ในทางคณิตศาสตร์พีชคณิตตัวดำเนินการจอร์แดน (Jordan operator algebras) คือ พีชคณิตจอร์แดนจริงหรือเชิงซ้อนที่มีโครงสร้างที่เข้ากันได้กับปริภูมิบานาค (Banach space ) เมื่อสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงพีชคณิตเหล่านี้จะเรียกว่าพีชคณิตบานาคจอร์แดน (Jordan Banach algebras ) ทฤษฎีนี้ได้รับการพัฒนาอย่างกว้างขวางเฉพาะสำหรับพีชคณิตJB เท่านั้น สัจพจน์สำหรับพีชคณิตเหล่านี้ถูกคิดค้นโดยAlfsen, Shultz & Størmer (1978)พีชคณิตที่สามารถสร้างขึ้นได้อย่างเป็นรูปธรรมในรูปของพีชคณิตย่อยของตัวดำเนินการสมมาตรใน ปริภูมิ ฮิลเบิร์ต จริงหรือเชิงซ้อนที่มี ผลคูณจอร์แดนของตัวดำเนินการและบรรทัดฐานของตัวดำเนินการเรียกว่าพีชคณิต JCสัจพจน์สำหรับพีชคณิตตัวดำเนินการจอร์แดนเชิงซ้อน ซึ่งเสนอครั้งแรกโดยIrving Kaplanskyในปี 1976 ต้องการการผกผัน และเรียกว่าพีชคณิต JB*หรือพีชคณิต Jordan C * โดยเปรียบเทียบกับลักษณะนามธรรมของพีชคณิตฟอนนอยมันน์ในฐานะพีชคณิต C*ซึ่งปริภูมิบานาคพื้นฐานเป็นปริภูมิคู่ของอีกปริภูมิหนึ่ง จึงมีนิยามที่สอดคล้องกันของพีชคณิต JBW พีชคณิต JW คือพีชคณิตที่สามารถสร้างขึ้นได้โดยใช้ พีชคณิตจอร์แดน แบบปิดที่อ่อนมากของตัวดำเนินการสมมาตรในตัวเองที่มีผลคูณจอร์แดนของตัวดำเนินการ พีชคณิตJBW ที่มีศูนย์กลางที่ไม่สำคัญ หรือที่เรียกว่าปัจจัย JBW นั้น ถูกจัดประเภทตามปัจจัยฟอนนอยมันน์: นอกเหนือจากพีชคณิตอัลเบิร์ต 27 มิติที่เป็นข้อยกเว้น และปัจจัยสปินแล้วปัจจัย JBW อื่นๆ ทั้งหมดจะสมมาตรกับส่วนที่สมมาตรในตัวเองของปัจจัยฟอนนอยมันน์หรือกับพีชคณิตจุดตรึงภายใต้ *-แอนติออโตมอร์ฟิซึมคาบสอง พีชคณิตตัวดำเนินการจอร์แดนถูกนำไปประยุกต์ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัมและเรขาคณิตเชิงซ้อนโดยที่ คำอธิบาย ของโคเชอร์เกี่ยวกับโดเมนสมมาตรที่มีขอบเขตโดยใช้พีชคณิตจอร์แดนได้รับการขยายไปสู่มิติอนันต์

พีชคณิต JCคือปริภูมิย่อยจริงของปริภูมิของตัวดำเนินการสมมาตรในปริภูมิฮิลเบิร์ตจริงหรือเชิงซ้อน ซึ่งปิดภายใต้ผลคูณจอร์แดนของตัวดำเนินการa ∘ b = ⁠1/2( ab + ba ) และปิดในบรรทัดฐานของตัวดำเนิน การ

พีชคณิตตัวดำเนินการจอร์แดนคือปริภูมิย่อยที่ปิดด้วยนอร์มของปริภูมิตัวดำเนินการบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อน ซึ่งปิดภายใต้ผลคูณจอร์แดนa ∘ b = ⁠1/2( ab + ba )และปิดในบรรทัดฐานตัวดำเนินการ^{[ 1 ]}

