การประมาณค่าแบบ ซูเปอร์สตรอง (Superstrong approximation)เป็นการขยายความของ การประมาณค่าแบบสตรอง (Strong approximation) ในกลุ่มพีชคณิตGเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ช่องว่างสเปกตรัม สเปกตรัมที่กล่าวถึงคือสเปกตรัมของ เมทริกซ์ลาปลาเซียนที่เกี่ยวข้องกับตระกูลของผลหารของกลุ่มดิสครีต Γ และช่องว่างคือช่องว่างระหว่างค่าไอเกนตัวแรกและตัวที่สอง (การทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้ค่าไอเกนตัวแรกสอดคล้องกับฟังก์ชันคงที่ในฐานะเวกเตอร์ไอเกน) ในที่นี้ Γ เป็นกลุ่มย่อยของจุดตรรกยะของGแต่ไม่จำเป็นต้องเป็นแลตทิซอาจเป็นกลุ่มบาง (thin group ) ก็ได้ "ช่องว่าง" ที่กล่าวถึงคือขอบล่าง (ค่าคงที่สัมบูรณ์) สำหรับความแตกต่างของค่าไอเกนเหล่านั้น

ผลที่ตามมาและเทียบเท่าของคุณสมบัตินี้ ซึ่งอาจใช้ได้กับ กลุ่มย่อย หนาแน่น Zariski Γ ของกลุ่มเชิงเส้นพิเศษเหนือจำนวนเต็ม และในกลุ่มพีชคณิตทั่วไปG มากขึ้น คือ ลำดับของกราฟ Cayleyสำหรับการลด Γ _pมอดูลจำนวนเฉพาะpโดยสัมพันธ์กับเซตคงที่S ใดๆ ใน Γ ที่เป็นเซตสมมาตรและเซตก่อกำเนิดเป็นตระกูลตัวขยาย^{[ 1 ]}

ในบริบทนี้ "การประมาณค่าแบบเข้มแข็ง" หมายถึงข้อความที่ว่า เมื่อลดรูป Sแล้ว จะสร้างกลุ่มจุดทั้งหมดของGบนฟิลด์เฉพาะที่มีpสมาชิก เมื่อpมีขนาดใหญ่พอ ซึ่งเทียบเท่ากับการที่กราฟ Cayley เชื่อมต่อกัน (เมื่อpมีขนาดใหญ่พอ) หรือฟังก์ชันคงที่เฉพาะที่บนกราฟเหล่านี้มีค่าคงที่ ดังนั้นปริภูมิค่าลักษณะเฉพาะสำหรับค่าลักษณะเฉพาะแรกจึงมีมิติเดียว ดังนั้น การประมาณค่าแบบเข้มแข็งยิ่งยวดจึงเป็นการปรับปรุงเชิงปริมาณที่เป็นรูปธรรมของข้อความเหล่านี้

คุณสมบัตินี้${\displaystyle (\tau )}$เป็นอนาล็อกในทฤษฎีกลุ่มแบบไม่ต่อเนื่องของคุณสมบัติของ Kazhdan (T)และได้รับการแนะนำโดยAlexander Lubotzky [ ^{2 ] สำหรับ}ตระกูลของกลุ่มย่อยปกติN ที่กำหนด ซึ่งมีดัชนีจำกัดใน Γ การกำหนดสูตรที่เทียบเท่ากันอย่างหนึ่งคือ กราฟ Cayley ของกลุ่ม Γ/ Nทั้งหมดที่เกี่ยวข้องกับชุดตัวสร้างสมมาตรS ที่กำหนดไว้ ก่อให้เกิดตระกูลตัวขยาย^{[ 3 ]}ดังนั้น การประมาณค่าที่แข็งแกร่งมากจึงเป็นการกำหนดสูตรของคุณสมบัติโดยที่กลุ่มย่อยNเป็นเคอร์เนลของการลดโมดูลัสจำนวนเฉพาะpที่ มีขนาดใหญ่พอ${\displaystyle (\tau )}$

ข้อสันนิษฐาน ของLubotzky–Weissระบุว่า (สำหรับกลุ่มเชิงเส้นพิเศษและการลดโมดูลัสจำนวนเฉพาะ) ผลลัพธ์การขยายประเภทนี้เป็นจริงโดยไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกSสำหรับการใช้งาน ผลลัพธ์ที่โมดูลัสไม่ได้ถูกจำกัดให้เป็นจำนวนเฉพาะก็มีความเกี่ยวข้องเช่นกัน^{[ 4 ]}

ผลลัพธ์เกี่ยวกับการประมาณค่าที่แข็งแกร่งมากได้รับการค้นพบโดยใช้เทคนิคเกี่ยวกับกลุ่มย่อยโดยประมาณและอัตราการเติบโตในกลุ่มง่ายจำกัด^{[ 5 ]}