ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มสปินซึ่งเขียนแทนด้วย Spin( n ) ^{[ 1 ] [ 2 ]}เป็นกลุ่มลี ที่มี แมนิโฟลด์พื้นฐานเป็นดับเบิลคัฟเวอร์ของกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษSO( n ) = SO( n , R )โดยที่ยังมีลำดับที่แน่นอนสั้นๆของกลุ่มลีอยู่ (เมื่อn ≠ 2 )

${\displaystyle 1\to \mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)\to 1.}$

กฎการคูณกลุ่มบนการปกคลุมสองชั้นได้มาจากการยกการคูณบน${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$.

เนื่องจากเป็นกลุ่ม Lie ดังนั้น Spin( n ) จึงมี มิติร่วมกันคือn ( n − 1) / 2และมีพีชคณิต Lieร่วมกับกลุ่มตั้งฉากพิเศษ

สำหรับn > 2นั้น Spin( n ) เป็นแบบเชื่อมต่ออย่างง่ายและสอดคล้องกับการครอบคลุมสากลของSO ( n )

องค์ประกอบที่ไม่ใช่ค่าศูนย์ของเคอร์เนลจะถูกแทนด้วย −1 ซึ่งไม่ควรสับสนกับการแปลงเชิงตั้งฉากของการสะท้อนผ่านจุดกำเนิดซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์−I

Spin( n ) สามารถสร้างขึ้นเป็นกลุ่มย่อยขององค์ประกอบที่ผกผันได้ในพีชคณิตคลิฟฟอร์ด Cl( n ) บทความแยกต่างหากจะกล่าวถึงการแสดงแทนของสปิน

กลุ่มสปิน (Spin group) ใช้ในฟิสิกส์เพื่ออธิบายสมมาตรของเฟอร์มิออน (ที่เป็นกลางทางไฟฟ้า ไม่มีประจุ) ส่วนกลุ่มสปิน ที่ซับซ้อนกว่า (Spnc) ใช้ในการอธิบายเฟอร์มิออนที่มีประจุไฟฟ้า โดยเฉพาะอย่างยิ่งอิเล็กตรอนโดยทั่วไปแล้ว กลุ่มสปินอธิบายเฟอร์มิออนในปริภูมิศูนย์มิติ แต่ในความเป็นจริงปริภูมิไม่ได้เป็นศูนย์มิติ ดังนั้นกลุ่มสปินจึงถูกใช้เพื่อกำหนดโครงสร้างสปิน (ที่ไม่มีอยู่จริง) เป็นเครื่องมือในการคำนวณบนแมนิโฟลด์แบบ (เสมือน) รีมันน์ ( Riemannian manifolds ) กลุ่มสปินคือกลุ่มโครงสร้างของมัดสปินเนอร์ (spinor bundle ) การเชื่อมต่อเชิงเส้นตรงบนมัดสปินเนอร์คือการเชื่อมต่อสปิน (spin connection) การเชื่อมต่อสปินสามารถทำให้การคำนวณใน ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปง่ายขึ้น และในทางกลับกัน การเชื่อมต่อสปินทำให้สามารถเขียนสมการของดิแรก (Dirac equation) ในปริภูมิเวลาโค้ง (หรือใน พิกัด เทตระด ) ได้

การสร้างกลุ่ม Spin มักเริ่มต้นด้วยการสร้างพีชคณิต Cliffordเหนือปริภูมิเวกเตอร์จริงVที่มีรูปแบบกำลังสองที่แน่นอนq ^{[ 3} ] พีชคณิต Clifford คือผลหารของพีชคณิตเทนเซอร์ T VของVโดยอุดมคติสองด้าน พีชคณิตเทนเซอร์ (เหนือจำนวนจริง) อาจเขียนได้^{ดังนี้}

${\displaystyle \mathrm {T} V=\mathbb {R} \oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus \cdots }$

พีชคณิตคลิฟฟอร์ด Cl( V ) จึงเป็นพีชคณิตผลหาร

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\mathrm {T} V/\left(v\otimes vq(v)\right),}$

