ในทางคณิตศาสตร์เซตคาเคยะหรือเซตเบซิโควิชคือเซตของจุดในปริภูมิยูคลิดซึ่งประกอบด้วยส่วนของเส้น ตรงหนึ่งหน่วย ในทุกทิศทาง ตัวอย่างเช่นวงกลมรัศมี 1/2 ในระนาบยูคลิดหรือทรงกลมรัศมี 1/2 ในปริภูมิสามมิติ ก่อให้เกิดเซตคาเคยะ งานวิจัยส่วนใหญ่ในสาขานี้ศึกษาปัญหาว่าเซตดังกล่าวจะมีขนาดเล็กได้มากแค่ไหนอับราม เบซิโควิชแสดงให้เห็นว่ามีเซตเบซิโควิชที่มี ขนาดเป็นศูนย์

ชุดเข็มคาเคยะ (บางครั้งเรียกว่าชุดคาเคยะ) เป็นชุด (เบซิโควิช) ในระนาบที่มีคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่า คือ ส่วนของเส้นตรงหนึ่งหน่วยสามารถหมุนได้อย่างต่อเนื่อง 180 องศาภายในชุดนั้น แล้วกลับสู่ตำแหน่งเดิมโดยมีทิศทางกลับกัน แผ่นดิสก์รัศมี 1/2 เป็นตัวอย่างหนึ่งของชุดเข็มคาเคยะ

ปัญหาเข็มคาเคยะถามว่ามีพื้นที่น้อยที่สุดของบริเวณในระนาบหรือไม่ ซึ่งเข็มที่มีความยาวหนึ่งหน่วยสามารถหมุนได้ 360° คำถามนี้ถูกตั้งขึ้นครั้งแรกสำหรับ บริเวณ นูนโดยโซอิจิ คาเคยะ  ( 1917 ) พื้นที่น้อยที่สุดสำหรับเซตแบบนูนนั้นได้มาจากสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความสูง 1 และพื้นที่ 1/ √3ดังที่พาลได้แสดงไว้^{[ 1 ]}${\displaystyle D}$

ดูเหมือนว่าคาเคยะจะเสนอว่าเซตคาเคยะที่มีพื้นที่น้อยที่สุด หากไม่มีข้อจำกัดเรื่องความนูน จะมี รูปร่าง คล้าย สามเหลี่ยมมุมฉาก อย่างไรก็ตาม นี่เป็นความเข้าใจผิด เพราะยังมีเซตคาเคยะที่ไม่นูนซึ่งมีขนาดเล็กกว่าอยู่ด้วย ${\displaystyle D}$

Abram Besicovitchสามารถแสดงให้เห็นว่าไม่มีขอบเขตล่าง > 0 สำหรับพื้นที่ของบริเวณดังกล่าวซึ่งเข็มที่มีความยาวหนึ่งหน่วยสามารถหมุนรอบได้ นั่นคือ สำหรับทุกๆ จะมีบริเวณที่มีพื้นที่ซึ่งเข็มสามารถเคลื่อนที่ผ่านการเคลื่อนที่ต่อเนื่องที่หมุนได้ครบ 360 องศา^{[ 3 ]}สิ่งนี้สร้างขึ้นจากงานก่อนหน้าของเขาเกี่ยวกับเซตระนาบที่มีส่วนของหน่วยในแต่ละทิศทาง ปัจจุบันเซตดังกล่าวเรียกว่าเซต Besicovitchงานของ Besicovitch ตั้งแต่ปี 1919 แสดงให้เห็นว่าเซตดังกล่าวสามารถมี การวัด ที่เล็กมากได้ตามอำเภอใจ แม้ว่าปัญหาอาจได้รับการพิจารณาโดยนักวิเคราะห์ก่อนหน้านั้นแล้วก็ตาม ${\displaystyle D}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \varepsilon }$