พีชคณิตจอร์แดนบานาคคือพีชคณิตจอร์แดนจริงที่มีนอร์มที่ทำให้มันเป็นปริภูมิบานาคและสอดคล้องกับเงื่อนไข || a ∘ b || ≤ || a ||⋅|| b ||

พีชคณิตJBคือพีชคณิตจอร์แดน-บานาคที่สอดคล้องกับเงื่อนไข

${\displaystyle \displaystyle {\|a^{2}\|=\|a\|^{2},\,\,\,\|a^{2}\|\leq \|a^{2}+b^{2}\|.}}$

พีชคณิต JB *หรือพีชคณิต Jordan C*คือพีชคณิต Jordan เชิงซ้อนที่มีการผกผันa ↦ a * และนอร์มที่ทำให้มันเป็นปริภูมิ Banach และเป็นไปตามเงื่อนไข

• || a ∘ b || ≤ || a ||⋅|| b ||
• || a *|| = || a ||
• ||{ a , a *, a }|| = || a || ³โดยที่ผลคูณสามเท่าของจอร์แดนถูกกำหนดโดย { a , b , c } = ( a ∘ b ) ∘ c + ( c ∘ b ) ∘ a − ( a ∘ c ) ∘ b .

พีชคณิตJWคือพีชคณิตย่อยจอร์แดนของพีชคณิตจอร์แดนของตัวดำเนินการสมมาตรในปริภูมิฮิลเบิร์ตเชิงซ้อนซึ่งปิดใน โทโพโล ยี ตัวดำเนินการแบบอ่อน

พีชคณิตJBWคือพีชคณิต JB ที่เป็นปริภูมิ Banach จริง ซึ่งเป็นปริภูมิคู่ของปริภูมิ Banach ที่เรียกว่าปริภูมิคู่ก่อนหน้า [ 2 ] มีคำจำกัดความทางเทคนิคที่เทียบเท่ากันในแง่ของคุณสมบัติความต่อเนื่องของฟังก์ชันเชิงเส้นในปริภูมิคู่ก่อนหน้าซึ่ง^{เรียกว่าฟังก์ชัน}ปกติ โดยทั่วไปแล้วจะใช้คำจำกัดความนี้ และลักษณะเฉพาะเชิงนามธรรมในฐานะปริภูมิ Banach คู่จะถูกนำมาใช้เป็นผลสืบเนื่อง^{[ 3 ]}

• สำหรับโครงสร้างลำดับบนพีชคณิต JB (ที่กำหนดไว้ด้านล่าง) เครือข่ายตัวดำเนินการที่เพิ่มขึ้นใดๆ ที่มีขอบเขตในนอร์มควรมีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด
• ฟังก์ชันปกติ (Normal functional) คือฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนเน็ตของตัวดำเนินการที่มีขอบเขตเพิ่มขึ้น ฟังก์ชันปกติเชิงบวก (Positive normal functional) คือฟังก์ชันที่ไม่เป็นลบบนตัวดำเนินการเชิงบวก
• สำหรับตัวดำเนินการที่ไม่เป็นศูนย์ทุกตัว จะมีฟังก์ชันปกติที่เป็นบวกซึ่งไม่เป็นศูนย์บนตัวดำเนินการนั้น

