ในพีชคณิตนามธรรมพีชคณิตจอร์แดนคือพีชคณิตที่ไม่สัมพันธ์กัน (ที่มีเอกลักษณ์) บนฟิลด์ซึ่งการคูณเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:

1. ${\displaystyle xy=yx}$( กฎการสลับที่ )
2. ${\displaystyle (xx)(xy)=x((xx)y)}$(เอกลักษณ์ของจอร์แดน )

ผลคูณของสององค์ประกอบxและyในพีชคณิตจอร์แดนยังเขียนแทนด้วยx ∘ yโดยเฉพาะอย่างยิ่งเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนกับผลคูณของพีชคณิต สมาคม ที่เกี่ยวข้อง

สัจพจน์บ่งชี้^{[ 1 ]}ว่าพีชคณิตจอร์แดนเป็นแบบเชื่อมโยงกำลังซึ่งหมายความว่าไม่ขึ้นอยู่กับวิธีที่เราใส่วงเล็บให้กับนิพจน์นี้ นอกจากนี้ยังบ่งชี้^{[ 1 ]}ว่าสำหรับจำนวนเต็มบวกmและn ทั้งหมด ดังนั้น เราอาจนิยามพีชคณิตจอร์แดนได้อย่างเทียบเท่าว่าเป็นพีชคณิตแบบสลับที่ได้และเชื่อมโยงกำลัง โดยที่สำหรับองค์ประกอบใดๆการดำเนินการคูณด้วยกำลังทั้งหมดจะสลับที่ได้ ${\displaystyle x^{n}=x\cdots x}$${\displaystyle x^{m}(x^{n}y)=x^{n}(x^{m}y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{n}}$

พีชคณิตจอร์แดนได้รับการแนะนำโดยปาสกัวล จอร์แดน  ( 1933 ) ในความพยายามที่จะทำให้แนวคิดของพีชคณิตของสิ่งที่สังเกตได้ในควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์เป็นทางการ ในไม่ช้าก็แสดงให้เห็นว่าพีชคณิตเหล่านี้ไม่มีประโยชน์ในบริบทนี้ อย่างไรก็ตาม พวกมันก็ถูกนำไปประยุกต์ใช้ในคณิตศาสตร์มากมาย^{[ 2 ]}เดิมทีพีชคณิตเหล่านี้เรียกว่า "ระบบจำนวน r" แต่ได้รับการเปลี่ยนชื่อเป็น "พีชคณิตจอร์แดน" โดยอับราฮัม เอเดรียน อัลเบิร์ต  ( 1946 ) ซึ่งเริ่มต้นการศึกษาอย่างเป็นระบบของพีชคณิตจอร์แดนทั่วไป

โปรดสังเกตก่อนว่าพีชคณิตแบบสมาคมจะเป็นพีชคณิตจอร์แดนก็ต่อเมื่อมันเป็นพีชคณิตแบบสลับที่ได้

เมื่อกำหนดพีชคณิตสมาคมA ใดๆ (ที่ไม่ใช่ลักษณะเฉพาะ 2) เราสามารถสร้างพีชคณิตจอร์แดนA ⁺ ได้ โดยใช้การบวกพื้นฐานแบบเดียวกันและการคูณแบบใหม่ ซึ่งก็ คือ ผลคูณจอร์แดนที่กำหนดโดย:

${\displaystyle x\circ y={\frac {xy+yx}{2}}.}$

พีชคณิตจอร์แดนเหล่านี้และพีชคณิตย่อยของพวกมันเรียกว่าพีชคณิตจอร์แดนพิเศษ ในขณะที่ พีชคณิตจอร์แดนอื่นๆ ทั้งหมดเรียก ว่าพีชคณิตจอร์แดน ข้อยกเว้น โครงสร้างนี้คล้ายคลึงกับพีชคณิตลีที่เกี่ยวข้องกับAซึ่งผลคูณ (วงเล็บลี) ถูกกำหนดโดยตัวสลับ ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$

