ในวิชาฟิสิกส์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในฟิสิกส์อนุภาคมัลติเพล็ตคือปริภูมิสถานะ สำหรับ ระดับความเป็นอิสระ 'ภายใน' ของอนุภาคกล่าวคือ ระดับความเป็นอิสระที่เกี่ยวข้องกับตัวอนุภาคเอง ตรงข้ามกับระดับความเป็นอิสระ 'ภายนอก' เช่น ตำแหน่งของอนุภาคในอวกาศ ตัวอย่างของระดับความเป็นอิสระดังกล่าว ได้แก่สถานะสปินของอนุภาคในกลศาสตร์ควอนตัมหรือ สถานะ สีไอโซสปินและไฮเปอร์ชาร์จของอนุภาคในแบบจำลองมาตรฐานของฟิสิกส์อนุภาค ในทางทฤษฎี เราอธิบายปริภูมิสถานะนี้ด้วยปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งมีการกระทำของกลุ่มสมมาตรต่อเนื่อง

ในทางคณิตศาสตร์ มัลติเพล็ตถูกอธิบายผ่านการแสดงแทนของกลุ่มลีหรือพีชคณิตลี ที่สอดคล้องกัน และมักใช้เพื่ออ้างถึงการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ (irreps)

ในระดับกลุ่ม นี่คือกลุ่มสามตัวที่ ${\displaystyle (V,G,\rho )}$

• ${\displaystyle V}$คือปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ (ในความหมายทางพีชคณิต) ซึ่งโดยทั่วไปถือว่าเป็นหรือ${\displaystyle K}$${\displaystyle K=\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle G}$เป็นกลุ่ม Lie กลุ่มนี้มักจะเป็นกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัด
• ${\displaystyle \rho }$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มกล่าวคือ แผนที่จากกลุ่มไปยังปริภูมิของแผนที่เชิงเส้นผกผันได้บนแผนที่นี้ต้องรักษาโครงสร้างของกลุ่มไว้ เพราะเรามี${\displaystyle G\rightarrow {\text{GL}}(V)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle V}$${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G,}$${\displaystyle \rho (g_{1}\cdot g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2})}$

ในระดับพีชคณิต นี่คือสามตัวเลขโดยที่ ${\displaystyle (V,{\mathfrak {g}},\rho )}$

• ${\displaystyle V}$เหมือนเดิมทุกประการ
• ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$เป็นพีชคณิตลี (Lie algebra) โดยส่วนใหญ่มักเป็นพีชคณิตลีที่มีมิติจำกัดเหนือหรือ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle \rho }$เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตลีนี่คือแผนที่เชิงเส้นที่รักษาวงเล็บลีไว้: เนื่องจากเรามี${\displaystyle {\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)}$${\displaystyle X_{1},X_{2}\in {\mathfrak {g}},}$${\displaystyle \rho ([X_{1},X_{2}])=[\rho (X_{1}),\rho (X_{2})]}$

สัญลักษณ์นี้ใช้สำหรับทั้งพีชคณิตลีและกลุ่มลี เนื่องจากอย่างน้อยในมิติจำกัด มีความสัมพันธ์ ที่เข้าใจได้ดี ระหว่างกลุ่มลีและพีชคณิตลี ${\displaystyle \rho }$

ในทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะเรียกโฮโมมอร์ฟิซึมว่า "การแทน" ตัวอย่างเช่น ในประโยค "พิจารณาการแทน" และเรียกปริภูมิเวกเตอร์ว่า "ปริภูมิการแทน" ในทางฟิสิกส์ บางครั้งปริภูมิเวกเตอร์ก็ถูกเรียกว่าการแทน ตัวอย่างเช่น ในประโยค "เราจำลองอนุภาคโดยการแปลงในรูปแบบการแทนแบบซิงเกล็ต" หรือแม้กระทั่งใช้เพื่ออ้างถึงสนามควอนตัมซึ่งรับค่าในรูปแบบการแทนดังกล่าว และอนุภาคทางกายภาพที่ถูกจำลองโดยสนามควอนตัมดังกล่าว ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle V}$

สำหรับตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ (irreducible representation ) นั้น -pletหมายถึงตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ในมิติที่กำหนด โดยทั่วไป กลุ่มหนึ่งอาจมีตัวแทนที่ไม่สมมาตรหลายแบบที่มีมิติเดียวกัน ดังนั้นสิ่งนี้จึงไม่ได้อธิบายลักษณะของตัวแทนได้อย่างสมบูรณ์ ข้อยกเว้นคือซึ่งมีตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้เพียงหนึ่งเดียวที่มีมิติที่กำหนด สำหรับแต่ละจำนวน เต็มที่ ไม่เป็นลบ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ตัวอย่างเช่น พิจารณาปริภูมิสามมิติจริงกลุ่มการหมุนสามมิติSO(3)ทำงานตามธรรมชาติบนปริภูมินี้ในฐานะกลุ่มของเมทริกซ์ การรับรู้ที่ชัดเจนของกลุ่มการหมุนนี้เรียกว่าการแสดงแทนพื้นฐานดังนั้นจึงเป็นปริภูมิการแสดงแทน ข้อมูลทั้งหมดของการแสดงแทนคือเนื่องจากมิติของปริภูมิการแสดงแทนนี้คือ 3 จึงเรียกว่า การแสดงแทน แบบสามตัวสำหรับและโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์แทน ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle 3\times 3}$${\displaystyle \rho _{\text{fund}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{3},{\text{SO(3)}},\rho _{\text{fund}})}$${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$${\displaystyle \mathbf {3} }$

