ในโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง พื้นที่เมตริกซ์ได้คือพื้นที่โทโพโลยีที่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับพื้นที่เมตริกซ์นั่นคือ พื้นที่โทโพโลยีจะเรียกว่าเมตริกซ์ได้ ถ้ามีเมตริกซ์ที่ทำให้โทโพโลยีที่เหนี่ยวนำโดยเมตริกซ์นั้นเป็น^{[ 1 ] [ 2 ]}ทฤษฎีบท เมตริกซ์ คือทฤษฎีบทที่ให้เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับพื้นที่โทโพโลยีที่จะเป็นเมตริกซ์ได้ ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle d:X\times X\to [0,\infty )}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \tau .}$

ปริภูมิเมตริกซ์สืบทอดคุณสมบัติทางโทโพโลยีทั้งหมดจากปริภูมิเมตริกซ์ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเมตริกซ์เป็น ปริภูมิ พาราคอมแพ็ก ต์แบบ เฮาส์ดอร์ฟ (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นปริภูมิปกติและไทโคนอฟ ) และเป็นปริภูมิที่นับได้เป็นอันดับแรกอย่างไรก็ตาม คุณสมบัติบางอย่างของเมตริกซ์ เช่นความสมบูรณ์ไม่สามารถกล่าวได้ว่าสืบทอดมา เช่นเดียวกับโครงสร้างอื่นๆ ที่เชื่อมโยงกับเมตริกซ์ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเอกรูป ที่สามารถกำหนดเมตริกซ์ได้ อาจมีชุดแผนที่การหดตัว ที่แตกต่าง จากปริภูมิเมตริกซ์ที่มันเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกด้วย

หนึ่งในทฤษฎีระบบเมตริกที่ได้รับการยอมรับอย่างกว้างขวางเป็นครั้งแรกคือทฤษฎีบทการกำหนดเมตริกของ Urysohnกล่าวว่าปริภูมิปกติแบบนับได้ลำดับที่สอง สามารถกำหนดเมตริกได้ ดังนั้น ตัวอย่างเช่นแมนิโฟลด์แบบกำหนดเมตริกได้ (หมายเหตุทางประวัติศาสตร์: รูปแบบของทฤษฎีบทที่แสดงไว้ที่นี่ได้รับการพิสูจน์โดยTikhonovในปี 1926 สิ่งที่Urysohnได้แสดงไว้ในบทความที่ตีพิมพ์หลังมรณกรรมในปี 1925 คือ ปริภูมิ ปกติ แบบนับได้ลำดับ ที่สองของ Hausdorff ทุกปริภูมิสามารถกำหนดเมตริกได้) ส่วนกลับไม่เป็นจริง: มีปริภูมิเมตริกที่ไม่สามารถนับได้ลำดับที่สอง ตัวอย่างเช่น เซตที่นับไม่ได้ซึ่งมีเมตริกแบบไม่ต่อเนื่อง ^{[ 3 ]}ทฤษฎีบทการกำหนดเมตริกของ Nagata–Smirnovที่อธิบายไว้ด้านล่าง ให้ทฤษฎีบทที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นซึ่งส่วนกลับเป็นจริง

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการกำหนดเมตริกซ์อื่นๆ อีกหลายทฤษฎีเป็นผลมาจากทฤษฎีบทของอูรีโซห์นอย่างง่ายๆ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิ เฮาส์ดอร์ฟ แบบกระชับสามารถกำหนดเมตริกซ์ได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิที่นับได้ลำดับที่สอง

ทฤษฎีบทของ Urysohn สามารถกล่าวใหม่ได้ว่า: ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสามารถแยกได้และสามารถกำหนดเมตริกได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิปกติ ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ และปริภูมิที่นับได้ลำดับที่สอง ทฤษฎีบทการกำหนดเมตริกของ Nagata–Smirnov ขยายสิ่งนี้ไปยังกรณีที่ไม่สามารถแยกได้ โดยกล่าวว่าปริภูมิเชิงทอพอโลยีสามารถกำหนดเมตริกได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิปกติ ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ และมีฐานจำกัดเฉพาะที่แบบ σ ฐานจำกัดเฉพาะที่แบบ σ คือฐานที่เป็นการรวมกัน ของเซตเปิด จำกัด เฉพาะที่จำนวนนับได้ สำหรับทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด โปรดดูทฤษฎีบท การกำหนดเมตริกของ Bing

