สปินเป็น รูปแบบ ภายในของโมเมนตัมเชิงมุมที่อนุภาคพื้นฐานและอนุภาคประกอบเช่นแฮดรอนนิวเคลียสของอะตอมและอะตอม มีอยู่ ^{[ 1 ] [ 2 ] : 183 –184} สปินเป็นควอนตัมและแบบจำลองที่แม่นยำสำหรับการปฏิสัมพันธ์กับสปินต้องใช้กลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพหรือทฤษฎีสนามควอนตัม

การมีอยู่ของโมเมนตัมเชิงมุมสปินของอิเล็กตรอน นั้นอนุมานได้จากการทดลอง เช่นการทดลอง Stern–Gerlachซึ่งพบว่าอะตอมของเงินมีโมเมนตัมเชิงมุมแยกอิสระสองค่าที่เป็นไปได้ แม้ว่าจะไม่มีโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรก็ตาม^{[ 3 ]}ทฤษฎีบทสถิติสปินเชิง สัมพัทธภาพ เชื่อมโยงการควอนตัมสปินของอิเล็กตรอนกับหลักการกีดกันของ Pauli: การสังเกตการกีดกันหมายถึงสปินครึ่งจำนวนเต็ม และการสังเกตสปินครึ่งจำนวนเต็มหมายถึงการกีดกัน

สปินถูกอธิบายทางคณิตศาสตร์ว่าเป็นเวกเตอร์สำหรับอนุภาคบางชนิด เช่น โฟตอน และเป็นสปินเนอร์สำหรับอนุภาคอื่นๆ เช่น อิเล็กตรอน สปินเนอร์มีพฤติกรรมคล้ายกับเวกเตอร์กล่าวคือ มีขนาดที่แน่นอนและเปลี่ยนแปลงภายใต้การหมุน อย่างไรก็ตาม พวกมันใช้ "ทิศทาง" ที่ไม่ธรรมดา อนุภาคพื้นฐานทั้งหมดของชนิดที่กำหนดจะมีขนาดของโมเมนตัมเชิงมุมสปินเท่ากัน แม้ว่าทิศทางอาจเปลี่ยนแปลงได้ สิ่งเหล่านี้ถูกระบุโดยการกำหนดเลขควอนตัมสปินให้กับอนุภาค^{[ 2 ] : 183–184}

หน่วยSIของสปินนั้นเหมือนกับหน่วยของโมเมนตัมเชิงมุมแบบคลาสสิก (เช่นN · m · s , J · s หรือkg · m² ^· s⁻¹ ⁾ในกลศาสตร์ควอนตัม โมเมนตัมเชิงมุมและโมเมนตัมเชิงมุมสปินจะมีค่าเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งเป็นสัดส่วนกับค่าคงที่ของพลังค์ในทางปฏิบัติ สปินมักจะแสดงเป็น เลขควอนตัมสปิน ที่ไม่มีมิติโดยการหารโมเมนตัมเชิงมุมสปินด้วยค่าคงที่ของพลังค์แบบลดรูปħบ่อยครั้งที่ "เลขควอนตัมสปิน" เรียกง่ายๆ ว่า "สปิน"

แบบจำลองแรกสุดสำหรับการหมุนของอิเล็กตรอนจินตนาการถึงมวลที่มีประจุหมุน แต่แบบจำลองนี้ล้มเหลวเมื่อตรวจสอบอย่างละเอียด การกระจายตัวของพื้นที่ที่ต้องการไม่ตรงกับข้อจำกัดของรัศมีอิเล็กตรอนและความเร็วในการหมุนที่ต้องการเกินความเร็วแสง^{[ 4 ]}ในแบบจำลองมาตรฐานอนุภาคพื้นฐานทั้งหมดถือว่าเป็น "จุด" และพวกมันมีผลกระทบผ่านสนามที่ล้อมรอบพวกมัน^{[ 5 ]}แบบจำลองใดๆ สำหรับการหมุนโดยอิงจากการหมุนของมวลจะต้องสอดคล้องกับแบบจำลองนั้น

Wolfgang Pauliซึ่งเป็นบุคคลสำคัญในประวัติศาสตร์ของสปินควอนตัม ในตอนแรกปฏิเสธความคิดที่ว่า "ระดับความเป็นอิสระ" ที่เขานำเสนอเพื่ออธิบายการสังเกตการณ์เชิงทดลองนั้นเกี่ยวข้องกับการหมุน เขาเรียกมันว่า "ค่าสองค่าที่ไม่สามารถอธิบายได้ในทางคลาสสิก" ต่อมาเขายอมรับว่ามันเกี่ยวข้องกับโมเมนตัมเชิงมุม แต่ยืนยันที่จะพิจารณาสปินเป็นคุณสมบัติเชิงนามธรรม^{[ 6 ]}แนวทางนี้ทำให้ Pauli สามารถพัฒนาการพิสูจน์หลักการกีดกัน Pauli พื้นฐานของเขา ซึ่งปัจจุบันเรียกว่าทฤษฎีบทสปิน-สถิติ^{[ 7 ]}เมื่อมองย้อนกลับไป การยืนกรานและรูปแบบของการพิสูจน์ของเขาได้ริเริ่มยุคฟิสิกส์อนุภาคสมัยใหม่ ซึ่งคุณสมบัติควอนตัมเชิงนามธรรมที่ได้มาจากคุณสมบัติสมมาตรนั้นมีบทบาทสำคัญ การตีความที่เป็นรูปธรรมกลายเป็นเรื่องรองและเป็นทางเลือก^{[ 6 ]}

แบบจำลองคลาสสิกแรกสำหรับการหมุนเสนออนุภาคแข็งขนาดเล็กที่หมุนรอบแกน ดังที่การใช้คำตามปกติอาจบ่งบอกได้ โมเมนตัมเชิงมุมสามารถคำนวณได้จากสนามคลาสสิกเช่นกัน^{[ 8 ] [ 9 ] : 63} โดยการประยุกต์ใช้แนวทางของFrederik Belinfante ในการคำนวณโมเมนตัมเชิงมุมของสนาม Hans C. Ohanian แสดงให้เห็นว่า "การหมุนเป็นคุณสมบัติของคลื่นโดยพื้นฐาน ... ที่เกิดจากการไหลเวียนของประจุในสนามคลื่นของอิเล็กตรอน" ^{[ 10 ]}แนวคิดเดียวกันนี้เกี่ยวกับการหมุนสามารถนำไปใช้กับคลื่นแรงโน้มถ่วงในน้ำได้: "การหมุนเกิดจากการเคลื่อนที่แบบวงกลมของอนุภาคน้ำที่มีขนาดเล็กกว่าความยาวคลื่น" ^{[ 11 ]}

ต่างจากการหมุนเวียนของสนามคลื่นแบบคลาสสิกซึ่งอนุญาตให้ค่าโมเมนตัมเชิงมุมต่อเนื่อง สนามคลื่นควอนตัมอนุญาตให้มีค่าแบบไม่ต่อเนื่องเท่านั้น^{[ 10 ]}ด้วยเหตุนี้ การถ่ายโอนพลังงานไปยังหรือจากสถานะสปินจึงเกิดขึ้นเป็นขั้นควอนตัมคงที่เสมอ อนุญาตเพียงไม่กี่ขั้นเท่านั้น: สำหรับวัตถุประสงค์เชิงคุณภาพหลายประการ ความซับซ้อนของสนามคลื่นควอนตัมสปินสามารถละเลยได้ และคุณสมบัติของระบบสามารถกล่าวถึงได้ในแง่ของแบบจำลองสปิน "จำนวนเต็ม" หรือ "ครึ่งจำนวนเต็ม" ดังที่กล่าวถึงในเลขควอนตัมด้านล่าง

