ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์การเชื่อมต่อแบบ เอเรสแมนน์ (ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสชาร์ลส์ เอเรสแมนน์ผู้ซึ่งเป็นคนแรกที่วางกรอบแนวคิดนี้) คือรูปแบบหนึ่งของแนวคิดเรื่องการเชื่อม ต่อ ซึ่งมีความหมายบนไฟเบอร์บันเดิล เรียบใดๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันไม่ขึ้นอยู่กับโครงสร้างเวกเตอร์บันเดิลที่เป็นไปได้ของไฟเบอร์บันเดิลพื้นฐาน แต่ถึงกระนั้นการเชื่อมต่อเชิงเส้นก็อาจถูกมองว่าเป็นกรณีพิเศษได้ อีกกรณีพิเศษที่สำคัญของการเชื่อมต่อแบบเอเรสแมนน์คือการเชื่อมต่อหลักบนบันเดิลหลักซึ่งจำเป็นต้องมีความสมมาตรในการกระทำ ของกลุ่มลี หลัก

อนุพันธ์โคแวเรียนต์ในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์คือตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์เชิงเส้นซึ่งหาอนุพันธ์ตามทิศทางของส่วนตัดของมัดเวกเตอร์ใน ลักษณะ โคแว เรียนต์ นอกจากนี้ยังช่วยให้สามารถกำหนดแนวคิดของ ส่วน ตัดขนานของมัดในทิศทางของเวกเตอร์ได้ กล่าวคือ ส่วนตัดsจะขนานไปตามเวกเตอร์ถ้าดังนั้นอนุพันธ์โคแวเรียนต์จึงให้ประโยชน์อย่างน้อยสองอย่าง คือ ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์และแนวคิดเกี่ยวกับความหมายของการขนานในแต่ละทิศทางการเชื่อมต่อของเอเรสแมนน์ตัดตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ออกไปโดยสิ้นเชิงและกำหนดการเชื่อมต่อตามสัจพจน์ในแง่ของส่วนตัดที่ขนานในแต่ละทิศทาง ( เอเรสแมนน์ 1950 ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเชื่อมต่อของเอเรสแมนน์จะแยกส่วนย่อยของเวกเตอร์ในแต่ละปริภูมิสัมผัสไปยังปริภูมิทั้งหมดของมัดไฟเบอร์ ซึ่งเรียกว่าปริภูมิแนวนอนส่วนตัดจะเป็นแนวนอน (เช่น ขนาน) ในทิศทางถ้าอยู่ในปริภูมิแนวนอน ในที่นี้เราถือว่าเป็นฟังก์ชันจากฐานไปยังมัดไฟเบอร์ดังนั้น จึงเป็นการผลักไปข้างหน้าของเวกเตอร์สัมผัส ช่องว่างแนวนอนเหล่านี้รวมกันเป็นซับบันเดิลเวกเตอร์ของ ${\displaystyle X}$${\displaystyle \nabla _{X}s=0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\rm {d}}s(X)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s\colon M\to E}$${\displaystyle M}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\rm {d}}s\colon TM\to TE}$${\displaystyle TE}$

ข้อดีโดยตรงของวิธีนี้คือสามารถกำหนดได้บนโครงสร้างที่หลากหลายกว่าแค่กลุ่มเวกเตอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันสามารถกำหนดได้อย่างดีบนกลุ่มไฟเบอร์ ทั่วไป ยิ่งไปกว่านั้น คุณสมบัติหลายอย่างของอนุพันธ์ร่วมแปรยังคงอยู่ เช่น การขนส่งแบบขนานความโค้งและโฮโลโนมี

