เอ บี	${\displaystyle \mathbb {R} }$	${\displaystyle \mathbb {C} }$	${\displaystyle \mathbb {H} }$	${\displaystyle \mathbb {O} }$
${\displaystyle \mathbb {R} }$	เอ1	เอ2	ซี3	เอฟ4
${\displaystyle \mathbb {C} }$	เอ2	เอ2 × เอ2	เอ5	อี6
${\displaystyle \mathbb {H} }$	ซี3	เอ5	ดี6	อี7
${\displaystyle \mathbb {O} }$	เอฟ4	อี6	อี7	อี8

ในทางคณิตศาสตร์ตารางเวทมนตร์ฟรอยเดนทัล (หรือตารางเวทมนตร์ฟรอยเดนทัล-ทิตส์ ) คือโครงสร้างที่เชื่อมโยงพีชคณิตลี หลายตัว (และ กลุ่มลีที่เกี่ยวข้อง) เข้าด้วยกัน ชื่อนี้ตั้งตามชื่อของฮันส์ ฟรอยเดนทัลและฌาคส์ ทิตส์ผู้พัฒนาแนวคิดนี้โดยอิสระ มันเชื่อมโยงพีชคณิตลีกับพีชคณิตการหารคู่หนึ่งAและBพีชคณิตลีที่ได้จะมีแผนภาพไดน์กินตามตารางทางด้านขวา "ความมหัศจรรย์" ของตารางเวทมนตร์ฟรอยเดนทัลคือ พีชคณิตลีที่สร้างขึ้นนั้นสมมาตรในAและBแม้ว่าโครงสร้างดั้งเดิมจะไม่สมมาตรก็ตาม ถึงแม้ว่าวิธีการสมมาตรของวินเบิร์กจะให้โครงสร้างที่สมมาตรก็ตาม

ตารางเวทมนตร์ของฟรอยเดนทัลประกอบด้วยกลุ่มลีพิเศษ ทั้งหมด ยกเว้นG ₂และเป็นหนึ่งในแนวทางที่เป็นไปได้ในการพิสูจน์ข้อกล่าวอ้างที่ว่า "กลุ่มลีพิเศษทั้งหมดมีอยู่เพราะอ็อกโทเนียน ": G ₂เองเป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของอ็อกโทเนียน (นอกจากนี้ ในหลายๆ ด้านมันยังคล้ายกับกลุ่มลีแบบคลาสสิกเพราะมันเป็นตัวรักษาเสถียรภาพของ 3-ฟอร์มทั่วไปบนปริภูมิเวกเตอร์ 7 มิติ – ดูปริภูมิเวกเตอร์พรีโฮโมจีนัส )

ดูประวัติเพื่อบริบทและแรงจูงใจ สิ่งเหล่านี้ถูกสร้างขึ้นครั้งแรกราวปี 1958 โดย Freudenthal และ Tits โดยมีรูปแบบที่สวยงามยิ่งขึ้นตามมาในภายหลัง^{[ 1 ]}

แนวทางของ Tits ซึ่งค้นพบราวปี 1958 และตีพิมพ์ใน ( Tits 1966 ) มีดังต่อไปนี้

พีชคณิตการหาร จริงแบบมีบรรทัดฐานใดๆA (เช่น R, C, H หรือ O) จะมีพีชคณิตจอร์แดนJ ₃ ( A ) ซึ่งประกอบด้วยเมท ริกซ์เฮอร์มิเชียน A ขนาด 3 × 3 สำหรับคู่ ( A , B ) ของพีชคณิตการหารดังกล่าว เราสามารถกำหนดพีชคณิตลีได้

${\displaystyle L=\left({\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))\right)\oplus \left(A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}\right)}$

โดยที่หมายถึงพีชคณิตลีของอนุพันธ์ของพีชคณิต และตัวห้อย 0 หมายถึง ส่วนที่ ปราศจากร่องรอยพีชคณิตลีLมีเป็นพีชคณิตย่อย และสิ่งนี้กระทำตามธรรมชาติบนวงเล็บลีบน(ซึ่งไม่ใช่พีชคณิตย่อย) นั้นไม่ชัดเจน แต่ Tits ได้แสดงให้เห็นว่าสามารถกำหนดได้อย่างไร และทำให้เกิดตารางพีชคณิตลีแบบกะทัดรัด ดังต่อไป นี้ ${\displaystyle {\mathfrak {der}}}$${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))}$${\displaystyle A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}}$${\displaystyle A_{0}\otimes J_{3}(B)_{0}}$