วิธีหนึ่งในการสร้างเซต Besicovitch (ดูรูปประกอบ) เรียกว่า "ต้นไม้ Perron" ซึ่งตั้งชื่อตามOskar Perronผู้ซึ่งสามารถทำให้การสร้างดั้งเดิมของ Besicovitch ง่ายขึ้น^{[ 4 ]}การสร้างที่แม่นยำและขอบเขตเชิงตัวเลขมีอยู่ในการเผยแพร่ของ Besicovitch ^{[ 2 ]}

ข้อสังเกตแรกคือเข็มสามารถเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงได้ไกลเท่าที่ต้องการโดยไม่ต้องกวาดพื้นที่ใดๆ นี่เป็นเพราะเข็มเป็นส่วนของเส้นตรงที่มีความกว้างเป็นศูนย์ เทคนิคที่สองของPálซึ่งเรียกว่า การเชื่อมต่อ ^ของ Pál [ ^{5 ]}อธิบายวิธีการเคลื่อนเข็มระหว่างตำแหน่งสองตำแหน่งใดๆ ที่ขนานกันในขณะที่กวาดพื้นที่เล็กน้อย เข็มจะเคลื่อนที่ตามรูปทรงของตัว "N" มันเคลื่อนที่จากตำแหน่งแรกขึ้นไปทางซ้ายของตัว "N" กวาดมุมไปยังเส้นทแยงมุมตรงกลาง เคลื่อนที่ลงมาตามเส้นทแยงมุม กวาดมุมที่สอง และจากนั้นเคลื่อนที่ขึ้นไปทางด้านขวาที่ขนานกับตัว "N" จนกระทั่งถึงตำแหน่งที่สองที่ต้องการ พื้นที่ที่ถูกกวาดซึ่งไม่ใช่ศูนย์มีเพียงสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสูงหนึ่งและมุมที่ด้านบนของตัว "N" พื้นที่ที่ถูกกวาดเป็นสัดส่วนกับมุมนี้ซึ่งเป็นสัดส่วนกับและดังนั้นพื้นที่ที่ถูกกวาดสามารถทำให้เล็กลงได้ตามอำเภอใจโดยการเลือกค่า ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร (ที่จริงแล้ว พื้นที่ที่ถูกกวาดไปนั้นไม่ใช่รูปสามเหลี่ยม แต่เป็นส่วนเล็กๆ ของวงกลม แต่ก็ถูกต้องแล้วที่พื้นที่ทั้งหมดที่ถูกกวาดไปจะมีขนาดเล็กเมื่อมีขนาดใหญ่) ${\displaystyle r}$${\displaystyle 1/r}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

การสร้างเริ่มต้นด้วยรูปสามเหลี่ยมใดๆ ที่มีความสูง 1 และมีมุมที่สำคัญพอสมควรที่ด้านบน ซึ่งเข็มสามารถกวาดผ่านได้ง่าย เป้าหมายคือการดำเนินการหลายๆ อย่างกับรูปสามเหลี่ยมนี้เพื่อให้พื้นที่ของมันเล็ลง ในขณะที่ยังคงทิศทางที่เข็มสามารถกวาดผ่านได้เหมือนเดิม ขั้นแรก ให้พิจารณาแบ่งรูปสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนและเลื่อนชิ้นส่วนเหล่านั้นทับกันเพื่อให้ฐานของมันซ้อนทับกันในลักษณะที่ลดพื้นที่ทั้งหมดให้น้อยที่สุด เข็มสามารถกวาดไปในทิศทางเดียวกันได้โดยการกวาดไปในทิศทางที่กำหนดโดยรูปสามเหลี่ยมแรก กระโดดไปยังรูปสามเหลี่ยมที่สอง แล้วกวาดไปในทิศทางที่กำหนดโดยรูปสามเหลี่ยมที่สอง เข็มสามารถกระโดดข้ามรูปสามเหลี่ยมได้โดยใช้เทคนิค "N" เนื่องจากเส้นสองเส้นที่ตัดรูปสามเหลี่ยมเดิมนั้นขนานกัน ในการสร้างนี้ ส่วนของเส้นตรงจะออกจากพื้นที่รูปสามเหลี่ยมที่ซ้อนทับกันเดิมและกวาดไปในพื้นที่เพิ่มเติมใหม่ (ขนาดเล็กตามอำเภอใจ)

