ใน ทฤษฎี ทางคณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์ฮาร์มอนิก การแปลงรีซ ( Riesz transforms)เป็นตระกูลของการขยายการแปลงฮิลเบิร์ต (Hilbert transform)ไปยังปริภูมิยุคลิดที่มีมิติd > 1 การแปลงรีซเป็น ตัวดำเนินการ ปริพันธ์ เอกฐาน  ชนิดหนึ่งหมายความว่า การแปลงรีซได้มาจากการสังเคราะห์ (convolution)ของฟังก์ชันหนึ่งกับอีกฟังก์ชันหนึ่งที่มีเอกฐานที่จุดกำเนิด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแปลงรีซของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อน ƒ บนR ^dถูกกำหนดโดย

${\displaystyle R_{j}f(x)=c_{d}\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\mathbf {R} ^{d}\backslash B_{\epsilon }(x)}{\frac {(x_{j}-t_{j})f(t)}{|xt|^{d+1}}}\,dt}$

1

สำหรับj  = 1,2,..., dค่าคงที่c _dคือค่าปรับมาตรฐานเชิงมิติที่กำหนดโดย

${\displaystyle c_{d}={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}={\frac {\Gamma [(d+1)/2]}{\pi ^{(d+1)/2}}}.}$

โดยที่ ω _{d −1}คือปริมาตรของลูกบอลหน่วย ( d  − 1)ลิมิตถูกเขียนในรูปแบบต่างๆ บ่อยครั้งในรูปของค่าหลักหรือในรูปของการสังเคราะห์ร่วมกับการแจกแจงแบบเทมเปอร์

${\displaystyle K(x)={\frac {1}{\pi \omega _{d-1}}}\,pv{\frac {x_{j}}{|x|^{d+1}}}.}$

การแปลง Riesz เกิดขึ้นในการศึกษาคุณสมบัติการหาอนุพันธ์ของศักยภาพฮาร์มอนิกในทฤษฎีศักยภาพและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแปลงเหล่านี้เกิดขึ้นในการพิสูจน์อสมการ Calderón-Zygmund ( Gilbarg & Trudinger 1983 , §9.4)

การแปลงรีซ (Riesz transform) กำหนดโดยตัวคูณฟูริเยร์ (Fourier multiplier ) แท้จริงแล้วการแปลงฟูริเยร์ของR _j ƒ กำหนดโดย

${\displaystyle {\mathcal {F}}(R_{j}f)(x)=-i{\frac {x_{j}}{|x|}}({\mathcal {F}}f)(x).}$

ในรูปแบบนี้ การแปลง Riesz ถือเป็นการวางนัยทั่วไปของการแปลง Hilbertเคอร์เนลเป็นการกระจายตัวที่ เป็นเอกพันธุ์ ที่มีดีกรีศูนย์ ผลที่ตามมาโดยเฉพาะจากการสังเกตครั้งสุดท้ายนี้คือการแปลง Riesz กำหนดตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตจากL ² ( R ^d ) ไปยังตัวมันเอง^{[ 1 ]}

คุณสมบัติความเป็นเนื้อเดียวกันนี้สามารถกล่าวได้โดยตรงยิ่งขึ้นโดยไม่ต้องอาศัยการแปลงฟูริเยร์ หาก σ _sคือการขยายบนR ^dด้วยสเกลาร์sนั่นคือ σ _s x  =  sxแล้ว σ _sจะกำหนดการกระทำบนฟังก์ชันผ่านการดึงกลับ (pullback ):

${\displaystyle \sigma _{s}^{*}f=f\circ \sigma _{s}.}$

การแปลง Riesz สลับที่ได้กับ σ _s :

${\displaystyle \sigma _{s}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\sigma _{x}^{*}f).}$

ในทำนองเดียวกัน การแปลงรีซซ์สามารถสลับที่กับการเลื่อนได้ ให้ τa _{เป็นการ}เลื่อนบนR ^dตามเวกเตอร์aนั่นคือ τa ₍ x ) =  x  +  aแล้ว

