ในโทโพโลยีเชิงอนุพันธ์เจ็ตบันเดิลเป็นโครงสร้างชนิดหนึ่งที่สร้างไฟเบอร์บัน เดิล เรียบ ใหม่ จากไฟเบอร์บันเดิลเรียบที่กำหนดให้ ทำให้สามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธ์บนส่วนต่างๆของไฟเบอร์บันเดิลในรูปแบบที่ไม่เปลี่ยนแปลงได้เจ็ตอาจมองได้ว่าเป็นรูปแบบที่ไม่ขึ้นกับพิกัดของการกระจายเทย์เลอร์ด้วย เช่นกัน

ในทางประวัติศาสตร์ กลุ่มเจ็ท (jet bundles) ถูกยกให้เป็นผลงานของชาร์ลส์ เอเรสแมนน์ (Charles Ehresmann ) และเป็นการพัฒนาต่อยอดจากวิธีการ ( การขยาย ) ของเอลี คาร์ตัน (Élie Cartan ) ในการจัดการกับอนุพันธ์อันดับสูงในเชิงเรขาคณิตโดยการกำหนด เงื่อนไข รูปแบบเชิงอนุพันธ์ให้กับตัวแปรเชิงรูปธรรมที่เพิ่งนำมาใช้ใหม่ กลุ่มเจ็ทบางครั้งเรียกว่าสเปรย์ (sprays ) แม้ว่า โดยทั่วไปแล้ว สเปรย์จะหมายถึงสนามเวกเตอร์ ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งเกิดขึ้นบนกลุ่มเจ็ทนั้นๆ (เช่นสเปรย์จีโอเดสิกบนแมนิโฟลด์ฟินส์ เลอร์ )

ตั้งแต่ช่วงต้นทศวรรษ 1980 เจ็ตบันเดิลได้ปรากฏขึ้นเป็นวิธีการกระชับในการอธิบายปรากฏการณ์ที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์ของแผนที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งที่เกี่ยวข้องกับแคลคูลัสของการแปรผัน [ ^{1 ] ด้วย}เหตุนี้ เจ็ตบันเดิลจึงได้รับการยอมรับว่าเป็นโดเมนที่ถูกต้องสำหรับทฤษฎีสนามโคแวเรียนต์เชิง เรขาคณิต และมีการทำงานมากมายในการกำหนด สูตรสัม พัทธภาพทั่วไปของสนามโดยใช้วิธีการนี้

สมมติว่าMเป็นแมนิโฟลด์มิติmและ ( E , π, M ) เป็นไฟเบอร์บันเดิล สำหรับp ∈ Mให้ Γ(p) แทนเซตของส่วนตัดเฉพาะที่ทั้งหมดซึ่งโดเมนประกอบด้วยpให้⁠ ⁠เป็นดัชนีหลายตัว ( ทูเปิล mของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ไม่จำเป็นต้องเรียงลำดับจากน้อยไปมาก) จากนั้นกำหนด: ${\displaystyle I=(I(1),I(2),...,I(m))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|I|&:=\sum _{i=1}^{m}I(i)\\{\frac {\partial ^{|I|}}{\partial x^{I}}}&:=\prod _{i=1}^{m}\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\right)^{I(i)}.\end{aligned}}}$

กำหนดส่วนท้องถิ่น σ, η ∈ Γ(p) ให้มีr -jet เดียวกัน ที่pถ้า

${\displaystyle \left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\eta ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p},\quad 0\leq |I|\leq r.}$

ความสัมพันธ์ที่แผนที่สองแผนที่มี r -jet เดียวกัน เรียก ว่าความสัมพันธ์สมมูล r - jet คือชั้นสมมูลภายใต้ความสัมพันธ์นี้ และr -jet ที่มีตัวแทน σ จะถูกแทนด้วย r-jet จำนวนเต็มrยังเรียกว่าอันดับของ jet, pคือแหล่งกำเนิดและ σ( p )คือเป้าหมาย${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma }$

ระนาบ เจ็ทที่ rของ πคือเซต

${\displaystyle J^{r}(\pi )=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma \in \Gamma (p)\right\}.}$

เราอาจกำหนดโปรเจคชั่นπ _rและπ _{r ,0}ซึ่งเรียกว่าโปรเจคชั่นต้นทางและโปรเจคชั่นเป้าหมายตามลำดับ โดย

${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r}:J^{r}(\pi )\to M\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto p\end{cases}},\qquad {\begin{cases}\pi _{r,0}:J^{r}(\pi )\to E\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto \sigma (p)\end{cases}}}$

ถ้า 1 ≤ k ≤ rแล้ว การฉายภาพ k -jetคือฟังก์ชันπ _r,kที่กำหนดโดย

$${\displaystyle {\begin{cases}\pi _{r,k}:J^{r}(\pi )\to J^{k}(\pi )\\j_{p}^{r}\sigma \mapsto j_{p}^{k}\sigma \end{cases}}}$$

จากนิยามนี้ เป็นที่ชัดเจนว่าπ _r = π o π _{r ,0}และถ้า 0 ≤ m ≤ kแล้วπ _r,m = π _k,m o π _r,kโดยทั่วไปแล้ว มักจะถือว่าπ _r,rเป็นแผนที่เอกลักษณ์บนJ ^r ( π ) และ ระบุJ ⁰ ( π ) กับE

