ในทางคณิตศาสตร์อินทิกรัลเอกฐานมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกและมีความเชื่อมโยงอย่างใกล้ชิดกับการศึกษาเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย โดยทั่วไปแล้ว อินทิกรัลเอกฐานคือตัวดำเนินการอินทิกรัล

${\displaystyle T(f)(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy,}$

ซึ่งฟังก์ชันเคอร์เนลมีจุดเอกฐานตามแนวทแยงมุมโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จุดเอกฐานนั้นมีลักษณะที่ขนาดโดยประมาณเมื่อเนื่องจากโดยทั่วไปแล้วปริพันธ์ดังกล่าวอาจไม่สามารถหาปริพันธ์สัมบูรณ์ได้ จึงต้องกำหนดนิยามที่เข้มงวดให้ปริพันธ์เหล่านั้นเป็นลิมิตของปริพันธ์เหนือเมื่อ แต่ในทางปฏิบัติแล้วนี่เป็นเพียงรายละเอียดทางเทคนิค โดยปกติแล้วจำเป็นต้องมีข้อสมมติเพิ่มเติมเพื่อให้ ได้ ผลลัพธ์ เช่น ความมีขอบเขตบนปริภูมิ Lpเป็นต้น${\displaystyle K:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle |K(x,y)|}$${\displaystyle |xy|^{-n}}$${\displaystyle |xy|\to 0}$${\displaystyle |yx|\to \epsilon }$${\displaystyle \epsilon \ถึง 0}$${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$

ตัวดำเนินการอินทิกรัลเอกพจน์ต้นแบบคือการแปลงฮิลเบิร์ต ซึ่งได้มาจากการสังเคราะห์ร่วมกับเคอร์เนลสำหรับในกล่าวโดยละเอียดกว่านั้นคือ ${\displaystyle H}$${\displaystyle K(x)=1/(\pi x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle H(f)(x)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|xy|>\varepsilon }{\frac {1}{xy}}f(y)\,dy.}$

สิ่งที่เทียบเคียงได้โดยตรงที่สุดในมิติที่สูงกว่าคือการแปลงรีซ (Riesz transforms ) ซึ่งแทนที่ด้วย ${\displaystyle K(x)=1/x}$

${\displaystyle K_{i}(x)={\frac {x_{i}}{|x|^{n+1}}}}$

โดยที่และ เป็นส่วนประกอบที่ -th ของใน ตัวดำเนินการทั้งหมดเหล่านี้มีขอบเขตบนและสอดคล้องกับการประมาณค่าแบบอ่อน^{[ 1 ]}${\displaystyle i=1,...,n}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle (1,1)}$

อินทิกรัลเอกฐานประเภทคอนโวลูชัน คือตัวดำเนินการที่กำหนดโดยการคอนโวลูชันกับเคอร์เนลที่สามารถอินทิเกรตได้ในระดับท้องถิ่นบนในความหมายที่ว่า ${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle R^{n}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle T(f)(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{|yx|>\varepsilon }K(xy)f(y)\,dy.}$

1

สมมติว่าเคอร์เนลมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. เงื่อนไขขนาดในการแปลงฟูริเยร์ของ${\displaystyle K}$

   ${\displaystyle {\hat {K}}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$

2. เงื่อนไขความเรียบเนียน : สำหรับบางคน ${\displaystyle C>0}$

   ${\displaystyle \sup _{y\neq 0}\int _{|x|>2|y|}|K(xy)-K(x)|\,dx\leq C.}$

จากนั้นสามารถแสดงได้ว่ามีขอบเขตบน และสอดคล้องกับ การประมาณค่า แบบอ่อน${\displaystyle T}$${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle (1,1)}$

คุณสมบัติ 1. จำเป็นเพื่อให้แน่ใจว่าการสังเคราะห์ ( 1 ) กับการกระจายแบบเทมเปอร์ pv  ที่กำหนดโดยปริพันธ์ค่าหลัก${\displaystyle K}$