ทฤษฎีบทShirshov -Cohn ระบุว่าพีชคณิตจอร์แดนใดๆ ที่มีตัวสร้าง สองตัว เป็นพีชคณิตจอร์แดนพิเศษ^{[ 3 ]}ที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้ ทฤษฎีบทของ Macdonald ระบุว่าพหุนามใดๆ ในสามตัวแปรที่มีดีกรีหนึ่งในตัวแปรหนึ่ง และซึ่งหายไปในพีชคณิตจอร์แดนพิเศษทุกตัว จะหายไปในพีชคณิตจอร์แดนทุกตัว^{[ 4 ]}

ถ้า ( A , σ ) เป็นพีชคณิตแบบสมาคมที่มีอินโวลูชันσแล้ว ถ้าσ ( x ) = xและσ ( y ) = yจะได้ว่าดังนั้นเซตขององค์ประกอบทั้งหมดที่ถูกตรึงโดยอินโวลูชัน (บางครั้งเรียกว่า องค์ประกอบ เฮอร์มิเชียน ) จะประกอบเป็นพีชคณิตย่อยของA ⁺ซึ่งบางครั้งเขียนแทนด้วย H( A , σ ) ${\textstyle \sigma (xy+yx)=xy+yx.}$

1. เซตของเมทริกซ์จริงเมทริกซ์เชิงซ้อนหรือ เมทริกซ์ค วอเทอร์เนียนที่สมมาตรในตัวเอง พร้อมการคูณ

${\displaystyle (xy+yx)/2}$

สร้างพีชคณิตจอร์แดนแบบพิเศษ

2. เซตของเมทริกซ์สมมาตร 3×3 บน อ็อกโทเนียนโดยใช้การคูณอีกครั้ง

${\displaystyle (xy+yx)/2,}$

เป็นพีชคณิตจอร์แดนพิเศษที่มีมิติ 27 (เป็นพีชคณิตพิเศษเพราะอ็อกโทเนียนไม่มีคุณสมบัติการสลับที่) นี่เป็นตัวอย่างแรกของพีชคณิตอั ลเบิร์ต กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของมันคือกลุ่มลี พิเศษ F ₄เนื่องจากเหนือจำนวนเชิงซ้อนนี่เป็นพีชคณิตจอร์แดนพิเศษแบบง่ายเพียงตัวเดียวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม^{[ 5 ]}จึงมักถูกเรียกว่า "พีชคณิตจอร์แดนพิเศษ" เหนือจำนวนจริงมีคลาสไอโซมอร์ฟิซึมสามคลาสของพีชคณิตจอร์แดนพิเศษแบบง่าย^{[ 5 ]}

อนุพันธ์ของพีชคณิตจอร์แดนAคือเอนโดมอร์ฟิซึมDของAโดยที่D ( xy ) = D ( x ) y + xD ( y ) อนุพันธ์เหล่านี้ก่อให้เกิดพีชคณิตลีder ( A ) เอกลักษณ์ของจอร์แดนบ่งชี้ว่า ถ้าxและyเป็นสมาชิกของAแล้ว เอนโดมอร์ฟิซึมที่ส่งzไปยังx ( yz ) − y ( xz ) ก็คืออนุพันธ์ ดังนั้น ผลรวมโดยตรงของAและder ( A ) สามารถสร้างเป็นพีชคณิตลีได้ ซึ่งเรียกว่าพีชคณิตโครงสร้างของA , str ( A )

ตัวอย่างง่ายๆ คือพีชคณิตจอร์แดนเฮอร์มิเชียน H( A , σ ) ในกรณีนี้ สมาชิกใดๆxของAที่มีσ ( x )=− xจะกำหนดอนุพันธ์ ในตัวอย่างสำคัญหลายๆ ตัวอย่าง พีชคณิตโครงสร้างของ H( A , σ )คือA

พีชคณิตเชิงอนุพันธ์และพีชคณิตเชิงโครงสร้างยังเป็นส่วนหนึ่งของการสร้างตารางเวทมนตร์ฟรอยเดนทั ลของ ทิตส์ด้วย