การหมุนสามารถเข้าใจได้แตกต่างกันไปตามการตีความกลศาสตร์ควอนตัมในการตีความของเดอ บรอยล์-โบห์มอนุภาคมีวิถีที่แน่นอน แต่การเคลื่อนที่ของอนุภาคนั้นถูกขับเคลื่อนโดยฟังก์ชันคลื่นหรือคลื่นนำร่อง ในการตีความนี้ การหมุนเป็นคุณสมบัติของคลื่นนำร่อง ไม่ใช่ของอนุภาคเอง^{[ 12 ]}

การคำนวณเชิงสัมพัทธภาพของคุณสมบัติการหมุนของอิเล็กตรอนต้องใช้ สม การDirac ^{[ 7 ]}

ดังที่ชื่อบ่งบอกไว้ เดิมทีสปินถูกมองว่าเป็นการหมุนของอนุภาคไปรอบแกนบางแกน ในอดีตโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรเกี่ยวข้องกับวงโคจรของอนุภาค^{[ 13 ] : 131} แม้ว่าชื่อที่อิงตามแบบจำลองทางกลจะยังคงอยู่ แต่คำอธิบายทางกายภาพกลับไม่เป็น เช่นนั้น การควอนตัมเปลี่ยนแปลงลักษณะของทั้งสปินและโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรอย่างพื้นฐาน

เนื่องจากอนุภาคพื้นฐานมีลักษณะเป็นจุด การหมุนรอบตัวเองจึงไม่สามารถนิยามได้อย่างชัดเจนสำหรับอนุภาคเหล่านั้น อย่างไรก็ตาม สปินบ่งชี้ว่าเฟสของอนุภาคขึ้นอยู่กับมุม เช่นเดียวกับการหมุนด้วยมุมθรอบแกนที่ขนานกับสปินSซึ่งเทียบเท่ากับการตีความทางกลศาสตร์ควอนตัมของโมเมนตัมในฐานะการพึ่งพาเฟสในตำแหน่ง และของโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรในฐานะการพึ่งพาเฟสในตำแหน่งเชิงมุม ${\displaystyle e^{iS\theta }\ ,}$

สำหรับเฟอร์มิออน ภาพรวมอาจไม่ชัดเจนนัก: จากทฤษฎีบทของเอห์เรนเฟสต์ความเร็วเชิงมุมจะเท่ากับอนุพันธ์ของแฮมิลโทเนียนเทียบกับโมเมนตัมคู่ควบซึ่งก็คือตัวดำเนินการโมเมนตัมเชิงมุม รวม J = L + Sดังนั้นถ้าแฮมิลโทเนียนHมีความขึ้นอยู่กับสปินSแล้ว⁠∂ H/∂ Sค่า ⁠ต้องไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น สำหรับกลศาสตร์คลาสสิกการมีอยู่ของสปินในแฮมิลโทเนียนจะทำให้เกิดความเร็วเชิงมุมจริง และด้วยเหตุนี้จึงเกิดการหมุนทางกายภาพจริง นั่นคือ การเปลี่ยนแปลงของมุมเฟสθเมื่อเวลาผ่านไป อย่างไรก็ตาม ยังไม่แน่ชัดว่าสิ่งนี้จะเป็นจริงสำหรับอิเล็กตรอนอิสระหรือไม่ เนื่องจากสำหรับอิเล็กตรอน ค่า| S |² เป็นค่าคงที่ ⁠1/2⁠ ℏและอาจตัดสินใจได้ว่าเนื่องจากไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ จึงไม่มีเศษส่วน(∂) อยู่ได้ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องของการตีความว่าแฮมิลโทเนียนต้องรวมเทอมดังกล่าวหรือไม่ และแง่มุมนี้ของกลศาสตร์คลาสสิกขยายไปสู่กลศาสตร์ควอนตัม(โมเมนตัมเชิงมุมสปินภายในของอนุภาคใดๆSเป็นเลขควอนตัมที่เกิดขึ้นจาก "สปินเนอร์" ในการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ของสมการ Diracมากกว่าที่จะเป็นปริมาณทางกายภาพที่ใกล้เคียงกว่า เช่นโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรL) อย่างไรก็ตาม สปินปรากฏในสมการ Diracดังนั้นแฮมิลโทเนียนสัมพัทธภาพของอิเล็กตรอนซึ่งถือว่าเป็นสนาม Diracสามารถตีความได้ว่ารวมถึงการพึ่งพาสปินS ^{[ 9 ]}

สปินเป็นไปตามกฎทางคณิตศาสตร์ของการควอนตัมโมเมนตัมเชิงมุมคุณสมบัติเฉพาะของโมเมนตัมเชิงมุมของสปิน ได้แก่:

• เลขควอนตัมสปินอาจมี ค่า เป็นครึ่งจำนวนเต็มหรือจำนวนเต็ม ก็ได้
• แม้ว่าทิศทางการหมุนของอนุภาคพื้นฐานจะสามารถเปลี่ยนแปลงได้ แต่ขนาดของการหมุนของอนุภาคพื้นฐานนั้นไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้
• การหมุนของอนุภาคที่มีประจุเกี่ยวข้องกับโมเมนต์ไดโพลแม่เหล็กที่มีปัจจัยgที่แตกต่างจาก 1 (ในบริบทแบบคลาสสิก สิ่งนี้จะหมายความว่าการกระจายประจุและมวลภายในจะแตกต่างกันสำหรับวัตถุที่ไม่นำไฟฟ้าที่หมุนได้^{[ 4 ]} )

นิยามทั่วไปของเลขควอนตัมสปินคือs = ⁠n/2โดยที่ nเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ใดๆ ดังนั้นค่าที่อนุญาตของ sคือ 0 , ⁠1/2, 1, ⁠3/2⁠ , 2, เป็นต้น ค่าของsสำหรับอนุภาคพื้นฐานขึ้นอยู่กับชนิดของอนุภาคเท่านั้น และไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ด้วยวิธีใดๆ ที่ทราบ (ตรงกันข้ามกับทิศทางการหมุนที่อธิบายไว้ด้านล่าง) โมเมนตัมเชิงมุมการหมุนSของระบบทางกายภาพใดๆ จะถูกควอนตัม ค่าที่อนุญาตของSคือ โดยที่hคือค่าคงที่ของพลังค์และคือค่าคงที่ของพลังค์แบบลดทอน ในทางตรงกันข้ามโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรสามารถมีค่าเป็นจำนวนเต็มของs เท่านั้น กล่าวคือ ค่า nเป็นเลขคู่ $${\displaystyle S=\hbar \,{\sqrt {s(s+1)}}={\frac {h}{2\pi }}\,{\sqrt {{\frac {n}{2}}{\frac {(n+2)}{2}}}}={\frac {h}{4\pi }}\,{\sqrt {n(n+2)}},}$$${\textstyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$

