ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับลำดับเลขคณิตเป็นที่น่าสนใจในทฤษฎีจำนวน [ ^{1 ] คณิตศาสตร์}เชิงการจัดเรียงและวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ทั้งจากมุมมองเชิงทฤษฎีและเชิงประยุกต์

จงหาจำนวนสมาชิก (แทนด้วยA _k ( m )) ของเซตย่อยที่ใหญ่ที่สุดของ {1, 2, ...,  m } ซึ่งไม่มีลำดับเลขคณิตที่มีความยาวkพจน์ที่แตกต่างกัน สมาชิกของลำดับเลขคณิตที่ต้องห้ามไม่จำเป็นต้องเรียงติดกัน ตัวอย่างเช่นA ₄ (10) = 8 เพราะ {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} ไม่มีลำดับเลขคณิตที่มีความยาว 4 ในขณะที่เซตย่อยที่มี 9 สมาชิกทั้งหมดของ {1, 2, ..., 10} มีลำดับเลขคณิตที่มีความยาว 4 อย่างน้อยหนึ่งลำดับ

ในปี พ.ศ. 2479 Paul ErdősและPál Turánได้ตั้งคำถามที่เกี่ยวข้องกับจำนวนนี้^{[ 2 ]}และ Erdős ได้ตั้งรางวัล 1,000 ดอลลาร์สำหรับคำตอบ รางวัลนี้ถูกรวบรวมโดยEndre Szemerédiสำหรับวิธีแก้ปัญหาที่ตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2518 ซึ่งต่อมาเป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทของ Szemerédi

ทฤษฎีบทของ Szemerédiกล่าวว่า เซตของจำนวนธรรมชาติ ที่มี ความหนาแน่นเชิงเส้นกำกับบนที่ไม่เป็นศูนย์นั้น ประกอบด้วยลำดับเลขคณิตจำกัดที่มีความยาวk ใดๆ ก็ได้

เออร์ดอสได้ตั้งข้อสันนิษฐานที่กว้างกว่านั้นซึ่งจะนำไปสู่ข้อสรุปว่า

ลำดับของจำนวนเฉพาะประกอบด้วยลำดับเลขคณิตที่มีความยาวใดๆ ก็ได้

ผลลัพธ์นี้ได้รับการพิสูจน์โดยBen GreenและTerence Taoในปี 2004 และปัจจุบันเป็นที่รู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทGreen–Tao ^{[ 3 ]}

ดูเพิ่มเติมที่ทฤษฎีบทของ Dirichlet เกี่ยวกับลำดับเลขคณิต

ณ ปี 2020 ลำดับเลขคณิตของจำนวนเฉพาะที่ยาวที่สุดที่ทราบมีความยาว 27: ^{[ 4 ]}

224584605939537911 + 81292139·23#· nสำหรับn = 0 ถึง 26 ( 23# = 223092870 )

ณ ปี 2011 ลำดับเลขคณิตของ จำนวนเฉพาะ ที่ต่อเนื่องกันที่ ยาวที่สุดเท่าที่ทราบ มีความยาว 10 ซึ่งค้นพบในปี 1998 ^{[ 5 ] [ 6 ]}ลำดับนี้เริ่มต้นด้วยตัวเลข 93 หลัก

100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 84032 95093 24689

19004 18036 03417 75890 43417 03348 88215 90672 29719

และมีผลต่างร่วมเท่ากับ 210

ทฤษฎีบทจำนวนเฉพาะสำหรับลำดับเลขคณิตเกี่ยวข้องกับ การกระจายเชิง อะซิมโทติกของจำนวนเฉพาะในลำดับเลขคณิต

• หาค่า l n ที่น้อยที่สุด^{เพื่อ}ให้_เซตของ เศษ nตัวใดๆ ของโมดูลpสามารถครอบคลุมได้ด้วยลำดับเลขคณิตที่มีความยาวl _n [ ^{7 ]}
• สำหรับเซต จำนวนเต็ม S ที่กำหนดให้ จงหาจำนวนลำดับเลขคณิตน้อยที่สุดที่ครอบคลุมS
• สำหรับเซต จำนวนเต็ม S ที่กำหนดให้ จงหาจำนวนน้อยที่สุดของลำดับเลขคณิตที่ไม่ทับซ้อนกันซึ่งครอบคลุมเซตS
• หาจำนวนวิธีในการแบ่ง {1, ...,  n } ออกเป็นลำดับเลขคณิต^{[ 8 ]}
• หาจำนวนวิธีในการแบ่ง {1, ...,  n } ออกเป็นลำดับเลขคณิตที่มีความยาวอย่างน้อย 2 และมีคาบเดียวกัน^{[ 9 ]}
• ดูเพิ่มเติมที่ระบบการปกคลุม

• คณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง
• ไพรม์กริด