ทีนี้ เราแบ่งสามเหลี่ยมของเราออกเป็น 2n ^{สามเหลี่ยม}ย่อย รูปแสดงแปดรูป สำหรับสามเหลี่ยมแต่ละคู่ที่อยู่ติดกัน ให้ทำการซ้อนทับแบบเดียวกับที่เราอธิบายไว้ก่อนหน้านี้ เพื่อให้ได้รูปทรงใหม่ครึ่งหนึ่ง โดยแต่ละรูปทรงประกอบด้วยสามเหลี่ยมสองรูปที่ซ้อนทับกัน จากนั้น ซ้อนทับรูปทรงใหม่เหล่านี้ที่อยู่ติดกัน โดยเลื่อนให้ฐานของรูปทรงซ้อนทับกันในลักษณะที่ทำให้พื้นที่รวมน้อยที่สุด ทำซ้ำขั้นตอนนี้nครั้ง จนกระทั่งเหลือเพียงรูปทรงเดียว เข็มสามารถกวาดไปในทิศทางเดียวกันได้ โดยการกวาดไปใน สามเหลี่ยมย่อย ²ⁿ แต่ละ รูปตามลำดับทิศทาง เข็มสามารถข้ามสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกันได้โดยใช้เทคนิค "N" เพราะเส้นสองเส้นที่ตัดสามเหลี่ยมเหล่านี้ขนานกัน

สิ่งที่เหลืออยู่คือการคำนวณพื้นที่ของรูปร่างสุดท้าย เนื่องจากความยากลำบากและข้อจำกัดด้านความยาว จึงไม่สามารถรวมอาร์กิวเมนต์สุดท้ายไว้ได้อย่างครบถ้วน ดังนั้นจะแสดงตัวอย่างแทน จากรูปจะเห็นได้ว่าสามเหลี่ยมย่อย 2n ^รูปซ้อนทับกันมาก ทั้งหมดซ้อนทับกันที่ด้านล่าง ครึ่งหนึ่งซ้อนทับกันที่ด้านล่างของกิ่งซ้าย หนึ่งในสี่ซ้อนทับกันที่ด้านล่างของกิ่งซ้ายสุด และอื่นๆ สมมติว่าพื้นที่ของแต่ละรูปร่างที่สร้างขึ้นด้วยการรวม i ครั้งจากสามเหลี่ยมย่อย 2i รูป^นั้นถูกจำกัดด้วยA _iก่อนที่จะรวมรูปร่างสองรูปนี้เข้าด้วยกัน พื้นที่ของพวกมันถูกจำกัดด้วย 2 A _iจากนั้น ย้ายรูปร่างทั้งสองเข้าหากันเพื่อให้ซ้อนทับกันมากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ในกรณีที่แย่ที่สุด พื้นที่ทั้งสองนี้จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด 1 x ε สองรูปที่ตั้งฉากกัน ทำให้พื้นที่ที่ซ้อนทับกันมีเพียง ε ²เท่านั้น แต่รูปทรงทั้งสองที่เราสร้างขึ้น หากมีลักษณะยาวและแคบ จะชี้ไปในทิศทางเดียวกันเป็นส่วนใหญ่ เนื่องจากสร้างขึ้นจากกลุ่มของสามเหลี่ยมย่อยที่ต่อเนื่องกัน คำอธิบายอย่างคร่าวๆ ระบุว่าพื้นที่ของทั้งสองส่วนทับซ้อนกันอย่างน้อย 1% ดังนั้นพื้นที่ที่รวมกันจะมีขอบเขตโดยA _i+1 = 1.99 A _iพื้นที่ของสามเหลี่ยมเดิมมีขอบเขตโดย 1 ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมย่อยแต่ละส่วนจึงมีขอบเขตโดยA ₀ = 2 ^-nและรูปทรงสุดท้ายมีพื้นที่โดยมีขอบเขตโดยA _n = 1.99 ⁿ × 2 ^-nในความเป็นจริง การรวมพื้นที่ทั้งหมดที่ไม่ทับซ้อนกันอย่างระมัดระวังแสดงให้เห็นว่าพื้นที่ของบริเวณสุดท้ายมีขนาดใหญ่กว่ามาก นั่นคือ1/nเมื่อnเพิ่มขึ้น พื้นที่นี้จะลดลงเหลือศูนย์ เซต Besicovitch สามารถสร้างขึ้นได้โดยการรวมการหมุนหกครั้งของต้นไม้ Perron ที่สร้างจากสามเหลี่ยมด้านเท่า สามารถสร้างโครงสร้างที่คล้ายกันได้ด้วยรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