ส่วนประกอบที่ขาดหายไปของการเชื่อมต่อ นอกเหนือจากความเป็นเชิงเส้นแล้ว ก็คือความแปรปร่วม (covariance ) ในกรณีของอนุพันธ์แบบแปรปร่วมคลาสสิก ความแปรปร่วมเป็น คุณสมบัติ ที่เกิดขึ้นภายหลังของอนุพันธ์ ในการสร้างอนุพันธ์นั้น เราจะระบุถึงกฎการแปลงของสัญลักษณ์ Christoffel  ซึ่งไม่ใช่แบบแปรปร่วม จากนั้นความแปรปร่วมทั่วไปของอนุพันธ์ก็จะตามมาเป็นผลลัพธ์ สำหรับการเชื่อมต่อ Ehresmann นั้น เป็นไปได้ที่จะกำหนดหลักการความแปรปร่วมแบบทั่วไปตั้งแต่เริ่มต้นโดยการแนะนำกลุ่ม Lieที่กระทำต่อเส้นใยของกลุ่มเส้นใย เงื่อนไขที่เหมาะสมคือการกำหนดให้พื้นที่แนวนอนนั้น ในแง่หนึ่งมีความแปรผันเท่ากับการกระทำของกลุ่ม

ลักษณะเด่นของการเชื่อมต่อแบบ Ehresmann คือสามารถแสดงได้ในรูปของฟอร์มเชิงอนุพันธ์ในลักษณะเดียวกับกรณีของฟอร์มการเชื่อมต่อถ้ากลุ่มกระทำต่อไฟเบอร์และการเชื่อมต่อเป็นแบบสมมาตร ฟอร์มนั้นก็จะสมมาตรด้วย ยิ่งไปกว่านั้น ฟอร์มการเชื่อมต่อยังช่วยให้สามารถกำหนดความโค้งใน รูปของ ฟอร์มความโค้งได้อีกด้วย

ให้เป็น มัดไฟเบอร์เรียบ^{[ 1 ]}ให้${\displaystyle \pi \colon E\to M}$

${\displaystyle V=\ker(\operatorname {d} \pi \colon TE\to TM)}$

ให้เป็นกลุ่มเวกเตอร์แนวตั้งที่ประกอบด้วยเวกเตอร์ "สัมผัสกับเส้นใย" ของEกล่าวคือ เส้นใยของVที่คือกลุ่มย่อยของกลุ่มนี้ถูกกำหนดขึ้นตามหลักการ แม้ว่าจะไม่มีปริภูมิย่อยตามหลักการที่สัมผัสกับปริภูมิฐานMก็ตาม (แน่นอน ความไม่สมมาตรนี้มาจากนิยามของกลุ่มเส้นใยเอง ซึ่ง "มีเพียงการฉายภาพเดียว" ในขณะที่ผลคูณจะมีสองการฉายภาพ) ${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle V_{e}=T_{e}(E_{\pi (e)})}$${\displaystyle TE}$${\displaystyle \pi \colon E\to M}$${\displaystyle E=M\times F}$

การเชื่อมต่อ Ehresmannบนเป็นซับบันเดิลเรียบของเรียกว่าบันเดิลแนวนอนของการเชื่อมต่อ ซึ่งเป็นส่วนเติมเต็มของVในแง่ที่ว่ามันกำหนดการแยก ส่วนผล รวมโดยตรง^{[ 2 ]}ในรายละเอียดเพิ่มเติม บันเดิลแนวนอนมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ ${\displaystyle E}$${\displaystyle H}$${\displaystyle TE}$${\displaystyle TE=H\oplus V}$

• สำหรับแต่ละจุดจะเป็นปริภูมิย่อยเวกเตอร์ของปริภูมิสัมผัส ที่จุดซึ่งเรียกว่าปริภูมิย่อยแนวนอนของการเชื่อมต่อที่จุด${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle H_{e}}$${\displaystyle T_{e}E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle e}$${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle H_{e}}$ขึ้นอยู่กับอย่างราบรื่น${\displaystyle e}$
• สำหรับแต่ละ, .${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle H_{e}\cap V_{e}=\{0\}}$
• เวกเตอร์สัมผัสใดๆ ใน(สำหรับ) คือผลรวมของส่วนประกอบแนวนอนและแนวตั้งดังนั้น${\displaystyle T_{e}E}$${\displaystyle e\in E}$${\displaystyle T_{e}E=H_{e}+V_{e}}$