${\displaystyle \operatorname {pv} \,\,K[\phi ]=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{|x|>\epsilon }\phi (x)K(x)\,dx}$

เป็น ตัวคูณฟูริเยร์ที่กำหนดไว้อย่างดีบนคุณสมบัติข้อ 1 หรือ 2 นั้นไม่จำเป็นต้องตรวจสอบได้ง่ายเสมอไป และมีเงื่อนไขเพียงพอหลายประการ โดยทั่วไปในการใช้งาน มักจะมีเงื่อนไข การหักล้าง ด้วย${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \int _{R_{1}<|x|<R_{2}}K(x)\,dx=0,\ \forall R_{1},R_{2}>0}$

ซึ่งตรวจสอบได้ค่อนข้างง่าย ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นฟังก์ชันคี่ มันจะทำงานโดยอัตโนมัติ นอกจากนี้ ถ้าเราสมมติเงื่อนไขข้อ 2 และเงื่อนไขขนาดต่อไปนี้ด้วย ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \sup _{R>0}\int _{R<|x|<2R}|K(x)|\,dx\leq C,}$

จากนั้นจึงสามารถแสดงได้ว่า 1. เป็นไปตามนั้น

เงื่อนไขความเรียบเนียนข้อ 2 มักตรวจสอบได้ยากในทางทฤษฎี ดังนั้นจึงสามารถใช้เงื่อนไขเพียงพอของเคอร์เนลต่อไปนี้ได้: ${\displaystyle K}$

• ${\displaystyle K\in C^{1}(\mathbf {R} ^{n}\setminus \{0\})}$
• ${\displaystyle |\nabla K(x)|\leq {\frac {C}{|x|^{n+1}}}}$

โปรดสังเกตว่าเงื่อนไขเหล่านี้เป็นไปตามการแปลงฮิลเบิร์ตและรีซ ดังนั้นผลลัพธ์นี้จึงเป็นการขยายผลลัพธ์เหล่านั้น^{[ 2 ]}

ตัวดำเนินการเหล่านี้มีความทั่วไปมากยิ่งขึ้น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากสมมติฐานของเราค่อนข้างอ่อน จึงไม่จำเป็นเสมอไปที่ตัวดำเนินการเหล่านี้จะมีขอบเขตจำกัดบน ${\displaystyle L^{p}}$

ฟังก์ชันจะเรียกว่าเป็นเคอร์เนลCalderón – Zygmund หาก ^เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับค่าคงที่บางค่าและ[ ^{2 ]}${\displaystyle K:\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle C>0}$${\displaystyle \delta >0}$

1. ${\displaystyle |K(x,y)|\leq {\frac {C}{|xy|^{n}}}}$

2. ${\displaystyle |K(x,y)-K(x',y)|\leq {\frac {C|xx'|^{\delta }}{{\bigl (}|xy|+|x'-y|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ เมื่อใดก็ตามที่ }}|xx'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|xy|,|x'-y|{\bigr )}}$

3. ${\displaystyle |K(x,y)-K(x,y')|\leq {\frac {C|yy'|^{\delta }}{{\bigl (}|xy|+|xy'|{\bigr )}^{n+\delta }}}{\text{ เมื่อใดก็ตามที่ }}|yy'|\leq {\frac {1}{2}}\max {\bigl (}|xy'|,|xy|{\bigr )}}$

${\displaystyle T}$กล่าวกันว่าเป็นตัวดำเนินการอินทิกรัลเอกฐานชนิดไม่คอนโวลูชันที่เกี่ยวข้องกับเคอร์เนลของ Calderón–Zygmund ถ้า ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \int g(x)T(f)(x)\,dx=\iint g(x)K(x,y)f(y)\,dy\,dx,}$

เมื่อใดก็ตามที่และมีความเรียบและมีส่วนรองรับที่ไม่ทับซ้อนกัน^{[ 2 ]}ตัวดำเนินการดังกล่าวไม่จำเป็นต้องมีขอบเขตบน${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle L^{p}}$

อินทิกรัลเอกฐานชนิดไม่คอนโวลูชัน ที่เกี่ยวข้องกับเคอร์เนลของคาลเดอรอน-ซิกมุนด์ เรียกว่าตัวดำเนินการคาลเดอรอน-ซิกมุนด์เมื่อมันมีขอบเขตบนนั่นคือ มีค่า ที่ทำให้ ${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle \|T(f)\|_{L^{2}}\leq C\|f\|_{L^{2}},}$

สำหรับพื้นผิวเรียบทั้งหมดที่รองรับอย่างกะทัดรัด ƒ.

