ในทางคณิตศาสตร์โครงสร้าง Jคือโครงสร้างพีชคณิตบนฟิลด์ที่เกี่ยวข้องกับพีชคณิตจอร์แดนแนวคิดนี้ได้รับการแนะนำโดยSpringer (1973)เพื่อพัฒนาทฤษฎีของพีชคณิตจอร์แดนโดยใช้กลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นและสัจพจน์ โดยใช้การผกผันจอร์แดนเป็นการดำเนินการพื้นฐานและเอกลักษณ์ของ Huaเป็นความสัมพันธ์พื้นฐาน มีการจำแนกประเภทของโครงสร้างแบบง่ายที่ได้มาจากการจำแนกประเภทของกลุ่มพีชคณิตกึ่งง่ายบนฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะไม่เท่ากับ 2 ทฤษฎีของโครงสร้าง J นั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับทฤษฎีของพีชคณิตจอร์แดน

ให้Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดเหนือฟิลด์Kและjเป็นแผนที่ตรรกยะจากVไปยังตัวมันเอง ซึ่งสามารถแสดงได้ในรูปแบบn / Nโดยที่n เป็น แผนที่พหุนามจากVไปยังตัวมันเอง และNเป็นพหุนามในK [ V ] ให้Hเป็นเซตย่อยของ GL( V ) × GL( V ) ที่ประกอบด้วยคู่ ( g , h ) โดยที่g ∘ j = j ∘ h : มันเป็นกลุ่มย่อย ปิด ของผลคูณ และการฉายภาพลงบนตัวประกอบแรก เซตของgที่เกิดขึ้น คือกลุ่มโครงสร้างของjซึ่งเขียนแทนด้วยG' ( j )

โครงสร้างJคือสามสิ่ง ( V , j , e ) โดยที่Vเป็นปริภูมิเวกเตอร์เหนือK , jเป็นแผนที่ไบราชันนัลจากVไปยังตัวมันเอง และeเป็นองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของVที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้^{[ 1 ]}

• jคือการผกผัน แบบไบราชันนัลเอก พันธุ์ที่มีดีกรี −1
• jเป็นค่าปกติที่eและj ( e ) = e
• ถ้าjเป็นค่าปกติที่x , e + xและe + j ( x ) แล้ว

${\displaystyle j(e+x)+j(e+j(x))=e}$

• วงโคจรG eของeภายใต้กลุ่มโครงสร้างG = G ( j ) เป็น เซตย่อย เปิดZariskiของV

บรรทัดฐานที่เกี่ยวข้องกับโครงสร้าง J ( V , j , e ) คือตัวเศษNของjซึ่งถูกทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้N ( e ) = 1 ระดับของโครงสร้าง J คือระดับของNในฐานะแผนที่พหุนามเอกพันธุ์^{[ 2 ]}

แผนที่กำลังสองของโครงสร้างคือแผนที่PจากVไปยัง End( V ) ที่กำหนดในแง่ของอนุพันธ์ d jที่x ที่ผกผัน ได้^{[ 3 ]} เราใส่

${\displaystyle P(x)=-(dj)_{x}^{-1}.}$

ปรากฏว่าแผนที่กำลังสองนั้นเป็นแผนที่พหุนามกำลังสองบน V

กลุ่มย่อยของกลุ่มโครงสร้างGที่สร้างขึ้นโดยแผนที่กำลังสองผกผันได้คือกลุ่มโครงสร้างภายในของโครงสร้าง J เป็นกลุ่มย่อยปกติที่เชื่อมต่อแบบปิด^{[ 4 ]}

ให้Kมีลักษณะเฉพาะไม่เท่ากับ 2 ให้Qเป็นรูปแบบกำลังสองบนปริมาณเวกเตอร์VเหนือKพร้อมด้วยรูปแบบทวิเชิงเส้น ที่เกี่ยวข้อง Q ( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y ) และองค์ประกอบที่โดดเด่นeโดยที่Q ( e ,.) ไม่ใช่องค์ประกอบที่ไม่สำคัญ เรากำหนดแผนที่การสะท้อนx ^*โดย

${\displaystyle x^{*}=Q(x,e)ex}$

และแผนที่ผกผันjโดย

${\displaystyle j(x)=Q(x)^{-1}x^{*}.}$

ดังนั้น ( V , j , e ) จึงเป็นโครงสร้าง J

ให้Qเป็นฟังก์ชันกำลังสองผลรวมกำลังสองตามปกติบนK ^rสำหรับจำนวนเต็มr ที่กำหนด ไว้ โดยมีฐานมาตรฐานe ¹ ,..., e ^rแล้ว ( K ^r , Q , e ^r ) เป็นโครงสร้าง J ที่มีดีกรี 2 เรียกว่า O ₂ ^{[ 5 ]}

ในกรณีที่ค่าลักษณะเฉพาะไม่เท่ากับ 2 ซึ่งเราสมมติไว้ในส่วนนี้ ทฤษฎีของโครงสร้าง J นั้นโดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับทฤษฎีของพีชคณิตจอร์แดน

ให้A เป็น พีชคณิตสลับเปลี่ยนแบบไม่เชื่อมโยงมิติจำกัดเหนือK ที่ มีเอกลักษณ์eให้L ( x ) แทนการคูณทางซ้ายด้วยxมีแผนที่ไบราชันนัล i ที่ไม่ซ้ำกัน บนAซึ่งi ( x ) .x = eถ้าiเป็นปกติบนx : มันเป็นเอกพันธุ์ดีกรี −1 และเป็นการผกผันที่มีi ( e ) = eอาจกำหนดโดยi ( x ⁾ = L ( x ) ^−1.eเรา^{เรียก} i ^ว่าการผกผันบนA [ 6 ]

