ในคณิตศาสตร์เชิงการบวกและทฤษฎี จำนวน เซตย่อยAของกลุ่มอาเบเลียนGเรียกว่าเซตที่ไม่มีผลรวมถ้าเซตผลรวมA + Aไม่ซ้อนทับกับAกล่าวอีกนัยหนึ่งAเป็นเซตที่ไม่มีผลรวม ถ้าสมการไม่มีคำตอบที่มี ${\displaystyle a+b=c}$${\displaystyle a,b,c\in A}$

ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนคี่เป็นเซตย่อยที่ไม่มีผลรวมของจำนวนเต็มและเซต { N  + 1, ..., 2 N } เป็นเซตย่อยขนาดใหญ่ที่ไม่มีผลรวมของเซต {1, ..., 2 N } ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์กล่าวว่า สำหรับจำนวนเต็มn > 2 ที่กำหนดให้ เซตของกำลังที่n ของจำนวน ^{เต็มที่} ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมด เป็นเซตที่ไม่มีผลรวม

คำถามพื้นฐานบางข้อเกี่ยวกับเซตที่ไม่มีผลรวม ได้แก่:

• มี เซตย่อยที่ไม่มีผลรวมกี่เซตของ {1, ..., N } สำหรับจำนวนเต็มN ? เบน กรีนได้แสดงให้เห็น^{[ 1 ]}ว่าคำตอบคือตามที่ทำนายไว้โดยสมมติฐานของคาเมรอน-เออร์โดส^{[ 2 ]}${\displaystyle O(2^{N/2})}$
• กลุ่มอาเบเลียน G ประกอบด้วย เซตที่ไม่มีผลรวมกี่เซต? ^{[ 3 ]}
• ขนาดของเซตที่ไม่มีผลรวมที่ใหญ่ที่สุดที่กลุ่มอาเบเลียนGประกอบด้วยคืออะไร? ^{[ 3 ]}

เซตที่ไม่มีผลรวมเรียกว่าเซตสูงสุดถ้ามันไม่ใช่เซตย่อยแท้ของเซตที่ไม่มีผลรวมอีกเซตหนึ่ง

ให้ถูกกำหนดโดยเป็นจำนวนที่มากที่สุดที่ทำให้เซตของ จำนวนเต็มที่ไม่เป็นศูนย์ n ตัวใดๆ มีเซตย่อยที่ไม่มีผลรวมและมีขนาดkฟังก์ชันเป็นฟังก์ชันย่อยบวกและโดยทฤษฎีบทเสริมย่อยของเฟเคทมีอยู่จริง ${\displaystyle f:[1,\infty )\to [1,\infty )}$${\displaystyle f(n)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \lim _{n}{\frac {f(n)}{n}}}$

Erdős พิสูจน์ว่าและคาดการณ์ว่าความเท่าเทียมกันเป็นจริง^{[ 4 ]}สิ่งนี้ได้รับการพิสูจน์ในปี 2014 โดย Eberhard, Green และ Manners ซึ่งให้ขอบเขตบนที่ตรงกับขอบเขตล่างของ Erdős จนถึงฟังก์ชันหรือลำดับ ^{[ 5 ]}${\displaystyle \lim _{n}{\frac {f(n)}{n}}\geq {\frac {1}{3}}}$${\displaystyle o(n)}$${\displaystyle f(n)\leq {\frac {n}{3}}+o(n)}$

Erdős ยังถามอีกว่าสำหรับบางคน ในปี 2025 Bedert ได้พิสูจน์สิ่งนี้ในเอกสารก่อน ตีพิมพ์โดยให้ขอบเขตล่าง^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle f(n)\geq {\frac {n}{3}}+\omega (n)}$${\displaystyle \omega (n)\rightarrow \infty }$${\displaystyle f(n)\geq {\frac {n}{3}}+c\log \log n}$

• ทฤษฎีบท Erdős–Szemerédi
• ลำดับที่ไม่มีผลรวม

• ปัญหาแอร์ดิช 792 - erdosproblems.com