ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง ทฤษฎีบทมุมกล่าวว่า สำหรับทุก ๆสำหรับค่า ที่มากพอ เซตของจุดอย่างน้อยในตารางจะมีมุมอยู่ด้วย กล่าวคือ จุดสามจุดในรูปแบบ โดย ที่ ได้รับการพิสูจน์ครั้งแรกโดยMiklós AjtaiและEndre Szemerédiในปี 1974 โดยใช้ทฤษฎีบทของ Szemerédi [ ^{1 ] ใน}ปี 2003 József Solymosiได้ให้การพิสูจน์แบบสั้นโดยใช้ เล มมาการลบสามเหลี่ยม^{[ 2 ]}${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \varepsilon N^{2}}$${\displaystyle N\times N}$${\displaystyle \{1,\ldots ,N\}^{2}}$${\displaystyle \{(x,y),(x+h,y),(x,y+h)\}}$${\displaystyle h\neq 0}$

กำหนดให้มุมคือเซตย่อยของที่มีรูปแบบโดยที่และสำหรับทุก ๆจะมีจำนวนเต็มบวก อยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับทุก ๆเซตย่อยใด ๆที่มีขนาดอย่างน้อยจะมีมุมอยู่ด้วย ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$${\displaystyle \{(x,y),(x+h,y),(x,y+h)\}}$${\displaystyle x,y,h\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle h\neq 0}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N(\varepsilon )}$${\displaystyle N\geq N(\varepsilon )}$${\displaystyle A\subseteq \{1,\ldots ,N\}^{2}}$${\displaystyle \varepsilon N^{2}}$

เงื่อนไขดังกล่าวสามารถผ่อนปรนได้โดยการแสดงให้เห็นว่า ถ้าเซตมีความหนาแน่นแล้ว เซตนั้นจะมีเซตย่อยที่มีความหนาแน่นและมีสมมาตรแบบศูนย์กลาง ${\displaystyle h\neq 0}$${\displaystyle h>0}$${\displaystyle A}$

ต่อไปนี้เป็นโครงร่างคร่าวๆ ของข้อโต้แย้งของโซลิโมซี

สมมติว่ากราฟไม่มีมุม สร้างกราฟสามส่วนเสริมที่มีส่วนประกอบ, , และโดยที่สอดคล้องกับเส้นตรง, สอดคล้องกับเส้นตรง, และสอดคล้องกับเส้นตรงเชื่อมต่อจุดยอดสองจุดถ้าจุดตัดของเส้นตรงที่สอดคล้องกันของจุดยอดทั้งสองนั้นอยู่ในกราฟ ${\displaystyle A\subset \{1,\ldots ,N\}^{2}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X=\{x_{1},\ldots ,x_{N}\}}$${\displaystyle Y=\{y_{1},\ldots ,y_{N}\}}$${\displaystyle Z=\{z_{1},\ldots ,z_{2N}\}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x=i}$${\displaystyle y_{j}}$${\displaystyle y=j}$${\displaystyle z_{k}}$${\displaystyle x+y=k}$${\displaystyle A}$

โปรดทราบว่าสามเหลี่ยมในสอดคล้องกับมุมในยกเว้นในกรณีง่ายๆ ที่เส้นตรงที่สอดคล้องกับจุดยอดของสามเหลี่ยมมาบรรจบกันที่จุดหนึ่งในดังนั้น ขอบทุกด้านของ จึงอยู่ในสามเหลี่ยมเพียงรูปเดียวเท่านั้น ดังนั้นโดยทฤษฎีบทการลบสามเหลี่ยมจึงมีขอบ ดังนั้นตามที่ต้องการ ${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle o(|V(G)|^{2})}$${\displaystyle |A|=o(N^{2})}$

ให้เป็นขนาดของเซตย่อยที่ใหญ่ที่สุดของซึ่งไม่มีมุมใด ๆ ขอบเขตที่ทราบดีที่สุดคือ ${\displaystyle r_{\angle }(N)}$${\displaystyle [N]^{2}}$

${\displaystyle {\frac {N^{2}}{2^{(c_{1}+o(1)){\sqrt {\log _{2}N}}}}}\leq r_{\angle }(N)\leq {\frac {N^{2}}{(\log \log N)^{c_{2}}}},}$

โดยที่และ. ขอบเขตล่างเกิดจาก Green ^{[ 3 ]}โดยอาศัยผลงานของ Linial และ Shraibman ^{[ 4 ]}ขอบเขตบนเกิดจาก Shkredov ^{[ 5 ]}${\displaystyle c_{1}=2{\sqrt {2\log _{2}{\frac {4}{3}}}}\approx 1.822}$${\displaystyle c_{2}={\frac {1}{73}}\approx 0.0137}$

มุมในคือเซตของจุดในรูปแบบโดยที่คือฐานมาตรฐานของและการขยายทฤษฎีบทมุมตามธรรมชาติไปยังการตั้งค่านี้สามารถแสดงได้โดยใช้เลมมาการลบไฮเปอร์กราฟตามแนวทางการพิสูจน์ของ Solymosi เลมมาการลบไฮเปอร์กราฟได้รับการแสดงโดยอิสระโดย Gowers ^{[ 6 ]}และ Nagle, Rödl, Schacht และ Skokan ^{[ 7 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle \{a\}\cup \{a+he_{i}:1\leq i\leq d\}}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle h\neq 0}$

ทฤษฎีบท Szemerédi แบบหลายมิติระบุว่าสำหรับเซตย่อยจำกัดที่กำหนดไว้ใดๆและสำหรับทุกๆจะมีจำนวนเต็มบวกอยู่จำนวนหนึ่งเช่นนั้นสำหรับเซตย่อยใดๆที่มีขนาดอย่างน้อยจะมีเซตย่อยในรูปแบบทฤษฎีบทนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทมุมแบบหลายมิติโดยใช้การอ้างเหตุผลการฉายภาพอย่างง่าย^{[ 6 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีบทของ Roth เกี่ยวกับลำดับเลขคณิตเป็นผลโดยตรงจากทฤษฎีบทมุมธรรมดา ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {Z} ^{d}}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N(S,\varepsilon )}$${\displaystyle N\geq N(S,\varepsilon )}$${\displaystyle A\subseteq \{1,\ldots ,N\}^{d}}$${\displaystyle \varepsilon N^{d}}$${\displaystyle a\cdot S+h}$

• การพิสูจน์ทฤษฎีบทมุมบนโพลีแมธ