ที่ไหน${\displaystyle q(v)}$คือรูปแบบกำลังสองที่นำไปใช้กับเวกเตอร์${\displaystyle v\in V}$ปริภูมิที่ได้จะมีมิติจำกัดมีการจัดลำดับ ตามธรรมชาติ (เช่นเดียวกับปริภูมิเวกเตอร์) และสามารถเขียนได้ดังนี้

${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{1}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \cdots \oplus \operatorname {Cl} ^{n}}$

ที่ไหน${\displaystyle n}$คือมิติของ${\displaystyle V}$,${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{0}=\mathbb {R} }$และ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{1}=V}$พีชคณิตสปิน${\displaystyle {\mathfrak {spin}}}$ถูกกำหนดให้เป็นพีชคณิตย่อย แบบไบ เวกเตอร์

${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{2}={\mathfrak {spin}}(V)={\mathfrak {spin}}(n),}$

โดยที่ตัวสุดท้ายเป็นตัวย่อสำหรับVซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติจริงnมันเป็นพีชคณิตลีที่มีตัวสลับคือการคูณ มีการกระทำตามธรรมชาติบนVและสมมาตรกับพีชคณิตลี${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ของกลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ : ถ้าเซต${\displaystyle \{e_{i}\}}$ถ้า เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของปริภูมิเวกเตอร์ (จริง) Vแล้ว ผลหารข้างต้นจะทำให้พีชคณิตคลิฟฟอร์ดมีโครงสร้างแบบสลับที่โดยธรรมชาติ:

${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$สำหรับ${\displaystyle i\neq j,}$

ซึ่งเป็นผลมาจากการพิจารณา${\displaystyle v\otimes v}$สำหรับ${\displaystyle v=e_{i}+e_{j}}$จากนั้นใน${\displaystyle {\mathfrak {spin}}(n)}$เรามีตัวสลับของ Lie${\displaystyle [e_{i}\otimes e_{j},e_{j}\otimes e_{k}]=2e_{i}\otimes e_{k}}$และ${\displaystyle [e_{i}\otimes e_{j},e_{k}\otimes e_{l}]=0}$, ดังนั้น${\displaystyle e_{i}\otimes e_{j}\rightarrow 2e_{i}\otimes e_{j}-2e_{j}\otimes e_{i}}$มอบความเหมือนกันให้กับ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$ทางด้านขวามือ${\displaystyle \otimes }$คือผลคูณภายนอกการคูณด้วย 2 อธิบายว่าทำไมการหมุนสปินเนอร์ 360 องศาจึงได้ผลลัพธ์เป็นลบของสปินเนอร์: ใน${\displaystyle e^{i\phi b}}$การหารค่าพื้นฐานbด้วย 2 จะได้การหมุนครึ่งรอบเท่ากับ 360 องศา

กลุ่มพิน${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$เป็นกลุ่มย่อยของ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$กลุ่มคลิฟฟอร์ดขององค์ประกอบทั้งหมดของรูปแบบ

${\displaystyle v_{1}v_{2}\cdots v_{k},}$

โดยที่แต่ละ${\displaystyle v_{i}\in V}$มีความยาวหนึ่งหน่วย:${\displaystyle q(v_{i})=1.}$

จากนั้นกลุ่มสปินจะถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)=\operatorname {Pin} (V)\cap \operatorname {Cl} ^{\text{even}},}$

ที่ไหน ${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\text{even}}=\operatorname {Cl} ^{0}\oplus \operatorname {Cl} ^{2}\oplus \operatorname {Cl} ^{4}\oplus \cdots }$ คือปริภูมิย่อยที่สร้างขึ้นจากองค์ประกอบที่เป็นผลคูณของเวกเตอร์จำนวนคู่ กล่าวคือ Spin( V ) ประกอบด้วยองค์ประกอบทั้งหมดของ Pin( V ) ที่ระบุไว้ข้างต้น โดยมีข้อจำกัดว่าkต้องเป็นจำนวนคู่ ข้อจำกัดของปริภูมิย่อยที่เป็นจำนวนคู่นี้เป็นกุญแจสำคัญในการสร้างสปินเนอร์สององค์ประกอบ (Weyl) ซึ่งจะสร้างขึ้นด้านล่าง