• ถ้าพีชคณิต JB ที่มีเอกลักษณ์เป็นแบบสมาคม การทำให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนด้วยการผกผันตามธรรมชาติของมันจะเป็นพีชคณิต C* แบบสลับที่ได้ ดังนั้นจึงเป็นไอโซมอร์ฟิกกับ C( X ) สำหรับปริภูมิ เฮาส์ดอร์ฟ กระชับXซึ่งเป็นปริภูมิของอักขระของพีชคณิต
• ทฤษฎีบทสเปกตรัมถ้าaเป็นตัวดำเนินการเดี่ยวในพีชคณิต JB พีชคณิตย่อยปิดที่สร้างขึ้นโดย 1 และaจะมีคุณสมบัติการสลับที่ได้ มันสามารถระบุได้ด้วยฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนสเปกตรัมของaซึ่งเป็นเซตของ λ จริงที่a − λ1 ไม่สามารถหาตัวผกผันได้
• องค์ประกอบบวกในพีชคณิต JB ที่มีเอกลักษณ์ คือองค์ประกอบที่มีสเปกตรัมอยู่ใน [0,∞) ตามทฤษฎีบทสเปกตรัม องค์ประกอบเหล่านี้จะตรงกับปริภูมิของกำลังสองและก่อตัวเป็นกรวยนูนปิด ถ้าb ≥ 0 แล้ว { a , b , a } ≥ 0
• พีชคณิต JB เป็นพีชคณิตจอร์แดนจริงอย่างเป็นทางการ : ถ้าผลรวมของกำลังสองของพจน์เป็นศูนย์ พจน์แต่ละพจน์ก็จะเป็นศูนย์ ในมิติจำกัด พีชคณิต JB จะสมสัณฐานกับพีชคณิตจอร์แดนแบบยุคลิด^{[ 4 ]}
• รัศมีสเปกตรัมบนพีชคณิต JB กำหนดบรรทัดฐานที่เทียบเท่าซึ่งสอดคล้องกับสัจพจน์สำหรับพีชคณิต JB ด้วยเช่นกัน
• สถานะบนพีชคณิต JB เอกลักษณ์คือฟังก์ชันเชิงเส้นที่มีขอบเขตfโดยที่f (1) = 1 และfไม่เป็นลบบนกรวยบวก ปริภูมิสถานะเป็นเซตแบบนูนที่ปิดในโทโพโลยีแบบอ่อน* จุดสุดขั้วเรียกว่าสถานะบริสุทธิ์ เมื่อกำหนดaจะมีสถานะบริสุทธิ์fเช่นนั้น | f ( a )| = || a ||
• การสร้าง Gelfand–Naimark–Segal : ถ้าพีชคณิต JB สมมาตรกับเมทริกซ์ n x nสมมาตรตัวเองที่มีสัมประสิทธิ์ในพีชคณิต *-เอกลักษณ์แบบเชื่อมโยงบางอย่าง พีชคณิต JB ก็จะสมมาตรกับพีชคณิต JC พีชคณิต JC เป็นไปตามเงื่อนไขเพิ่มเติมที่ว่า ( T + T *)/2 อยู่ในพีชคณิตเมื่อใดก็ตามที่ Tเป็นผลคูณของตัวดำเนินการจากพีชคณิต ^{[ 5 ]}
• พีชคณิต JB ถือเป็นพีชคณิตพิเศษอย่างแท้จริงหากไม่มีโฮโมมอร์ฟิซึมจอร์แดนที่ไม่เป็นศูนย์ไปยังพีชคณิต JC พีชคณิตแบบง่ายเพียงอย่างเดียวที่สามารถเกิดขึ้นได้จากภาพโฮโมมอร์ฟิกของพีชคณิต JB พิเศษอย่างแท้จริง คือพีชคณิตอัลเบิร์ตซึ่งเป็นเมทริกซ์สมมาตรขนาด 3x3 บนอ็อกโทเนียน
• พีชคณิต JB ทุกตัวมีอุดมคติปิดที่กำหนดขึ้นอย่างเป็นเอกลักษณ์ ซึ่งเป็นอุดมคติพิเศษอย่างแท้จริง และผลหารของอุดมคตินั้นก็คือพีชคณิต JC
• ทฤษฎีบท Shirshov–Cohnพีชคณิต JB ที่สร้างโดยองค์ประกอบ 2 ตัวคือพีชคณิต JC ^{[ 6 ]}

นิยามของพีชคณิต JB* ได้รับการเสนอแนะในปี 1976 โดยIrving Kaplanskyในการบรรยายที่เอดินบะระ ส่วนจริงของพีชคณิต JB* จะเป็นพีชคณิต JB เสมอWright (1977)พิสูจน์ว่าในทางกลับกัน การทำให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนของพีชคณิต JB ทุกตัวจะเป็นพีชคณิต JB* พีชคณิต JB* ถูกนำมาใช้อย่างกว้างขวางในฐานะกรอบสำหรับการศึกษาโดเมนสมมาตรที่มีขอบเขตในมิติอนันต์ ซึ่งเป็นการขยายทฤษฎีในมิติจำกัดที่พัฒนาโดยMax Koecherโดยใช้การทำให้เป็นจำนวนเชิงซ้อนของพีชคณิต Jordan แบบยุคลิด^{[ 7 ]}