	บี	อาร์	ซี	ชม	โอ
เอ	เดอร์ (A/B)	0	0	${\displaystyle {\mathfrak {sp}__{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {g}__{2}}$
อาร์	0	${\displaystyle {\mathfrak {ดังนั้น}__{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}__{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}__{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}__{4}}$
ซี	0	${\displaystyle {\mathfrak {su}__{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}__{3}\oplus {\mathfrak {su}__{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}__{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}__{6}}$
ชม	${\displaystyle {\mathfrak {sp}__{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}__{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}__{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {ดังนั้น}__{12}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}__{7}}$
โอ	${\displaystyle {\mathfrak {g}__{2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}__{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}__{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}__{7}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}__{8}}$

โดยโครงสร้างแล้ว แถวของตารางที่มีA = Rจะให้ผลลัพธ์เป็นและในทางกลับกันก็เช่นกัน ${\displaystyle {\mathfrak {der}}(J_{3}(B))}$

"ความมหัศจรรย์" ของตารางเวทมนตร์ฟรอยเดนทัลคือพีชคณิตลีที่สร้างขึ้นนั้นสมมาตรในAและBซึ่งไม่ชัดเจนจากการสร้างของทิตส์เออร์เนสต์ วินเบิร์กได้เสนอการสร้างที่สมมาตรอย่างชัดเจนใน ( วินเบิร์ก 1966 ) แทนที่จะใช้พีชคณิตจอร์แดน เขาใช้พีชคณิตของเมทริกซ์แบบเฉียงเฮอร์มิเชียนที่ปราศจากร่องรอยซึ่งมีสมาชิกอยู่ในA ⊗ Bซึ่งแสดงด้วยวินเบิร์กกำหนดโครงสร้างพีชคณิตลีบน ${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$

${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(B)\oplus {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B).}$

เมื่อAและBไม่มีอนุพันธ์ (เช่นRหรือC ) นี่ก็คือวงเล็บ Lie (คอมมิวเทเตอร์) บนในกรณีที่มีอนุพันธ์ อนุพันธ์เหล่านี้จะก่อตัวเป็นพีชคณิตย่อยที่ทำหน้าที่ตามธรรมชาติบน ดังเช่นในการสร้างของ Tits และวงเล็บคอมมิวเทเตอร์แบบไร้ร่องรอยบนจะถูกปรับเปลี่ยนโดยนิพจน์ที่มีค่าอยู่ใน ${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$${\displaystyle {\mathfrak {sa}}_{3}(A\otimes B)}$${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)\oplus {\mathfrak {der}}(B)}$

โครงสร้างที่ใหม่กว่า ซึ่งพัฒนาโดยPierre Ramond ( Ramond 1976 ) และ Bruce Allison ( Allison 1978 ) และต่อยอดโดย Chris Barton และAnthony Sudbery นั้น ใช้ไตรภาวะในรูปแบบที่พัฒนาโดยJohn Frank Adamsซึ่งนำเสนอใน ( Barton & Sudbery 2000 ) และในรูปแบบที่กระชับขึ้นใน ( Barton & Sudbery 2003 ) ในขณะที่โครงสร้างของ Vinberg นั้นอิงจากกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของพีชคณิตการหารA (หรือพีชคณิต Lie ของอนุพันธ์) Barton และ Sudbery ใช้กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของไตรภาวะที่สอดคล้องกัน ไตรภาวะคือแผนที่เชิงเส้นสามตัว

${\displaystyle A_{1}\times A_{2}\times A_{3}\to \mathbf {R} }$

ได้มาจากการนำพีชคณิตการหารA มาสามชุด และใช้ผลคูณภายในบนAเพื่อสร้างการคูณแบบคู่ขนาน กลุ่มออโตมอร์ฟิซึมคือกลุ่มย่อยของ SO( A ₁ ) × SO( A ₂ ) × SO( A ₃ ) ที่รักษาแผนที่เชิงเส้นสามมิติไว้ โดยใช้สัญลักษณ์ Tri( A ) ตารางต่อไปนี้เปรียบเทียบพีชคณิตลีของกลุ่มนี้กับพีชคณิตลีของอนุพันธ์

เอ :	อาร์	ซี	ชม	โอ
${\displaystyle {\mathfrak {der}}(A)}$	0	0	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{2}}$
${\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)}$	0	${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{1}\oplus {\mathfrak {u}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{1}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{8}}$