นอกจากวิธี 'การแตกหน่อ' แล้ว ยังมีวิธีอื่นๆ ในการสร้างเซต Besicovitch ที่มีขนาดเป็นศูนย์อีกด้วย ตัวอย่างเช่นKahaneใช้เซต Cantorเพื่อสร้างเซต Besicovitch ที่มีขนาดเป็นศูนย์ในระนาบสองมิติ^{[ 6 ]}

ในปี พ.ศ. 2484 HJ Van Alphen ^{[ 7 ]}แสดงให้เห็นว่ามีชุดเข็ม Kakeya ขนาดเล็กใดๆ อยู่ภายในวงกลมที่มีรัศมี 2 + ε (ε > 0 ใดๆ) ชุดเข็ม Kakeya ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายที่มีพื้นที่เล็กกว่ารูปสามเหลี่ยมด้านเท่าถูกค้นพบในปี พ.ศ. 2508 Melvin Bloom และIJ Schoenbergได้นำเสนอชุดเข็ม Kakeya ที่มีพื้นที่เข้าใกล้ จำนวน Bloom -Schoenberg (≈0.2843) อย่างอิสระ Schoenberg ตั้งข้อสันนิษฐานว่าจำนวนนี้เป็นขอบล่างสำหรับพื้นที่ของชุดเข็ม Kakeya ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย อย่างไรก็ตาม ในปี พ.ศ. 2514 F. Cunningham ^{[ 8 ]}แสดงให้เห็นว่า เมื่อกำหนด ε > 0 จะมีชุดเข็ม Kakeya ที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายที่มีพื้นที่น้อยกว่า ε อยู่ภายในวงกลมที่มีรัศมี 1 ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})}$

ถึงแม้ว่าจะมีชุดเข็มคาเคยะที่มีขนาดบวกเล็ก ๆ ตามอำเภอใจ และชุดเข็มเบซิโควิชที่มีขนาดเป็น 0 แต่ก็ไม่มีชุดเข็มคาเคยะที่มีขนาดเป็น 0

คำถามเดียวกันเกี่ยวกับขนาดที่เล็กที่สุดของเซตเบซิโควิชเหล่านี้ได้ถูกตั้งขึ้นในมิติที่สูงขึ้น ทำให้เกิดข้อสันนิษฐานหลายประการที่รู้จักกันในชื่อรวมว่าข้อสันนิษฐานของคาเคยะและได้ช่วยริเริ่มสาขาคณิตศาสตร์ที่เรียกว่าทฤษฎีการวัดเชิงเรขาคณิตโดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากมีเซตเบซิโควิชที่มีการวัดเป็นศูนย์ เซตเหล่านั้นจะมีการวัดเฮาส์ดอร์ฟเป็นศูนย์ในมิติ s สำหรับบางมิติที่น้อยกว่ามิติของปริภูมิที่เซตเหล่านั้นอยู่ได้หรือไม่ คำถามนี้ก่อให้เกิดข้อสันนิษฐานต่อไปนี้:

ข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับเซตของคาเคยะ : เซตในปริภูมิยุคลิดที่ประกอบด้วยส่วนของเส้นตรงหน่วยในทุกทิศทาง จะต้องมีมิติเฮาส์ดอร์ฟเท่ากับมิติของปริภูมิ