ฟังก์ชันπ _r,k , π _{r ,0}และπ _rเป็นการจุ่มใต้น้ำแบบ ผ่าตัดเรียบ

ระบบพิกัดบนEจะสร้างระบบพิกัดบนJ ^r ( π ) ให้ ( U , u ) เป็นแผนภูมิพิกัด ที่ปรับแล้ว บนEโดยที่u = ( x ⁱ , u ^α ) แผนภูมิพิกัดที่เหนี่ยวนำ ( U ^r , u ^r )บนJ ^r ( π ) ถูกกำหนดโดย

$${\displaystyle {\begin{aligned}U^{r}&=\left\{j_{p}^{r}\sigma :p\in M,\sigma (p)\in U\right\}\\u^{r}&=\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right)\end{aligned}}}$$

ที่ไหน

$${\displaystyle {\begin{aligned}x^{i}\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=x^{i}(p)\\u^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)&=u^{\alpha }(\sigma (p))\end{aligned}}}$$

และฟังก์ชันที่เรียกว่าพิกัดอนุพันธ์ : ${\displaystyle n\left({\binom {m+r}{r}}-1\right)}$

$${\displaystyle {\begin{cases}u_{I}^{\alpha }:U^{k}\to \mathbf {R} \\u_{I}^{\alpha }\left(j_{p}^{r}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right|_{p}\end{cases}}}$$

เมื่อกำหนดแอตลาสของแผนภูมิที่ปรับเปลี่ยน ( U , u ) บนEแล้ว ชุดแผนภูมิที่สอดคล้องกัน ( U ^r , u ^r ) จะเป็น แอตลาส C ^∞ มิติจำกัด บนJ ^r ( π )

เนื่องจากแอตลาสบนแต่ละอันกำหนดแมนิโฟลด์ ดังนั้นสามสิ่ง, และทั้งหมดจึงกำหนดแมนิโฟลด์แบบไฟเบอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นไฟเบอร์บันเดิล สามสิ่ง จะกำหนด เจ็ทบันเดิลที่ rของ π ${\displaystyle J^{r}(\pi )}$${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,k},J^{k}(\pi ))}$${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r,0},E)}$${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$${\displaystyle (E,\pi ,M)}$${\displaystyle (J^{r}(\pi ),\pi _{r},M)}$

ถ้าW ⊂ Mเป็นซับแมนิโฟลด์แบบเปิดแล้ว

${\displaystyle J^{r}\left(\pi |_{\pi ^{-1}(W)}\right)\cong \pi _{r}^{-1}(W).\,}$

ถ้าp ∈ Mแล้ว ไฟเบอร์จะถูกแทนด้วย. ${\displaystyle \pi _{r}^{-1}(p)\,}$${\displaystyle J_{p}^{r}(\pi )}$

ให้ σ เป็นส่วนตัดเฉพาะที่ของ π ที่มีโดเมนW ⊂ M การต่อขยายเจ็ทลำดับ ที่rของ σคือแผนที่ที่กำหนดโดย ${\displaystyle j^{r}\sigma :W\rightarrow J^{r}(\pi )}$

${\displaystyle (j^{r}\sigma )(p)=j_{p}^{r}\sigma .\,}$

โปรดทราบว่าดังนั้นจึงเป็นส่วนหนึ่งจริงๆ ในพิกัดท้องถิ่น จะกำหนดโดย ${\displaystyle \pi _{r}\circ j^{r}\sigma =\mathbb {id} _{W}}$${\displaystyle j^{r}\sigma }$${\displaystyle j^{r}\sigma }$

${\displaystyle \left(\sigma ^{\alpha },{\frac {\partial ^{|I|}\sigma ^{\alpha }}{\partial x^{I}}}\right)\qquad 1\leq |I|\leq r.\,}$

เรามีความรู้สึก ร่วมกับ ... ${\displaystyle j^{0}\sigma }$${\displaystyle \sigma }$

มีการนำเสนอ การสร้างกลุ่มส่วนต่างๆ ที่มีแรงจูงใจอย่างอิสระ${\displaystyle \Gamma J^{k}\left(\pi _{TM}\right)}$

พิจารณาแผนที่แนวทแยงมุมโดยที่แมนิโฟลด์เรียบเป็นปริภูมิวงแหวนเฉพาะที่โดยสำหรับแต่ละเปิดให้เป็นชีฟอุดมคติของหรือเทียบเท่ากับให้เป็นชีฟ ของ เจิร์มเรียบซึ่งหายไปบนสำหรับทุกการดึงกลับของชีฟผลหารจากไปยังโดยคือชีฟของ k-เจ็ต^{[ 2 ]}${\textstyle \Delta _{n}:M\to \prod _{i=1}^{n+1}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C^{k}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {I}}}$${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {I}}}$${\displaystyle \Delta _{n}(M)}$${\displaystyle 0<n\leq k}$${\displaystyle {\Delta _{n}}^{*}\left({\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{n+1}\right)}$${\textstyle \prod _{i=1}^{n+1}M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \Delta _{n}}$