จากนั้น Barton และ Sudbery ระบุพีชคณิต Lie ของตารางเวทมนตร์ที่สอดคล้องกับ ( A , B ) ด้วยโครงสร้างพีชคณิต Lie บนปริภูมิเวกเตอร์

${\displaystyle {\mathfrak {tri}}(A)\oplus {\mathfrak {tri}}(B)\oplus (A_{1}\otimes B_{1})\oplus (A_{2}\otimes B_{2})\oplus (A_{3}\otimes B_{3}).}$

วงเล็บ Lie เข้ากันได้กับ การจัดระดับ Z ₂ × Z ₂โดยมีtri ( A ) และtri ( B ) ในระดับ (0,0) และสำเนาทั้งสามของA ⊗ Bในระดับ (0,1), (1,0) และ (1,1) วงเล็บนี้รักษาtri ( A ) และtri ( B ) ไว้ และสิ่งเหล่านี้จะกระทำตามธรรมชาติกับสำเนาทั้งสามของA ⊗ Bเช่นเดียวกับการสร้างอื่นๆ แต่วงเล็บระหว่างสำเนาทั้งสามนี้จะถูกจำกัดมากขึ้น

ตัวอย่างเช่น เมื่อAและBเป็นอ็อกโทเนียน ไตรเอลิตีจะเป็นของ Spin(8) ซึ่งเป็นดับเบิลคัฟเวอร์ของ SO(8) และคำอธิบายของ Barton-Sudbery จะให้ผลลัพธ์ดังนี้

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}\cong {\mathfrak {so}}_{8}\oplus {\widehat {\mathfrak {so}}}_{8}\oplus (V\otimes {\widehat {V}})\oplus (S_{+}\otimes {\widehat {S}}_{+})\oplus (S_{-}\otimes {\widehat {S}}_{-})}$

โดยที่ V, S ₊และ S− _คือการแสดงผลแบบ 8 มิติทั้งสามของ( การแสดงผลพื้นฐาน และ การแสดงผลแบบสปินทั้งสอง) และวัตถุที่มีหมวกเป็นสำเนาที่เหมือนกัน ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{8}}$

เมื่อพิจารณาถึง การจัดระดับ Z ₂ อย่างหนึ่ง พจน์สามพจน์แรกจะรวมกันเพื่อให้ได้และพจน์สองพจน์สุดท้ายจะรวมกันเพื่อสร้างการแสดงแทนสปิน Δ ₊ ^{128 (ตัวยกแสดงถึงมิติ) นี่คือ} การแยกส่วนสมมาตรที่ รู้จักกันดีของE8${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{16}}$

การสร้างแบบ Barton–Sudbery ขยายแนวคิดนี้ไปยังพีชคณิต Lie อื่นๆ ในตารางเวทมนตร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับพีชคณิต Lie พิเศษในแถวสุดท้าย (หรือคอลัมน์สุดท้าย) การแยกส่วนแบบสมมาตรมีดังนี้:

${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{9}\oplus \Delta ^{16}}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}\cong ({\mathfrak {so}}_{10}\oplus {\mathfrak {u}}_{1})\oplus \Delta ^{32}}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}\cong ({\mathfrak {so}}_{12}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1})\oplus \Delta _{+}^{64}}$

${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}\cong {\mathfrak {so}}_{16}\oplus \Delta _{+}^{128}.}$

นอกจากพีชคณิตการหารแบบมีบรรทัดฐานแล้วยังมีพีชคณิตการประกอบ อื่นๆ บนRอีกด้วย ได้แก่จำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วน ควอเทอร์เนียน แบบแยกส่วนและอ็อกโทเนียนแบบแยกส่วนหากใช้สิ่งเหล่านี้แทนจำนวนเชิงซ้อน ควอเทอร์เนียน และอ็อกโทเนียน จะได้ตารางเวทมนตร์รูปแบบต่อไปนี้ (โดยที่พีชคณิตการหารแบบแยกส่วนจะใช้สัญลักษณ์เฉพาะแทน)

เอบี	อาร์	ซี	ชม'	โอ
อาร์	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4(4)}}$
ซี	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )\oplus {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(6)}}$
ชม'	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{6,6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(7)}}$
โอ	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4(4)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(6)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(7)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8(8)}}$

ในที่นี้ พีชคณิตลีทั้งหมดเป็นรูปแบบแยกจริงยกเว้นso ₃แต่การเปลี่ยนเครื่องหมายในนิยามของวงเล็บลีสามารถใช้สร้างรูปแบบแยกso _2,1ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สำหรับพีชคณิตลีพิเศษ พีชคณิตย่อยขนาดกะทัดรัดสูงสุดมีดังต่อไปนี้:

รูปแบบแยก	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4(4)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(6)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(7)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8(8)}}$
ขนาดกะทัดรัดสูงสุด	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{3}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{8}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{16}}$

ตารางเวทมนตร์แบบไม่สมมาตรสามารถได้มาจากการรวมพีชคณิตแบบแยกส่วนเข้ากับพีชคณิตแบบหารตามปกติ ตามที่บาร์ตันและซัดเบอรีกล่าวไว้ ตารางพีชคณิตลีที่ได้มีดังนี้

เอบี	อาร์	ซี	ชม	โอ
อาร์	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$
ซี	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {C} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(-26)}}$
ชม'	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {R} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{3,3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{6}^{*}(\mathbf {H} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-25)}}$
โอ	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4(4)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(2)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-5)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8(-24)}}$

พีชคณิตลีแบบพิเศษที่แท้จริงซึ่งปรากฏในที่นี้ สามารถอธิบายได้อีกครั้งด้วยพีชคณิตย่อยแบบกะทัดรัดสูงสุดของพวกมัน

พีชคณิตลี	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(2)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6(-26)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-5)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7(-25)}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8(-24)}}$
ขนาดกะทัดรัดสูงสุด	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{6}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{12}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}\oplus {\mathfrak {u}}_{1}}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}\oplus {\mathfrak {sp}}_{1}}$

รูปแบบแยกส่วนของพีชคณิตองค์ประกอบและพีชคณิตลีสามารถกำหนดได้บนฟิลด์K ใดๆ ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็นตารางมหัศจรรย์ดังต่อไปนี้

${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{3}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}(\mathbf {K} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )\oplus {\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}(\mathbf {K} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{6}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{6}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{12}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}(\mathbf {K} )}$
${\displaystyle {\mathfrak {f}}_{4}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}(\mathbf {K} )}$

มีความกำกวมอยู่บ้างหากKไม่ใช่เซตปิดเชิงพีชคณิต ในกรณีที่K = Cนี่คือการทำให้ซับซ้อนขึ้นของตารางเวทมนตร์ของฟรอยเดนทัลสำหรับRที่กล่าวถึงไปแล้ว

ตารางที่กล่าวถึงไปแล้วนั้นเกี่ยวข้องกับพีชคณิตจอร์แดนJ ₃ ( A ) โดยที่Aเป็นพีชคณิตการหาร นอกจากนี้ยังมีพีชคณิตจอร์แดนJ _n ( A ) สำหรับจำนวนเต็มบวกn ใดๆ ตราบใด ที่Aเป็นพีชคณิตสมาคม พีชคณิตเหล่านี้ให้รูปแบบแยกส่วน (เหนือฟิลด์K ใดๆ ) และรูปแบบกระชับ (เหนือR ) ของตารางวิเศษทั่วไป

${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{n}(\mathbf {K} )}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{n}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {sp}}_{n}}$
${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{n}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} )\oplus {\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{n}\oplus {\mathfrak {su}}_{n}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{2n}}$
${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {sp}}_{n}}$	${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2n}(\mathbf {K} ){\text{ or }}{\mathfrak {su}}_{2n}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4n}(\mathbf {K} )}$

สำหรับn = 2, J ₂ ( O ) ก็เป็นพีชคณิตจอร์แดนเช่นกัน ในกรณีกระชับ (เหนือR ) จะได้ตารางวิเศษของพีชคณิตลีเชิงตั้งฉาก

เอบี	อาร์	ซี	ชม	โอ
อาร์	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{9}}$
ซี	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{3}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{4}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{10}}$
ชม	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{6}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{8}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{12}}$
โอ	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{9}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{10}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{12}}$	${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{16}}$

แถวและคอลัมน์สุดท้ายในที่นี้คือส่วนของพีชคณิตเชิงตั้งฉากของพีชคณิตไอโซโทรปีในการแยกส่วนสมมาตรของพีชคณิตลีพิเศษที่กล่าวถึงไปก่อนหน้านี้

โครงสร้างเหล่านี้มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับปริภูมิสมมาตรเฮอร์มิเชียน – เปรียบเทียบกับปริภูมิเวกเตอร์พรีโฮโมจีนัส