อนุภาคที่มีสปินครึ่งจำนวนเต็ม เช่น⁠1/2, ⁠​3/2, ⁠​5/2อนุภาคที่มีเลขควอนตัมเป็นจำนวนเต็ม เช่น 0, 1, 2 เรียกว่าเฟอร์มิออนใน ขณะที่อนุภาคที่มีสปินเป็นจำนวนเต็ม เช่น 0, 1, 2 เรียกว่า โบซอนอนุภาคทั้งสองตระกูลนี้ปฏิบัติตามกฎที่แตกต่างกันและมีบทบาทที่แตกต่างกันในโลกที่เราอาศัยอยู่ ความแตกต่างที่สำคัญระหว่างสองตระกูลนี้คือ เฟอร์มิออนปฏิบัติตามหลักการกีดกันของเปาลีกล่าวคือ ไม่สามารถมีเฟอร์มิออนที่เหมือนกันสองตัวที่มีเลขควอนตัมเดียวกันพร้อมกันได้ (หมายความว่าโดยประมาณแล้ว มีตำแหน่ง ความเร็ว และทิศทางสปินเดียวกัน) เฟอร์มิออนปฏิบัติตามกฎของสถิติเฟอร์มิ-ดิแรก ในทางตรงกันข้าม โบซอนปฏิบัติตามกฎของสถิติโบส-ไอน์สไตน์และไม่มีข้อจำกัดดังกล่าว ดังนั้นพวกมันจึงอาจ "รวมกลุ่มกัน" ในสถานะที่เหมือนกันได้ นอกจากนี้ อนุภาคประกอบยังสามารถมีสปินที่แตกต่างจากอนุภาคที่เป็นส่วนประกอบได้ ตัวอย่างเช่น อะตอม ฮีเลียม-4ในสถานะพื้นฐานมีสปินเป็น 0 และมีพฤติกรรมเหมือนโบซอน แม้ว่าควาร์กและอิเล็กตรอนที่ประกอบขึ้นเป็นอะตอมนั้นจะเป็นเฟอร์มิออนทั้งหมดก็ตาม

สิ่งนี้ส่งผลกระทบอย่างร้ายแรงหลายประการ:

• ควาร์กและเลปตอน (รวมถึงอิเล็กตรอนและนิวตริโน ) ซึ่งเป็นส่วนประกอบของสิ่งที่ในทางคลาสสิกเรียกว่าสสาร ล้วนเป็นเฟอร์มิออนที่มีสปิ  น1/2แนวคิดทั่วไปที่ว่า "สสาร occupies space" นั้น มาจากหลักการกีดกันของ Pauli ที่กระทำต่ออนุภาคเหล่านี้เพื่อป้องกันไม่ให้เฟอร์มิออ นอยู่ในสถานะควอนตัมเดียวกัน การอัดแน่นเพิ่มเติมจะทำให้อิเล็กตรอนต้องอยู่ในสถานะพลังงานเดียวกัน ดังนั้นจึงมีแรงดัน ชนิดหนึ่ง (บางครั้งเรียกว่าแรงดันความเสื่อมของอิเล็กตรอน ) ที่ทำหน้าที่ต้านทานไม่ให้เฟอร์มิออนอยู่ใกล้กันมากเกินไป
  เฟอร์มิออนพื้นฐานที่มีสปินอื่น ๆ ( ⁠3/2, ⁠​5/2(เช่น , เป็นต้น) ยังไม่เป็นที่ทราบแน่ชัดว่ามีอยู่จริง
• อนุภาคพื้นฐานที่คิดว่าเป็นตัวนำแรงนั้นล้วนเป็นโบซอนที่มีสปิน 1 ได้แก่โฟตอนซึ่งเป็นตัวนำแรงแม่เหล็กไฟฟ้ากลูออน ( แรงนิวเคลียร์แบบเข้ม ) และโบซอน W และ Z ( แรงนิวเคลียร์แบบอ่อน ) ความสามารถของโบซอนในการครอบครองสถานะควอนตัมเดียวกันถูกนำไปใช้ในเลเซอร์ซึ่งจัดเรียงโฟตอนจำนวนมากที่มีเลขควอนตัมเดียวกัน (ทิศทางและความถี่เดียวกัน) ฮีเลียมเหลวยิ่งยวด ที่เกิดจากอะตอมฮีเลียม-4 เป็นโบซอน และสภาพนำยิ่งยวดซึ่งอิเล็กตรอนคู่หนึ่ง (ซึ่งแต่ละตัวเป็นเฟอร์มิออน) ทำหน้าที่เสมือนโบซอนประกอบเดี่ยว
  อนุภาคโบซอนพื้นฐานที่มีสปินอื่นๆ (0, 2, 3 เป็นต้น) ไม่เป็นที่รู้จักในอดีตว่ามีอยู่จริง แม้ว่าจะได้รับการศึกษาทางทฤษฎีอย่างกว้างขวางและได้รับการยอมรับอย่างดีในทฤษฎีกระแสหลักที่เกี่ยวข้องก็ตาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง นักทฤษฎีได้เสนออนุภาคกรา วิตอน (ซึ่งทำนายว่าจะมีอยู่จริงโดย ทฤษฎีแรงโน้ม ถ่วงควอนตัมบางทฤษฎี ) ที่มีสปิน 2 และอนุภาคฮิกส์ (ซึ่งอธิบายการแตกสมมาตรของอิเล็กโทรวีค ) ที่มีสปิน 0 ตั้งแต่ปี 2013 อนุภาคฮิกส์ที่มีสปิน 0 ถือว่าได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีอยู่จริง^{[ 14 ]} นับเป็น อนุภาคพื้นฐานสเกลาร์ตัวแรก(สปิน 0) ที่ทราบว่ามีอยู่ในธรรมชาติ
• นิวเคลียสของอะตอมมีสปินนิวเคลียร์ซึ่งอาจเป็นครึ่งจำนวนเต็มหรือจำนวนเต็มก็ได้ ดังนั้นนิวเคลียสจึงอาจเป็นเฟอร์มิออนหรือโบซอนก็ได้

ทฤษฎีสปิน-สถิติแบ่งอนุภาคออกเป็นสองกลุ่ม คือโบซอนและเฟอร์มิออนโดยโบซอนเป็นไปตามสถิติโบส-ไอน์สไตน์และเฟอร์มิออนเป็นไปตามสถิติเฟอร์มิ-ดิแรก (และด้วยเหตุนี้จึง เป็นไปตาม หลักการกีดกันของเปาลี ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทฤษฎีนี้กำหนดว่าอนุภาคที่มีสปินครึ่งจำนวนเต็มจะเป็นไปตามหลักการกีดกันของเปาลีในขณะที่อนุภาคที่มีสปินจำนวนเต็มจะไม่เป็นไปตามหลักการกีดกันของเปาลี ตัวอย่างเช่นอิเล็กตรอนมีสปินครึ่งจำนวนเต็มและเป็นเฟอร์มิออนที่เป็นไปตามหลักการกีดกันของเปาลี ในขณะที่โฟตอนมีสปินจำนวนเต็มและไม่เป็นไปตามหลักการกีดกันของเปาลี ทฤษฎีนี้ได้รับการคิดค้นโดยโวล์ฟกัง เปาลีในปี 1940 โดยอาศัยทั้งกลศาสตร์ควอนตัมและทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษเปาลีอธิบายความเชื่อมโยงระหว่างสปินและสถิตินี้ว่าเป็น "หนึ่งในการประยุกต์ใช้ที่สำคัญที่สุดของทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษ" ^{[ 15 ]}