พีชคณิตจอร์แดนถูกกำหนดโดยเอกลักษณ์^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle x(x^{2}y)=x^{2}(xy).}$

ลักษณะเฉพาะอีกแบบหนึ่งคือ สำหรับx ที่ผกผันได้ทั้งหมด เราจะมี

${\displaystyle x^{-1}(xy)=x(x^{-1}y).}$

ถ้าAเป็นพีชคณิตจอร์แดนแล้ว ( A , i , e ) จะเป็นโครงสร้าง J ถ้า ( V , j , e ) เป็นโครงสร้าง J แล้วจะมีโครงสร้างพีชคณิตจอร์แดนที่ไม่ซ้ำกันบนVซึ่งมีเอกลักษณ์e และมี การ ผกผันj

โดยทั่วไปแล้ว ลักษณะเฉพาะที่เราสมมติในส่วนนี้ โครงสร้าง J เกี่ยวข้องกับพีชคณิตจอร์แดนกำลังสองเราถือว่าพีชคณิตจอร์แดนกำลังสองเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดVที่มีแผนที่กำลังสองQจากVไปยัง End( V ) และองค์ประกอบที่โดดเด่นeเราให้Qแทนแผนที่ทวิเชิงเส้นQ ( x , y ) = Q ( x + y ) − Q ( x ) − Q ( y ) คุณสมบัติของพีชคณิตจอร์แดนกำลังสองจะเป็น^{[ 9 ] [ 10 ]}

• Q ( e ) = id _V , Q ( x , e ) y = Q ( x , y ) e
• Q ( Q ( x ) y ) = Q ( x ) Q ( y ) Q ( x )
• Q ( x ) Q ( y , z ) x = Q ( Q ( x ) y , x ) z

เราเรียกQ ( x ) e ว่ากำลังสองของxถ้าการยกกำลังสองเป็นแบบเด่น (มี ภาพ หนาแน่นแบบ Zariski ) แล้วพีชคณิตจะเรียกว่าแยกได้^{[ 11 ]}

มีอินโวลูชันแบบไบราชันนัลที่ไม่ซ้ำกันi เช่นนั้นQ ( x ) i x = xถ้าQเป็นปกติที่xเช่นเดียวกับก่อนหน้านี้iคืออินเวอร์ชั่นซึ่งกำหนดได้โดยi ( x ) = Q ( x ) ⁻¹ x

ถ้า ( V , j , e ) เป็นโครงสร้าง J ที่มีแผนที่กำลังสองQแล้ว ( V , Q , e ) จะเป็นพีชคณิตจอร์แดนกำลังสอง ในทางกลับกัน ถ้า ( V , Q , e ) เป็นพีชคณิตจอร์แดนกำลังสองที่แยกได้ที่มีการผกผันiแล้ว ( V , i , e ) จะเป็นโครงสร้าง J ^{[ 12 ]}

McCrimmon เสนอแนวคิดโครงสร้าง Hโดยละทิ้งสัจพจน์ความหนาแน่นและเสริมความแข็งแกร่งให้กับข้อที่สาม (รูปแบบหนึ่งของเอกลักษณ์ของ Hua) เพื่อให้ใช้ได้กับไอโซโทป ทั้งหมด โครงสร้างที่ได้นั้นเทียบเท่ากับพีชคณิตจอร์แดนกำลังสองในเชิงหมวดหมู่^{[ 13 ] [ 14 ]}

โครงสร้าง J มีการแยกส่วนแบบ Peirce ออกเป็นปริภูมิย่อยที่กำหนดโดยองค์ประกอบเอกลักษณ์^{[ 15 ]} ให้aเป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ของโครงสร้าง J ( V , j , e ) นั่นคือa ² = aให้Qเป็นแผนที่กำลังสอง กำหนด

${\displaystyle \phi _{a}(t,u)=Q(ta+u(ea))}$

สิ่งนี้สามารถผกผันได้สำหรับ tและuที่ไม่เป็นศูนย์ในKและดังนั้น φ จึงกำหนดมอร์ฟิซึมจากทอรัสพีชคณิต GL ₁ × GL ₁ไปยังกลุ่มโครงสร้างภายในG ₁มีปริภูมิย่อย

${\displaystyle V_{a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=t^{2}x}\right\rbrace }$

${\displaystyle V'_{a}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=tux}\right\rbrace }$

${\displaystyle V_{ea}=\left\lbrace {x\in V:\phi _{a}(t,u)x=u^{2}x}\right\rbrace }$

และสิ่งเหล่านี้ก่อให้เกิด^การ แยกส่วนผล รวมโดยตรงของVนี่คือการแยกส่วนของ Peirce สำหรับตัวประกอบเอกลักษณ์a ^{[ 16} ]

ถ้าเราละทิ้งเงื่อนไขเกี่ยวกับองค์ประกอบที่โดดเด่นeเราจะได้ "โครงสร้าง J ที่ไม่มีเอกลักษณ์" ^{[ 17 ]} สิ่งเหล่านี้เกี่ยวข้องกับไอโซโทปของพีชคณิตจอร์แดน^{[ 18 ]}