ขีดจำกัดโดยตรงของลำดับการฉีดที่กำหนดโดยการรวมเชิงแคนอนของชีฟ ก่อให้เกิดชีฟเจ็ทอนันต์สังเกตว่าโดยการสร้างขีดจำกัดโดยตรง มันคือวงแหวนกรอง ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{n+1}\hookrightarrow {\mathcal {I}}^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {J}}^{\infty }(TM)}$

ถ้า π คือบันเดิลที่ไม่สำคัญ ( M × R , pr ₁ , M ) แล้วจะมีดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึม แบบแคนอนิก อยู่ระหว่างบันเดิลเจ็ทแรกกับT*M × Rในการสร้างดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึมนี้ สำหรับแต่ละ σ ในให้ เขียน${\displaystyle J^{1}(\pi )}$${\displaystyle \Gamma _{M}(\pi )}$${\displaystyle {\bar {\sigma }}=pr_{2}\circ \sigma \in C^{\infty }(M)\,}$

จากนั้น เมื่อใดก็ตามที่p ∈ M

${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma =\left\{\psi :\psi \in \Gamma _{p}(\pi );{\bar {\psi }}(p)={\bar {\sigma }}(p);d{\bar {\psi }}_{p}=d{\bar {\sigma }}_{p}\right\}.\,}$

ดังนั้น การทำแผนที่

${\displaystyle {\begin{cases}J^{1}(\pi )\to T^{*}M\times \mathbf {R} \\j_{p}^{1}\sigma \mapsto \left(d{\bar {\sigma }}_{p},{\bar {\sigma }}(p)\right)\end{cases}}}$

มีนิยามที่ชัดเจนและเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง อย่างชัดเจน การเขียนออกมาในรูปพิกัดแสดงให้เห็นว่าเป็นฟังก์ชันดิฟเฟโอเมอร์ฟิซึม เพราะถ้า(x ⁱ , u)เป็นพิกัดบนM × Rโดยที่u = id _Rเป็นพิกัดเอกลักษณ์ แล้วพิกัดอนุพันธ์u _iบนJ ¹ (π)จะสอดคล้องกับพิกัด ∂ _iบนT* M

ในทำนองเดียวกัน ถ้า π คือบันเดิลที่ไม่สำคัญ ( R × M , pr ₁ , R ) แล้วจะมีดิฟเฟอเรนเชียลมอร์ฟิซึมระหว่างและR × TM${\displaystyle J^{1}(\pi )}$

ปริภูมิJ ^r (π) มีการกระจาย ตามธรรมชาติ นั่นคือ สับบันเดิลของบันเดิลสัมผัสTJ ^r (π)) เรียกว่าการกระจายแบบคาร์ตันการกระจายแบบคาร์ตันถูกสร้างขึ้นโดยระนาบสัมผัสทั้งหมดไปยังกราฟของส่วนตัดโฮโลโนมิก นั่นคือ ส่วนตัดในรูปแบบj ^r φสำหรับφเป็นส่วนตัดของ π

ตัวทำลายของการแจกแจงคาร์ตันคือปริภูมิของรูปแบบหนึ่งเชิงอนุพันธ์ที่เรียกว่ารูปแบบสัมผัสบน J ^r (π) ปริภูมิของรูปแบบหนึ่งเชิงอนุพันธ์บนJ ^r (π) จะถูกแทนด้วยและปริภูมิของรูปแบบสัมผัสจะถูกแทนด้วยรูปแบบหนึ่งเป็นรูปแบบสัมผัสก็ต่อเมื่อการดึงกลับตามการต่อขยายทุกส่วนเป็นศูนย์ กล่าวอีกนัยหนึ่งเป็นรูปแบบสัมผัสก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle \Lambda ^{1}J^{r}(\pi )}$${\displaystyle \Lambda _{C}^{r}\pi }$${\displaystyle \theta \in \Lambda ^{1}J^{r}\pi }$

${\displaystyle \left(j^{r+1}\sigma \right)^{*}\theta =0}$

สำหรับส่วนท้องถิ่นทั้งหมด σ ของ π ส่วน M

การกระจายแบบคาร์ตัน (Cartan distribution) เป็นโครงสร้างทางเรขาคณิตหลักในปริภูมิเจ็ต (jet space) และมีบทบาทสำคัญในทฤษฎีเรขาคณิตของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (partial differential equations ) การกระจายแบบคาร์ตันนั้นไม่สามารถหาปริพันธ์ได้โดยสมบูรณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันไม่เป็นแบบผกผัน (involutive ) มิติของการกระจายแบบคาร์ตันจะเพิ่มขึ้นตามลำดับของปริภูมิเจ็ต อย่างไรก็ตาม ในปริภูมิของเจ็ตอนันต์J ^∞การกระจายแบบคาร์ตันจะกลายเป็นแบบผกผันและมีมิติจำกัด กล่าวคือ มิติของมันตรงกับมิติของแมนิโฟลด์ฐาน M

พิจารณากรณี(E, π, M)โดยที่E ≃ R ²และM ≃ Rจากนั้น(J ¹ (π), π, M)จะกำหนดกลุ่มเจ็ทแรก และอาจประสานงานโดย(x, u, u ₁ )โดยที่

${\displaystyle {\begin{aligned}x\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=x(p)=x\\u\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}=\sigma '(x)\end{aligned}}}$