การสลับตำแหน่งแบบผกผันของพีชคณิตคลิฟฟอร์ดมีความสำคัญในทางฟิสิกส์ เนื่องจากมันสะท้อนถึงหลักการกีดกันของเปาลีสำหรับเฟอร์มิออนการอธิบายอย่างละเอียดนั้นอยู่นอกเหนือขอบเขตของที่กล่าวถึงในที่นี้ แต่เกี่ยวข้องกับการสร้างบันเดิลสปินเนอร์บนปริภูมิเวลามิงโกวสกี ฟิลด์สปินเนอร์ที่ได้นั้นสามารถมองได้ว่ามีการสลับตำแหน่งแบบผกผันเป็นผลพลอยได้จากการสร้างพีชคณิตคลิฟฟอร์ด คุณสมบัติการสลับตำแหน่งแบบผกผันนี้ยังเป็นกุญแจสำคัญในการกำหนดสูตรของซูเปอร์สมมาตร พีชคณิตคลิฟฟอร์ดและกลุ่มสปินมีคุณสมบัติที่น่าสนใจและแปลกประหลาดมากมาย ซึ่งบางส่วนได้ระบุไว้ด้านล่าง

สำหรับปริภูมิกำลังสองVการปกคลุมสองชั้นของ SO( V ) โดย Spin( V ) สามารถระบุได้อย่างชัดเจนดังต่อไปนี้ ให้${\displaystyle \{e_{i}\}}$เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับVนิยามแอนติออโตมอร์ฟิ ซึม${\displaystyle t:\operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$โดย

${\displaystyle \left(e_{i}e_{j}\cdots e_{k}\right)^{t}=e_{k}\cdots e_{j}e_{i}.}$

สิ่งนี้สามารถขยายไปสู่องค์ประกอบทั้งหมดของ${\displaystyle a,b\in \operatorname {Cl} (V)}$โดยความเป็นเส้นตรง มันเป็นแอนติโฮโมมอร์ฟิซึมเนื่องจาก

${\displaystyle (ab)^{t}=b^{t}a^{t}.}$

โปรดสังเกตว่า${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$จากนั้นจึงสามารถกำหนดได้ว่าเป็นองค์ประกอบทั้งหมด${\displaystyle a\in \operatorname {Cl} (V)}$ซึ่ง

${\displaystyle aa^{t}=1.}$

ต่อไปให้กำหนดนิยามของออโตมอร์ฟิซึม${\displaystyle \alpha \colon \operatorname {Cl} (V)\to \operatorname {Cl} (V)}$ซึ่งในองค์ประกอบระดับ 1 จะได้รับจาก

${\displaystyle \alpha (v)=-v,\quad v\in V,}$

และปล่อยให้${\displaystyle a^{*}}$แสดงถึง${\displaystyle \alpha (a)^{t}}$ซึ่งเป็นแอนติออโตมอร์ฟิซึมของ${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)}$ด้วยสัญลักษณ์นี้ การครอบคลุมสองชั้นแบบชัดเจนคือโฮโมมอร์ฟิซึม${\displaystyle \rho$ :\operatorname {Pin} (V)\to \operatorname {O} (V)} ที่กำหนดโดย

${\displaystyle \rho (a)v=ava^{*},}$

ที่ไหน${\displaystyle v\in V}$. เมื่อไร${\displaystyle a}$มีระดับ 1 (เช่น${\displaystyle a\in V}$),${\displaystyle \rho (a)}$คือการสะท้อนผ่านระนาบไฮเปอร์ที่ตั้งฉากกับ${\displaystyle a}$ซึ่งเป็นผลมาจากคุณสมบัติการสลับที่กันไม่ได้ของพีชคณิตคลิฟฟอร์ด

ซึ่งทำให้มีการเคลือบสองชั้นทั้งสองด้าน${\displaystyle \operatorname {O} (V)}$โดย${\displaystyle \operatorname {Pin} (V)}$และของ${\displaystyle \operatorname {SO} (V)}$โดย${\displaystyle \operatorname {Spin} (V)}$เพราะ${\displaystyle a}$ให้การแปลงแบบเดียวกันกับ${\displaystyle -a}$.