กล่าวโดยละเอียดกว่านั้น การกำหนดพื้นที่แนวนอนที่ตรงตามคุณสมบัติเหล่านี้จะสอดคล้องกับส่วนเรียบของกลุ่มลำแสงเจ็ต อย่าง แม่นยำ${\displaystyle J^{1}E\ลูกศรขวา E}$

ในทำนองเดียวกัน ให้Φเป็นการฉายภาพลงบนบันเดิลแนวตั้งVตามแนวH (ดังนั้นH = ker Φ ) ซึ่งกำหนดโดย การแยก ส่วนผลรวมโดยตรงของTEออกเป็นส่วนแนวนอนและแนวตั้งข้างต้น และบางครั้งเรียกว่ารูปแบบการเชื่อมต่อของการเชื่อมต่อ Ehresmann ดังนั้นΦจึงเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของบันเดิลเวกเตอร์จากTEไปยังตัวมันเองที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ (ของโปรเจกชันโดยทั่วไป):

• Φ ² = Φ ;
• Φคือเอกลักษณ์บนV =Im Φ

ในทางกลับกัน ถ้าΦเป็นเอนโดมอร์ฟิซึม ของเวกเตอร์บันเดิล ของTEที่มีคุณสมบัติทั้งสองนี้แล้วH = ker Φจะเป็นซับบันเดิลแนวนอนของการเชื่อมต่อ Ehresmann

สุดท้ายนี้ โปรดสังเกตว่าΦซึ่งเป็นการแมปเชิงเส้นของปริภูมิสัมผัสแต่ละปริภูมิไปยังตัวมันเอง อาจถือได้ว่าเป็น1-ฟอร์มที่มีค่าเป็นTE บน Eด้วยเช่นกัน มุมมองนี้จะมีประโยชน์ในส่วนต่อๆ ไป

การเชื่อมต่อ Ehresmann ยังกำหนดวิธีการยกเส้นโค้งจากแมนิโฟลด์ฐานMเข้าสู่ปริภูมิทั้งหมดของกลุ่มไฟเบอร์Eเพื่อให้เส้นสัมผัสของเส้นโค้งเป็นแนวนอน^{[ 2 ] [ 3 ]}การยกในแนวนอนเหล่านี้เป็นอนาล็อกโดยตรงของการขนส่งแบบขนานสำหรับรูปแบบการเชื่อมต่อเวอร์ชันอื่นๆ

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สมมติว่าγ ( t ) เป็นเส้นโค้งเรียบในMที่ผ่านจุดx  =  γ (0) ให้e  ∈  E _xเป็นจุดในไฟเบอร์เหนือxการยก γ ผ่านeคือเส้นโค้งในปริภูมิทั้งหมดEเช่นนั้น ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}$

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=e}$, และ${\displaystyle \pi ({\tilde {\gamma }}(t))=\gamma (t).}$

ลิฟต์จะอยู่ในแนวนอนก็ต่อเมื่อเส้นสัมผัสทุกเส้นของเส้นโค้งนั้นอยู่ในกลุ่มย่อยแนวนอนของTEด้วย

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(t)\in H_{{\tilde {\gamma }}(t)}.}$

สามารถแสดงได้โดยใช้ทฤษฎีบทอันดับ-มิติว่างที่ประยุกต์ใช้กับπและΦว่าเวกเตอร์X ∈ T _x M แต่ละตัว มีการยกในแนวนอนที่ไม่ซ้ำกันไปยังเวกเตอร์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟิลด์สัมผัสของγสร้างฟิลด์เวกเตอร์แนวนอนในปริภูมิทั้งหมดของบันเดิลพูลแบ็กγ * Eโดยทฤษฎีบท Picard–Lindelöfฟิลด์เวกเตอร์นี้สามารถหาปริพันธ์ได้ดังนั้น สำหรับเส้นโค้งγ ใดๆ และจุดeบนx  =  γ (0) จะมีการยกในแนวนอนที่ไม่ซ้ำกันของγผ่านeสำหรับเวลาt เล็ก ๆ ${\displaystyle {\tilde {X}}\in T_{e}E}$