เป็นที่ทราบกันว่าข้อเท็จจริงนี้เป็นจริงสำหรับn = 1 และ 2 แต่ทราบเพียงผลลัพธ์บางส่วนในมิติที่สูงกว่า

สมมติฐาน Kakeya เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับสมมติฐานการจำกัดสมมติฐานBochner-Rieszและสมมติฐานการปรับเรียบเฉพาะที่^{[ 9 ] [ 10 ]}

ในเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2568 มีการโพสต์หลักฐานที่อ้างว่าเป็นกรณีn = 3 บนarXivโดยHong Wangและ Joshua Zahl ^{[ 11 ]}ข้อสันนิษฐานของ Kakeya ในสามมิติได้รับการอธิบายว่าเป็น "หนึ่งในปัญหาเปิดที่เป็นที่ต้องการมากที่สุดในทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิต" และหลักฐานที่อ้างว่าเป็นความก้าวหน้า^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}

แนวทางที่ทันสมัยในการแก้ปัญหานี้คือการพิจารณา ฟังก์ชันสูงสุดประเภทหนึ่งโดยเฉพาะซึ่งเราสร้างขึ้นดังนี้: ให้S ^{n −1} ⊂ R ⁿเป็นทรงกลมหน่วยใน ปริภูมิ nมิติ กำหนดให้ เป็นทรงกระบอกที่มีความยาว 1 รัศมี δ > 0 จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดa ∈ R ⁿและด้านยาวขนานกับทิศทางของเวกเตอร์หน่วยe ∈ S ^{n −1}จากนั้นสำหรับฟังก์ชันf ที่สามารถหาปริพันธ์ได้ในระดับท้องถิ่นเรากำหนดฟังก์ชันสูงสุดของ Kakeyaของfดังนี้ ${\displaystyle T_{e}^{\เดลต้า }(ก)}$

${\displaystyle f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y),}$

โดยที่mแทนมาตรวัดเลเบสแบบ nมิติโปรดสังเกตว่าถูกกำหนดขึ้นสำหรับเวกเตอร์eในทรงกลมS ^{n −1}${\displaystyle f_{*}^{\เดลต้า }}$

นอกจากนี้ยังมีข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับฟังก์ชันเหล่านี้ ซึ่งหากเป็นจริง จะบ่งชี้ถึงข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับเซตคาเคยะสำหรับมิติที่สูงกว่า:

ข้อสันนิษฐานฟังก์ชันสูงสุดของคาเคยะ : สำหรับทุก ε > 0 จะมีค่าคงที่C _ε > 0 อยู่ค่าหนึ่ง ซึ่งสำหรับฟังก์ชันf ใดๆ และสำหรับทุก δ > 0 (ดู สัญลักษณ์ ในปริภูมิ lp )

${\displaystyle \left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.}$

ผลลัพธ์บางส่วนที่นำไปสู่การพิสูจน์สมมติฐานของคาเคยะมีดังต่อไปนี้:

• ข้อสันนิษฐานของ Kakeya เป็นจริงสำหรับn = 1 (โดยปริยาย) และn = 2 (Davies ^{[ 15 ]} )
• ใน ปริภูมิ nมิติใดๆ Wolff ^{[ 16 ]}แสดงให้เห็นว่ามิติของเซต Kakeya ต้องมีอย่างน้อย ( n +2)/2
• ในปี พ.ศ. 2545 KatzและTao ^{[ 17 ]}ได้ปรับปรุงขอบเขตของ Wolff เป็นซึ่งดีกว่าสำหรับn > 4${\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3}$
• ในปี พ.ศ. 2543 Katz, Łabaและ Tao ^{[ 18 ]}พิสูจน์ว่ามิติ Minkowskiของเซต Kakeya ใน 3 มิติมีค่ามากกว่า 5/2 อย่างชัดเจน
• ในปี พ.ศ. 2543 Jean Bourgainได้เชื่อมโยงปัญหา Kakeya เข้ากับคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง^{[ 19 ] [ 20 ]}ซึ่งเกี่ยวข้องกับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกและทฤษฎีจำนวนบวก
• ในปี 2017 Katz และ Zahl ^{[ 21 ]}ได้ปรับปรุงขอบเขตล่างของมิติ Hausdorffของเซต Besicovitch ใน 3 มิติให้เป็นค่าคงที่สัมบูรณ์${\displaystyle 5/2+\epsilon }$${\displaystyle \epsilon >0}$
• ในปี 2025 Wang และ Zahl ^{[ 11 ]} ได้โพสต์ หลักฐานที่เป็นไปได้ของการคาดการณ์ Kakeya ในกรณี n = 3 บนarXiv