เป็นเรื่องคุ้มค่าที่จะทบทวนวิธีการสร้างปริภูมิสปินเนอร์และสปินเนอร์ของเวล์โดยพิจารณาจากรูปแบบดังกล่าว กำหนดให้ปริภูมิเวกเตอร์จริงVที่มีมิติn = 2 m ซึ่งเป็นจำนวนคู่ การทำให้เป็นเชิงซ้อนของมันคือ${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} }$สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมโดยตรงของปริภูมิย่อย${\displaystyle W}$ของสปินเนอร์และปริภูมิย่อย${\displaystyle {\overline {W}}}$ของแอนตี้สปินเนอร์:

${\displaystyle V\otimes \mathbf {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

พื้นที่${\displaystyle W}$เชื่อมโยงโดยสปินเนอร์ ${\displaystyle \eta _{k}=\left(e_{2k-1}-ie_{2k}\right)/{\sqrt {2}}}$ สำหรับ${\displaystyle 1\leq k\leq m}$และสปินเนอร์คู่ควบเชิงซ้อนครอบคลุม${\displaystyle {\overline {W}}}$เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าสปินเนอร์สามารถสลับที่กันได้ และผลคูณของสปินเนอร์และแอนติสปินเนอร์เป็นสเกลาร์

ปริภูมิสปินเนอร์ถูกนิยามว่าเป็นพีชคณิตภายนอก${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$พีชคณิตคลิฟฟอร์ด (ที่ซับซ้อนขึ้น) กระทำตามธรรมชาติบนปริภูมินี้ กลุ่มสปิน (ที่ซับซ้อนขึ้น) สอดคล้องกับเอนโดมอร์ฟิซึม ที่รักษาความยาว มีการจัดลำดับตามธรรมชาติบนพีชคณิตภายนอก: ผลคูณของสำเนาจำนวนคี่ของ${\displaystyle W}$สอดคล้องกับแนวคิดทางฟิสิกส์ของเฟอร์มิออน ส่วนพื้นที่ย่อยคู่สอดคล้องกับโบซอน การแสดงแทนการกระทำของกลุ่มสปินบนพื้นที่สปินเนอร์สามารถสร้างได้ในลักษณะที่ค่อนข้างตรงไปตรงมา^{[ 3 ]}

กลุ่ม Spin ^Cถูกกำหนดโดยลำดับที่แน่นอน

${\displaystyle 1\to \mathrm {Z} _{2}\to \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(n)\to \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1.}$

มันเป็นกลุ่มย่อยแบบทวีคูณของการสร้างความซับซ้อน${\displaystyle \operatorname {Cl} (V)\otimes \mathbf {C} }$ของพีชคณิตคลิฟฟอร์ด และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคือกลุ่มย่อยที่สร้างขึ้นโดย Spin( V ) และวงกลมหน่วยในCหรืออีกนัยหนึ่ง มันคือผลหาร

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbf {C} }(V)=\left(\operatorname {Spin} (V)\times S^{1}\right)/\sim }$

โดยที่ความเท่าเทียมกัน${\displaystyle \sim }$ระบุ( a , u )กับ( −a , −u )​

สิ่งนี้มีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในทฤษฎี 4-manifold และทฤษฎี Seiberg–Wittenในทางฟิสิกส์ กลุ่ม Spin เหมาะสมสำหรับการอธิบายเฟอร์มิออนที่ไม่มีประจุ ในขณะที่กลุ่ม Spin ^Cใช้สำหรับอธิบายเฟอร์มิออนที่มีประจุไฟฟ้า ในกรณีนี้ สมมาตร U(1) เป็นกลุ่มเกจ (กลุ่มโครงสร้าง) ของแม่เหล็กไฟฟ้า โดยเฉพาะ

ในมิติที่ต่ำ มีไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่ม Lie แบบคลาสสิกที่เรียกว่าไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษตัวอย่างเช่น มีไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างกลุ่มสปินมิติที่ต่ำและกลุ่ม Lie แบบคลาสสิกบางกลุ่ม เนื่องมาจากไอโซมอร์ฟิซึมมิติที่ต่ำระหว่างระบบราก (และไอโซมอร์ฟิซึมที่สอดคล้องกันของไดอะแกรม Dynkin ) ของตระกูลต่างๆ ของพีชคณิต Lie แบบง่ายเมื่อเขียนR แทน จำนวนจริงC แทนจำนวนเชิงซ้อน Hแทนควอเทอร์เนียนและความเข้าใจทั่วไปว่า Cl( n ) เป็นตัวย่อของ Cl( Rn ⁾และ Spin( n ) เป็นตัวย่อของ Spin( Rn ⁾และอื่นๆ แล้วจะได้ว่า^{[ 3 ]}