${\displaystyle \tau _{a}^{*}(R_{j}f)=R_{j}(\tau _{a}^{*}f).}$

สำหรับคุณสมบัติสุดท้าย เป็นเรื่องสะดวกที่จะพิจารณาการแปลงรีซ (Riesz transform) เป็นหน่วยเวกเตอร์ เดียว R ƒ = ( R ₁ ƒ,..., R _d ƒ) พิจารณาการหมุน ρ ในR ^dการหมุนนี้กระทำต่อตัวแปรเชิงพื้นที่ และด้วยเหตุนี้จึงกระทำต่อฟังก์ชันผ่านการดึงกลับ (pullback) แต่ยังสามารถกระทำต่อเวกเตอร์เชิงพื้นที่R ƒ ได้ด้วย คุณสมบัติการแปลงสุดท้ายยืนยันว่าการแปลงรีซมีความสมมาตร (equivariant)เมื่อเทียบกับการกระทำทั้งสองนี้ นั่นคือ

${\displaystyle \rho ^{*}R_{j}[(\rho ^{-1})^{*}f]=\sum _{k=1}^{d}\rho _{jk}R_{k}f.}$

คุณสมบัติทั้งสามประการนี้ในความเป็นจริงแล้วเป็นลักษณะเฉพาะของการแปลง Riesz ในความหมายต่อไปนี้ ให้T =( T ₁ ,..., T _d ) เป็นd -tuple ของตัวดำเนินการเชิงเส้นที่มีขอบเขตจากL ² ( R ^d ) ไปยังL ² ( R ^d ) โดยที่

• Tสลับที่ได้กับการขยายและการเลื่อนทุกประเภท
• Tมีคุณสมบัติสมมาตรเมื่อเทียบกับการหมุน

ดังนั้น สำหรับค่าคงที่c บาง ค่าT = cR

ในทางทฤษฎี การแปลงรีซสามารถระบุได้ด้วยอนุพันธ์เศษส่วนผ่านทาง

${\displaystyle Rf=-\,\nabla (-\Delta )^{-1/2}f}$,

นั่นคือ. ${\displaystyle R_{j}=-\,\partial _{j}(-\Delta )^{-1/2}}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีตัวระบุผู้ดำเนินการอยู่

${\displaystyle \partial _{i}\partial _{j}=-\,R_{i}R_{j}\Delta }$,

ใช้ได้ในฐานะตัวคูณฟูริเยร์บนและโดยนัยเดียวกัน บนปริภูมิของการกระจายแบบเทมเปอร์ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}'}$

สำหรับฟังก์ชันชวาร์ตซ์ สิ่งนี้หมายความว่า ${\displaystyle u}$

${\displaystyle R_{i}R_{j}(\Delta u)=-\,{\tfrac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}}$.

สถานการณ์จะซับซ้อนขึ้นสำหรับการกระจายแบบเทมเปอร์ทั่วไป ถ้าแล้วจะถูกกำหนดโมดูลัสของฟังก์ชันเชิงเส้น ตรง ซึ่งมีอนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์ และเอกลักษณ์ข้างต้นเป็นจริงในโดยไม่ต้องแก้ไข ${\displaystyle \Delta u\in L^{2}(\mathbb {R} ^{d})}$${\displaystyle u}$${\displaystyle L^{2}}$

โดยทั่วไปแล้ว หากเป็นเช่นนั้นซึ่งมีการเติบโตแบบจำกัดแต่ไม่มีความสามารถในการหาปริพันธ์ (ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นพหุนามกำลังสอง) อาจมีพจน์พหุนามเพิ่มเติมปรากฏขึ้น: ${\displaystyle u}$${\displaystyle \Delta u}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}=-\,R_{i}R_{j}(\Delta u)+P_{ij}(x)}$,

โดยที่เป็นพหุนามที่ขึ้นอยู่กับซึ่งสะท้อนให้เห็นว่าการผกผันของตัวดำเนินการลาปลาเซียนนั้นสามารถนิยามได้ดีเฉพาะบนการแจกแจงแบบเทมเปอร์โมดูลัสพหุนามเท่านั้น ${\displaystyle P_{ij}}$${\displaystyle u}$

• การแปลงฮิลเบิร์ต
• เคอร์เนลปัวซง
• ศักยภาพของ Riesz