ฟังก์ชันค่าสูงสุดปรากฏในหลายรูปแบบในคณิตศาสตร์วิเคราะห์ฮา ร์มอนิก (สาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ ) หนึ่งในฟังก์ชันที่สำคัญที่สุดคือฟังก์ชันค่าสูงสุดของฮาร์ดี-ลิตเติลวูด ฟังก์ชันเหล่านี้มีบทบาทสำคัญในการทำความเข้าใจ เช่น คุณสมบัติการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน อินทิกรัลเอกฐาน และสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย ฟังก์ชันเหล่านี้มักให้แนวทางที่ลึกซึ้งและเรียบง่ายกว่าในการทำความเข้าใจปัญหาในสาขาเหล่านี้เมื่อเทียบกับวิธีการอื่นๆ

ในบทความต้นฉบับGH HardyและJE Littlewoodได้อธิบายความไม่เท่าเทียมกันสูงสุดของพวกเขาโดยใช้ภาษาของค่าเฉลี่ยในการเล่นคริกเก็ตโดยกำหนดฟังก์ชันfบนR ⁿฟังก์ชันสูงสุดของ Hardy–Littlewood ที่ไม่มีจุดศูนย์กลางMfของfจะถูกนิยามดังนี้

${\displaystyle (Mf)(x)=\sup _{B\ni x}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f|}$

ที่แต่ละxในR ⁿในที่นี้ ค่าสูงสุดจะหาจากทรงกลมBในR ⁿที่บรรจุจุดxและ | B | หมายถึงขนาดของ B (ในกรณีนี้คือผลคูณของรัศมีของทรงกลมยกกำลังn ) นอกจากนี้ยังสามารถศึกษาฟังก์ชันค่าสูงสุดแบบมีจุดศูนย์กลางได้ โดยที่ค่าสูงสุดจะหาจากทรงกลมBที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่xในทางปฏิบัติแล้ว ความแตกต่างระหว่างสองวิธีนี้มีน้อยมาก

ข้อความต่อไปนี้เป็นหัวใจสำคัญของประโยชน์ใช้สอยของตัวดำเนินการสูงสุดของ Hardy–Littlewood ^{[ 1 ]}

• (a) สำหรับf ∈ L ^p ( R ⁿ ) (1 ≤ p ≤ ∞) Mfมีค่าจำกัดเกือบทุกที่
• (b) ถ้าf ∈ L ¹ ( R ⁿ ) แล้วจะมีc อยู่จริง ซึ่งสำหรับทุก α > 0

${\displaystyle |\{x\ :\ (Mf)(x)>\alpha \}|\leq {\frac {c}{\alpha }}\int _{\mathbf {R} ^{n}}|f|.}$

• (c) ถ้าf ∈ L ^p ( R ⁿ ) (1 < p ≤ ∞) แล้วMf ∈ L ^p ( R ⁿ ) และ

${\displaystyle \|Mf\|_{L^{p}}\leq A\|f\|_{L^{p}},}$

โดยที่A ขึ้นอยู่กับpและc เท่านั้น

คุณสมบัติ (b) เรียกว่าขอบเขตแบบอ่อนของMfสำหรับฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ มันสอดคล้องกับอสมการมาร์คอฟ แบบพื้นฐาน อย่างไรก็ตามMfไม่สามารถหาปริพันธ์ได้เลย เว้นแต่f = 0 เกือบทุกที่ ดังนั้นการพิสูจน์ขอบเขตแบบอ่อน (b) สำหรับMfจึงต้องใช้การอ้างเหตุผลที่ซับซ้อนน้อยกว่าจากทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิตเช่นบทตั้งการครอบคลุมของ Vitaliคุณสมบัติ (c) กล่าวว่าตัวดำเนินการMมีขอบเขตบนL ^p ( R ⁿ ) ซึ่งเป็นจริงอย่างชัดเจนเมื่อp = ∞ เนื่องจากเราไม่สามารถหาค่าเฉลี่ยของฟังก์ชันที่มีขอบเขต และได้ค่าที่มากกว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันได้ คุณสมบัติ (c) สำหรับค่า pอื่นๆ ทั้งหมดสามารถอนุมานได้จากข้อเท็จจริงทั้งสองนี้โดยการอ้างเหตุผลแบบการแทรกสอด