พีชคณิตคลิฟฟอร์ดและกลุ่มสปิน

${\displaystyle \operatorname {\text{Cl}} ^{even}(n)}$	${\displaystyle \operatorname {\text{Pin}} (n)}$	${\displaystyle \operatorname {\text{Spin}} (n)}$	มิติ
${\displaystyle \mathbb {R} }$(ตัวเลขจริง)	{+i, −i, +1, −1}	O(1) = {+1, −1}	0
${\displaystyle \mathbb {C} }$(จำนวนเชิงซ้อน)		U(1) = SO(2)ซึ่งกระทำต่อ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$โดยการหมุนสองเฟส${\displaystyle z\mapsto u^{2}z}$สอดคล้องกับกลุ่มอาเบเลียน${\displaystyle D_{1}}$.	1
${\displaystyle \mathbb {H} }$(ควอเทอร์เนียน )		Sp(1) = SU(2)ซึ่งสอดคล้องกับ${\displaystyle B_{1}\cong C_{1}\cong A_{1}}$.	3
${\displaystyle \mathbb {H} \oplus \mathbb {H} }$		SU(2) × SU(2) ซึ่งสอดคล้องกับ${\displaystyle D_{2}\cong A_{1}\times A_{1}}$.	6
${\displaystyle M(2,\mathbb {H} )}$(เมทริกซ์ขนาด 2x2 ที่มีสัมประสิทธิ์ควอเทอร์เนียน)		Sp(2)ซึ่งสอดคล้องกับ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2}}$.	10
${\displaystyle M(4,\mathbb {C} )}$(เมทริกซ์ขนาดสี่คูณสี่ที่มีสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน)		SU(4)ซึ่งสอดคล้องกับ${\displaystyle D_{3}\cong A_{3}}$.	15

ยังคงมีร่องรอยของไอโซมอร์ฟิซึมเหล่านี้หลงเหลืออยู่บ้างสำหรับn = 7, 8 (ดูSpin(8)สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม) สำหรับn ที่สูงกว่า ไอโซมอร์ฟิซึมเหล่านี้จะหายไปโดยสิ้นเชิง

ในลายเซ็นที่ไม่ระบุแน่ชัดกลุ่มสปิน${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$สร้างขึ้นโดยใช้พีชคณิตคลิฟฟอร์ดในลักษณะเดียวกับกลุ่มสปินมาตรฐาน เป็นการปกคลุมสองชั้นของ${\displaystyle {\text{SO}}_{0}(p,q)}$ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของเอกลักษณ์ของกลุ่มออร์โธโกนอลไม่จำกัด${\displaystyle {\text{SO}}(p,q)}$. สำหรับ${\displaystyle p+q>2}$,${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$เชื่อมต่อแล้ว; สำหรับ${\displaystyle (p,q)=(1,1)}$มีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันสองส่วน^{[ 4 ] : 193}

เช่นเดียวกับในลายเซ็นที่แน่นอน มีไอโซมอร์ฟิซึมโดยบังเอิญบางอย่างในมิติที่ต่ำกว่า:

ไอโซมอร์ฟิซึมโดยบังเอิญ

${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)}$	1	2	3
1	${\displaystyle {\text{GL}}(1,\mathbb {R} )}$
2	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )\times {\text{SL}}(2,\mathbb {R} )}$
3	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$	${\displaystyle {\text{Sp}}(4,\mathbb {R} )}$	${\displaystyle {\text{SL}}(4,\mathbb {R} )}$
4	${\displaystyle {\text{Sp}}(1,1)}$	${\displaystyle {\text{SU}}(2,2)}$
5	${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {H} )}$
6		${\displaystyle {\text{SU}}(2,2,\mathbb {H} )}$

โปรดทราบว่า${\displaystyle {\text{Spin}}(p,q)={\text{Spin}}(q,p)}$.

กลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันและ กลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายนั้นถูกจำแนกประเภทโดยพีชคณิต Lie ของมัน ดังนั้น ถ้าGเป็นกลุ่ม Lie ที่เชื่อมต่อกันซึ่งมีพีชคณิต Lie อย่างง่าย โดยที่G ′ เป็นการปกคลุมสากลของGก็จะมีการรวมอยู่ด้วย

${\displaystyle \pi _{1}(G)\subset \operatorname {Z} (G'),}$

โดยที่ Z( G ′) เป็นศูนย์กลางของG ′ การรวมนี้และพีชคณิตลี${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ของGกำหนดGอย่างสมบูรณ์ (โปรดทราบว่าไม่ใช่กรณีที่ว่า${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$และ π ( G ) กำหนดGอย่างสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น SL(2, R ) และ PSL(2, R ) มีพีชคณิต Lie เดียวกันและกลุ่มพื้นฐานZ เดียวกัน แต่ไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกกัน)

ลายเซ็นที่แน่นอน Spin( n ) ทั้งหมดเชื่อมต่อกันอย่างง่ายสำหรับn  >  2 ดังนั้นจึงเป็นการครอบคลุมสากลของ SO( n )

ในลายเซ็นที่ไม่แน่นอน Spin( p , q ) ไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อกัน และโดยทั่วไปแล้วส่วนประกอบเอกลักษณ์ Spin ( p , q ) ไม่ใช่กลุ่มที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ดังนั้นจึงไม่ใช่กลุ่มคลุมสากล กลุ่มพื้นฐานนั้นเข้าใจได้ง่ายที่สุดโดยการพิจารณากลุ่มย่อยกระชับสูงสุดของ SO( p , q ) ซึ่งก็คือ SO( p )  ×  SO( q ) และสังเกตว่าแทนที่จะเป็นผลคูณของกลุ่มคลุม 2 เท่า (ดังนั้นจึงเป็นกลุ่มคลุม 4 เท่า) Spin( p , q ) คือกลุ่มคลุม 2 เท่าแบบ "แนวทแยง" – มันเป็นผลหาร 2 เท่าของกลุ่มคลุม 4 เท่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กลุ่มย่อยที่เชื่อมต่อกันและกระชับสูงสุดของ Spin( p , q ) คือ

Spin( p ) × Spin( q )/{(1, 1), (−1, −1)}.

วิธีนี้ช่วยให้เราสามารถคำนวณกลุ่มพื้นฐานของ SO( p , q ) โดยกำหนดให้p ≥ q ได้ :

${\displaystyle \pi _{1}({\mbox{SO}}(p,q))={\begin{cases}0&(p,q)=(1,1){\mbox{ or }}(1,0)\\\mathbb {Z} _{2}&p>2,q=0,1\\\mathbb {Z} &(p,q)=(2,0){\mbox{ or }}(2,1)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &(p,q)=(2,2)\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} _{2}&p>2,q=2\\\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}&p,q>2\\\end{cases}}}$

ดังนั้น เมื่อp , q > 2กลุ่มพื้นฐานคือ Z เนื่องจากเป็นผลหารสองเท่าของผลคูณของตัวคลุมสากลสองตัว

แผนที่บนกลุ่มพื้นฐานมีดังต่อไปนี้ สำหรับp , q > 2หมายความว่าแผนที่π (Spin( p , q )) → π (SO( p , q ))กำหนดโดย1 ∈ Z ไปยัง(1, 1) ∈ Z × Z สำหรับp = 2, q > 2แผนที่นี้กำหนดโดย1 ∈ Z → (1,1) ∈ Z × Z และสุดท้าย สำหรับp = q = 2 (1 , 0) ∈ Z × Zจะถูกส่งไปยัง(1,1) ∈ Z × Zและ(0, 1)จะถูกส่งไปยัง(1, −1 )