สำหรับทุกp ∈ Mและ σ ใน Γ _p (π) รูปแบบ 1 ทั่วไปบนJ ¹ (π)มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1})dx+b(x,u,u_{1})du+c(x,u,u_{1})du_{1}\,}$

ส่วน σ ใน Γ _p (π) มีการยืดออกครั้งแรก

${\displaystyle j^{1}\sigma =(u,u_{1})=\left(\sigma (p),\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}\right).}$

ดังนั้น(j ¹ σ)*θสามารถคำนวณได้ดังนี้

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{1}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma (x))+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))d(\sigma '(x))\\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)dx+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)dx\\&=[a(x,\sigma (x),\sigma '(x))+b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma '(x)+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\sigma ''(x)]dx\end{aligned}}}$

สิ่งนี้จะหายไปสำหรับทุกส่วน σ ก็ต่อเมื่อc = 0 และa = − bσ′(x) เท่านั้น ดังนั้น θ = b(x, u, u ₁ )θ ₀จะต้องเป็นผลคูณของรูปแบบสัมผัสพื้นฐาน θ ₀ = du − u ₁ dxดำเนินการต่อไปยังปริภูมิเจ็ทที่สองJ ² (π)ที่มีพิกัดเพิ่มเติมu ₂เช่นนั้น

${\displaystyle u_{2}(j_{p}^{2}\sigma )=\left.{\frac {\partial ^{2}\sigma }{\partial x^{2}}}\right|_{p}=\sigma ''(x)\,}$

รูปแบบทั่วไป 1 รูปแบบมีโครงสร้างดังนี้

${\displaystyle \theta =a(x,u,u_{1},u_{2})dx+b(x,u,u_{1},u_{2})du+c(x,u,u_{1},u_{2})du_{1}+e(x,u,u_{1},u_{2})du_{2}\,}$

นี่คือแบบฟอร์มติดต่อก็ต่อเมื่อ...

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(j_{p}^{2}\sigma \right)^{*}\theta &=\theta \circ j_{p}^{2}\sigma \\&=a(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))dx+b(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma (x))+{}\\&\qquad \qquad c(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma '(x))+e(x,\sigma (x),\sigma '(x),\sigma ''(x))d(\sigma ''(x))\\&=adx+b\sigma '(x)dx+c\sigma ''(x)dx+e\sigma '''(x)dx\\&=[a+b\sigma '(x)+c\sigma ''(x)+e\sigma '''(x)]dx\\&=0\end{aligned}}}$

ซึ่งหมายความว่าe = 0 และa = − bσ′(x) − cσ′′(x)ดังนั้น θ เป็นรูปแบบสัมผัสก็ต่อเมื่อ

${\displaystyle \theta =b(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{0}+c(x,\sigma (x),\sigma '(x))\theta _{1},}$

โดยที่ θ ₁ = du ₁ − u ₂ dxคือรูปแบบการสัมผัสพื้นฐานถัดไป (โปรดทราบว่าในที่นี้เรากำลังระบุรูปแบบ θ ₀กับการดึงกลับไปที่J ² (π) ) ${\displaystyle \left(\pi _{2,1}\right)^{*}\theta _{0}}$

โดยทั่วไปแล้ว หากกำหนดให้x, u ∈ RรูปแบบการสัมผัสบนJ ^r+1 (π)สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของรูปแบบการสัมผัสพื้นฐาน

${\displaystyle \theta _{k}=du_{k}-u_{k+1}dx\qquad k=0,\ldots ,r-1\,}$

ที่ไหน

${\displaystyle u_{k}\left(j^{k}\sigma \right)=\left.{\frac {\partial ^{k}\sigma }{\partial x^{k}}}\right|_{p}.}$

เหตุผลที่คล้ายคลึงกันนี้ นำไปสู่การกำหนดลักษณะเฉพาะของรูปแบบการติดต่อทั้งหมดได้อย่างครบถ้วน

ในพิกัดท้องถิ่น รูปแบบสัมผัสหนึ่งเดียวทุกรูปแบบบนJ ^r+1 (π)สามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้น

${\displaystyle \theta =\sum _{|I|=0}^{r}P_{\alpha }^{I}\theta _{I}^{\alpha }}$

ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่ราบเรียบของรูปแบบการสัมผัสพื้นฐาน ${\displaystyle P_{i}^{\alpha }(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha })}$

${\displaystyle \theta _{I}^{\alpha }=du_{I}^{\alpha }-u_{I,i}^{\alpha }dx^{i}\,}$

|I|เรียกว่าลำดับของแบบฟอร์มการติดต่อโปรดทราบว่าแบบฟอร์มการติดต่อบนJ ^r+1 (π)มีลำดับไม่เกินrแบบฟอร์มการติดต่อให้ลักษณะเฉพาะของส่วนท้องถิ่นของπ _r+1ซึ่งเป็นส่วนขยายของส่วนต่างๆ ของ π ${\displaystyle \theta _{i}^{\alpha }}$

กำหนดให้ ψ ∈ Γ _W ( π _r+1 ) แล้วψ = j ^r+1 σ โดยที่ σ ∈ Γ _W (π) ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \psi ^{*}(\theta |_{W})=0,\forall \theta \in \Lambda _{C}^{1}\pi _{r+1,r}.\,}$

สนามเวกเตอร์ทั่วไปบนปริภูมิทั้งหมดEซึ่งมีพิกัดเป็นคือ ${\displaystyle (x,u)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha }\right)\,}$