สามารถพิสูจน์ได้ว่าตัวดำเนินการดังกล่าวมีขอบเขตจำกัดบนทุกค่า ด้วยเช่น กัน${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle 1<p<\infty }$

ทฤษฎีบท นี้ให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับตัวดำเนินการปริพันธ์เอกฐานที่จะเป็นตัวดำเนินการ Calderón–Zygmund กล่าวคือ สำหรับตัวดำเนินการปริพันธ์เอกฐานที่เกี่ยวข้องกับเคอร์เนล Calderón–Zygmund ที่จะมีขอบเขตบนเพื่อที่จะกล่าวถึงผลลัพธ์ เราต้องกำหนดคำศัพท์บางคำก่อน ${\displaystyle T(b)}$${\displaystyle L^{2}}$

บัมพ์แบบนอร์มาไลซ์คือฟังก์ชันเรียบที่รองรับอยู่ในทรงกลมรัศมี 1 และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด โดยที่สำหรับดัชนีหลายตัวทั้งหมดให้และ แทน สำหรับทุกในและตัวดำเนินการจะเรียกว่ามีขอบเขตอย่างอ่อนถ้ามีค่าคงที่เช่นนั้น ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle |\partial ^{\alpha }\varphi (x)|<1}$${\displaystyle |\alpha |\leq n+2}$${\displaystyle \tau ^{x}(\varphi )(y)=\varphi (y-x)}$${\displaystyle \varphi _{r}(x)=r^{-n}\varphi (x/r)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle \left|\int T{\bigl (}\tau ^{x}(\varphi _{r}){\bigr )}(y)\tau ^{x}(\psi _{r})(y)\,dy\right|\leq Cr^{-n}}$

สำหรับค่านูนปกติทั้งหมดและฟังก์ชันจะเรียกว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มพูน (accretive function ) ถ้ามีค่าคงที่เช่นนั้นสำหรับทุกค่าใน ให้ แทนตัวดำเนินการที่กำหนด โดยการคูณด้วยฟังก์ชัน${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle Re(b)(x)\geq c}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle M_{b}}$${\displaystyle b}$

ทฤษฎีบทระบุว่าตัวดำเนินการอินทิกรัลเอกฐานที่เกี่ยวข้องกับเคอร์เนล Calderón–Zygmund นั้นมีขอบเขตบนหากเป็นไปตามเงื่อนไขทั้งสามข้อต่อไปนี้สำหรับฟังก์ชันสะสมที่มีขอบเขตบางฟังก์ชันและ: ^{[ 3 ]}${\displaystyle T(b)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle b_{1}}$${\displaystyle b_{2}}$

1. ${\displaystyle M_{b_{2}}TM_{b_{1}}}$มีขอบเขตที่อ่อนแอ
2. ${\displaystyle T(b_{1})}$อยู่ในBMO ;
3. ${\displaystyle T^{t}(b_{2}),}$อยู่ในBMOโดยที่คือตัวดำเนินการสลับแถวและคอลัมน์  ของ${\displaystyle T^{t}}$${\displaystyle T}$

• ตัวดำเนินการอินทิกรัลเอกฐานบนเส้นโค้งปิด

• Stein, Elias M. (ตุลาคม 1998). "อินทิกรัลเอกฐาน: บทบาทของ Calderón และ Zygmund" (PDF) . ประกาศของสมาคมคณิตศาสตร์อเมริกัน . 45 (9): 1130– 1140.