โปรดทราบว่า สำหรับการเชื่อมต่อ Ehresmann ทั่วไป การยกในแนวนอนจะขึ้นอยู่กับเส้นทาง เมื่อเส้นโค้งเรียบสองเส้นในMซึ่งทับกันที่γ ₁ (0) =  γ ₂ (0) =  x ₀และตัดกันที่จุดอื่นx ₁  ∈  MถูกยกในแนวนอนไปยังE ผ่าน e  ∈  π ⁻¹ ( x ₀ ) เดียวกันโดยทั่วไปแล้วเส้นโค้งทั้งสองจะผ่านจุดที่แตกต่างกันของπ ⁻¹ ( x ₁ ) สิ่งนี้มีผลกระทบสำคัญต่อเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ของไฟเบอร์บันเดิล: ปริภูมิของส่วนตัดของHไม่ใช่พีชคณิตย่อยของ Lieของปริภูมิของสนามเวกเตอร์บนEเพราะโดยทั่วไปแล้วมันไม่ปิดภายใต้วงเล็บ Lie ของสนามเวกเตอร์ความล้มเหลวในการปิดภายใต้วงเล็บ Lie นี้วัดได้จากความ โค้ง

ให้Φเป็นการเชื่อมต่อ Ehresmann จากนั้นความโค้งของΦจะกำหนดโดย^{[ 4 ​​]}

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}[\varPhi ,\varPhi ]}$

โดยที่ [-,-] หมายถึงวงเล็บ Frölicher-NijenhuisของΦ ∈ Ω ¹ ( E , TE ) กับตัวมันเอง ดังนั้นR ∈ Ω ² ( E , TE ) คือสองฟอร์มบนEที่มีค่าในTEที่กำหนดโดย

${\displaystyle R(X,Y)=\varPhi \left([(\mathrm {id} -\varPhi )X,(\mathrm {id} -\varPhi )Y]\right)}$,

หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ

${\displaystyle R\left(X,Y\right)=\left[X_{H},Y_{H}\right]_{V}}$,

โดยที่X = X _H + X _Vหมายถึงการแยกส่วนผลรวมโดยตรงเป็น ส่วนประกอบ HและVตามลำดับ จากนิพจน์สุดท้ายสำหรับความโค้งนี้ จะเห็นได้ว่าความโค้งจะหายไปโดยสมบูรณ์ก็ต่อเมื่อกลุ่มย่อยแนวนอนสามารถหาปริพันธ์แบบ Frobenius ได้ เท่านั้น ดังนั้น ความโค้งจึงเป็นเงื่อนไขความสามารถในการหาปริพันธ์ สำหรับกลุ่มย่อยแนวนอนเพื่อให้ได้ ภาค ตัดขวางของกลุ่มเส้นใยE → M

ความโค้งของการเชื่อมต่อแบบ Ehresmann ยังสอดคล้องกับเอกลักษณ์แบบBianchi อีกด้วย :

${\displaystyle \left[\varPhi ,R\right]=0}$

โดยที่ [-,-] คือวงเล็บ Frölicher-Nijenhuis ของΦ ∈ Ω ¹ ( E , TE ) และR ∈ Ω ² ( E , TE ) อีกครั้ง

การเชื่อมต่อแบบ Ehresmann ช่วยให้เส้นโค้งมีการยกในแนวนอนที่เป็นเอกลักษณ์เฉพาะที่สำหรับ การเชื่อมต่อแบบ Ehresmann ที่สมบูรณ์เส้นโค้งสามารถถูกยกในแนวนอนได้ทั่วทั้งโดเมน

ความเรียบของการเชื่อมต่อสอดคล้องกับความสามารถในการบูรณาการ Frobeniusของพื้นที่แนวนอนในระดับท้องถิ่น ในทางกลับกัน ความโค้งที่ไม่เป็นศูนย์บ่งบอกถึงการมีอยู่ของโฮโลโนมีของการเชื่อมต่อ^{[ 5 ]}