${\displaystyle V\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.\,}$

สนามเวกเตอร์เรียกว่าสนามเวกเตอร์แนวนอนหมายความว่าสัมประสิทธิ์แนวตั้งทั้งหมดเป็นศูนย์ ถ้า= 0 ${\displaystyle \phi ^{\alpha }}$

เวกเตอร์ฟิลด์เรียกว่าเวกเตอร์ฟิลด์แนวตั้งหมายความว่าสัมประสิทธิ์แนวนอนทั้งหมดเป็นศูนย์ ถ้าρ ⁱ = 0

สำหรับค่า(x, u) ที่กำหนดไว้ เราจะระบุ

${\displaystyle V_{(x,u)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}\,}$

มีพิกัด(x, u, ρ ⁱ , φ ^α )โดยมีองค์ประกอบในไฟเบอร์T _xu EของTEเหนือ(x, u)ในEเรียกว่าเวกเตอร์สัมผัสในTEส่วนตัด

${\displaystyle {\begin{cases}\psi :E\to TE\\(x,u)\mapsto \psi (x,u)=V\end{cases}}}$

เรียกว่าสนามเวกเตอร์บนEที่มี

${\displaystyle V=\rho ^{i}(x,u){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }(x,u){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}}$

และ ψ ในΓ(TE )

มัดเจ็ทJ ^r (π)ถูกประสานโดย. สำหรับค่า(x, u, w) คงที่ ให้ระบุ ${\displaystyle (x,u,w)\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} \left(x^{i},u^{\alpha },w_{i}^{\alpha }\right)\,}$

${\displaystyle V_{(x,u,w)}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} V^{i}(x,u,w){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+V^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+V_{i}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i}^{\alpha }}}+V_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}i_{2}}^{\alpha }}}+\cdots +V_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }(x,u,w){\frac {\partial }{\partial w_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}}}$

มีพิกัด

${\displaystyle \left(x,u,w,v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\cdots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }\right),}$

โดยมีองค์ประกอบในไฟเบอร์ของTJ ^r (π)เหนือ(x, u, w) ∈ J ^r (π)เรียกว่าเวกเตอร์สัมผัสในTJ ^r (π)ที่นี่ ${\displaystyle T_{xuw}(J^{r}\pi )}$

${\displaystyle v_{i}^{\alpha },v_{i_{1}i_{2}}^{\alpha },\ldots ,v_{i_{1}\cdots i_{r}}^{\alpha }}$

เป็นฟังก์ชันค่าจริงบนJ ^r (π)ส่วน A

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi :J^{r}(\pi )\to TJ^{r}(\pi )\\(x,u,w)\mapsto \Psi (u,w)=V\end{cases}}}$

เป็นสนามเวกเตอร์บนJ ^r (π)และเรากล่าวว่า${\displaystyle \Psi \in \Gamma (T\left(J^{r}\pi \right)).}$

ให้(E, π, M)เป็นมัดไฟเบอร์สมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับrบน π คือส่วนย่อยฝังตัว แบบ ปิดSของแมนิโฟลด์เจ็ทJ ^r (π) คำตอบคือส่วนตัดเฉพาะที่ σ ∈ Γ _W (π) ที่สอดคล้องกับสำหรับทุกpในM${\displaystyle j_{p}^{r}\sigma \in S}$

พิจารณาตัวอย่างสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับหนึ่ง

ให้ π เป็นบันเดิลแบบไม่สำคัญ ( R ² × R , pr ₁ , R ² ) ที่มีพิกัดทั่วโลก ( x ¹ , x ² , u ¹ ) จากนั้นแผนที่F  : J ¹ (π) → Rที่กำหนดโดย

${\displaystyle F=u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}}$

ก่อให้เกิดสมการเชิงอนุพันธ์

${\displaystyle S=\left\{j_{p}^{1}\sigma \in J^{1}\pi \ :\ \left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)=0\right\}}$

ซึ่งสามารถเขียนได้

${\displaystyle {\frac {\partial \sigma }{\partial x^{1}}}{\frac {\partial \sigma }{\partial x^{2}}}-2x^{2}\sigma =0.}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma :\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}\times \mathbf {R} \\\sigma (p_{1},p_{2})=\left(p^{1},p^{2},p^{1}(p^{2})^{2}\right)\end{cases}}}$

มีการยืดเวลาครั้งแรกโดย

${\displaystyle j^{1}\sigma \left(p_{1},p_{2}\right)=\left(p^{1},p^{2},p^{1}\left(p^{2}\right)^{2},\left(p^{2}\right)^{2},2p^{1}p^{2}\right)}$

และเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์นี้ เพราะว่า

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(u_{1}^{1}u_{2}^{1}-2x^{2}u^{1}\right)\left(j_{p}^{1}\sigma \right)&=u_{1}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u_{2}^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)-2x^{2}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)u^{1}\left(j_{p}^{1}\sigma \right)\\&=\left(p^{2}\right)^{2}\cdot 2p^{1}p^{2}-2\cdot p^{2}\cdot p^{1}\left(p^{2}\right)^{2}\\&=2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}-2p^{1}\left(p^{2}\right)^{3}\\&=0\end{aligned}}}$