ปริภูมิสมมาตรแบบรีมันน์ทั้งแบบกระชับและไม่กระชับ สามารถจำแนกประเภทได้อย่างสม่ำเสมอโดยใช้การสร้างตารางวิเศษ ใน ( Huang & Leung 2010 ) ปริภูมิสมมาตรแบบกระชับที่ไม่สามารถลดทอนได้นั้น ขึ้นอยู่กับการครอบคลุมแบบจำกัด จะเป็นกลุ่มลีแบบง่ายที่กระชับ กลุ่มกราสส์มันน์ กลุ่มกราสส์มันน์แบบลากรางจ์หรือกลุ่มกราสส์มันน์แบบลากรางจ์คู่ของปริภูมิย่อยของสำหรับพีชคณิตการหารแบบมีบรรทัดฐานAและBการสร้างที่คล้ายกันนี้สร้างปริภูมิสมมาตรแบบไม่กระชับที่ไม่สามารถลดทอนได้ ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )^{n},}$

จากการค้นพบของRuth Moufang ในปี 1933 เกี่ยวกับ ระนาบโปรเจกทีฟ Cayleyหรือ "ระนาบโปรเจกทีฟอ็อกโทเนียน" P ² ( O ) ซึ่งกลุ่มสมมาตรคือกลุ่ม Lie พิเศษF ₄และด้วยความรู้ที่ว่าG ₂ เป็นกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของอ็อกโทเนียน Rozenfeld (1956)จึงเสนอว่ากลุ่ม Lie พิเศษที่เหลือE ₆ , E ₇และE ₈เป็นกลุ่มไอโซมอร์ฟิซึมของระนาบโปรเจกทีฟเหนือพีชคณิตบางอย่างเหนืออ็อกโทเนียน: ^{[ 1 ]}

• ที่ไบโอคโทเนียน ,C⊗O,
• ที่ควอเตอร์อ็อกโทเนียน ,H⊗O,
• ที่ออกโตออกโตเนียน ,O⊗O.

ข้อเสนอนี้น่าสนใจ เนื่องจากมีปริภูมิสมมาตรแบบรีมันน์ ขนาดกะทัดรัดพิเศษบางประเภท ที่มีกลุ่มสมมาตรที่ต้องการและมิติของมันสอดคล้องกับมิติของระนาบเชิงฉายที่คาดการณ์ไว้ (dim( P ² ( K ⊗ K ′)) = 2 dim( K )dim( K ′)) และสิ่งนี้จะทำให้เกิดการสร้างกลุ่มลีพิเศษที่เป็นเอกภาพในฐานะสมมาตรของวัตถุที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติ (กล่าวคือ โดยไม่ต้องมีความรู้ล่วงหน้าเกี่ยวกับกลุ่มลีพิเศษ) ปริภูมิสมมาตรแบบรีมันน์ได้รับการจำแนกโดยคาร์ตันในปี 1926 (ป้ายกำกับของคาร์ตันจะถูกใช้ต่อไป) โปรดดูการจำแนกประเภทสำหรับรายละเอียด และปริภูมิที่เกี่ยวข้องมีดังนี้:

• ระนาบเชิงฉายอ็อกโทเนียนิก – FII มิติ 16 = 2 × 8 สมมาตร F ₄ ระนาบเชิงฉายเคย์ลีย์P ² ( O )
• ระนาบฉายภาพไบโอคโทเนียนิก – EIII มิติ 32 = 2 × 2 × 8 สมมาตร E ₆ระนาบฉายภาพเคย์ลีย์ที่ซับซ้อนP ² ( C ⊗ O )
• "ระนาบฉายควอเทอร์อ็อกโทเนียนิก " ^{[ 2 ]} – EVI มิติ 64 = 2 × 4 × 8สมมาตร₇P²(H⊗O)
• "ระนาบฉายภาพอ็อกโตอ็อกโทเนียนิก " ^{[ 3 ]} – EVIII มิติ 128 = 2 × 8 × 8สมมาตร₈P²(O⊗O)

