ในทางคณิตศาสตร์บันเดิลวงกลมคือ บันเดิ ล ไฟเบอร์โดยที่ไฟเบอร์คือวงกลม${\displaystyle S^{1}}$

บันเดิลวงกลมแบบมีทิศทางยังเป็นที่รู้จักในชื่อ บันเดิล Uหลัก(1)หรือเทียบเท่ากับ บันเดิล SO หลัก (2) ในทางฟิสิกส์บันเดิลวงกลมเป็นการตั้งค่าทางเรขาคณิตตามธรรมชาติสำหรับแม่เหล็กไฟฟ้าบันเดิลวงกลมเป็นกรณีพิเศษของ บันเดิ ล ทรงกลม

กลุ่มวงกลมบนพื้นผิวเป็นตัวอย่างสำคัญของ3-แมนิโฟลด์กลุ่ม 3-แมนิโฟลด์ที่ทั่วไปกว่าคือปริภูมิไฟเบอร์ของไซเฟิร์ตซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นกลุ่มวงกลม "เอกฐาน" ชนิดหนึ่ง หรือเป็นกลุ่มวงกลมบนออร์บิโฟลด์สอง มิติ

สมการของ แม็กซ์เวลล์ สอดคล้องกับสนามแม่เหล็กไฟฟ้าที่แสดงโดยฟอร์ม 2 มิติFโดยที่เป็นโคโฮโมล็อ กัส กับศูนย์ กล่าวคือแม่นยำโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะมีฟอร์ม 1 มิติA เสมอ ซึ่งเป็นศักย์สี่มิติของแม่เหล็กไฟฟ้า (หรือเทียบเท่ากับการเชื่อมต่อเชิงเส้น ) เช่นนั้น ${\displaystyle \pi ^{\!*}F}$

${\displaystyle \pi ^{*}F=dA.}$

กำหนดให้กลุ่มวงกลมPเหนือMและการฉายภาพของกลุ่มวงกลมนั้น

${\displaystyle \pi :P\to M}$

หนึ่งมีโฮโมมอร์ฟิซึม

${\displaystyle \pi ^{*}:H^{2}(M,\mathbb {Z} )\to H^{2}(P,\mathbb {Z} )}$

การดึงกลับ (pullback ) อยู่ที่ไหนแต่ละโฮโมมอร์ฟิซึมสอดคล้องกับโมโนโพลของดิแรก (Dirac monopole ) กลุ่มโคโฮโมโลยีจำนวนเต็มสอดคล้องกับการควอนตัมของประจุไฟฟ้า ปรากฏการณ์อาฮาโรนอฟ-โบห์ม ( Aharonov –Bohm effect ) สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นโฮโลโนมีของการเชื่อมต่อบนมัดเส้นที่เกี่ยวข้องซึ่งอธิบายฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอน โดยพื้นฐานแล้ว ปรากฏการณ์อาฮาโรนอฟ-โบห์มไม่ใช่ปรากฏการณ์ทางกลศาสตร์ควอนตัม (ตรงกันข้ามกับความเชื่อที่แพร่หลาย) เนื่องจากไม่มีการควอนตัมเกี่ยวข้องหรือจำเป็นในการสร้างมัดเส้นใยหรือการเชื่อมต่อ ${\displaystyle \pi ^{*}}$

• การจัดเรียงแบบ Hopf fibrationเป็นตัวอย่างหนึ่งของบันเดิลวงกลมที่ไม่ธรรมดา
• มัดสัมผัสหน่วยของพื้นผิวเป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของมัดวงกลม
• บันเดิลสัมผัสหน่วยของพื้นผิวที่ไม่สามารถกำหนดทิศทางได้คือบันเดิลวงกลมซึ่งไม่ใช่บันเดิลหลัก มีเพียงพื้นผิวที่สามารถกำหนดทิศทางได้เท่านั้นที่มีบันเดิลสัมผัสหน่วยหลัก${\displaystyle U(1)}$
• อีกวิธีหนึ่งในการสร้างบันเดิลวงกลมคือการใช้บันเดิลเส้นเชิงซ้อนและนำบันเดิลทรงกลมที่เกี่ยวข้อง (ในกรณีนี้คือวงกลม) มาใช้ เนื่องจากบันเดิลนี้มีการวางแนวที่เหนี่ยวนำมาจาก เราจึงได้ว่ามันเป็น บันเดิลหลัก^{[ 1 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ชั้นลักษณะเฉพาะจากทฤษฎี Chern-Weil ของบันเดิล สอดคล้องกับชั้นลักษณะเฉพาะของ${\displaystyle L\to X}$${\displaystyle L}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle L}$
• ตัวอย่างเช่น พิจารณาการวิเคราะห์เส้นโค้งระนาบเชิงซ้อนเนื่องจากและชั้นลักษณะเฉพาะดึงกลับอย่างไม่ธรรมดา เราจึงได้ว่าบันเดิลเส้นตรงที่เกี่ยวข้องกับชีฟมีชั้นเชิร์น${\displaystyle X}$${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{x^{n}+y^{n}+z^{n}}}\right)}$${\displaystyle H^{2}(X)=\mathbb {Z} =H^{2}(\mathbb {CP} ^{2})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(a)={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(a)\otimes {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle c_{1}=a\in H^{2}(X)}$

ชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของบันเดิลหลักเหนือแมนิโฟลด์Mอยู่ในความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับชั้นโฮโมโทปีของแผนที่โดยที่เรียกว่าปริภูมิจำแนกสำหรับ U(1)โปรดทราบว่า เป็น ปริภูมิเชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟมิติอนันต์และเป็นตัวอย่างของปริภูมิ Eilenberg–Maclane บันเดิลดังกล่าวถูกจำแนกโดยองค์ประกอบของกลุ่มโคฮอโมโลยีเชิงปริพันธ์ ที่สอง ของMเนื่องจาก ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle M\to BU(1)}$${\displaystyle BU(1)}$${\displaystyle BU(1)=\mathbb {C} P^{\infty }}$${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2).}$${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$

${\displaystyle [M,BU(1)]\equiv [M,\mathbb {C} P^{\infty }]\equiv H^{2}(M)}$.

ไอโซมอร์ฟิซึมนี้เกิดขึ้นได้จากคลาสออยเลอร์หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มันคือคลาสเชิร์น แรก ของบันเดิลเส้น เชิงซ้อนเรียบ (โดยพื้นฐานแล้วเป็นเพราะวงกลมมีความสมมูลเชิงโฮโมโทปีกับระนาบเชิงซ้อนที่ตัดจุดกำเนิดออกไป และดังนั้นบันเดิลเส้นเชิงซ้อนที่ตัดส่วนศูนย์ออกไปจึงมีความสมมูลเชิงโฮโมโทปีกับบันเดิลวงกลม) ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

บันเดิลวงกลมจะเป็นบันเดิลหลักก็ต่อเมื่อแผนที่ที่เกี่ยวข้องเป็นโฮโมโทปิกศูนย์ ซึ่งจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อบันเดิลนั้นสามารถกำหนดทิศทางได้ในระดับไฟเบอร์ ดังนั้น สำหรับกรณีทั่วไปที่บันเดิลวงกลมเหนือMอาจไม่สามารถกำหนดทิศทางได้ ชั้นไอโซมอร์ฟิซึมจะสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับชั้นโฮโมโทปีของแผนที่ซึ่งเป็นผลมาจากการขยายกลุ่มโดยที่ ${\displaystyle U(1)}$${\displaystyle M\to B\mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle M\to BO_{2}}$${\displaystyle SO_{2}\to O_{2}\to \mathbb {Z} _{2}}$${\displaystyle SO_{2}\equiv U(1)}$

การจำแนกประเภทข้างต้นใช้ได้เฉพาะกับบันเดิลวงกลมโดยทั่วไปเท่านั้น การจำแนกประเภทที่สอดคล้องกันสำหรับบันเดิลวงกลมเรียบ หรือบันเดิลวงกลมที่มีการเชื่อมต่อแบบแอฟฟินจำเป็นต้องใช้ทฤษฎีโคฮอโมโลยีที่ซับซ้อนกว่า ผลลัพธ์ที่ได้คือ บันเดิลวงกลมเรียบถูกจำแนกโดยโคฮอโมโลยี Deligne อันดับสอง บันเดิลวงกลมที่มีการเชื่อมต่อแบบแอฟฟินถูกจำแนกโดยในขณะที่จำแนก บันเดิลเส้นgerbes${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} )}$${\displaystyle H_{D}^{2}(M,\mathbb {Z} (2))}$${\displaystyle H_{D}^{3}(M,\mathbb {Z} )}$

• ลำดับหวัง