ-เอส

หมายเหตุ: การปกคลุมสามชั้นมีตัวแทน 45 มิติสองแบบเหนือฟิลด์ที่มี 7 องค์ประกอบ ซึ่งแลกเปลี่ยนกันโดยออโตมอร์ฟิซึมภายนอก

ลำดับ: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

ตัวคูณของ Schur:ง่ายมาก

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:อันดับ 2

ชื่ออื่นๆ: F ₅ , D

หมายเหตุ:รวมศูนย์องค์ประกอบลำดับที่ 5 ในกลุ่มมอนสเตอร์

ลำดับ: 2 ⁸ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

ตัวคูณของ Schur:ง่ายมาก

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:ไม่สำคัญ

ชื่ออื่นๆ:กลุ่มไลออนส์-ซิมส์, LyS

หมายเหตุ:มีการแสดงผลแบบ 111 มิติเหนือฟิลด์ที่มี 5 องค์ประกอบ

ลำดับ: 2 ¹⁵ ⋅ 3 ¹⁰ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

ตัวคูณของ Schur:ง่ายมาก

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:ไม่สำคัญ

ชื่ออื่นๆ: F ₃ , E

หมายเหตุ:เป็นศูนย์กลางขององค์ประกอบลำดับที่ 3 ในมอนสเตอร์ มีการแสดงแทนแบบ 248 มิติ ซึ่งเมื่อลดโมดูล 3 จะนำไปสู่การบรรจุในE ₈ (3)

คำสั่ง:

   2 ⁴¹ ⋅ 3 ¹³ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

ตัวคูณชูร์:อันดับ 2

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:ไม่สำคัญ

ชื่ออื่นๆ: F ₂

หมายเหตุ:ดับเบิลคัฟเวอร์ (double cover) อยู่ในกลุ่มมอนสเตอร์ (monster group) มันมีการแสดงผลในมิติ 4371 บนจำนวนเชิงซ้อน (โดยไม่มีผลคูณคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์) และการแสดงผลในมิติ 4370 บนฟิลด์ที่มี 2 องค์ประกอบ ซึ่งรักษาผลคูณแบบสลับที่ได้แต่ไม่เป็นแบบสมาคม

คำสั่ง:

   2 ⁴⁶ ⋅ 3 ²⁰ ⋅ 5 ⁹ ⋅ 7 ⁶ ⋅ 11 ² ⋅ 13 ³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

ตัวคูณของ Schur:ง่ายมาก

กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอก:ไม่สำคัญ

ชื่ออื่นๆ: F ₁ , M ₁ , กลุ่มสัตว์ประหลาด, ยักษ์ใจดี, สัตว์ประหลาดของฟิชเชอร์

หมายเหตุ:ประกอบด้วยกลุ่มสปอร์าดิกอื่นๆ เกือบทั้งหมด ยกเว้น 6 กลุ่ม ในรูปของกลุ่มย่อย เกี่ยวข้องกับกลุ่มประหลาดประหลาด(monstrous moonshine ) กลุ่มประหลาดประหลาดนี้คือกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของ พีชคณิตกรีสส์มิติ 196,883 และ พีชคณิตตัวดำเนินการจุดยอดประหลาดมิติอนันต์และกระทำตามธรรมชาติบนพีชคณิตลีประหลาด (monster Lie algebra )

(กรอกข้อมูลครบถ้วนสำหรับคำสั่งซื้อที่ต่ำกว่า 100,000 ชิ้น)

ฮอลล์ (1972)ระบุกลุ่มง่ายที่ไม่เป็นวัฏจักรจำนวน 56 กลุ่มที่มีอันดับน้อยกว่าหนึ่งล้าน

• รายชื่อกลุ่มย่อย

• กลุ่มประเภทการโกหกอย่างง่ายโดยโรเจอร์ ดับเบิลยู. คาร์เตอร์ISBN 0-471-50683-4
• Conway, J. H .; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA; และWilson, RA : " แอตลาสของกลุ่มจำกัด: กลุ่มย่อยสูงสุดและอักขระธรรมดาสำหรับกลุ่มง่าย " อ็อกซ์ฟอร์ด ประเทศอังกฤษ 1985
• Daniel Gorenstein , Richard Lyons, Ronald Solomon การจำแนกประเภทของกลุ่มง่ายจำกัด(เล่ม 1) AMS, 1994 (เล่ม 3) AMS, 1998
• Hall, Marshall Jr. (1972), "กลุ่มง่ายที่มีอันดับน้อยกว่าหนึ่งล้าน", Journal of Algebra , 20 : 98–102 , doi : 10.1016/0021-8693(72)90090-7 , ISSN  0021-8693 , MR  0285603
• วิลสัน, โรเบิร์ต เอ. (2009), กลุ่มง่ายจำกัด , ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา 251, เล่มที่ 251, เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: สปริงเกอร์-เวอร์แลก , doi : 10.1007/978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl  1203.20012
• Atlas of Finite Group Representations : ประกอบด้วยข้อมูลการแสดงผลและข้อมูลอื่นๆ สำหรับกลุ่มง่ายจำกัดหลายกลุ่ม รวมถึงกลุ่มสปอราดิก (sporadic groups)
• ลำดับของกลุ่มง่ายที่ไม่เป็นอาเบเลียนจนถึง 10 ¹⁰และต่อไปจนถึง 10 ⁴⁸โดยมีข้อจำกัดเกี่ยวกับลำดับชั้น

• ลำดับของกลุ่มง่ายที่ไม่สลับที่กันจนถึงลำดับที่ 10,000,000,000