และด้วยเหตุนี้ สำหรับทุกp ∈ R ²${\displaystyle j_{p}^{1}\sigma \in S}$

การแปลงแบบดิฟเฟอเรนเชียลเฉพาะที่ψ  : J ^r ( π ) → J ^r ( π ) กำหนดการแปลงแบบสัมผัสที่มีอันดับrหากมันรักษาอุดมคติแบบสัมผัสไว้ ซึ่งหมายความว่าหาก θ เป็นรูปแบบสัมผัสใดๆ บนJ ^r ( π ) แล้วψ*θก็จะเป็นรูปแบบสัมผัสเช่นกัน

การไหลที่เกิดจากสนามเวกเตอร์V ^rบนพื้นที่เจ็ทJ ^r (π)ก่อให้เกิดกลุ่มการแปลงสัมผัสแบบพารามิเตอร์เดียวก็ต่อเมื่ออนุพันธ์ลี ของรูปแบบสัมผัส θ ใดๆ รักษาอุดมคติของสัมผัสไว้ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}(\theta )}$

เรามาเริ่มต้นด้วยกรณีอันดับแรกกันก่อน พิจารณาเวกเตอร์ฟิลด์ทั่วไปV ¹บนJ ¹ ( π ) ซึ่งกำหนดโดย

${\displaystyle V^{1}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \rho ^{i}\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\phi ^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}+\chi _{i}^{\alpha }\left(x^{i},u^{\alpha },u_{I}^{\alpha }\right){\frac {\partial }{\partial u_{i}^{\alpha }}}.}$

ต่อไปนี้เราจะนำไปใช้กับรูปแบบการติดต่อพื้นฐานและขยายอนุพันธ์ภายนอกของฟังก์ชันในแง่ของพิกัดเพื่อให้ได้: ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}}$${\displaystyle \theta _{0}^{\alpha }=du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(\theta _{0}^{\alpha }\right)&={\mathcal {L}}_{V^{1}}\left(du^{\alpha }-u_{i}^{\alpha }dx^{i}\right)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du^{\alpha }-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{i}^{\alpha }\right)dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx^{i}\right)\\&=d\left(V^{1}u^{\alpha }\right)-V^{1}u_{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\left(V^{1}x^{i}\right)\\&=d\phi ^{\alpha }-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }d\rho ^{i}\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{i}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial x^{m}}}dx^{m}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u^{k}}}du^{k}+{\frac {\partial \rho ^{i}}{\partial u_{m}^{k}}}du_{m}^{k}\right]\\&={\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}-\chi _{i}^{\alpha }dx^{i}-u_{l}^{\alpha }\left[{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}dx^{i}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\left(\theta ^{k}+u_{i}^{k}dx^{i}\right)+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}du_{i}^{k}\right]\\&=\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}-u_{l}^{\alpha }\left({\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial x^{i}}}+{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}u_{i}^{k}\right)-\chi _{i}^{\alpha }\right]dx^{i}+\left[{\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}\right]du_{i}^{k}+\left({\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u^{k}}}\right)\theta ^{k}\end{aligned}}}$

ดังนั้นV ¹จะกำหนดการแปลงสัมผัสได้ก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ของdx ⁱและในสูตรเป็นศูนย์เท่านั้น ข้อกำหนดหลังนี้บ่งบอกถึงเงื่อนไขการสัมผัส${\displaystyle du_{i}^{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \phi ^{\alpha }}{\partial u_{i}^{k}}}-u_{l}^{\alpha }{\frac {\partial \rho ^{l}}{\partial u_{i}^{k}}}=0}$

ข้อกำหนดก่อนหน้านี้ให้สูตรที่ชัดเจนสำหรับสัมประสิทธิ์ของพจน์อนุพันธ์อันดับแรกในV ¹ :

${\displaystyle \chi _{i}^{\alpha }={\widehat {D}}_{i}\phi ^{\alpha }-u_{l}^{\alpha }\left({\widehat {D}}_{i}\rho ^{l}\right)}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\widehat {D}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+u_{i}^{k}{\frac {\partial }{\partial u^{k}}}}$

หมาย ถึงการตัดทอนอันดับศูนย์ของอนุพันธ์รวมD _i

ดังนั้น เงื่อนไขการสัมผัสจึงกำหนดการต่อขยายของจุดหรือสนามเวกเตอร์สัมผัสใดๆ อย่างเฉพาะเจาะจง กล่าวคือ ถ้าเป็นไปตามสมการเหล่านี้V ^rจะเรียกว่า การต่อขยายลำดับ ที่ rของVไปยังสนามเวกเตอร์บนJ ^r (π ) ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{r}}}$

ผลลัพธ์เหล่านี้จะเข้าใจได้ดีที่สุดเมื่อนำไปใช้กับตัวอย่างเฉพาะ ดังนั้น เรามาพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้กัน

พิจารณากรณี(E, π, M)โดยที่E ≅ R ²และM ≃ Rจากนั้น(J ¹ (π), π, E)จะกำหนดกลุ่มเจ็ทแรก และอาจประสานงานโดย(x, u, u ₁ )โดยที่

${\displaystyle {\begin{aligned}x(j_{p}^{1}\sigma )&=x(p)=x\\u(j_{p}^{1}\sigma )&=u(\sigma (p))=u(\sigma (x))=\sigma (x)\\u_{1}(j_{p}^{1}\sigma )&=\left.{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}\right|_{p}={\dot {\sigma }}(x)\end{aligned}}}$