กล่าวกันว่า พีชคณิต (อาจจะไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่) บนจำนวนจริงเป็นพีชคณิตจริงในเชิงรูปธรรมถ้ามันมีคุณสมบัติที่ว่า ผลรวมของ กำลังสอง nตัว จะเป็นศูนย์ได้ก็ต่อเมื่อแต่ละตัวเป็นศูนย์แยกกัน ในปี ค.ศ. 1932 จอร์แดนพยายามวางสัจพจน์ของทฤษฎีควอนตัมโดยกล่าวว่า พีชคณิตของปริมาณที่สังเกตได้ของระบบควอนตัมใดๆ ควรเป็นพีชคณิตจริงในเชิงรูปธรรมที่สลับที่ได้ ( xy = yx ) และเป็นไปตามกฎการสลับที่ (กฎการสลับที่ใช้ได้กับผลคูณที่มีเฉพาะx เท่านั้น ดังนั้นกำลังขององค์ประกอบx ใดๆ จึงถูกกำหนดไว้อย่างชัดเจน) เขาพิสูจน์ว่าพีชคณิตดังกล่าวใดๆ ก็เป็นพีชคณิตจอร์แดน

ไม่ใช่ว่าพีชคณิตจอร์แดนทุกตัวจะเป็นพีชคณิตจอร์แดนที่เป็นจริงอย่างเป็นทางการ แต่จอร์แดน ฟอน นอยมันน์ และวิกเนอร์ (1934)ได้จำแนกพีชคณิตจอร์แดนที่เป็นจริงอย่างเป็นทางการในมิติจำกัด ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าพีชคณิตจอร์แดนแบบยุคลิดพีชคณิตจอร์แดนที่เป็นจริงอย่างเป็นทางการทุกตัวสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมโดยตรงของพีชคณิตจอร์แดนแบบง่ายซึ่งตัวมันเองไม่ใช่ผลรวมโดยตรงในลักษณะที่ไม่ธรรมดา ในมิติจำกัด พีชคณิตจอร์แดนที่เป็นจริงอย่างเป็นทางการแบบง่ายมีอยู่สี่ตระกูลอนันต์ พร้อมกับกรณีพิเศษอีกหนึ่งกรณี:

• พีชคณิตจอร์แดนของเมทริกซ์จริงสมมาตรในตัวเองขนาดn × n ดังที่กล่าวมาข้างต้น
• พีชคณิตจอร์แดนของเมทริกซ์เชิงซ้อนสมมาตรในตัวเองขนาดn × n ดังที่กล่าวมาข้างต้น
• พีชคณิตจอร์แดนของเมทริกซ์ควอเทอร์เนียนสมมาตรในตัวเองขนาดn × n ดังที่กล่าวมาข้างต้น
• พีชคณิตจอร์แดนที่สร้างขึ้นอย่างอิสระโดยR ⁿ ด้วยความสัมพันธ์

  ${\displaystyle x^{2}=\langle x,x\rangle }$

โดยที่ด้านขวามือถูกกำหนดโดยใช้ผลคูณภายในตามปกติบนR ⁿบางครั้งสิ่งนี้เรียกว่าตัวประกอบสปินหรือพีชคณิตจอร์แดนแบบคลิฟฟอร์ด

• พีชคณิตจอร์แดนของเมทริกซ์อ็อกโทเนียนสมมาตรในตัวเองขนาด 3×3 ดังที่กล่าวมาข้างต้น (พีชคณิตจอร์แดนพิเศษที่เรียกว่าพีชคณิตอัลเบิร์ต )

จากความเป็นไปได้เหล่านี้ เท่าที่ทราบมา ธรรมชาติใช้เพียง เมทริกซ์เชิงซ้อน n × nเป็นพีชคณิตของปริมาณที่สังเกตได้เท่านั้น อย่างไรก็ตาม ปัจจัยสปินมีบทบาทในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและพีชคณิตจอร์แดนที่เป็นจริงอย่างเป็นทางการทั้งหมดมีความเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตเชิงฉาย

ถ้าeเป็นตัวประกอบเอกลักษณ์ในพีชคณิตจอร์แดนA ( e ²  =  e ) และRคือการดำเนินการคูณด้วยeแล้ว

R (2 R − 1)( R − 1) = 0,

ดังนั้นค่าไอเกนของRจึงมีเพียง 0, 1/2, 1 เท่านั้น หากพีชคณิตจอร์แดนAมีมิติจำกัดเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะไม่ใช่ 2 นั่นหมายความว่ามันเป็นผลรวมโดยตรงของปริภูมิย่อยA  =  A ₀ ( e ) ⊕  A _1/2 ( e ) ⊕  A ₁ ( e ) ของปริภูมิไอเกนทั้งสาม การแยกส่วนนี้ได้รับการพิจารณาครั้งแรกโดยJordan, von Neumann & Wigner (1934)สำหรับพีชคณิตจอร์แดนที่เป็นจำนวนจริงทั้งหมด ต่อมาได้รับการศึกษาอย่างเต็มรูปแบบโดยAlbert (1947) และเรียกว่าการแยกส่วนของ PeirceของAสัมพันธ์กับตัวประกอบ  เอกลักษณ์e ^{[ 6 ]}

ในปี 1979 อีฟิม เซลมานอฟได้จำแนกพีชคณิตจอร์แดนแบบง่าย (และแบบไม่เสื่อมสภาพ) ที่มีมิติอนันต์ โดยพีชคณิตเหล่านี้เป็นแบบเฮอร์มิเชียนหรือแบบคลิฟฟอร์ด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิตจอร์แดนแบบง่ายที่เป็นข้อยกเว้นเพียงอย่างเดียวคือพีชคณิตอัลเบิร์ตที่มีมิติจำกัด ซึ่งมีมิติเท่ากับ 27

ทฤษฎีพีชคณิตตัวดำเนินการได้รับการขยายให้ครอบคลุมถึงพีชคณิตตัวดำเนินการจอร์แดนแล้ว

พีชคณิตคู่ขนานของC*-algebraคือ JB algebra ซึ่งในมิติจำกัดเรียกว่าEuclidean Jordan algebraบรรทัดฐานบนพีชคณิต Jordan จริงต้องสมบูรณ์และเป็นไปตามสัจพจน์:

${\displaystyle \displaystyle {\|a\circ b\|\leq \|a\|\cdot \|b\|,\,\,\,\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}}$

สัจพจน์เหล่านี้รับประกันว่าพีชคณิตจอร์แดนเป็นพีชคณิตจริงในเชิงรูปธรรม ดังนั้น ถ้าผลรวมของกำลังสองของพจน์เป็นศูนย์ พจน์เหล่านั้นก็ต้องเป็นศูนย์ด้วย พีชคณิต JB ในรูปของจำนวนเชิงซ้อนเรียกว่า พีชคณิตจอร์แดน C* หรือพีชคณิต JB* มีการใช้พีชคณิตเหล่านี้อย่างกว้างขวางในเรขาคณิตเชิงซ้อนเพื่อขยายการใช้พีชคณิตจอร์แดนของ Koecher ใน โดเมนสมมาตรที่มีขอบเขตไปยังมิติอนันต์ อย่างไรก็ตาม พีชคณิต JB ทั้งหมดไม่สามารถสร้างเป็นพีชคณิตจอร์แดนของตัวดำเนินการสมมาตรในปริภูมิฮิลเบิร์ตได้เหมือนกับในมิติจำกัดพีชคณิตอัลเบิร์ต ที่เป็นข้อยกเว้น คืออุปสรรคที่พบได้ทั่วไป

