ในทางคณิตศาสตร์คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบเลขคณิต (arithmetic combinatorics) เป็นสาขาที่อยู่บนจุดตัดของทฤษฎีจำนวน การจัดเรียง ทฤษฎีเออร์โกดิกและการวิเคราะห์ฮาร์มอนิ ก

คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง (Arithmetic combinatorics) คือการประมาณค่าเชิงการจัดเรียงที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (การบวก การลบ การคูณ และการหาร) ส่วนคณิตศาสตร์ เชิงการจัดเรียง แบบบวก (Additive combinatorics ) เป็นกรณีพิเศษที่เกี่ยวข้องเฉพาะการดำเนินการบวกและการลบเท่านั้น

เบน กรีน อธิบายการ ^จัดเรียงเชิงเลขคณิตในบทวิจารณ์ของเขาเกี่ยวกับ "การจัดเรียงเชิงบวก" โดยTaoและVu ^{[ 1} ]

ทฤษฎีบทของ Szemerédiเป็นผลลัพธ์ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงที่เกี่ยวข้องกับลำดับเลขคณิตในเซตย่อยของจำนวนเต็ม ในปี พ.ศ. 2479 ErdősและTuránตั้งข้อสันนิษฐาน^{[ 2 ]} ว่าเซตของจำนวนเต็ม Aทุกเซตที่มีความหนาแน่นตามธรรมชาติ เป็นบวก จะมีลำดับเลขคณิตk พจน์สำหรับทุก kข้อสันนิษฐานนี้ซึ่งต่อมากลายเป็นทฤษฎีบทของ Szemerédi ได้ขยายความของข้อความในทฤษฎีบท ของ van der Waerden

ทฤษฎีบทกรีน-เทาซึ่งพิสูจน์โดยเบน กรีนและเทเรนซ์ เทาในปี 2547 ^{[ 3 ]}ระบุว่าลำดับของจำนวนเฉพาะประกอบด้วยลำดับเลขคณิต ที่มีความยาวตามอำเภอใจ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ มีลำดับเลขคณิตของจำนวนเฉพาะที่มีkพจน์ โดยที่kสามารถเป็นจำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ได้ การพิสูจน์เป็นการขยายทฤษฎีบทของเซเมอเรดี

ในปี 2549 Terence Tao และTamar Zieglerได้ขยายผลลัพธ์เพื่อครอบคลุมลำดับพหุนาม^{[ 4 ]}กล่าวโดยละเอียดคือ เมื่อกำหนดพหุนามค่าจำนวนเต็มP ₁ ,..., P _kในตัวแปรที่ไม่ทราบค่าm หนึ่งตัว โดยที่พจน์คงที่เท่ากับ 0 จะมีจำนวนเต็มx , m มากมายนับไม่ถ้วน ที่x  +  P ₁ ( m ), ..., x  +  P _k ( m ) เป็นจำนวนเฉพาะพร้อมกัน กรณีพิเศษเมื่อพหุนามเป็นm , 2 m , ..., kmบ่งชี้ถึงผลลัพธ์ก่อนหน้านี้ว่ามีลำดับเลขคณิตของจำนวนเฉพาะที่ มีความยาว k

ทฤษฎีบท Breuillard–Green–Tao ซึ่งพิสูจน์โดยEmmanuel Breuillard , Ben GreenและTerence Taoในปี 2011 ^{[ 5 ]}ให้การจำแนกกลุ่มโดยประมาณ อย่างสมบูรณ์ ผลลัพธ์นี้สามารถมองได้ว่าเป็นเวอร์ชันที่ไม่ใช่เชิงอะเบเลียนของทฤษฎีบทของ Freimanและเป็นการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทของ Gromov บนกลุ่มที่มีการเติบโตแบบพหุนาม

ถ้าAเป็นเซตของ จำนวนเต็ม N จำนวน ผล รวม ของเซต นี้จะมีขนาดใหญ่หรือเล็กได้เท่าใด

${\displaystyle A+A:=\{x+y:x,y\in A\},}$

ชุดความแตกต่าง

${\displaystyle AA:=\{xy:x,y\in A\},}$

และชุดผลิตภัณฑ์

${\displaystyle A\cdot A:=\{xy:x,y\in A\}}$

และขนาดของเซตเหล่านี้มีความสัมพันธ์กันอย่างไร? (อย่าสับสน: คำว่าเซตผลต่างและเซตผลคูณอาจมีความหมายอื่นได้)

เซต ที่ กำลังศึกษาอาจเป็นเซตย่อยของ ^{โครงสร้าง}พีชคณิตอื่นที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม เช่นกลุ่มวงแหวนและฟิลด์^{[ 6} ]

• บทสรุปที่น่าสนใจบางส่วนของคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง (Arithmetic Combinatorics ) จากแหล่งข้อมูลของTerence Tao
• คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบบวก: ฤดูหนาว 2550 , เค. ซาวน์ดาราจัน
• ความเชื่อมโยงแรกสุดระหว่างคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบบวกและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์โดย ลูกา เทรวิซาน