ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มโดยประมาณ (approximate group)คือเซตย่อยของกลุ่ม (group)ที่มีพฤติกรรมคล้ายกับกลุ่มย่อย (subgroup ) "โดยมีค่าความคลาดเคลื่อนคงที่" ในเชิงปริมาณที่แม่นยำ (ดังนั้นคำว่ากลุ่มย่อยโดยประมาณ (approximate subgroup ) อาจจะถูกต้องกว่า) ตัวอย่างเช่น ต้องมีเงื่อนไขว่าเซตของผลคูณของสมาชิกในเซตย่อยนั้นต้องมีขนาดไม่ใหญ่กว่าเซตย่อยนั้นมากนัก (ในขณะที่สำหรับกลุ่มย่อยนั้น ต้องมีเงื่อนไขว่าเซตของผลคูณของสมาชิกในเซตย่อยนั้นต้องเท่ากัน) แนวคิดนี้ได้รับการแนะนำในช่วงทศวรรษ 2010 แต่สามารถสืบย้อนไปถึงแหล่งที่มาเก่ากว่าในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงแบบบวก (additive combinatorics )

ให้เป็นกลุ่มและ; สำหรับสองเซตย่อยเราจะใช้สัญลักษณ์แทนเซตของผลคูณทั้งหมดเซตย่อยที่ไม่ว่างเป็นกลุ่มย่อยประมาณ -approximateของถ้า: ^{[ 1 ]}${\displaystyle G}$${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle X,Y\subset G}$${\displaystyle X\cdot Y}$${\displaystyle xy,x\in X,y\in Y}$${\displaystyle A\subset G}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$

1. มันสมมาตร กล่าวคือ ถ้าแล้ว;${\displaystyle g\in A}$${\displaystyle g^{-1}\in A}$
2. มีเซตย่อยที่มีขนาดสมาชิกเท่ากับ อยู่เซตหนึ่งซึ่งมีคุณสมบัติว่า.${\displaystyle X\subset G}$${\displaystyle |X|\leq K}$${\displaystyle A\cdot A\subset X\cdot A}$

สามารถตรวจสอบได้ทันทีว่ากลุ่มย่อยประมาณค่า 1 ที่จำกัดนั้นเหมือนกับกลุ่มย่อยแท้จริง แน่นอนว่าคำจำกัดความนี้มีความน่าสนใจเฉพาะเมื่อมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับ(โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตย่อยใดๆ ก็เป็นกลุ่มย่อยประมาณค่า -) ในการใช้งาน มักใช้กับค่าคงที่และมีค่าเข้าสู่อนันต์ ${\displaystyle K}$${\displaystyle |A|}$${\displaystyle B\subset G}$${\displaystyle ||B|}$${\displaystyle K}$${\displaystyle |A|}$

ตัวอย่างของกลุ่มย่อยโดยประมาณที่ไม่ใช่กลุ่ม ได้แก่ ช่วงสมมาตร และโดยทั่วไปแล้วลำดับเลขคณิตในจำนวนเต็ม อันที่จริง สำหรับทุกค่า เซตย่อยเป็นกลุ่มย่อยโดยประมาณแบบ 2: เซตบรรจุอยู่ในผลรวมของการเลื่อนสองครั้งและของลำดับเลขคณิตทั่วไปในคือเซตย่อยในในรูปแบบและเป็นกลุ่มย่อยโดยประมาณแบบ - ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle X=[-N,N]\subset \mathbb {Z} }$${\displaystyle X+X=[-2N,2N]}$${\displaystyle X+N}$${\displaystyle XN}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{n_{1}x_{1}+\cdots +n_{d}x_{d}:|n_{i}|\leq N_{i}\}}$${\displaystyle 2^{d}}$

ตัวอย่างทั่วไปเพิ่มเติมคือลูกบอลในเมตริกคำใน กลุ่มนิลโพเทนต์ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด

กลุ่มย่อยโดยประมาณของกลุ่มจำนวนเต็มได้รับการจำแนกอย่างสมบูรณ์โดยImre Z. Ruzsaและ Freiman ^{[ 2 ]}ผลลัพธ์ระบุไว้ดังนี้: ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

สำหรับจำนวนใดๆจะมีจำนวนหนึ่งที่ทำให้สำหรับกลุ่มย่อยประมาณค่า ใดๆ จะมีลำดับเลขคณิตทั่วไปที่สร้างขึ้นโดยจำนวนเต็มไม่เกิน และมี สมาชิกอย่างน้อย ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขที่ ว่า${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle C_{K},c_{K}>0}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A\subset \mathbb {Z} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle C_{K}}$${\displaystyle c_{K}|A|}$${\displaystyle A+A+A+A\supset P}$