ศูนย์กลางของกลุ่มสปิน สำหรับn ≥ 3 (เชิงซ้อนและจริง) จะแสดงดังต่อไปนี้: ^{[ 4 ] : 208}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (n,\mathbf {C} ))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&n=2k+1\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k\\\end{cases}}\\\operatorname {Z} (\operatorname {Spin} (p,q))&={\begin{cases}\mathrm {Z} _{2}&p{\text{ or }}q{\text{ odd}}\\\mathrm {Z} _{4}&n=4k+2,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\mathrm {Z} _{2}\oplus \mathrm {Z} _{2}&n=4k,{\text{ and }}p,q{\text{ even}}\\\end{cases}}\end{aligned}}}$

กลุ่มผลหารสามารถได้มาจากการหารกลุ่มสปินโดยใช้กลุ่มย่อยของศูนย์กลาง โดยที่กลุ่มสปินจะเป็นกลุ่มปกคลุมของกลุ่มผลหารที่ได้ และทั้งสองกลุ่มจะมีพีชคณิตลีเดียวกัน

การหารด้วยศูนย์กลางทั้งหมดจะให้กลุ่มที่เล็กที่สุดดังกล่าว ซึ่งก็คือกลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษแบบโปรเจคทีฟซึ่งไม่มีศูนย์กลางในขณะที่การหารด้วย {±1} จะให้กลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษ – ถ้าศูนย์กลางเท่ากับ {±1} (กล่าวคือในมิติคี่) กลุ่มผลหารทั้งสองนี้จะตรงกัน ถ้ากลุ่มสปินเชื่อมต่อกันอย่างง่าย (เช่นเดียวกับ Spin( n ) สำหรับn > 2 ) แล้ว Spin จะเป็น กลุ่ม สูงสุดในลำดับ และจะมีลำดับของกลุ่มสามกลุ่ม

Spin( n )  →  SO( n )  →  PSO( n ),

การแยกโดยใช้หลักความเท่าเทียมกันจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

Spin(2 n )  →  SO(2 n )  →  PSO(2 n ),

Spin(2 n +1)  →  SO(2 n +1)  =  PSO(2 n +1),

ซึ่งเป็น รูปแบบจริงกระชับสาม รูปแบบ (หรือสองรูปแบบ ถ้าSO = PSO ) ของพีชคณิตลีกระชับ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} ).}$

กลุ่มโฮโมโทปีของส่วนปกคลุมและส่วนหารมีความสัมพันธ์กันโดยลำดับที่แน่นอนยาวของไฟเบอร์เรชันโดยมีไฟเบอร์แบบไม่ต่อเนื่อง (โดยไฟเบอร์คือเคอร์เนล) – ดังนั้นกลุ่มโฮโมโทปีทั้งหมดสำหรับk > 1จึงเท่ากัน แต่ π และ π อาจแตกต่างกันได้

สำหรับn > 2นั้น Spin( n ) เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ( π = π = Z เป็นแบบไม่สำคัญ) ดังนั้น SO( n ) จึงเชื่อมต่อกันและมีกลุ่มพื้นฐาน Z ในขณะที่ PSO( n ) เชื่อมต่อกันและมีกลุ่มพื้นฐานเท่ากับศูนย์กลางของ Spin( n )

ในลายเซ็นที่ไม่แน่นอน กลุ่มปกคลุมและกลุ่มโฮโมโทปีมีความซับซ้อนมากขึ้น – Spin( p , q ) ไม่ใช่กลุ่มที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย และการหารยังส่งผลต่อส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันด้วย การวิเคราะห์จะง่ายขึ้นหากพิจารณาSO( p ) × SO( q ) ⊂ SO( p , q ) ขนาดกะทัดรัดสูงสุด (ที่เชื่อมต่อกัน) และกลุ่มส่วนประกอบของSpin ( p , q )

กลุ่มสปินปรากฏในหอคอยไวท์เฮดซึ่งยึดไว้ด้วยกลุ่มตั้งฉาก :

${\displaystyle \ldots \rightarrow {\text{Fivebrane}}(n)\rightarrow {\text{String}}(n)\rightarrow {\text{Spin}}(n)\rightarrow {\text{SO}}(n)\rightarrow {\text{O}}(n)}$

หอคอยนี้ได้มาจากการกำจัด (ฆ่า) กลุ่มโฮโมโทปีที่มีลำดับเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ โดยการสร้างลำดับที่แน่นอนสั้นๆโดยเริ่มต้นจากปริภูมิ Eilenberg–MacLaneสำหรับกลุ่มโฮโมโทปีที่จะถูกกำจัด เมื่อฆ่า กลุ่มโฮโมโทปี π ใน Spin( n ) จะได้ กลุ่มสตริงมิติอนันต์String( n )

กลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของกลุ่มสปินสามารถทำความเข้าใจได้โดยการเชื่อมโยงกลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของกลุ่มเชิงตั้งฉากพิเศษ ( กลุ่มจุด หมุน )

จากทฤษฎีบทแลตทิซ พบว่า มีการปกคลุมสองชั้นSpin( n ) → SO( n ) ซึ่งเชื่อมโยงกันแบบกาโลอิสระหว่างกลุ่มย่อยของ Spin( n ) และกลุ่มย่อยของ SO( n ) (กลุ่มจุดหมุน): ภาพของกลุ่มย่อยของ Spin( n ) เป็นกลุ่มจุดหมุน และภาพผกผันของกลุ่มจุดเป็นกลุ่มย่อยของ Spin( n ) และตัวดำเนินการปิดบนกลุ่มย่อยของ Spin( n ) คือการคูณด้วย {±1} สิ่งเหล่านี้อาจเรียกว่า "กลุ่มจุดไบนารี" ซึ่งที่คุ้นเคยมากที่สุดคือกรณี 3 มิติ เรียกว่ากลุ่มทรงหลายเหลี่ยมไบนารี

กล่าวโดยละเอียด กลุ่มจุดไบนารีทุกกลุ่มจะเป็นอย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้ คือ ภาพผกผันของกลุ่มจุด (จึงใช้สัญลักษณ์ 2 Gสำหรับกลุ่มจุดG ) หรือเป็นกลุ่มย่อยดัชนี 2 ของภาพผกผันของกลุ่มจุดซึ่งแมป (แบบไอโซมอร์ฟิก) ไปยังกลุ่มจุดนั้น ในกรณีหลัง กลุ่มไบนารีทั้งหมดจะเป็นแบบนามธรรม${\displaystyle \mathrm {C} _{2}\times G}$(เนื่องจาก {±1} เป็นศูนย์กลาง) ตัวอย่างเช่น ในกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับคี่${\displaystyle \mathrm {Z} _{2k+1}}$ใน SO( n ) ภาพผกผันของมันคือกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับเป็นสองเท่า${\displaystyle \mathrm {C} _{4k+2}\cong \mathrm {Z} _{2k+1}\times \mathrm {Z} _{2},}$และกลุ่มย่อยZ < Spin( n ) แม ปแบบไอโซมอร์ฟิกไปยังZ < SO( n )

ซีรีส์สองเรื่องที่น่าสนใจเป็นพิเศษ ได้แก่:

• กลุ่มเตตระเฮดรัลไบนารีระดับสูงซึ่งสอดคล้องกับการปกคลุมสองเท่าของสมมาตรของn-ซิมเพล็กซ์ กลุ่มนี้ยังสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นการปกคลุมสองเท่าของกลุ่มสมมาตร 2⋅A → A โดยที่กลุ่มสลับกันคือกลุ่มสมมาตร (การหมุน) ของn-ซิมเพล็กซ์
• กลุ่มอ็อกตาเฮดรัลไบนารีระดับสูงซึ่งสอดคล้องกับการปกคลุม 2 เท่าของกลุ่มไฮเปอร์อ็อกตาเฮดรัล (สมมาตรของไฮเปอร์คิวบ์หรือเทียบเท่ากับคู่ของมัน คือครอสโพลีโทป )

สำหรับกลุ่มจุดที่มีการกลับทิศทาง สถานการณ์จะซับซ้อนกว่า เนื่องจากมีกลุ่มหมุด สองกลุ่ม ดังนั้นจึงมีกลุ่มไบนารีที่เป็นไปได้สองกลุ่มที่สอดคล้องกับกลุ่มจุดที่กำหนด

• มิติที่สำคัญของกลุ่มสปินคือOEIS: A280191
• ดัชนีแรงบิดของ Grothendieck คือOEIS: A096336

• Karoubi, Max (2008). ทฤษฎี K. Springer. หน้า210–214 . ISBN  978-3-540-79889-7.