• ทฤษฎีบทความหนาแน่นของ Kaplanskyใช้ได้กับพีชคณิตจอร์แดนเอกลักษณ์จริงของตัวดำเนินการสมมาตรตัวเองบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีผลคูณจอร์แดนของตัวดำเนินการ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พีชคณิตจอร์แดนจะปิดในโทโพโลยีตัวดำเนินการอ่อนก็ต่อเมื่อมันปิดในโทโพโลยีตัวดำเนินการอ่อนมากโทโพโลยีทั้งสองตรงกันบนพีชคณิตจอร์แดน^{[ 8 ]}
• สำหรับพีชคณิต JBW ปริภูมิของฟังก์ชันปกติบวกจะไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแสดงกำลังสองQ ( a ) b = { a , b , a } ถ้าfเป็นบวกf ∘ Q ( a ) ก็เป็นบวกเช่นกัน
• โทโพโลยีแบบอ่อนบนพีชคณิต JW Mถูกกำหนดโดยเซมินอร์ม | f ( a )| โดยที่fคือสถานะปกติ โทโพโลยีแบบแข็งถูกกำหนดโดยเซมินอร์ม | f ( a ² )| ^1/2ตัวดำเนินการแทนกำลังสองและตัวดำเนินการผลคูณจอร์แดนL ( a ) b = a ∘ bเป็นตัวดำเนินการต่อเนื่องบนMสำหรับทั้งโทโพโลยีแบบอ่อนและแบบแข็ง
• ตัวดำเนินการเอกลักษณ์pในพีชคณิต JBW Mเรียกว่าโปรเจคชันถ้าpเป็นโปรเจคชันแล้วQ ( p ) Mจะเป็นพีชคณิต JBW ที่มีเอกลักษณ์p
• ถ้าaเป็นองค์ประกอบใดๆ ของพีชคณิต JBW พีชคณิตย่อยเอกลักษณ์แบบปิดอย่างอ่อนที่เล็กที่สุดที่มันสร้างขึ้นจะเป็นพีชคณิตแบบสมาคม และด้วยเหตุนี้จึงเป็นส่วนสมมาตรในตัวเองของพีชคณิตฟอนนอยมันน์แบบอาเบเลียน โดยเฉพาะอย่างยิ่งaสามารถประมาณค่าในนอร์มได้ด้วยการรวมเชิงเส้นของการฉายภาพเชิงตั้งฉาก
• การฉายภาพในพีชคณิต JBW นั้นปิดภายใต้การดำเนินการแลตทิซ ดังนั้นสำหรับตระกูลp _αจะมีการฉายภาพที่เล็กที่สุดpที่ทำให้p ≥ p _αและการฉายภาพที่ใหญ่ที่สุดq ที่ทำให้q ≤ p _α
• ศูนย์กลางของพีชคณิต JBW Mประกอบด้วยz ทั้งหมด ซึ่งL ( z ) สลับที่ได้กับL ( a ) สำหรับaในM มันเป็นพีชคณิตแบบสมาคมและส่วนจริงของพีชคณิตฟอนนอยมันน์ แบบอาเบเลียน พีชคณิต JBW เรียกว่าแฟกเตอร์ถ้าศูนย์กลางของมันประกอบด้วยตัวดำเนินการสเกลาร์
• ถ้าAเป็นพีชคณิต JB พีชคณิตคู่ลำดับที่สองของมัน คือ A ** จะเป็นพีชคณิต JBW สถานะปกติคือสถานะในA * และสามารถระบุได้ว่าเป็นสถานะบนAยิ่งไปกว่านั้นA ** คือพีชคณิต JBW ที่สร้างขึ้นโดยA
• พีชคณิต JB จะเป็นพีชคณิต JBW ก็ต่อเมื่อ ในฐานะปริภูมิบานาคจริง มันเป็นปริภูมิคู่ของปริภูมิบานาค ปริภูมิบานาคนี้และปริภูมิก่อนคู่ ของมัน คือปริภูมิของฟังก์ชันปกติ ซึ่งนิยามว่าเป็นผลต่างของฟังก์ชันปกติบวก ฟังก์ชันเหล่านี้มีความต่อเนื่องสำหรับโทโพโลยีแบบอ่อนหรือแบบแข็ง ดังนั้น โทโพโลยีแบบอ่อนและแบบแข็งจึงตรงกันบนพีชคณิต JBW
• ในพีชคณิต JBW พีชคณิต JBW ที่สร้างขึ้นโดยพีชคณิตย่อยจอร์แดนจะตรงกับการปิดแบบอ่อนของมัน ยิ่งไปกว่านั้น การขยายทฤษฎีบทความหนาแน่นของ Kaplansky ก็เป็นจริงเช่นกัน กล่าวคือ ลูกบอลหน่วยของพีชคณิตย่อยมีความหนาแน่นแบบอ่อนในลูกบอลหน่วยของพีชคณิต JBW ที่มันสร้างขึ้น
• ทฤษฎี Tomita–Takesakiได้รับการขยายโดยHaagerup & Hanche-Olsen (1984)ไปสู่สถานะปกติของพีชคณิต JBW ที่ซื่อสัตย์ กล่าวคือ ไม่เป็นศูนย์บนตัวดำเนินการบวกที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆ ทฤษฎีนี้สามารถอนุมานได้จากทฤษฎีดั้งเดิมสำหรับพีชคณิต von Neumann ^{[ 9 ]}