อนุภาคที่มีสปินสามารถมีโมเมนต์ไดโพลแม่เหล็ก ได้ เช่นเดียวกับ วัตถุ ที่มีประจุไฟฟ้า หมุนได้ ในกลศาสตร์ไฟฟ้าแบบคลาสสิก โมเมนต์แม่เหล็กเหล่านี้สามารถสังเกตได้จากการทดลองหลายวิธี เช่น การเบี่ยงเบนของอนุภาคโดย สนามแม่เหล็กที่ไม่สม่ำเสมอในการทดลองสเติร์น-เกอร์แลคหรือการวัดสนามแม่เหล็กที่เกิดจากอนุภาคเหล่านั้นเอง

โมเมนต์แม่เหล็กภายในμของสปิน- ⁠1/2อนุภาคที่มีประจุ qมวล mและโมเมนตัมเชิงมุมสปิน Sคือ ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}={\frac {g_{\text{s}}q}{2m}}\mathbf {S} ,}$

โดยที่ปริมาณไร้มิติg _sเรียกว่าค่าg -factor ของการหมุน สำหรับการหมุนรอบวงโคจรเพียงอย่างเดียว ค่านี้จะเท่ากับ 1 (โดยสมมติว่ามวลและประจุครอบครองทรงกลมที่มีรัศมีเท่ากัน)

อิเล็กตรอนเป็นอนุภาคพื้นฐานที่มีประจุ จึงมีโมเมนต์แม่เหล็กที่ไม่เป็นศูนย์ความสำเร็จอย่างหนึ่งของทฤษฎีควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์ คือการทำนายค่า g -factorของอิเล็กตรอนได้อย่างแม่นยำซึ่งได้รับการยืนยันจากการทดลองแล้วว่ามีค่าเท่ากับ−2.002 319 304 360 92 (36)โดยตัวเลขในวงเล็บแสดงถึงความไม่แน่นอนในการวัดในสองหลักสุดท้ายที่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน หนึ่ง ค่า^{[ 17 ]}ค่า 2 เกิดจากสมการ Diracซึ่งเป็นสมการพื้นฐานที่เชื่อมโยงสปินของอิเล็กตรอนกับคุณสมบัติทางแม่เหล็กไฟฟ้า และการเบี่ยงเบนจาก2เกิดขึ้นจากปฏิสัมพันธ์ของอิเล็กตรอนกับสนามควอนตัมโดยรอบ รวมถึงสนามแม่เหล็กไฟฟ้าของตัวเองและอนุภาคเสมือน^{[ 18 ]}

อนุภาคประกอบยังมีโมเมนต์แม่เหล็กที่เกี่ยวข้องกับการหมุนของมัน โดยเฉพาะอย่างยิ่งนิวตรอนมีโมเมนต์แม่เหล็กที่ไม่เป็นศูนย์ แม้ว่าจะมีสภาพเป็นกลางทางไฟฟ้าก็ตาม ข้อเท็จจริงนี้เป็นข้อบ่งชี้แรกๆ ว่านิวตรอนไม่ใช่เพียงอนุภาคพื้นฐาน แท้จริงแล้ว นิวตรอนประกอบขึ้นจากควาร์กซึ่งเป็นอนุภาคที่มีประจุไฟฟ้า โมเมนต์แม่เหล็กของนิวตรอนมาจากการหมุนของควาร์กแต่ละตัวและการเคลื่อนที่ในวงโคจรของพวกมัน

นิวตริโนเป็นทั้งอนุภาคพื้นฐานและเป็นกลางทางไฟฟ้าแบบจำลองมาตรฐาน ที่ขยายขั้นต่ำ ซึ่งคำนึงถึงมวลนิวตริโนที่ไม่เป็นศูนย์ทำนายโมเมนต์แม่เหล็กของนิวตริโนดังนี้: ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ]}

${\displaystyle \mu _{\nu }\approx 3\times 10^{-19}\mu _{\text{B}}{\frac {m_{\nu }c^{2}}{\text{eV}}},}$

โดยที่μνคือโมเมนต์แม่เหล็กของนิวตริโน, mνคือมวลของนิวตริโน และμBคือ ค่า คงที่โบร์แมกเนตอน_{อย่างไรก็ตาม}ฟิสิกส์ใหม่ที่อยู่เหนือ_{ระดับ}พลังงานอิเล็กโทรวีค อาจนำไป _สู่โมเมนต์แม่เหล็กของนิวตริโนที่สูงขึ้นอย่างมีนัยสำคัญ สามารถแสดงให้เห็นได้ในแบบที่ไม่ขึ้นกับแบบจำลองว่า โมเมนต์แม่เหล็กของนิวตริโนที่มากกว่าประมาณ 10⁻¹⁴ ^μB  นั้น "ไม่เป็นธรรมชาติ" เพราะจะนำไปสู่การมีส่วนร่วมของการแผ่รังสีต่อมวลของนิวตริโนอย่างมากด้วย เนื่องจากเป็นที่ทราบกัน _ดีว่ามวลของนิวตริโนมีค่าสูงสุดประมาณ 0.051 eV/ c²การปรับแต่งอย่างละเอียดจะเป็นสิ่งจำเป็นเพื่อป้องกันการมีส่วนร่วมจำนวนมากต่อมวลของนิวตริโนผ่านการแก้ไขการแผ่รังสี^{[ 22 ] การ}วัดโมเมนต์แม่เหล็กของนิวตริโนเป็นหัวข้อการวิจัยที่กำลังดำเนินอยู่ ผลการทดลองแสดงให้เห็นว่าโมเมนต์แม่เหล็กของนิวตริโนมีค่าน้อยกว่า1.2 × 10 ⁻¹⁰  เท่าของโมเมนต์แม่เหล็กของอิเล็กตรอน

ในทางกลับกัน อนุภาคพื้นฐานที่มีสปินแต่ไม่มีประจุไฟฟ้า เช่นโฟตอนและโบซอน Zจะไม่มีโมเมนต์แม่เหล็ก

ในกลศาสตร์คลาสสิก โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคไม่เพียงแต่มีขนาด (ความเร็วในการหมุนของวัตถุ) แต่ยังมีทิศทาง (ขึ้นหรือลงบนแกนการหมุนของอนุภาค) สปินในกลศาสตร์ควอนตัมยังมีข้อมูลเกี่ยวกับทิศทาง แต่ในรูปแบบที่ละเอียดอ่อนกว่า กลศาสตร์ควอนตัมระบุว่าส่วนประกอบของโมเมนตัมเชิงมุมสำหรับอนุภาคสปินsที่วัดตามทิศทางใด ๆ สามารถมีค่าได้เพียง^{[ 23 ]}

${\displaystyle S_{i}=\hbar s_{i},\quad s_{i}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