เป็นที่น่าสังเกตว่า (c) ไม่เป็นจริงสำหรับp = 1 ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ โดยการคำนวณM χ โดยที่ χ คือฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของทรงกลมหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

ตัวดำเนินการสูงสุด ของ Hardy–Littlewood ปรากฏในหลายที่ แต่การใช้งานที่โดดเด่นที่สุดบางส่วน ได้แก่ การพิสูจน์ทฤษฎีบทการหาอนุพันธ์ของ Lebesgueและทฤษฎีบทของ Fatouและในทฤษฎีตัวดำเนินการปริพันธ์เอกฐาน

ฟังก์ชันสูงสุดที่ไม่สัมผัสจะใช้ฟังก์ชันFที่กำหนดไว้บนระนาบครึ่งบน

${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{n+1}:=\left\{(x,t)\ :\ x\in \mathbf {R} ^{n},t>0\right\}}$

และสร้างฟังก์ชันF*ที่กำหนดบนR ⁿผ่านทางนิพจน์

${\displaystyle F^{*}(x)=\sup _{|xy|<t}|F(y,t)|.}$

สังเกตว่าสำหรับค่าx คง ที่ เซตดัง^{กล่าว}เป็นกรวยในที่มีจุดยอดอยู่ที่ ( x , 0) และแกนตั้งฉากกับขอบเขตของRnดังนั้น ตัวดำเนินการสูงสุดที่ไม่สัมผัสจึงหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันF บนกรวยที่ ^มี จุดยอดอยู่ ที่ ขอบเขตของRn${\displaystyle \{(y,t)\ :\ |xy|<t\}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{+}^{n+1}}$

รูปแบบหนึ่งของฟังก์ชันF ที่มีความสำคัญเป็นพิเศษ ซึ่งการศึกษาฟังก์ชันสูงสุดที่ไม่สัมผัสมีความสำคัญนั้น เกิดจากการประมาณค่าเอกลักษณ์นั่นคือ เรากำหนดฟังก์ชันเรียบที่สามารถหาปริพันธ์ได้ Φ บนR ⁿโดยที่

${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\พี =1}$

และตั้งค่า

${\displaystyle \Phi _{t}(x)=t^{-n}\Phi ({\tfrac {x}{t}})}$

สำหรับt > 0 จากนั้นกำหนด

${\displaystyle F(x,t)=f\ast \Phi _{t}(x):=\int _{\mathbf {R} ^{n}}f(xy)\Phi _{t}(y)\,dy.}$

สามารถแสดงได้^{[ 1 ]}ว่า

${\displaystyle \sup _{t>0}|f\ast \Phi _{t}(x)|\leq (Mf)(x)\int _{\mathbf {R} ^{n}}\Phi }$

และด้วยเหตุนี้จึงได้ผลลัพธ์ที่ลู่เข้าสู่fในL ^p ( R ⁿ ) สำหรับทุก 1 ≤ p < ∞ ผลลัพธ์ดังกล่าวสามารถนำมาใช้เพื่อแสดงว่าการขยายฮาร์มอนิกของ ฟังก์ชัน L ^p ( R ⁿ ) ไปยังระนาบครึ่งบนลู่เข้าสู่ฟังก์ชันนั้นโดยไม่สัมผัส ผลลัพธ์ทั่วไปเพิ่มเติมสามารถหาได้โดยการแทนที่ตัวดำเนินการลาปลาเซียนด้วยตัวดำเนินการเชิงวงรีโดยใช้เทคนิคที่คล้ายกัน ${\displaystyle f\ast \Phi _{t}(x)}$

นอกจากนี้ ด้วยเงื่อนไขที่เหมาะสมบางประการเราสามารถได้รับสิ่งนั้นได้ ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle F^{*}(x)\leq C(Mf)(x)}$.