สมมติว่าEเป็นบันเดิลGหลักที่ เรียบ เหนือMจากนั้นการเชื่อมต่อ Ehresmann HบนEเรียกว่าการเชื่อมต่อหลัก (Ehresmann) ^{[ 3 ]}หากมันไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับ การกระทำ GบนEในความหมายที่ว่า

${\displaystyle H_{eg}=\mathrm {d} (R_{g})_{e}(H_{e})}$สำหรับe ∈ Eและg ∈ G ใดๆ โดยที่หมายถึงอนุพันธ์ของ การ กระทำด้านขวาของgบนEที่e${\displaystyle \mathrm {d} (R_{g})_{e}}$

กลุ่มย่อยหนึ่งพารามิเตอร์ของGกระทำการในแนวตั้งบนEอนุพันธ์ของการกระทำนี้ทำให้สามารถระบุพื้นที่ย่อยด้วยพีชคณิตลีgของกลุ่มG ได้ เช่น โดยแผนที่รูปแบบการเชื่อมต่อΦของการเชื่อมต่อ Ehresmann อาจถูกมองว่าเป็น 1-ฟอร์มωบนEโดยมีค่าในgที่กำหนดโดยω ( X )= ι ( Φ ( X )) ${\displaystyle V_{e}}$${\displaystyle \iota \colon V_{e}\to {\mathfrak {g}}}$

เมื่อตีความใหม่เช่นนี้ รูปแบบการเชื่อมต่อωจึงมีคุณสมบัติสองประการดังต่อไปนี้:

• มันแปลงสภาพแบบสมมาตรภายใต้การกระทำของG : สำหรับทุกh ∈ Gโดยที่R _h ^*คือการดึงกลับภายใต้การกระทำด้านขวา และAdคือการแสดงแทนแบบผกผันของGบนพีชคณิตลีของมัน${\displaystyle R_{h}^{*}\omega ={\hbox{Ad}}(h^{-1})\omega }$
• มันแปลงฟิลด์เวกเตอร์แนวตั้งไปเป็นองค์ประกอบที่เกี่ยวข้องของพีชคณิตลี: ω ( X )= ι ( X ) สำหรับทุกX ∈ V

ในทางกลับกัน สามารถแสดงได้ว่า 1-ฟอร์มที่มีค่า gบนบันเดิลหลักนั้น ก่อให้เกิดการกระจายแนวนอนที่สอดคล้องกับคุณสมบัติที่กล่าวมาข้างต้น

เมื่อกำหนดการลดรูปเฉพาะที่แล้ว เราสามารถลดωให้เหลือเพียงสนามเวกเตอร์แนวนอน (ในการลดรูปนี้) ซึ่งกำหนดรูปแบบ 1-ฟอร์มω'บนMผ่านการดึงกลับรูปแบบω'กำหนดωได้อย่างสมบูรณ์ แต่ขึ้นอยู่กับการเลือกการลดรูป (รูปแบบนี้มักเรียกว่ารูปแบบการเชื่อมต่อและเขียนแทนด้วยω เฉยๆ )

สมมติว่าEเป็นเวกเตอร์บันเดิล เรียบ เหนือMแล้วการเชื่อมต่อ Ehresmann HบนEเรียกว่าเป็นการเชื่อมต่อเชิงเส้น (Ehresmann)ถ้าH _eขึ้นอยู่กับเชิงเส้นกับe ∈ E _xสำหรับแต่ละx ∈ Mเพื่อให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้S _λแทนการคูณสเกลาร์ด้วยλบนEแล้วHเป็นเชิงเส้นก็ต่อเมื่อสำหรับe ∈ E ใดๆ และสเกลาร์ λ ${\displaystyle H_{\lambda e}=\mathrm {d} (S_{\lambda })_{e}(H_{e})}$