ปริภูมิเมตริกที่แยกได้ยังสามารถกำหนดลักษณะได้ว่าเป็นปริภูมิที่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับปริภูมิย่อยของลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต ซึ่งก็คือผลคูณอนันต์ที่นับได้ของช่วงหน่วย (พร้อมด้วยโทโพโลยีปริภูมิย่อยตามธรรมชาติจากจำนวนจริง) กับตัวมันเอง โดยมีโทโพโลยีผลคูณ ${\displaystyle \lbrack 0,1\rbrack ^{\mathbb {N} },}$

กล่าวกันว่าปริภูมิหนึ่งสามารถกำหนดเมตริกได้ในระดับท้องถิ่นหากทุกจุดมีบริเวณใกล้เคียง ที่สามารถกำหนดเมตริกได้ สเมียร์นอฟพิสูจน์ว่าปริภูมิที่สามารถกำหนดเมตริกได้ในระดับท้องถิ่นนั้น สามารถกำหนดเมตริกได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟและพาราคอมแพ็กต์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง แมนิโฟลด์หนึ่งสามารถกำหนดเมตริกได้ก็ต่อเมื่อเป็นแมนิโฟลด์พาราคอมแพ็กต์

กลุ่มของตัวดำเนินการเอกภาพบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่แยกได้ซึ่งมีโทโพโลยีตัวดำเนินการที่แข็งแกร่งสามารถวัดได้ (ดูข้อเสนอ II.1 ใน^{[ 4 ]} ) ${\displaystyle \mathbb {U} ({\mathcal {H}})}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

พื้นที่ที่ไม่เป็นไปตามแบบแผนปกติไม่สามารถวัดได้ ตัวอย่างที่สำคัญได้แก่

• โทโพโลยีซาริสกีบนวาไรตีพีชคณิตหรือบนสเปกตรัมของริงใช้ในเรขาคณิตพีชคณิต
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยี ของ ฟังก์ชันทั้งหมดจากเส้นจำนวนจริง ไปยังตัวมันเอง โดยมีทอพอโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด${\displaystyle \mathbb {R} }$

เส้นจำนวนจริงที่มีโทโพโลยีขีดจำกัดล่างไม่สามารถกำหนดเมตริกได้ ฟังก์ชันระยะทางปกติไม่ใช่เมตริกในปริภูมินี้ เพราะโทโพโลยีที่มันกำหนดคือโทโพโลยีปกติ ไม่ใช่โทโพโลยีขีดจำกัดล่าง ปริภูมินี้เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ พาราคอมแพ็กต์ และนับได้เป็นอันดับแรก

เส้นตรงที่มีจุดกำเนิดสองจุดหรือที่เรียกว่าเส้นตรงตาโปนเป็นแมนิโฟลด์ที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟ (และดังนั้นจึงไม่สามารถกำหนดเมตริกได้) เช่นเดียวกับแมนิโฟลด์ทั้งหมด มันเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกเฉพาะที่กับปริภูมิยุคลิดและดังนั้นจึง สามารถ กำหนดเมตริกเฉพาะที่ได้ (แต่ไม่สามารถกำหนดเมตริกได้) และ เป็น เฮาส์ดอร์ฟเฉพาะที่ (แต่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟ ) นอกจากนี้ยังเป็นปริภูมิ ปกติเฉพาะที่_T1แต่ ไม่ใช่ปริภูมิกึ่งปกติ

เส้นยาวนั้นสามารถวัดได้ในระดับท้องถิ่น แต่ในขณะเดียวกันก็วัดไม่ได้ในเชิงปริมาณ กล่าวคือ มัน "ยาวเกินไป"

• เมตริกแบบอพอลโลเนียน  – นักคณิตศาสตร์และกวีชาวโรมาเนีย (ค.ศ. 1895 - 1961)
• ทฤษฎีบทการกำหนดเมตริกของบิง  – อธิบายว่าเมื่อใดที่ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสามารถกำหนดเมตริกได้
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่กำหนดเมตริกได้  – ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีสามารถกำหนดได้ด้วยเมตริก
• พื้นที่มัวร์ (โทโพโลยี)
• ทฤษฎีบทการกำหนดเมตริกของนากาตะ-สมิร์นอฟ  – ระบุว่าเมื่อใดที่ปริภูมิเชิงทอพอโลยีสามารถกำหนดเมตริกได้
• ความสามารถในการทำให้เป็นเอกรูป  – ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีถูกสร้างขึ้นโดยโครงสร้างเอกรูปหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทางคุณสมบัติของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่สามารถเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับ ปริภูมิเอก รูปหรือเทียบเท่ากับทอพอโลยีที่ถูกกำหนดโดยตระกูลของซูโดเมตริก