โดยที่Siคือส่วนประกอบของสปินตาม แกนที่ i (ไม่ว่าจะเป็น_x , y หรือ z ) , sᵢคือเลขควอนตัมการฉายภาพสปินตาม แกนที่ iและsᵢ คือเลขควอนตัมสปินหลัก (ซึ่ง _ได้กล่าวถึงในส่วนก่อนหน้าแล้ว) โดยทั่วไปแล้วทิศทางที่เลือกคือ แกน z  :

${\displaystyle S_{z}=\hbar s_{z},\quad s_{z}\in \{-s,-(s-1),\dots ,s-1,s\},}$

โดยที่S _zคือส่วนประกอบของสปินตาม แกนz และ s _zคือเลขควอนตัมการฉายภาพของสปินตาม แกน z

จะเห็นได้ว่ามีค่าที่เป็นไปได้ของs _z อยู่ 2s + 1 ค่าตัวเลข " 2s + 1 "คือจำนวนเท่าของระบบสปิน ตัวอย่างเช่น มีค่าที่เป็นไปได้เพียงสองค่าสำหรับสปิน- ⁠1/2อนุภาค : s _z = +1/2และs _z = −​1/2สิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับสถานะควอนตัมที่ส่วนประกอบของสปินชี้ไปในทิศทาง + zหรือ −zตามลำดับ และมักเรียกกันว่า "สปินขึ้น" และ "สปินลง" สำหรับสปิน -3/2อนุภาคเช่นเดลต้าแบริออนค่าที่เป็นไปได้คือ+3/2, + ⁠1/2⁠ , − ⁠1/2⁠ , − ⁠3/2⁠ .

สำหรับสถานะควอนตัม ที่กำหนด เราอาจนึกถึงเวกเตอร์สปินที่มีส่วนประกอบเป็นค่าคาดหวังของส่วนประกอบสปินตามแต่ละแกน กล่าวคือเวกเตอร์นี้จะอธิบาย "ทิศทาง" ที่สปินชี้ไป ซึ่งสอดคล้องกับแนวคิดคลาสสิกของแกนการหมุนปรากฏว่าเวกเตอร์สปินนั้นไม่ค่อยมีประโยชน์ในการคำนวณทางกลศาสตร์ควอนตัมจริง ๆ เพราะไม่สามารถวัดได้โดยตรง: s _x , s _yและs _zไม่สามารถมีค่าที่แน่นอนพร้อมกันได้ เนื่องจากความสัมพันธ์ความไม่แน่นอน ทางควอนตัม ระหว่างกัน อย่างไรก็ตาม สำหรับกลุ่มอนุภาคขนาดใหญ่ทางสถิติที่อยู่ในสถานะควอนตัมบริสุทธิ์เดียวกัน เช่น ผ่านการใช้เครื่องมือ Stern–Gerlachเวกเตอร์สปินมีความหมายเชิงทดลองที่ชัดเจน: มันระบุทิศทางในปริภูมิปกติที่ตัวตรวจจับในภายหลังจะต้องวางแนวเพื่อให้ได้ความน่าจะเป็นสูงสุดที่เป็นไปได้ (100%) ในการตรวจจับอนุภาคทุกตัวในกลุ่ม สำหรับสปิน- ⁠${\textstyle \langle S\rangle }$${\textstyle \langle S\rangle =[\langle S_{x}\rangle ,\langle S_{y}\rangle ,\langle S_{z}\rangle ]}$1/2สำหรับ อนุภาคความน่าจะเป็นนี้จะลดลงอย่างราบรื่นเมื่อมุมระหว่างเวกเตอร์สปินและตัวตรวจจับเพิ่มขึ้น จนกระทั่งที่มุม 180° ซึ่งก็คือสำหรับตัวตรวจจับที่วางในทิศทางตรงกันข้ามกับเวกเตอร์สปิน ความคาดหวังในการตรวจจับอนุภาคจากชุดข้อมูลจะลดลงเหลือต่ำสุดที่ 0%

ในฐานะที่เป็นแนวคิดเชิงคุณภาพ เวกเตอร์สปินมักมีประโยชน์เพราะสามารถจินตนาการได้ง่ายในทางคลาสสิก ตัวอย่างเช่น สปินในกลศาสตร์ควอนตัมสามารถแสดงปรากฏการณ์ที่คล้ายคลึงกับผลของไจโรสโคป แบบคลาสสิกได้ เช่น เราสามารถออกแรง " บิด " ชนิดหนึ่งกับอิเล็กตรอนได้โดยการวางมันไว้ในสนามแม่เหล็ก (สนามจะกระทำต่อโมเมนต์ไดโพลแม่เหล็ก ภายในของอิเล็กตรอน —ดูในส่วนถัดไป) ผลที่ได้คือเวกเตอร์สปินจะเกิดการหมุนควงเหมือนกับไจโรสโคปแบบคลาสสิก ปรากฏการณ์นี้เรียกว่าการเรโซแนนซ์สปินของอิเล็กตรอน (ESR) พฤติกรรมที่เทียบเท่ากันของโปรตอนในนิวเคลียสของอะตอมถูกนำมาใช้ในสเปกโทรสโกปีและการสร้างภาพด้วยนิวเคลียร์ แมกเนติกเรโซแนนซ์ (NMR)

ในทางคณิตศาสตร์ สถานะสปินในกลศาสตร์ควอนตัมอธิบายได้ด้วยวัตถุคล้ายเวกเตอร์ที่เรียกว่าสปินเนอร์มีความแตกต่างเล็กน้อยระหว่างพฤติกรรมของสปินเนอร์และเวกเตอร์ภายใต้การหมุนพิกัดตัวอย่างเช่น การหมุนสปิน- ⁠1/2การ หมุนอนุภาค 360° ไม่ได้ทำให้มันกลับไปสู่สถานะควอนตัมเดิม แต่จะกลับไปสู่สถานะที่มีเฟส ควอนตัมตรงข้าม ซึ่งสามารถตรวจจับได้ในทางทฤษฎีด้วย การทดลอง การแทรกสอดหากต้องการให้อนุภาคกลับไปสู่สถานะเดิมอย่างแม่นยำ จำเป็นต้องหมุน 720° ( เทคนิคจานและแถบโมเบียสเป็นตัวอย่างเปรียบเทียบที่ไม่ใช่ควอนตัม) อนุภาคสปินศูนย์จะมีสถานะควอนตัมเดียวเท่านั้น แม้ว่าจะมีการใช้แรงบิดแล้วก็ตาม การหมุนอนุภาคสปิน 2 180° สามารถทำให้มันกลับไปสู่สถานะควอนตัมเดิมได้ และอนุภาคสปิน 4 ควรหมุน 90° เพื่อให้มันกลับไปสู่สถานะควอนตัมเดิม อนุภาคสปิน 2 สามารถเปรียบได้กับแท่งตรงที่ดูเหมือนเดิมแม้ว่าจะหมุนไป 180° แล้ว และอนุภาคสปิน 0 สามารถจินตนาการได้ว่าเป็นทรงกลม ซึ่งดูเหมือนเดิมไม่ว่าจะหมุนไปกี่มุมก็ตาม

อนุภาคจะกล่าวได้ว่ามีสปินภายในหากสถานะควอนตัมกลศาสตร์ของอนุภาคนั้นในกรอบอ้างอิงที่หยุดนิ่งของมันเป็นสถานะเฉพาะของตัวดำเนินการที่มีค่าเฉพาะ^{[ 24 ] [ 25 ]}${\displaystyle s}$${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}}$${\displaystyle \hbar ^{2}s(s+1)}$

ในทฤษฎีควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพ สปินถูกกำหนดให้เป็นป้ายกำกับที่ไม่เปลี่ยนแปลงของการแสดงแทนแบบเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้แบบไทม์ไลค์ของกลุ่มปวงกาเรสำหรับการแสดงแทนแบบไทม์ไลค์ที่สอดคล้องกับอนุภาคที่มีมวล การแสดงแทนแบบเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้จะถูกกำหนดลักษณะโดยมวลและสปินโดยที่ป้ายกำกับเป็นการแสดงแทนเชิงฉายภาพ^แบบ ลดทอนไม่ได้ ของกลุ่มการหมุน[ ^{26 ] [ 27 ]}${\displaystyle M}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle SO(3)}$

สปินปฏิบัติตามความสัมพันธ์การสลับตำแหน่ง^{[ 28 ]}ที่คล้ายคลึงกับความสัมพันธ์ของโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจร : โดยที่ε _jklคือสัญลักษณ์ Levi-Civitaดังนั้นจึงเป็นไปตาม (เช่นเดียวกับโมเมนตัมเชิงมุม ) ว่าเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของและ(แสดงเป็นketsในฐานS ทั้งหมด ) คือ^{[ 2 ] : 166} $${\displaystyle \left[{\hat {S}}_{j},{\hat {S}}_{k}\right]=i\hbar \varepsilon _{jkl}{\hat {S}}_{l},}$$${\displaystyle {\hat {S}}^{2}}$${\displaystyle {\hat {S}}_{z}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}^{2}|s,m_{s}\rangle &=\hbar ^{2}s(s+1)|s,m_{s}\rangle ,\\{\hat {S}}_{z}|s,m_{s}\rangle &=\hbar m_{s}|s,m_{s}\rangle .\end{aligned}}}$$

ตัวดำเนินการเพิ่มและลดสปินที่กระทำกับเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเหล่านี้ให้ ผลลัพธ์ดังนี้[ ^{2 ] : 166} $${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }|s,m_{s}\rangle =\hbar {\sqrt {s(s+1)-m_{s}(m_{s}\pm 1)}}|s,m_{s}\pm 1\rangle ,}$$${\displaystyle {\hat {S}}_{\pm }={\hat {S}}_{x}\pm i{\hat {S}}_{y}}$

แต่ต่างจากโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจร เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะไม่ใช่ฮาร์มอนิกทรงกลมพวกมันไม่ใช่ฟังก์ชันของθและφนอกจากนี้ ยังไม่มีเหตุผลที่จะตัดค่าครึ่งจำนวนเต็มของsและm _s ออก ไป

อนุภาคควอนตัมกลศาสตร์ทั้งหมดมีสปินภายใน(แม้ว่าค่านี้อาจเท่ากับศูนย์ก็ตาม) การฉายภาพของสปินบนแกนใดๆ จะถูกควอนตัมในหน่วยของค่าคงที่พลังค์แบบลดทอนโดยที่ฟังก์ชันสถานะของอนุภาคจะเป็น เช่น ไม่ใช่แต่เป็น โดยที่สามารถมีค่าได้เฉพาะในชุดค่าคงที่แบบไม่ต่อเนื่องต่อไปนี้: ${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \psi =\psi (\mathbf {r} ,s_{z})}$${\displaystyle s_{z}}$$${\displaystyle s_{z}\in \{-s\hbar ,-(s-1)\hbar ,\dots ,+(s-1)\hbar ,+s\hbar \}.}$$

เราสามารถแยกแยะอนุภาคโบซอน (สปินจำนวนเต็ม) และอนุภาคเฟอร์มิออน (สปินครึ่งจำนวนเต็ม) ได้ โดยโมเมนตัมเชิงมุมรวมที่อนุรักษ์ไว้ในกระบวนการปฏิสัมพันธ์จะเป็นผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรและสปิน

ตัวดำเนินการทางกลศาสตร์ควอนตัมที่เกี่ยวข้องกับสปิน-1/2ค่าที่สังเกตได้คือตำแหน่ง ในส่วนประกอบคาร์ทีเซียน $${\displaystyle {\hat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }},}$$$${\displaystyle S_{x}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{x},\quad S_{y}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{y},\quad S_{z}={\frac {\hbar }{2}}\sigma _{z}.}$$

สำหรับกรณีพิเศษของการหมุน- ⁠1/2อนุภาคσ x , σ _yและσ _zคือ เมทริก _ซ์ Pauli ทั้งสาม : $${\displaystyle \sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$$

หลักการกีดกันของเปาลีระบุว่าฟังก์ชันคลื่น สำหรับระบบของอนุภาคที่เหมือนกันN ตัวซึ่งมีสปิน s จะต้องเปลี่ยนแปลงเมื่อมีการสลับอนุภาคสองตัวใดๆ จากNอนุภาค ดังนี้ ${\displaystyle \psi (\mathbf {r} _{1},\sigma _{1},\dots ,\mathbf {r} _{N},\sigma _{N})}$$${\displaystyle \psi (\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots )=(-1)^{2s}\psi (\dots ,\mathbf {r} _{j},\sigma _{j},\dots ,\mathbf {r} _{i},\sigma _{i},\dots ).}$$

ดังนั้น สำหรับโบซอนค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า(−1) ^{2 s}จะลดลงเหลือ +1 และสำหรับเฟอร์มิออน จะลด ลงเหลือ −1 สมมติฐานการเรียงสับเปลี่ยนนี้สำหรับ ฟังก์ชันสถานะ Nอนุภาคมีผลกระทบที่สำคัญที่สุดในชีวิตประจำวัน เช่นตารางธาตุของธาตุเคมี

ดังที่กล่าวมาข้างต้น กลศาสตร์ควอนตัมระบุว่าส่วนประกอบของโมเมนตัมเชิงมุมที่วัดตามทิศทางใดๆ จะมีค่าได้เพียงจำนวนค่าที่ไม่ต่อเนื่องเท่านั้น ดังนั้น คำอธิบายทางกลศาสตร์ควอนตัมที่สะดวกที่สุดสำหรับสปินของอนุภาคจึงเป็นการใช้ชุดของจำนวนเชิงซ้อนที่สอดคล้องกับแอมพลิจูดของการหาค่าที่กำหนดของการฉายภาพของโมเมนตัมเชิงมุมภายในบนแกนที่กำหนด ตัวอย่างเช่น สำหรับสปิน- ⁠1/2สำหรับ อนุภาคเราจะต้องใช้ตัวเลขสองตัวคือ_±1/2 ซึ่งให้แอมพลิจูดของการค้นหาด้วยการฉายภาพของโมเมนตัมเชิงมุมเท่ากับ+ชม/2และ −​​ชม/2ซึ่งตรงตามข้อกำหนด $${\displaystyle |a_{+1/2}|^{2}+|a_{-1/2}|^{2}=1.}$$