เนื่องจากEเป็นเวกเตอร์บันเดิล ดังนั้นบันเดิลแนวตั้งV ของ E จึงสมสัณฐานกับπ * Eดังนั้น ถ้าsเป็นส่วนตัดของEแล้ว Φ (d s ): TM → s * V = s * π * E = Eซึ่งเป็นการแปลงเวกเตอร์บันเดิล และดังนั้นจึงกำหนดโดยส่วนตัด ∇ sของเวกเตอร์บันเดิล Hom( TM , E ) ข้อเท็จจริงที่ว่าการเชื่อมต่อ Ehresmann เป็นเชิงเส้นหมายความว่านอกจากนี้ยังตรวจสอบได้สำหรับทุกฟังก์ชันบนกฎของ Leibniz นั่นคือและ ดังนั้นจึงเป็น อนุพันธ์ร่วมแปรของs${\displaystyle f}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \nabla (fs)=f\nabla (s)+d(f)\otimes s}$

ในทางกลับกันอนุพันธ์โคแวเรียนต์∇บนเวกเตอร์บันเดิลจะกำหนดการเชื่อมต่อ Ehresmann เชิงเส้นโดยกำหนดให้H _eสำหรับe ∈ Eโดยที่x = π ( e ) เป็นภาพ d s _x ( T _x M ) โดยที่sเป็นส่วนตัดของEโดยที่s ( x ) = eและ ∇ _X s = 0 สำหรับ ทุกX ∈ T _x M

โปรดทราบว่า (ด้วยเหตุผลทางประวัติศาสตร์) คำว่า"เชิงเส้น"เมื่อนำมาใช้กับการเชื่อมต่อ บางครั้งจะถูกนำไปใช้ (เช่นเดียวกับคำว่า"เชิงเส้น"  – ดูการเชื่อมต่อเชิงเส้น ) เพื่ออ้างถึงการเชื่อมต่อที่กำหนดบนมัดสัมผัสหรือมัด เฟรม

การเชื่อมต่อแบบ Ehresmann บนมัดไฟเบอร์ (ซึ่งมีกลุ่มโครงสร้าง) บางครั้งอาจก่อให้เกิดการเชื่อมต่อแบบ Ehresmann บนมัดที่เกี่ยวข้องได้ตัวอย่างเช่นการเชื่อมต่อ (เชิงเส้น) ในมัดเวกเตอร์Eซึ่งคิดว่าทำให้เกิดความขนานของEดังที่กล่าวมาข้างต้น จะเหนี่ยวนำให้เกิดการเชื่อมต่อบนมัดเฟรมที่เกี่ยวข้อง P EของEในทางกลับกัน การเชื่อมต่อใน P Eจะก่อให้เกิดการเชื่อมต่อ (เชิงเส้น) ในEก็ต่อเมื่อการเชื่อมต่อใน P Eนั้นเป็นแบบสมมาตรภายใต้การกระทำของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปบนเฟรม (และดังนั้นจึงเป็นการเชื่อมต่อหลัก ) อย่างไรก็ตาม การเชื่อมต่อแบบ Ehresmann ไม่สามารถเหนี่ยวนำให้เกิดการเชื่อมต่อบนมัดที่เกี่ยวข้องได้เสมอไป ตัวอย่างเช่น การเชื่อมต่อแบบ Ehresmann ที่ไม่สมมาตรบนมัดเฟรมของมัดเวกเตอร์ อาจไม่เหนี่ยวนำให้เกิดการเชื่อมต่อบนมัดเวกเตอร์

สมมติว่าEเป็นบันเดิลที่เกี่ยวข้องกับPดังนั้นE = P × _G Fการเชื่อมต่อGบนEคือการเชื่อมต่อ Ehresmann ซึ่งแผนที่การขนส่งแบบขนาน τ : F _x → F _x′ถูกกำหนดโดย การแปลง Gของไฟเบอร์ (เหนือจุดxและx ′ ที่อยู่ใกล้เคียงกันเพียงพอในMที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นโค้ง) ^{[ 6 ]}