ที่น่าประหลาดใจเล็กน้อยคือ สมมติฐานเหล่านี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าเชื่อมโยงกับคำถามหลายข้อในสาขาอื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกตัวอย่างเช่น ในปี 1971 ชาร์ลส์ เฟฟเฟอร์แมนสามารถใช้การสร้างเซตของเบซิโควิชเพื่อแสดงให้เห็นว่าในมิติที่มากกว่า 1 อินทิกรัลฟูริเยร์แบบตัดทอนที่คำนวณจากทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและรัศมีมีแนวโน้มเข้าสู่อนันต์นั้นไม่จำเป็นต้องลู่เข้าในบรรทัดฐานL ^pเมื่อp ≠ 2 (ซึ่งแตกต่างจากกรณีหนึ่งมิติที่อินทิกรัลแบบตัดทอนดังกล่าวลู่เข้า) ^{[ 22 ]}

ปัญหาที่คล้ายคลึงกับปัญหาของคาเคยะ ได้แก่ การพิจารณาเซตที่มีรูปทรงทั่วไปมากกว่าเส้นตรง เช่น วงกลม

• ในปี พ.ศ. 2540 ^{[ 23 ]}และ พ.ศ. 2542 ^{[ 24 ]} Wolff พิสูจน์ว่าเซตที่ประกอบด้วยทรงกลมที่มีรัศมีทุกค่าจะต้องมีมิติเต็ม นั่นคือ มิติจะเท่ากับมิติของพื้นที่ที่มันอยู่ และพิสูจน์สิ่งนี้โดยการพิสูจน์ขอบเขตของฟังก์ชันสูงสุดแบบวงกลมที่คล้ายกับฟังก์ชันสูงสุดของ Kakeya

• มีการตั้งสมมติฐานว่ามีเซตที่มีทรงกลมรอบจุดทุกจุดที่มีการวัดเป็นศูนย์ ผลลัพธ์ของElias Stein ^{[ 25 ]}พิสูจน์ว่าเซตดังกล่าวทั้งหมดต้องมีการวัดเป็นบวกเมื่อn ≥ 3 และ Marstrand ^{[ 26 ]}พิสูจน์เช่นเดียวกันสำหรับกรณีn= 2

การขยายความคาดการณ์ของคาเคยะคือการพิจารณาเซตที่ประกอบด้วยส่วนของ ปริภูมิย่อยk มิติ แทนที่จะเป็นส่วนของเส้นตรงในทุกทิศทาง กำหนดให้เซตเบซิโควิช ( n , k ) Kเป็นเซตกระชับในRn ^ที่ประกอบด้วยการเลื่อนของดิสก์หน่วยkมิติ ทุกอัน ซึ่งมีมาตรวัดเลเบสเป็นศูนย์ กล่าวคือ ถ้าBแทนลูกบอลหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ศูนย์ สำหรับปริภูมิย่อย k มิติ P ทุกอันจะมี x ∈ Rn อยู่เช่นนั้น (P ∩ B ) + x ⊆ K ดังนั้นเซตเบซิโค^วิช( n , 1 ) จึง เป็นเซตเบซิโควิชมาตรฐานที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้