สำหรับอนุภาคทั่วไปที่มีสปินsเราจะต้องใช้ พารามิเตอร์ดังกล่าว 2s + 1 ตัวเนื่องจากตัวเลขเหล่านี้ขึ้นอยู่กับการเลือกแกน ดังนั้นจึงมีการแปลงระหว่างกันอย่างไม่ธรรมดาเมื่อแกนนี้หมุน เห็นได้ชัดว่ากฎการแปลงต้องเป็นเชิงเส้น ดังนั้นเราจึงสามารถแสดงได้โดยการเชื่อมโยงเมทริกซ์กับการหมุนแต่ละครั้ง และผลคูณของเมทริกซ์การแปลงสองเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับการหมุน A และ B จะต้องเท่ากับ (โดยไม่คำนึงถึงเฟส) เมทริกซ์ที่แสดงการหมุน AB ยิ่งไปกว่านั้น การหมุนจะรักษาผลคูณภายในทางกลศาสตร์ควอนตัม ดังนั้นเมทริกซ์การแปลงของเราก็ควรจะรักษาไว้เช่นกัน $${\displaystyle \sum _{m=-j}^{j}a_{m}^{*}b_{m}=\sum _{m=-j}^{j}\left(\sum _{n=-j}^{j}U_{nm}a_{n}\right)^{*}\left(\sum _{k=-j}^{j}U_{km}b_{k}\right),}$$$${\displaystyle \sum _{n=-j}^{j}\sum _{k=-j}^{j}U_{np}^{*}U_{kq}=\delta _{pq}.}$$

ในทางคณิตศาสตร์ เมทริกซ์เหล่านี้ให้การแสดงแทนเชิงโปรเจกทีฟเอกภาพของกลุ่มการหมุน SO(3)การแสดงแทนดังกล่าวแต่ละรายการสอดคล้องกับการแสดงแทนของกลุ่มปกคลุมของ SO(3) ซึ่งก็คือSU(2) [ ^{29 ] มี}การ แสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ nมิติของ SU(2) หนึ่งรายการสำหรับแต่ละมิติ แม้ว่าการแสดงแทนนี้จะเป็นจำนวนจริงn มิติสำหรับ n คี่ และเป็นจำนวนเชิงซ้อนn มิติสำหรับ n คู่ (ดังนั้นจึงมีมิติจริง2n )สำหรับการหมุนด้วยมุมθในระนาบที่มีเวกเตอร์ปกติโดย ที่และSคือเวกเตอร์ของตัวดำเนินการสปิน ${\textstyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$$${\displaystyle U=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {S} },}$$${\textstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

การหมุนทั่วไปในพื้นที่ 3 มิติ สามารถสร้างได้โดยการรวมตัวดำเนินการประเภทนี้โดยใช้มุมออยเลอร์ : $${\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha S_{x}}e^{-i\beta S_{y}}e^{-i\gamma S_{z}}.}$$

เมทริกซ์ D ของวิกเนอร์เป็น ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของกลุ่มตัวดำเนินการนี้ โดยที่ คือเมทริกซ์ d ขนาดเล็กของวิกเนอร์โปรดสังเกตว่าสำหรับγ = 2πและα = β = 0กล่าวคือ การหมุนรอบ แกน z อย่างสมบูรณ์  องค์ประกอบของเมทริกซ์ D ของวิกเนอร์จะกลายเป็น $${\displaystyle D_{m'm}^{s}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle sm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|sm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{s}(\beta )e^{-im\gamma },}$$$${\displaystyle d_{m'm}^{s}(\beta )=\langle sm'|e^{-i\beta s_{y}}|sm\rangle }$$$${\displaystyle D_{m'm}^{s}(0,0,2\pi )=d_{m'm}^{s}(0)e^{-im2\pi }=\delta _{m'm}(-1)^{2m}.}$$

เมื่อพิจารณาว่าสถานะสปินทั่วไปสามารถเขียนได้ในรูปของการซ้อนทับของสถานะที่มีm ที่แน่นอน เราจะเห็นว่าถ้าsเป็นจำนวนเต็ม ค่าของmทั้งหมดจะเป็นจำนวนเต็ม และเมทริกซ์นี้จะสอดคล้องกับตัวดำเนินการเอกลักษณ์ อย่างไรก็ตาม ถ้าsเป็นครึ่งจำนวนเต็ม ค่าของmทั้งหมดก็จะเป็นครึ่งจำนวนเต็มเช่นกัน ทำให้(−1) ^{2 m} = −1สำหรับทุกmและดังนั้นเมื่อหมุนด้วย 2 πสถานะจะได้รับเครื่องหมายลบ ข้อเท็จจริงนี้เป็นองค์ประกอบสำคัญของการพิสูจน์ทฤษฎีบท สปิน-สถิติ

เราอาจลองใช้วิธีการเดียวกันเพื่อกำหนดพฤติกรรมของสปินภายใต้การแปลงลอเรนซ์ ทั่วไป แต่เราจะพบอุปสรรคสำคัญในทันที ต่างจาก SO(3) กลุ่มของการแปลงลอเรนซ์SO(3,1)นั้นไม่กระชับและดังนั้นจึงไม่มีการแสดงแทนแบบเอกภาพและมิติจำกัดที่ซื่อสัตย์

ในกรณีของการหมุน-1/2สำหรับอนุภาค ต่างๆ นั้น เป็นไปได้ที่จะสร้างโครงสร้างที่รวมทั้งการแสดงผลแบบมิติจำกัดและผลคูณสเกลาร์ที่คงไว้ซึ่งการแสดงผลนี้ เราเชื่อมโยงสปินเนอร์ Dirac 4 องค์ประกอบ ψกับแต่ละอนุภาค สปินเนอร์เหล่านี้แปลงสภาพภายใต้การแปลง Lorentz ตามกฎ ที่γ _νเป็นเมทริกซ์แกมมาและω _μνเป็นเมทริกซ์สมมาตรผกผันขนาด 4 × 4 ที่ใช้กำหนดพารามิเตอร์ของการแปลง สามารถแสดงได้ว่าผลคูณสเกลาร์ ยังคงรักษาไว้ได้ อย่างไรก็ตาม มันไม่ใช่เมทริกซ์บวกแน่นอน ดังนั้นการแสดงผลจึงไม่เป็นแบบเอกภาพ $${\displaystyle \psi '=\exp {\left({\tfrac {1}{8}}\omega _{\mu \nu }[\gamma _{\mu },\gamma _{\nu }]\right)}\psi ,}$$$${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle ={\bar {\psi }}\phi =\psi ^{\dagger }\gamma _{0}\phi }$$

เมทริกซ์ Pauli ( เฮอร์มิเชียน ) แต่ละตัว ของสปิน - ⁠1/2อนุภาคมีค่าลักษณะ เฉพาะสองค่า คือ +1 และ −1 เวกเตอร์ลักษณะเฉพาะที่ปรับให้เป็นมาตรฐานที่ สอดคล้องกัน คือ $${\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi _{x+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi _{x-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{x}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi _{y+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi _{y-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{y}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi _{z+}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {+1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},&\psi _{z-}=\left|{\frac {1}{2}},{\frac {-1}{2}}\right\rangle _{z}=&{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}.\end{array}}}$$