สำหรับการประยุกต์ใช้ในฟิสิกส์เชิงทฤษฎี เราสามารถจำกัดความสนใจของเราไว้ที่ทฤษฎีการแทนของกลุ่มทางฟิสิกส์ที่สำคัญเพียงไม่กี่กลุ่ม ซึ่งหลายกลุ่มเหล่านี้มีทฤษฎีการแทนที่เข้าใจได้เป็นอย่างดี:

• ${\displaystyle {\text{U}}(1)}$: เป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มเกจในแบบจำลองมาตรฐาน และกลุ่มเกจสำหรับทฤษฎีแม่เหล็กไฟฟ้า Irrep ทั้งหมดมีมิติเดียวและถูกกำหนดดัชนีด้วยจำนวนเต็มโดยระบุอย่างชัดเจนด้วยดัชนีนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นหมายเลขการวนซ้ำของแผนที่${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \rho _{n}:{\text{U}}(1)\rightarrow {\text{GL}}(\mathbb {C} );e^{i\theta }\mapsto e^{in\theta }}$
• ${\displaystyle {\text{SU}}(2)\cong {\text{Spin}}(3)}$: เป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มเกจของแบบจำลองมาตรฐาน Irreps จะถูกจัดทำดัชนีด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบในโดยที่อธิบายถึงมิติของการแสดงแทน หรือ ด้วยการทำให้เป็นมาตรฐานที่เหมาะสม น้ำหนักสูงสุดของการแสดงแทน ในทางฟิสิกส์ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้ครึ่งจำนวนเต็มแทน ดูทฤษฎีการแสดงแทนของ SU(2 )${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{\geq 0}}$${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle {\text{SO}}(3)}$กลุ่มของการหมุนในปริภูมิ 3 มิติ Irreps คือ irreps ที่มีมิติเป็นเลขคี่ของ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$
• ${\displaystyle {\text{SU}}(3)}$: เป็นส่วนหนึ่งของกลุ่มเกจของแบบจำลองมาตรฐาน Irreps คือคู่ดัชนีของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบซึ่งอธิบายน้ำหนักสูงสุดของการแสดงแทน ดูสัมประสิทธิ์ Clebsch-Gordan สำหรับ SU(3 )${\displaystyle (m,n)}$
• ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$กลุ่มลอเรนซ์คือสมมาตรเชิงเส้นของปริภูมิเวลาแบบราบเรียบ การแสดงผลทั้งหมดเกิดขึ้นจากการแสดงผลของกลุ่มสปินที่สอดคล้องกัน ดูทฤษฎีการแสดงผลของกลุ่มลอเรนซ์
• ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )\cong {\text{Spin}}(1,3)}$กลุ่มสปินของIrrep จะถูกจัดทำดัชนีด้วยคู่ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบซึ่งบ่งชี้ถึงมิติของการแสดงผล${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$${\displaystyle (\mu ,\nu )}$
• ${\displaystyle {\text{E}}(1,3)\cong \mathbb {R} ^{1,3}\rtimes {\text{SO}}(1,3)}$กลุ่มไอโซเมตรีของปวงกาเรในปริภูมิเวลาแบบราบ สามารถทำความเข้าใจได้ในแง่ของทฤษฎีการแทนของกลุ่มข้างต้น ดูการจำแนกประเภทของวิกเนอร์

กลุ่มเหล่านี้ปรากฏอยู่ในทฤษฎีของแบบจำลองมาตรฐานทั้งหมด สำหรับทฤษฎีที่ขยายความสมมาตรเหล่านี้ อาจพิจารณาทฤษฎีการแทนของกลุ่มอื่นๆ ได้อีกด้วย:

• สมมาตรแบบคอนฟอร์มอล: สำหรับปริภูมิแบบซูโด-ยูคลิด สมมาตรต่างๆ จะถูกอธิบายโดยกลุ่มคอนฟอร์มอล${\displaystyle {\text{Conf}}(p,q)\cong O(p,q)/\mathbb {Z} _{2}}$
• ซูเปอร์สมมาตร: สมมาตรที่อธิบายโดยซูเปอร์กรุ๊ป
• ทฤษฎีเอกภาพขั้นสูง: กลุ่มเกจที่ประกอบด้วยกลุ่มเก จแบบจำลองมาตรฐานเป็นกลุ่มย่อย ตัวเลือกที่เสนอ ได้แก่และ${\displaystyle {\text{SU}}(5),{\text{SO}}(10)}$${\displaystyle {\text{E}}_{6}}$