สำหรับฟังก์ชันf ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในระดับท้องถิ่น บนR ⁿฟังก์ชันสูงสุดที่คมชัดจะถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle f^{\sharp }}$

${\displaystyle f^{\sharp }(x)=\sup _{x\in B}{\frac {1}{|B|}}\int _{B}|f(y)-f_{B}|\,dy}$

สำหรับแต่ละxในR ⁿโดยที่ supremum จะถูกหาเหนือลูกบอลB ทั้งหมด และเป็นค่าเฉลี่ยอินทิกรัลของเหนือลูกบอล^{[ 2 ]}${\displaystyle f_{B}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle B}$

ฟังก์ชัน sharp สามารถใช้เพื่อให้ได้อสมการแบบจุดต่อจุดเกี่ยวกับอินทิกรัลเอกฐานสมมติว่าเรามีตัวดำเนินการTซึ่งมีขอบเขตบนL ² ( R ⁿ ) ดังนั้นเราจึงมี

${\displaystyle \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},}$

สำหรับฟังก์ชัน fที่เรียบและมีขอบเขตจำกัดทั้งหมดสมมติด้วยว่าเราสามารถสร้างTเป็นการสังเคราะห์ (convolution) กับเคอร์เนลKในแง่ที่ว่า เมื่อใดก็ตามที่fและgเรียบและมีขอบเขตที่ไม่ทับซ้อนกัน

${\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(xy)f(y)\,dy\,dx.}$

สุดท้ายนี้ เรากำหนดเงื่อนไขเกี่ยวกับขนาดและความเรียบของเคอร์เนลK ดังนี้ :

${\displaystyle |K(xy)-K(x)|\leq C{\frac {|y|^{\gamma }}{|x|^{n+\gamma }}},}$

เมื่อ. จากนั้นสำหรับค่าr > 1 ที่กำหนดไว้ เราจะได้ว่า ${\displaystyle |x|\geq 2|y|}$

${\displaystyle (T(f))^{\sharp }(x)\leq C(M(|f|^{r}))^{\frac {1}{r}}(x)}$

สำหรับxทั้งหมดในR ^{n [ 1 ]}

ให้L เป็นปริภูมิความน่าจะเป็นและT  : X → Xเป็นเอนโดมอร์ฟิซึมที่รักษาการวัดของXฟังก์ชันสูงสุดของf ∈ L ¹ ( X , m ) คือ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}},m)}$

${\displaystyle f^{*}(x):=\sup _{n\geq 1}{\frac {1}{n}}\sum _{i}^{n-1}|f(T^{i}(x))|.}$

ฟังก์ชันสูงสุดของfยืนยันขอบเขตที่อ่อนแอซึ่งคล้ายคลึงกับอสมการสูงสุดของ Hardy–Littlewood :

${\displaystyle m\left(\{x\in X\ :\ f^{*}(x)>\alpha \}\right)\leq {\frac {\|f\|_{1}}{\alpha }},}$

นั่นคือการกล่าวซ้ำ ทฤษฎีบทเออ ร์ โกดิกสูงสุด

ถ้าเป็นมาร์ติงเกลเราสามารถกำหนดฟังก์ชันสูงสุดของมาร์ติงเกลได้โดยถ้ามีอยู่ ผลลัพธ์หลายอย่างที่ใช้ได้ในกรณีคลาสสิก (เช่น ความมีขอบเขตในและความไม่เท่าเทียมกันแบบอ่อน ) จะใช้ได้ เช่นกันเมื่อพิจารณาจากและ^{[ 3 ]}${\displaystyle \{f_{n}\}}$${\displaystyle f^{*}(x)=\sup _{n}|f_{n}(x)|}$${\displaystyle f(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }f_{n}(x)}$${\displaystyle L^{p},1<p\leq \infty }$${\displaystyle L^{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{*}}$