พีชคณิตจอร์แดนที่เทียบเท่ากับพีชคณิตฟอนนอยมันน์นั้นแสดงโดยพีชคณิต JBW ซึ่งปรากฏว่าเป็นพีชคณิต JB ซึ่งในฐานะที่เป็นปริภูมิบานาค จะเป็นปริภูมิคู่ของปริภูมิบานาค ทฤษฎีโครงสร้างส่วนใหญ่ของพีชคณิตฟอนนอยมันน์สามารถนำไปใช้กับพีชคณิต JBW ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งปัจจัย JBW—ปัจจัยที่มีศูนย์กลางลดลงเหลือR—สามารถเข้าใจได้อย่างสมบูรณ์ในแง่ของพีชคณิตฟอนนอยมันน์ นอกเหนือจากพีชคณิตอัล เบิร์ตที่เป็น ข้อยกเว้น ปัจจัย JWB ทั้งหมดสามารถรับรู้ได้ว่าเป็นพีชคณิตจอร์แดนของตัวดำเนินการสมมาตรในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ปิดในโทโพโลยีตัวดำเนินการอ่อนปัจจัยสปินสามารถสร้างได้ง่ายมากจากปริภูมิฮิลเบิร์ตจริง ปัจจัย JWB อื่นๆ ทั้งหมดเป็นส่วนสมมาตรของปัจจัยฟอนนอยมันน์หรือพีชคณิตย่อยจุดตรึงภายใต้แอนติออโตมอร์ฟิซึมคาบ 2* ของปัจจัยฟอนนอยมันน์^{[ 7 ]}

วงแหวนจอร์แดนเป็นการขยายความของพีชคณิตจอร์แดน โดยมีเงื่อนไขเพียงว่าวงแหวนจอร์แดนนั้นต้องอยู่เหนือวงแหวนทั่วไป ไม่ใช่ฟิลด์ หรืออีกนัยหนึ่ง เราสามารถนิยามวงแหวนจอร์แดนได้ว่าเป็นวงแหวนสลับที่แบบไม่ เชื่อมโยงกัน ที่เคารพเอกลักษณ์จอร์แดน

พีชคณิตซูเปอร์จอร์แดนได้รับการแนะนำโดย Kac, Kantor และ Kaplansky ซึ่งเป็นพีชคณิตแบบ -graded โดยที่เป็นพีชคณิตจอร์แดนและมีผลคูณแบบ "Lie-like" ที่มีค่าอยู่ใน^{[ 8 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle J_{0}\oplus J_{1}}$${\displaystyle J_{0}}$${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{0}}$

พีชคณิตแบบเชื่อมโยงที่มีระดับใด ๆจะกลายเป็นซูเปอร์พีชคณิตจอร์แดนโดยสัมพันธ์กับวงเล็บจอร์แดนที่มีระดับ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle A_{0}\oplus A_{1}}$

${\displaystyle \{x_{i},y_{j}\}=x_{i}y_{j}+(-1)^{ij}y_{j}x_{i}\ .}$

Jordan simple superalgebras over an algebraically closed field of characteristic 0 were classified by Kac (1977). They include several families and some exceptional algebras, notably ${\displaystyle K_{3}}$ and ${\displaystyle K_{10}}$.

The concept of J-structure was introduced by Springer (1998) to develop a theory of Jordan algebras using linear algebraic groups and axioms taking the Jordan inversion as basic operation and Hua's identity as a basic relation. In characteristic not equal to 2 the theory of J-structures is essentially the same as that of Jordan algebras.

Quadratic Jordan algebras are a generalization of (linear) Jordan algebras introduced by Kevin McCrimmon (1966). The fundamental identities of the quadratic representation of a linear Jordan algebra are used as axioms to define a quadratic Jordan algebra over a field of arbitrary characteristic. There is a uniform description of finite-dimensional simple quadratic Jordan algebras, independent of characteristic: in characteristic not equal to 2 the theory of quadratic Jordan algebras reduces to that of linear Jordan algebras.

• Freudenthal algebra
• Jordan triple system
• Jordan pair
• Kantor–Koecher–Tits construction
• Scorza variety

• Knus, Max-Albert ; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998), The Book of Involutions , Colloquium Publications, vol. 44, พร้อมคำนำโดย J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0904-0, Zbl  0955.16001

• พีชคณิตจอร์แดนที่ PlanetMath
• พีชคณิตจอร์แดน-บานาคและพีชคณิตจอร์แดน-ลีที่ PlanetMath