ในฟิสิกส์ควอนตัม แนวคิดทางคณิตศาสตร์นี้มักถูกนำไปใช้กับการแสดงแทนของกลุ่มเกจตัวอย่างเช่นทฤษฎีเกจจะมีมัลติเพล็ต ซึ่งเป็นฟิลด์ที่การแสดงแทนของฟิลด์นั้นถูกกำหนดโดยจำนวนครึ่งจำนวนเต็มตัวเดียว นั่นคือไอโซสปิน เนื่องจากตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้นั้นมีสมมาตรกับกำลังสมมาตรที่ n ของตัวแทนพื้นฐาน ดังนั้นทุกฟิลด์จึงมีดัชนีภายในที่เป็นสมมาตร ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle s=:n/2}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

ฟิลด์ต่างๆ ยังแปลงรูปภายใต้การแสดงแทนของกลุ่มลอเรนซ์หรือโดยทั่วไปแล้วกลุ่มสปินซึ่งสามารถระบุได้ว่าเป็นเนื่องจากไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษตัวอย่างเช่นฟิลด์สเกลาร์ ซึ่ง มักใช้สัญลักษณ์ซึ่งแปลงรูปในการแสดงแทนแบบไม่สำคัญ ฟิลด์เวกเตอร์(โดยเคร่งครัดแล้ว อาจเรียกได้ว่าฟิลด์โคเวกเตอร์มากกว่า) ซึ่งแปลงรูปเป็นเวกเตอร์ 4 มิติ และฟิลด์สปินเนอร์เช่น สปินเนอร์ของ ดิแรกหรือไวล์ซึ่งแปลงรูปในการแสดงแทนของส ปินเนอร์ไวล์มือขวาแปลงรูปในการแสดงแทนพื้นฐานของ${\displaystyle {\text{SO}}(1,3)}$${\displaystyle {\text{สปิน}}(1,3)}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle A_{\mu }}$${\displaystyle \psi _{\อัลฟา }}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$

โปรดระวังว่า นอกเหนือจากกลุ่มลอเรนซ์แล้ว ฟิลด์ยังสามารถแปลงรูปได้ภายใต้การกระทำของกลุ่มเกจ ตัวอย่างเช่น ฟิลด์สเกลาร์โดยที่เป็นจุดในปริภูมิเวลา อาจมีสถานะไอโซสปินที่มีค่าอยู่ในรูปแบบพื้นฐานของเช่นนั้นจะเป็นฟังก์ชันเวกเตอร์ของปริภูมิเวลา แต่ยังคงเรียกว่าฟิลด์สเกลาร์ เนื่องจากมันแปลงรูปได้อย่างง่ายดายภายใต้การแปลงลอเรนซ์ ${\displaystyle \phi (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$${\displaystyle \phi (x)}$

ในทฤษฎีสนามควอนตัม อนุภาคต่าง ๆ จะสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับสนามเกจที่แปลงรูปไปเป็นการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ของกลุ่มภายในและกลุ่มลอเรนซ์ ดังนั้น มัลติเพล็ตจึงถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายกลุ่มของอนุภาคย่อยอะตอมที่อธิบายโดยการแสดงแทนเหล่านี้ ด้วย

ตัวอย่างที่รู้จักกันดีที่สุดคือสปินมัลติเพล็ตซึ่งอธิบายสมมาตรของการแสดงกลุ่มของกลุ่มย่อยSU(2) ของพีชคณิตลอเรนซ์ซึ่งใช้ในการกำหนดควอนตัมสปิน สปินซิงเกล็ตคือการแสดงแบบไม่สำคัญสปินดับเบิลเล็ตคือการแสดงแบบพื้นฐานและสปินทริปเล็ตอยู่ในการแสดงเวกเตอร์หรือการแสดงแบบผกผัน

ในQCD ควาร์กอยู่ในมัลติเพล็ตของSU(3)โดยเฉพาะการแสดงแทนพื้นฐานสามมิติ

ในวิชาสเปกโทรสโกปี โดยเฉพาะอย่างยิ่งสเปกโทรสโกปีแกมมาและสเปกโทรสโกปีรังสีเอ็กซ์มัลติเพล็ตคือกลุ่มของเส้นสเปกตรัม ที่เกี่ยวข้องกันหรือไม่สามารถแยกแยะ ได้ ในกรณีที่จำนวนเส้นที่ไม่สามารถแยกแยะได้มีน้อย มักจะเรียกโดยเฉพาะว่า ดับเบิลเล็ต หรือ ทริปเล็ต พีค ในขณะที่ คำว่า มัลติเพล็ตใช้เพื่ออธิบายกลุ่มของพีคไม่ว่าจะมีจำนวนเท่าใดก็ตาม

• ไฮเปอร์ชาร์จ
• ไอโซสปิน
• สปิน (ฟิสิกส์)
• การเป็นตัวแทนของกลุ่ม
• ความหลากหลาย (ทางเคมี)