ให้Mเป็นแฟกเตอร์ JBW ออโตมอร์ฟิซึมภายในของMคือออโตมอร์ฟิซึมที่สร้างขึ้นโดยออโตมอร์ฟิซึมคาบสองQ (1 – 2 p ) โดยที่pคือการฉายภาพ การฉายภาพสองภาพจะสมมูลกันก็ต่อเมื่อมีออโตมอร์ฟิซึมภายในที่ส่งภาพหนึ่งไปยังอีกภาพหนึ่ง เมื่อกำหนดการฉายภาพสองภาพในแฟกเตอร์แล้ว ภาพหนึ่งจะสมมูลกับการฉายภาพย่อยของอีกภาพหนึ่งเสมอ ถ้าแต่ละภาพสมมูลกับการฉายภาพย่อยของอีกภาพหนึ่ง ภาพทั้งสองก็จะสมมูลกัน

ปัจจัย JBW สามารถจำแนกออกเป็นสามประเภทที่ไม่ซ้ำซ้อนกัน ดังนี้:

• จะเป็นประเภท I ก็ต่อเมื่อมีการฉายภาพขั้นต่ำ และจะเป็นประเภท I _{n ก็ต่อ}เมื่อ 1 สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมของ การฉายภาพขั้นต่ำเชิงตั้งฉาก n ครั้งสำหรับ 1 ≤ n ≤ ∞
• จะเป็นประเภท II ถ้าไม่มีการฉายภาพขั้นต่ำ แต่การฉายภาพย่อยของการฉายภาพคงที่e บางส่วน ก่อให้เกิดแลตทิซแบบโมดูลาร์ กล่าว คือp ≤ qหมายความว่า ( p ∨ r ) ∧ q = p ∨ ( r ∧ q ) สำหรับการฉายภาพr ≤ e ใดๆ ถ้าeสามารถเลือกให้เป็น 1 ได้ จะเป็นประเภท II 1 _มิฉะนั้นจะเป็นประเภท II _≈
• จะเป็นประเภท III หากการฉายภาพไม่ก่อให้เกิดแลตทิซแบบโมดูลาร์ การฉายภาพที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดจะเทียบเท่ากัน^{[ 10 ]}