สำหรับทุกp ∈ Mและσใน Γ _p ( π ) รูปแบบการสัมผัสบนJ ¹ (π)มีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle \theta =du-u_{1}dx}$

พิจารณาเวกเตอร์VบนEซึ่งมีรูปแบบดังนี้

${\displaystyle V=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}}$

จากนั้น การขยายเวกเตอร์ฟิลด์นี้ครั้งแรกไปยังJ ¹ (π)คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{1}&=V+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+Z\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}\end{aligned}}}$

ถ้าเราหาอนุพันธ์ลีของฟอร์มสัมผัสเทียบกับสนามเวกเตอร์ที่ขยายออกไปนี้เราจะได้ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta ),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{1}}(\theta )&={\mathcal {L}}_{V^{1}}(du-u_{1}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{1}}du-\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}u_{1}\right)dx-u_{1}\left({\mathcal {L}}_{V^{1}}dx\right)\\&=d\left(V^{1}u\right)-V^{1}u_{1}dx-u_{1}d\left(V^{1}x\right)\\&=dx-\rho (x,u,u_{1})dx+u_{1}du\\&=(1-\rho (x,u,u_{1}))dx+u_{1}du\\&=[1-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}(\theta +u_{1}dx)&&du=\theta +u_{1}dx\\&=[1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})]dx+u_{1}\theta \end{aligned}}}$

ดังนั้น เพื่อรักษาสภาพการสัมผัสที่สมบูรณ์แบบ เราจึงจำเป็นต้อง...

${\displaystyle 1+u_{1}u_{1}-\rho (x,u,u_{1})=0\quad \Leftrightarrow \quad \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}.}$

ดังนั้นการขยายครั้งแรกของVไปยังสนามเวกเตอร์บนJ ¹ (π)คือ

${\displaystyle V^{1}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}.}$

เรามาคำนวณการต่อขยายครั้งที่สองของVไปยังสนามเวกเตอร์บนJ ² (π) กัน เรามีพิกัดบนJ ² (π) เป็น ดังนั้น เวกเตอร์ที่ต่อขยายจะมีรูปแบบดังนี้ ${\displaystyle \{x,u,u_{1},u_{2}\}}$

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+\rho (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

แบบฟอร์มติดต่อคือ

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &=du-u_{1}dx\\\theta _{1}&=du_{1}-u_{2}dx\end{aligned}}}$

เพื่อรักษาสภาพการสัมผัสที่เหมาะสม เราจึงจำเป็นต้อง...

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta )&=0\\{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&=0\end{aligned}}}$

ตอนนี้θไม่มี ส่วนเกี่ยวข้องกับ u ₂ดังนั้น จากสมการนี้ เราจะเลือกสูตรสำหรับρซึ่งจะได้ผลลัพธ์เดียวกันกับที่เราพบสำหรับV ¹ดังนั้น ปัญหาจึงคล้ายคลึงกับการขยายสนามเวกเตอร์V ¹ไปยังJ ² (π) กล่าวคือ เราสามารถสร้าง การขยายครั้งที่ rของสนามเวกเตอร์ได้โดยการใช้การอนุพันธ์แบบ Lie ของรูปแบบสัมผัสเทียบกับสนามเวกเตอร์ที่ขยายแล้วซ้ำๆ กันrครั้ง ดังนั้น เราจึงมี

${\displaystyle \rho (x,u,u_{1})=1+u_{1}u_{1}}$

และดังนั้น

${\displaystyle {\begin{aligned}V^{2}&=V^{1}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\\&=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+\phi (x,u,u_{1},u_{2}){\frac {\partial }{\partial u_{2}}}\end{aligned}}}$

ดังนั้น อนุพันธ์ลีของรูปแบบสัมผัสที่สองเทียบกับV ²คือ

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})&={\mathcal {L}}_{V^{2}}(du_{1}-u_{2}dx)\\&={\mathcal {L}}_{V^{2}}du_{1}-\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}u_{2}\right)dx-u_{2}\left({\mathcal {L}}_{V^{2}}dx\right)\\&=d(V^{2}u_{1})-V^{2}u_{2}dx-u_{2}d(V^{2}x)\\&=d(1+u_{1}u_{1})-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}du\\&=2u_{1}du_{1}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du&=\theta +u_{1}dx\\&=2u_{1}(\theta _{1}+u_{2}dx)-\phi (x,u,u_{1},u_{2})dx+u_{2}(\theta +u_{1}dx)&du_{1}&=\theta _{1}+u_{2}dx\\&=[3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})]dx+u_{2}\theta +2u_{1}\theta _{1}\end{aligned}}}$

ดังนั้น เพื่อรักษาสภาพการสัมผัสที่เหมาะสม เราจึงจำเป็นต้อง... ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V^{2}}(\theta _{1})}$

${\displaystyle 3u_{1}u_{2}-\phi (x,u,u_{1},u_{2})=0\quad \Leftrightarrow \quad \phi (x,u,u_{1},u_{2})=3u_{1}u_{2}.}$

