กลุ่มเบบี้มอนสเตอร์

Q: ข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ กลุ่มเบบี้มอนสเตอร์

ในสาขาพีชคณิตสมัยใหม่ที่เรียกว่า ทฤษฎี กลุ่ม กลุ่ม เบบี้ มอนสเตอร์ B (หรือเรียกง่ายๆ ว่า เบบี้มอนสเตอร์ ) เป็น กลุ่มง่ายแบบสปอราดิก ที่ มีอันดับ

ในสาขาพีชคณิตสมัยใหม่ที่เรียกว่าทฤษฎี กลุ่ม กลุ่ม เบบี้มอนสเตอร์B (หรือเรียกง่ายๆ ว่าเบบี้มอนสเตอร์ ) เป็นกลุ่มง่ายแบบสปอราดิกที่มีอันดับ

4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000

= 2 ⁴¹· 3 ¹³· 5 ⁶· 7 ²· 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47

= 20! · 6! ²· 4! · 2 ¹²· 23 · 31 · 47

≈ 4 × 10³³ .

Bเป็นหนึ่งใน 26 กลุ่มสปอร์าดิก และมีอันดับสูงเป็นอันดับสอง รองจากกลุ่มมอนสเตอร์ ที่มีอันดับสูงสุด การครอบคลุมสองเท่าของมอนสเตอร์ตัวเล็กคือตัวกลางขององค์ประกอบที่มีอันดับ 2 ในกลุ่มมอนสเตอร์กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมภายนอกของBเป็นกลุ่มที่ไม่สำคัญ และตัวคูณชูร์ของBมีอันดับ 2

ประวัติศาสตร์

การมีอยู่ของกลุ่มนี้ได้รับการเสนอแนะโดยBernd Fischerในงานที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์ในช่วงต้นทศวรรษ 1970 ระหว่างการตรวจสอบกลุ่มการสลับตำแหน่ง {3,4}: กลุ่มที่สร้างขึ้นโดยคลาสของการสลับตำแหน่งซึ่งผลคูณขององค์ประกอบสองตัวใด ๆ มีอันดับไม่เกิน 4 เขาได้ตรวจสอบคุณสมบัติของกลุ่มนี้และคำนวณตารางอักขระการสร้างเบบี้มอนสเตอร์ครั้งแรกเกิดขึ้นในภายหลังในฐานะกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนบนจุด 13,571,955,000 จุดโดยใช้คอมพิวเตอร์โดย Jeffrey Leon และCharles Sims [ ^{1 ] [}^{2 ] ต่อ} มา Robert Griessได้ค้นพบการสร้างที่ไม่ต้องใช้คอมพิวเตอร์โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการครอบคลุมสองเท่าของมันมีอยู่ในกลุ่มมอนสเตอร์ ชื่อ "เบบี้มอนสเตอร์" ได้รับการเสนอแนะโดยJohn Horton Conway ^{[ 3 ]}

ตัวแทน

ในลักษณะเฉพาะที่ 0 การแสดงแทนของเบบี้มอนสเตอร์ในมิติ 4371 ไม่มีโครงสร้างพีชคณิตไม่แปรเปลี่ยนที่ไม่ธรรมดาซึ่งคล้ายคลึงกับพีชคณิตของ Griessแต่Ryba (2007)แสดงให้เห็นว่ามันมีโครงสร้างพีชคณิตไม่แปรเปลี่ยนดังกล่าวหากลดทอนโมดูล 2

เมทริกซ์ที่เล็กที่สุดที่แสดงถึง Baby Monster ได้อย่างถูกต้องแม่นยำนั้นมีขนาด 4370 บนฟิลด์จำกัดลำดับที่ 2

Höhn (1996)ได้สร้างพีชคณิตตัวดำเนินการจุดยอดที่ถูกกระทำโดยสัตว์ประหลาดตัวเล็ก

แสงจันทร์ประหลาดทั่วไป

Conway และ Norton เสนอในบทความปี 1979 ของพวกเขาว่าแสงจันทร์ประหลาดไม่ได้จำกัดอยู่แค่สัตว์ประหลาดเท่านั้น แต่ปรากฏการณ์ที่คล้ายกันอาจพบได้ในกลุ่มอื่นๆ Larissa Queen และคนอื่นๆ ค้นพบในภายหลังว่าสามารถสร้างการขยายของ Hauptmoduln จำนวนมากจากการรวมกันของมิติของกลุ่มสปอร์าดิกอย่างง่าย สำหรับสัตว์ประหลาด Baby BหรือF อนุกรม McKay–Thompson ที่เกี่ยวข้องคือโดยที่สามารถกำหนดเทอมคงที่a(0) = 104ได้^[⁴^] $T_{2A}(\tau )$

{\begin{aligned}j_{2A}(\tau )&=T_{2A}(\tau )+104\\&=\left(\left({\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\tfrac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\&={\frac {1}{q}}+104+4372q+96256q^{2}+1240002q^{3}+10698752q^{4}+\cdots \end{aligned}}

และη ( τ ) คือฟังก์ชันDedekind eta

กลุ่มย่อยสูงสุด

วิลสัน (1999)ค้นพบกลุ่มย่อยสูงสุดของB ที่มีความสัมพันธ์กัน 30 กลุ่ม ซึ่งแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง

กลุ่มย่อยสูงสุดของเบบี้มอนสเตอร์
เลขที่	โครงสร้าง	คำสั่ง	ความคิดเห็น
1	2 ^·2 E (2):2	306,129,918,735,099,415,756,800 = 2 ³⁸ ·3 ⁹ ·5 ² ·7 ² ·11·13·17·19	ตัวจัดศูนย์กลางของการผกผันของคลาส 2A; ตัวรักษาเสถียรภาพจุดของการแสดงการเรียงสับเปลี่ยนที่เล็กที่สุดบนจุด 13,571,955,000 จุด; ประกอบด้วยตัวทำให้ปกติ (19:18) × 2 ของกลุ่มย่อย Sylow 19
2	2¹⁺²²^·โค	354,883,595,661,213,696,000 = 2 ⁴¹ ·3 ⁶ ·5 ³ ·7·11·23	ตัวกลางของการผกผันของคลาส 2B; ประกอบด้วยตัวทำให้ปกติ (23:11) × 2 ของกลุ่มย่อย Sylow 23
3	ฟิ	4,089,470,473,293,004,800 = 2 ¹⁸ ·3 ¹³ ·5 ² ·7·11·13·17·23
4	2 ⁹⁺¹⁶ .S (2)	1,589,728,887,019,929,600 = 2 ⁴¹ ·3 ⁵ ·5 ² ·7·17
5	ไทย	90,745,943,887,872,000 = 2 ¹⁵ ·3 ¹⁰ ·5 ³ ·7 ² ·13·19·31	ประกอบด้วยตัวปรับมาตรฐาน 31:15 ของกลุ่มย่อย Sylow 31
6	(2 ² × F (2)):2	26,489,012,826,931,200 = 2 ²⁷ ·3 ⁶ ·5 ² ·7 ² ·13·17	ตัวกลางของการผกผันของคลาส 2C; ประกอบด้วยตัวทำให้ปกติ (17:8 × 2 ² ) ^· 2 ของกลุ่มย่อย Sylow 17
7	2 ^2+10+20 .( M :2 × S )	22,858,846,741,463,040 = 2 ⁴¹ ·3 ³ ·5·7·11
8	[2 ³⁰ ].L (2)	10,736,731,045,232,640 = 2 ⁴⁰ ·3 ² ·5·7·31
9	S × Fi :2	774,741,019,852,800 = 2 ¹⁹ ·3 ¹⁰ ·5 ² ·7·11·13	ตัวทำให้ปกติของกลุ่มย่อยอันดับ 3 (คลาส 3A)
10	[2 ³⁵ ].(S × L (2))	692,692,325,498,880 = 2 ⁴¹ ·3 ² ·5·7
11	HN :2	546,061,824,000,000 = 2 ¹⁵ ·3 ⁶ ·5 ⁶ ·7·11·19
12	โอ⁺(3) :S	118,852,315,545,600 = 2 ¹⁵ ·3 ¹³ ·5 ² ·7·13
13	3¹⁺⁸2 .¹⁺⁶^· U (2) .2	130,606,940,160 = 2 ¹⁴ ·3 ¹³ ·5	ตัวทำให้ปกติของกลุ่มย่อยอันดับ 3 (คลาส 3B)
14	(3 ² :D × U (3).2.2).2	1,881,169,920 = 2 ¹³ ·3 ⁸ ·5·7
15	5:4 × HS :2	1,774,080,000 = 2 ¹² ·3 ² ·5 ⁴ ·7·11	ตัวทำให้ปกติของกลุ่มย่อยอันดับ 5 (คลาส 5A)
16	S × ² F (2)	862,617,600 = 2 ¹⁵ ·3 ⁴ ·5 ² ·13	ประกอบด้วยตัวปรับมาตรฐาน 13:12 × S ของกลุ่มย่อย Sylow 13
17	[3 ¹¹ ].(S × 2S )	204,073,344 = 2 ⁷ ·3 ¹³
18	S × M :2	106,444,800 = 2 ¹¹ ·3 ³ ·5 ² ·7·11	ประกอบด้วยตัวปรับมาตรฐาน 11:10 × S ของกลุ่มย่อย Sylow 11
19	(S × L (4):2).2	58,060,800 = 2 ¹¹ ·3 ³ ·5 ² ·7·11
20	5 ^3· L (5)	46,500,000 = 2 ⁵ ·3·5 ⁶ ·31
21	5¹⁺⁴2 .¹⁺⁴.A .4	24,000,000 = 2 ⁹ ·3·5 ⁶	ตัวทำให้ปกติของกลุ่มย่อยอันดับ 5 (คลาส 5B)
22	(S × S ).4	2,073,600 = 2 ¹⁰ ·3 ⁴ ·5 ²
23	5 ² :4S × S	288,000 = 2 ⁸ ·3 ² ·5 ³
24	L (49).2	117,600 = 2 ⁵ ·3·5 ² ·7 ²
25	L (31)	14,880 = 2 ⁵ ·3·5·31	ประกอบด้วยตัวปรับมาตรฐาน 31:15 ของกลุ่มย่อย Sylow 31
26	ม.	7,920 = 2 ⁴ ·3 ² ·5·11
27	L (3)	5,616 = 2 ⁴ ·3 ³ ·13
28	L (17):2	4,896 = 2 ⁵ ·3 ² ·17
29	L (11):2	1,320 = 2 ³ ·3·5·11
30	47:23	1,081 = 23.47	ตัวปรับมาตรฐานของกลุ่มย่อย Sylow 47

ลิงก์ภายนอก

MathWorld: กลุ่มมอนสเตอร์ตัวน้อย
แอตลาสของการแสดงแทนกลุ่มจำกัด: กลุ่มเบบี้มอนสเตอร์

1 ] [

2 ] ต่อ

[ 3 ]

[