ค่าคงที่สามารถประมาณได้อย่างแม่นยำ^{[ 3 ]}โดยเฉพาะอย่างยิ่งมีอยู่ในการแปลของ มากที่สุด : ซึ่งหมายความว่ากลุ่มย่อยโดยประมาณของเป็นลำดับเลขคณิตทั่วไป "เกือบ" ${\displaystyle C_{K},C_{K}',c_{K}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle C_{K}'}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

งานของ Breuillard–Green–Tao (ซึ่งเป็นจุดสูงสุดของความพยายามที่เริ่มต้นเมื่อไม่กี่ปีก่อนหน้านี้โดยบุคคลอื่น ๆ) เป็นการสรุปผลลัพธ์นี้อย่างกว้างขวาง ในรูปแบบทั่วไปมาก ๆ ข้อความของงานนี้มีดังต่อไปนี้: ^{[ 4 ]}

ให้; มีอยู่จริงที่ทำให้เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง ให้เป็นกลุ่ม และเป็นกลุ่มย่อยประมาณค่า ใน มีอยู่จริงที่มีกลุ่มย่อยจำกัดและ เป็นกลุ่ม นิลโพเทนต์ โดยที่กลุ่มย่อยที่สร้างโดยประกอบด้วยและโดยที่${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle C_{K}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle K}$${\displaystyle G}$${\displaystyle H\triangleleft G_{0}\leq G}$${\displaystyle H}$${\displaystyle G_{0}/H}$${\displaystyle A^{4}\supset H}$${\displaystyle A^{4}}$${\displaystyle G_{0}}$${\displaystyle A\subset X\cdot G_{0}}$${\displaystyle |X|\leq C_{K}}$

นอกจากนี้ ข้อความยังให้ข้อมูลบางส่วนเกี่ยวกับลักษณะเฉพาะ (ลำดับและขั้น) ของกลุ่มนิลโพเทนต์ด้วย ${\displaystyle G_{0}/H}$

ในกรณีที่เป็นกลุ่มเมทริกซ์จำกัดผลลัพธ์สามารถมีความแม่นยำมากขึ้นได้ เช่น^{[ 5 ]}${\displaystyle G}$

ให้. สำหรับใดๆจะมีค่าคงที่เช่นนั้น สำหรับฟิลด์จำกัดใดๆกลุ่มย่อยเชิงเดี่ยวใดๆและกลุ่มย่อยประมาณ - ใดๆ แล้วจะบรรจุอยู่ในกลุ่มย่อยแท้ของหรือหรือ.${\displaystyle K\geq 1}$${\displaystyle d}$${\displaystyle C_{d}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {F} _{q})}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A\subset G}$${\displaystyle A}$${\displaystyle G}$${\displaystyle |A|\leq K^{C_{d}}}$${\displaystyle |A|\geq |G|/K^{C_{d}}}$

ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับตัวอย่างเช่น; ประเด็นก็คือ ค่าคงที่นั้นไม่ขึ้นอยู่กับจำนวนสมาชิกของฟิลด์ ในแง่หนึ่ง นี่หมายความว่าไม่มีกลุ่มย่อยโดยประมาณที่น่าสนใจ (นอกจากกลุ่มย่อยที่แท้จริง) ในกลุ่มเชิงเส้นแบบง่ายที่มีจำนวนสมาชิกจำกัด (กลุ่มย่อยเหล่านั้นอาจเป็น "กลุ่มย่อยที่ไม่สำคัญ" กล่าวคือ มีขนาดเล็กมาก หรือ "กลุ่มย่อยที่ไม่ใช่กลุ่มย่อยที่แท้จริง" กล่าวคือ มีขนาดเกือบเท่ากับกลุ่มทั้งหมด) ${\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {F} _{q})}$${\displaystyle q}$

ทฤษฎีบท Breuillard–Green–Tao เกี่ยวกับการจำแนกกลุ่มโดยประมาณสามารถใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของ Gromov เกี่ยวกับกลุ่มที่มีการเติบโตแบบพหุนามได้ผลลัพธ์ที่ได้นั้นค่อนข้างแข็งแกร่งกว่า เนื่องจากแสดงให้เห็นว่ามี " ช่องว่าง การเติบโต " ระหว่างกลุ่มนิลโพเทนต์เสมือน (ที่มีการเติบโตแบบพหุนาม) กับกลุ่มอื่นๆ กล่าวคือ มีฟังก์ชัน (ซูเปอร์พหุนาม) อยู่ซึ่งกลุ่มใดๆ ที่มีฟังก์ชันการเติบโตที่ถูกจำกัดด้วยผลคูณของจะเป็นกลุ่มนิลโพเทนต์เสมือน^{[ 6 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

การประยุกต์ใช้อื่นๆ ได้แก่ การสร้างกราฟขยายจากกราฟ Cayley ของกลุ่มง่ายจำกัด และหัวข้อที่เกี่ยวข้องกับ การประมาณ ค่าที่แข็งแกร่งมาก^{[ 7 ] [ 8 ]}