เมื่อกำหนดการเชื่อมต่อหลักบนPแล้ว จะได้ การเชื่อมต่อ Gบนมัดไฟเบอร์ที่เกี่ยวข้องE = P × _G Fผ่านการดึงกลับ (pullback )

ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดการ เชื่อมต่อ GบนEแล้ว ก็สามารถกู้คืนการเชื่อมต่อหลักบนบันเดิลหลักP ที่เกี่ยวข้องได้ ในการกู้คืนการเชื่อมต่อหลักนี้ เราต้องนำแนวคิดของเฟรมบนไฟเบอร์ทั่วไปF มา ใช้ เนื่องจากGเป็นกลุ่ม Lie ที่มีมิติจำกัด^{[ 7 ]}ซึ่งกระทำอย่างมีประสิทธิภาพบนFจะต้องมีการกำหนดค่าจุดจำกัด ( _y1 , ..., ym ₎ภายในFเช่นนั้น วงโคจรG R = {( gy1 _, ..., gym ₎ | g ∈ G } เป็นปริภูมิเอกพันธุ์หลักของGเราสามารถคิดว่าRเป็นการวางนัยทั่วไปของแนวคิดของเฟรมสำหรับ การกระทำ GบนFโปรดทราบว่า เนื่องจากRเป็นปริภูมิเอกพันธุ์หลักสำหรับGบันเดิลไฟเบอร์E ( R ) ที่เกี่ยวข้องกับEกับไฟเบอร์ทั่วไปRจึงเป็น (เทียบเท่ากับ) บันเดิลหลักที่เกี่ยวข้องกับEแต่มันก็เป็นบันเดิลย่อยของบันเดิลผลคูณm เท่าของ Eกับตัวมันเอง ด้วย การกระจายของพื้นที่แนวนอนบนEทำให้เกิดการกระจายของพื้นที่บนมัดผลิตภัณฑ์นี้ เนื่องจากแผนที่การขนส่งแบบขนานที่เกี่ยวข้องกับการเชื่อมต่อเป็น แผนที่ Gจึงรักษาส่วนย่อยE ( R ) ไว้ ดังนั้น การเชื่อมต่อ Gจึงลดลงเหลือ การเชื่อมต่อ G หลัก บนE ( R )

โดยสรุปแล้ว มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (จนถึงความเท่าเทียมกัน) ระหว่างการสืบทอดของการเชื่อมต่อหลักไปยังกลุ่มเส้นใยที่เกี่ยวข้อง และ การเชื่อมต่อ Gบนกลุ่มเส้นใยที่เกี่ยวข้อง ด้วยเหตุนี้ ในหมวดหมู่ของกลุ่มเส้นใยที่มีกลุ่มโครงสร้างGการเชื่อมต่อหลักจึงมีข้อมูลที่เกี่ยวข้องทั้งหมดสำหรับ การเชื่อมต่อ Gบนกลุ่มเส้นใยที่เกี่ยวข้อง ดังนั้น เว้นแต่จะมีเหตุผลสำคัญที่ต้องพิจารณาการเชื่อมต่อบนกลุ่มเส้นใยที่เกี่ยวข้อง (เช่น ในกรณีของการเชื่อมต่อแบบคาร์ตัน ) โดยทั่วไปแล้วเราจะทำงานโดยตรงกับการเชื่อมต่อหลัก

• Raoul Bott (1970) "อุปสรรคเชิงโทโพโลยีต่อความสามารถในการหาปริพันธ์" Proc. Symp. Pure Math. , 16 Amer. Math. Soc., Providence, RI.
• Kubarski, Jan; Pradines, Jean; Rybicki, Tomasz; Wolak, Robert, บรรณาธิการ (2007). เรขาคณิตและโทโพโลยีของแมนิโฟลด์: มรดกทางคณิตศาสตร์ของ Charles Ehresmann เนื่องในโอกาสครบรอบ 100 ปีวันเกิดของเขา . สำนักพิมพ์ Banach Center. เล่มที่ 76. วอร์ซอ: สถาบันวิทยาศาสตร์แห่งโปแลนด์ . MR  2284825 .