ดังนั้นการขยายครั้งที่สองของVไปยังสนามเวกเตอร์บนJ ² (π) คือ

${\displaystyle V^{2}=x{\frac {\partial }{\partial u}}-u{\frac {\partial }{\partial x}}+(1+u_{1}u_{1}){\frac {\partial }{\partial u_{1}}}+3u_{1}u_{2}{\frac {\partial }{\partial u_{2}}}.}$

โปรดทราบว่าส่วนขยายแรกของVสามารถกู้คืนได้โดยการละเว้นพจน์อนุพันธ์อันดับสองในV ²หรือโดยการฉายกลับไปยังJ ¹ (π )

ลิมิตผกผันของลำดับการฉายภาพก่อให้เกิดปริภูมิเจ็ทอนันต์J ^∞ (π)จุดหนึ่งคือชั้นสมมูลของส่วนตัดของ π ที่มีk-เจ็ทเดียวกันในpเหมือนกับ σ สำหรับทุกค่าของkการฉายภาพตามธรรมชาติ π _∞แมปไปยัง p${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$

เพียงแค่คิดในแง่ของพิกัดJ ^∞ (π)ก็ดูเหมือนจะเป็นวัตถุทางเรขาคณิตที่มีมิติอนันต์ อันที่จริง วิธีที่ง่ายที่สุดในการแนะนำโครงสร้างที่หาอนุพันธ์ได้บนJ ^∞ (π)โดยไม่ต้องอาศัยแผนภูมิที่หาอนุพันธ์ได้ คือแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เหนือพีชคณิตสลับที่ลำดับคู่ขนานกับลำดับของการฉายภาพของแมนิโฟลด์คือลำดับของการฉีดของพีชคณิตสลับที่ ให้เราใช้สัญลักษณ์ง่ายๆ ว่าตอนนี้พิจารณาลิมิตโดยตรงของมันจะเป็นพีชคณิตสลับที่ ซึ่งสามารถสมมติได้ว่าเป็นพีชคณิตฟังก์ชันเรียบเหนือวัตถุทางเรขาคณิตJ ^∞ (π)สังเกตว่า ซึ่งเกิดมาเป็นลิมิตโดยตรง จึงมีโครงสร้างเพิ่มเติม: มันคือพีชคณิตสลับที่แบบกรอง ${\displaystyle \pi _{k+1,k}:J^{k+1}(\pi )\to J^{k}(\pi )}$${\displaystyle \pi _{k+1,k}^{*}:C^{\infty }(J^{k}(\pi ))\to C^{\infty }\left(J^{k+1}(\pi )\right)}$${\displaystyle C^{\infty }(J^{k}(\pi ))}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

โดยคร่าวๆ แล้ว องค์ประกอบที่เป็นรูปธรรมจะอยู่ใน เสมอดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันเรียบบนแมนิโฟลด์มิติจำกัดJ ^k (π) ในความหมายปกติ ${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {F}}(\pi )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$

เมื่อกำหนดระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยอันดับที่k E ⊆ J ^k (π)แล้ว ชุดI(E)ของฟังก์ชันเรียบที่หายไปบนEบนJ ^∞ (π)จะเป็นไอเดียลในพีชคณิตและด้วยเหตุนี้จึงเป็นไอเดียลในลิมิตโดยตรงด้วย ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{k}(\pi )}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

ปรับปรุงI(E)โดยการเพิ่มองค์ประกอบที่เป็นไปได้ทั้งหมดของอนุพันธ์รวมที่ใช้กับองค์ประกอบทั้งหมด ด้วยวิธีนี้เราจะได้ไอเดียลใหม่Iซึ่งตอนนี้ปิดภายใต้การดำเนินการของการหาอนุพันธ์รวม ส่วนย่อยE ( _∞)ของJ ^∞ (π) ที่ถูกตัดออกโดยIเรียกว่าส่วนขยายอนันต์ของE${\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}$

ในทางเรขาคณิตE _(∞)คือแมนิโฟลด์ของผลเฉลยเชิงรูปธรรมของEจุดหนึ่งในE _(∞)สามารถมองเห็นได้อย่างง่ายดายว่าแทนด้วยส่วนตัด σ ซึ่ง กราฟของ k -jet สัมผัสกับEที่จุดนั้นด้วยลำดับการสัมผัสที่สูงตามอำเภอใจ ${\displaystyle j_{p}^{\infty }(\sigma )}$${\displaystyle j_{p}^{k}(\sigma )}$

ในเชิงวิเคราะห์ หากEกำหนดโดย φ = 0 คำตอบเชิงรูปแบบสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นเซตของสัมประสิทธิ์เทย์เลอร์ของส่วน σ ที่จุดpซึ่งทำให้ค่าอนุกรมเทย์เลอร์ของที่จุดp เป็น ศูนย์ ${\displaystyle \varphi \circ j^{k}(\sigma )}$

ที่สำคัญที่สุด คุณสมบัติการปิดของIบ่งชี้ว่าE _(∞)สัมผัสกับโครงสร้างสัมผัสลำดับอนันต์ บนJ ^∞ (π)ดังนั้นโดยการจำกัดที่E _(∞)จะได้ค่า diffietyและสามารถศึกษาลำดับ Vinogradov (C-spectral) ที่เกี่ยวข้อง ได้ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (E_{(\infty )},{\mathcal {C}}|_{E_{(\infty )}})}$