ข้อสันนิษฐาน ( n , k )-Besicovitch:ไม่มีเซต ( n , k )-Besicovitch สำหรับ k > 1

ในปี พ.ศ. 2522 Marstrand ^{[ 27 ]} พิสูจน์ว่าไม่มีเซต (3, 2)-Besicovitch ในเวลาเดียวกันนั้นFalconer ^{[ 28 ]} พิสูจน์ว่าไม่มีเซต ( n , k )-Besicovitch สำหรับ 2 k > nขอบเขตที่ดีที่สุดจนถึงปัจจุบันคือของ Bourgain ^{[ 29 ]}ซึ่งพิสูจน์ว่าไม่มีเซตดังกล่าวเมื่อ2 ^{k −1} + k > n

ในปี 1999 วูล์ฟได้เสนอ แนวคิดเกี่ยว กับสนามจำกัดที่เทียบเคียงได้กับปัญหาของคาเคยะ โดยหวังว่าเทคนิคที่ใช้ในการแก้ข้อสันนิษฐานนี้จะสามารถนำไปใช้กับกรณีของยุคลิดได้

สมมติฐานคาเคยะเกี่ยวกับฟิลด์จำกัด : ให้Fเป็นฟิลด์จำกัด และให้K ⊆ F ⁿเป็นเซตคาเคยะ กล่าวคือ สำหรับแต่ละเวกเตอร์y ∈ F ⁿ จะมี x ∈ F ⁿอยู่ซึ่งKประกอบด้วยเส้นตรง { x + ty  : t ∈ F } แล้วเซตKจะมีขนาดอย่างน้อยc _n | F | ⁿโดยที่c _n > 0 เป็นค่าคงที่ที่ขึ้นอยู่กับnเท่านั้น

Zeev Dvirพิสูจน์สมมติฐานนี้ในปี 2008 โดยแสดงให้เห็นว่าข้อความนี้เป็นจริงสำหรับc _n = 1/ n ! ^{[ 30 ] [ 31 ]}ในการพิสูจน์ของเขา เขาสังเกตว่าพหุนามใดๆ ใน ตัวแปร nตัวที่มีดีกรีน้อยกว่า | F | ที่หายไปบนเซต Kakeya จะต้องเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ ในทางกลับกัน พหุนามใน ตัวแปร nตัวที่มีดีกรีน้อยกว่า | F | ก่อให้เกิดปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติ

${\displaystyle {|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.}$

ดังนั้น จึงมีพหุนามที่ไม่ใช่พหุนามศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัวที่มีดีกรีน้อยกว่า | F | ซึ่งมีค่าเป็นศูนย์บนเซตใดๆ ก็ตามที่มีจำนวนจุดน้อยกว่าจำนวนนี้ การรวมข้อสังเกตทั้งสองนี้แสดงให้เห็นว่าเซตคาเคยะต้องมีจุดอย่างน้อย | F | ⁿ / n ! จุด

ยังไม่ชัดเจนว่าเทคนิคเหล่านี้จะขยายไปถึงการพิสูจน์สมมติฐาน Kakeya ดั้งเดิมหรือไม่ แต่การพิสูจน์นี้ทำให้สมมติฐานดั้งเดิมน่าเชื่อถือมากขึ้นโดยทำให้ตัวอย่างค้านเชิงพีชคณิตไม่น่าจะเป็นไปได้ Dvir ได้เขียนบทความสำรวจเกี่ยวกับความคืบหน้าของปัญหา Kakeya ในฟิลด์จำกัดและความสัมพันธ์กับตัวสกัดความสุ่ม^{[ 32 ]}

• ชุดนิโคดิม

• Kakeya จากมหาวิทยาลัยบริติชโคลัมเบีย
• เบซิโควิชที่ UCLA
• ปัญหาเข็มคาเคยะที่แมทเวิลด์
• บทพิสูจน์ของ Dvir เกี่ยวกับสมมติฐาน Kakeya ของฟิลด์จำกัด ในบล็อกของ Terence Tao
• บทนำเกี่ยวกับชุด Besicovitch-Kakeya