ทฤษฎี Tomita–Takesakiอนุญาตให้จำแนกกรณีประเภท III เพิ่มเติมเป็นประเภท III _λ (0 ≤ λ ≤ 1) โดยมีตัวแปรคงที่เพิ่มเติมของการไหลแบบเออร์โกดิกบนปริภูมิเลเบส ("การไหลของน้ำหนัก") เมื่อ λ = 0 ^{[ 11 ]}

• ปัจจัย JBW ประเภท I ₁คือจำนวนจริง
• ปัจจัย JBW ประเภท I ₂คือปัจจัยสปินให้Hเป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตจริงที่มีมิติมากกว่า 1 กำหนดให้M = H ⊕ Rโดยมีผลคูณภายใน ( u ⊕λ, v ⊕μ) =( u , v ) + λμ และผลคูณ (u⊕λ)∘(v⊕μ)=( μ u + λ v ) ⊕ [( u , v ) + λμ] ด้วยบรรทัดฐานตัวดำเนินการ || L ( a )|| Mเป็นทั้งปัจจัย JBW และปัจจัย JW
• ปัจจัย JBW ประเภท I ₃คือเมทริกซ์สมมาตร 3x3 ที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริงจำนวนเชิงซ้อนค วอเท อร์เนียนหรืออ็อกโทเนียน
• แฟกเตอร์ JBW ประเภท I _nโดยที่ 4 ≤ n < ∞ คือเมทริกซ์สมมาตรขนาดn x nที่มีสมาชิกเป็นจำนวนจริง จำนวนเชิงซ้อน หรือควอเทอร์เนียน
• ปัจจัย JBW ประเภท I _∞คือตัวดำเนินการสมมาตรในปริภูมิฮิลเบิร์ตจริง เชิงซ้อน หรือควอเทอร์เนียนที่มี มิติอนันต์ ปริภูมิควอเท อร์เนียนถูกกำหนดให้เป็นลำดับทั้งหมดx = ( x _i ) โดยที่x _iอยู่ในHและ Σ | x _i | ² < ∞ ผลคูณภายในที่มีค่าเป็น Hกำหนดโดย ( x , y ) = Σ ( y _i )* x _iมีผลคูณภายในจริงพื้นฐานที่กำหนดโดย ( x , y ) _R = Re ( x , y ) ดังนั้น ปัจจัย JBW ควอเทอร์เนียนประเภท I _{∞ จึงเป็นพีชคณิตจอร์แดนของตัวดำเนินการสมมาตรทั้งหมดในปริภูมิ} ^ผลคูณภายในจริงนี้ที่สลับกับการกระทำของการคูณทางขวาโดยH [ ^{12 ]}

ปัจจัย JBW ที่ไม่ใช่ประเภท I ₂และ I ₃ล้วนเป็นปัจจัย JW กล่าวคือ สามารถสร้างขึ้นได้ในรูปของพีชคณิตจอร์แดนของตัวดำเนินการสมมาตรในปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ปิดในโทโพโลยีตัวดำเนินการแบบอ่อน ปัจจัย JBW ทุกตัวที่ไม่ใช่ประเภท I ₂หรือประเภท I ₃จะสมสัณฐานกับส่วนสมมาตรของพีชคณิตจุดตรึงของแอนติออโตมอร์ฟิซึมคาบ 2* ของพีชคณิตฟอนนอยมันน์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปัจจัย JBW แต่ละตัวจะสมสัณฐานกับส่วนสมมาตรของปัจจัยฟอนนอยมันน์ประเภทเดียวกัน หรือกับส่วนสมมาตรของพีชคณิตจุดตรึงของแอนติออโตมอร์ฟิซึมคาบ 2* ของปัจจัยฟอนนอยมันน์ประเภทเดียวกัน^{[ 13 ]}สำหรับปัจจัยไฮเปอร์ไฟไนต์ คลาสของปัจจัยฟอนนอยมันน์ที่จำแนกโดยคอนเนสและฮาเกอรุปอย่างสมบูรณ์ แอนติออโตมอร์ฟิซึมคาบ 2 * ได้รับการจำแนกจนถึงการผันแปรในกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมของปัจจัย^{[ 14 ]}

• พีชคณิตจอร์แดน
• พีชคณิตจอร์แดนแบบยุคลิด