ความยากลำบากของข้อเสนอนี้คือ ในขณะที่อ็อกโทเนียนเป็นพีชคณิตการหาร และด้วยเหตุนี้ระนาบเชิงโปรเจกทีฟจึงถูกกำหนดไว้เหนือพวกมัน แต่ไบอ็อกโทเนียน ควอเตอร์อ็อกโทเนียน และอ็อกโทอ็อกโทเนียนไม่ใช่พีชคณิตการหาร ดังนั้นคำจำกัดความปกติของระนาบเชิงโปรเจกทีฟจึงใช้ไม่ได้ ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้สำหรับไบอ็อกโทเนียน โดยระนาบเชิงโปรเจกทีฟที่ได้จะเป็นระนาบเคย์ลีย์ที่ซับซ้อน แต่การสร้างนั้นใช้ไม่ได้กับควอเตอร์อ็อกโทเนียนและอ็อกโทอ็อกโทเนียน และปริภูมิที่กล่าวถึงไม่เป็นไปตามสัจพจน์ปกติของระนาบเชิงโปรเจกทีฟ^{[ ​​1 ]}ดังนั้นจึงมีเครื่องหมายอัญประกาศบน "(ระนาบเชิงโปรเจกทีฟที่สันนิษฐาน)" อย่างไรก็ตาม ปริภูมิสัมผัสที่แต่ละจุดของปริภูมิเหล่านี้สามารถระบุได้ว่าเป็นระนาบ ( H ⊗ O ) ²หรือ ( O ⊗ O ) ²ซึ่งเป็นการยืนยันสัญชาตญาณเพิ่มเติมว่าสิ่งเหล่านี้เป็นรูปแบบหนึ่งของระนาบเชิงโปรเจกทีฟทั่วไป^{[ 2 ] [ 3 ]}ดังนั้น พื้นที่ที่ได้จึงบางครั้งเรียกว่าระนาบเชิงโปรเจกทีฟของโรเซนเฟลด์และเขียนแทนราวกับว่าเป็นระนาบเชิงโปรเจกทีฟ โดยทั่วไปแล้ว รูปแบบกะทัดรัดเหล่านี้คือระนาบเชิงโปรเจกทีฟ วงรีของโรเซนเฟลด์ ในขณะที่รูปแบบไม่กะทัดรัดคู่กันคือระนาบเชิงโปรเจกทีฟไฮเปอร์โบลิกของโรเซนเฟลด์การนำเสนอแนวคิดของโรเซนเฟลด์ที่ทันสมัยกว่าอยู่ใน ( Rosenfeld 1997 ) ในขณะที่บันทึกย่อเกี่ยวกับ "ระนาบ" เหล่านี้อยู่ใน ( Besse 1987 , หน้า 313–316) ^{[ 4 ]}

พื้นที่สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้ทฤษฎีอาคารของ Tits ซึ่งอนุญาตให้สร้างเรขาคณิตโดยใช้กลุ่มพีชคณิต ที่กำหนด เป็นสมมาตร แต่จำเป็นต้องเริ่มต้นด้วยกลุ่ม Lie และสร้างเรขาคณิตจากกลุ่มเหล่านั้น แทนที่จะสร้างเรขาคณิตโดยอิสระจากความรู้เกี่ยวกับกลุ่ม Lie ^{[ 1 ]}

ในขณะที่การสร้างระนาบเชิงโปรเจกทีฟP ² ( K ⊗ K ′) ของพีชคณิตการหารแบบมีบรรทัดฐานสองตัวนั้นไม่สามารถทำได้ในระดับของแมนิโฟลด์และกลุ่มลี แต่การสร้างที่สอดคล้องกันในระดับของพีชคณิตลี นั้น สามารถทำได้ กล่าวคือ หากเราแยกส่วนพีชคณิตลีของไอโซเมตรีอนันต์ของระนาบเชิงโปรเจกทีฟP ² ( K ) และใช้การวิเคราะห์แบบเดียวกันกับP ² ( K ⊗ K ′) เราสามารถใช้การแยกส่วนนี้ ซึ่งใช้ได้เมื่อP ² ( K ⊗ K ′) สามารถนิยามได้ว่าเป็นระนาบเชิงโปรเจกทีฟจริง ๆ เป็นคำนิยามของ "พีชคณิตลีสี่เหลี่ยมมหัศจรรย์" M ( K , K ′) คำนิยามนี้เป็นพีชคณิตล้วน ๆ และใช้ได้แม้ไม่ต้องสมมติว่ามีปริภูมิเรขาคณิตที่สอดคล้องกันอยู่ งานวิจัยนี้ดำเนินการอย่างอิสระในช่วงประมาณปี 1958 ใน ( Tits 1966 ) และโดย Freudenthal ในชุดเอกสาร 11 ฉบับ เริ่มต้นด้วย ( Freudenthal 1954a ) และสิ้นสุดด้วย ( Freudenthal 1963 ) แม้ว่าโครงสร้างที่เรียบง่ายที่อธิบายไว้ในที่นี้เป็นผลมาจาก ( Vinberg 1966 ) ^{[ 1 ]}