(เนื่องจากเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะใดๆ เมื่อคูณด้วยค่าคงที่ก็ยังคงเป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะอยู่ จึงมีความกำกวมเกี่ยวกับเครื่องหมายโดยรวม ในบทความนี้ เราเลือกใช้หลักการกำหนดให้องค์ประกอบแรกเป็นจำนวนจินตนาการและมีค่าเป็นลบ หากมีความกำกวมเรื่องเครื่องหมาย หลักการนี้ถูกใช้โดยซอฟต์แวร์เช่นSymPyในขณะที่ตำราฟิสิกส์หลายเล่ม เช่น Sakurai และ Griffiths นิยมกำหนดให้เป็นจำนวนจริงและมีค่าเป็นบวก)

ตามหลักการของกลศาสตร์ควอนตัมการทดลองที่ออกแบบมาเพื่อวัดสปินของอิเล็กตรอนบน แกน x , yหรือz  จะให้ผลลัพธ์เป็นเพียงค่าไอเกนของตัวดำเนินการสปินที่สอดคล้องกัน ( S _x , S _yหรือS _z ) บนแกนนั้นเท่านั้น กล่าวคือ⁠ชม/2หรือ −​​ชม/2สถานะควอนตัมของอนุภาค (โดยพิจารณาจากสปิน) สามารถแสดงได้ด้วยสปินเนอร์ สององค์ประกอบ : $${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}a+bi\\c+di\end{pmatrix}}.}$$

เมื่อวัดค่าสปินของอนุภาคนี้เทียบกับแกนที่กำหนด (ในตัวอย่างนี้คือ แกน x  ) ความน่าจะเป็นที่ค่าสปินจะถูกวัดได้เป็น⁠ชม/2ก็คือ. ในทำนองเดียวกัน ความน่าจะเป็นที่สปินของมันจะถูกวัดเป็น − ⁠${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$ชม/2ก็คือค่าหลังจากทำการวัดแล้ว สถานะสปินของอนุภาคจะยุบตัวลงเป็นสถานะไอเกนที่สอดคล้องกัน ดังนั้น หากสปินของอนุภาคตามแกนใดแกนหนึ่งถูกวัดแล้วได้ค่าไอเกนค่าหนึ่ง การวัดทั้งหมดก็จะให้ค่าไอเกนค่าเดียวกัน (เนื่องจากเป็นต้น) โดยมีเงื่อนไขว่าไม่มีการวัดสปินตามแกนอื่น ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi \rangle {\big |}^{2}}$${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{x+}\rangle {\big |}^{2}=1}$

ตัวดำเนินการสำหรับวัดสปินตามทิศทางแกนใดๆ สามารถหาได้ง่ายๆ จากเมทริกซ์สปินของ Pauli ให้u = ( u _x , u _y , u _z )เป็นเวกเตอร์หน่วยใดๆ แล้วตัวดำเนินการสำหรับสปินในทิศทางนี้ก็คือ ง่ายๆ เลย $${\displaystyle S_{u}={\frac {\hbar }{2}}(u_{x}\sigma _{x}+u_{y}\sigma _{y}+u_{z}\sigma _{z}).}$$

ตัวดำเนินการSuมีค่าไอเกน_เป็น ± ⁠ชม/2เช่นเดียวกับเมทริกซ์สปินทั่วไป วิธีการค้นหาตัวดำเนินการสำหรับสปินในทิศทางใดๆ นี้สามารถขยายไปสู่สถานะสปินที่สูงขึ้นได้ โดยการหาผลคูณดอทของทิศทางกับเวกเตอร์ของตัวดำเนินการทั้งสามสำหรับทิศทางแกน x , yและ z ทั้งสามทิศทาง

สปินเนอร์มาตรฐานสำหรับสปิน-1/2ในทิศทาง( u _x , u _y , u _z ) (ซึ่งใช้ได้กับสถานะการหมุนทั้งหมด ยกเว้นการหมุนลง ซึ่งจะให้ผลลัพธ์เป็น⁠0/0)คือ $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2+2u_{z}}}}{\begin{pmatrix}1+u_{z}\\u_{x}+iu_{y}\end{pmatrix}}.}$$

สปินเนอร์ข้างต้นได้มาด้วยวิธีปกติโดยการหาค่า เฉพาะของเมทริกซ์ σ _uและหาค่าเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าเฉพาะเหล่านั้น ในกลศาสตร์ควอนตัม เวกเตอร์จะถูกเรียกว่า "เวกเตอร์มาตรฐาน" เมื่อคูณด้วยตัวประกอบมาตรฐาน ซึ่งทำให้เวกเตอร์มีความยาวเท่ากับหนึ่ง

เนื่องจากเมทริกซ์ Pauli ไม่สลับที่กันการวัดค่าสปินตามแกนต่างๆ จึงไม่สอดคล้องกัน หมายความว่า ถ้าเรารู้ค่าสปินตาม แกน x  แล้วไปวัดค่าสปินตาม แกน y ค่าสปิน  ที่เรารู้มาก่อนหน้านี้ตามแกนx จะเป็นโมฆะ  สามารถเห็นได้จากคุณสมบัติของเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ (เช่น สถานะลักษณะเฉพาะ) ของเมทริกซ์ Pauli ที่ว่า $${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{y\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{x\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\big |}\langle \psi _{y\pm }|\psi _{z\pm }\rangle {\big |}^{2}={\tfrac {1}{2}}.}$$

ดังนั้นเมื่อนักฟิสิกส์วัดการหมุนของอนุภาคตาม แกน x  เช่น⁠ชม/2สถานะสปินของอนุภาคจะยุบตัวลงเป็นสถานะไอเกน เมื่อเราวัดสปิ นของอนุภาคตาม แกน y ในภายหลัง  สถานะสปินจะยุบตัวลงเป็นหรือโดยแต่ละสถานะมีโอกาส เกิดขึ้น เท่ากับ${\displaystyle |\psi _{x+}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{y+}\rangle }$${\displaystyle |\psi _{y-}\rangle }$1/2สมมติในตัวอย่างของเราว่าเราวัด −ชม/2เมื่อเรากลับมาวัดการหมุนของอนุภาคตาม แกน x  อีกครั้ง ความน่าจะเป็นที่เราจะวัดได้...ชม/2หรือ −​​ชม/2แต่ละอันคือ1/2( กล่าวคือ พวกมันคือและตามลำดับ) ซึ่งหมายความว่าการวัดค่าสปินตาม แกน x เดิม  นั้นไม่ถูกต้องอีกต่อไป เนื่องจากค่าสปินตาม แกน x  จะถูกวัดได้ว่ามีค่าไอเกนค่าใดค่าหนึ่งด้วยความน่าจะเป็นเท่ากัน ${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x+}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$${\displaystyle {\big |}\langle \psi _{x-}|\psi _{y-}\rangle {\big |}^{2}}$

การหมุน- ⁠1/2ตัวดำเนินการS =ชม/2σก่อให้เกิดการแสดงแทนพื้นฐานของ SU(2)โดยการนำการ แสดงแทนนี้ มาคูณกับตัวเองซ้ำๆ เราสามารถสร้างการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ที่สูงกว่าทั้งหมดได้ นั่นคือตัวดำเนินการสปิน ที่ได้ สำหรับระบบสปินที่สูงกว่าในสามมิติเชิงพื้นที่สามารถคำนวณได้สำหรับ s ที่มีขนาดใหญ่มากโดยใช้ ตัวดำเนินการสปินนี้และตัวดำเนินการบันได ตัวอย่างเช่น การนำผลคูณโครเนกเกอร์ ของสปินสอง1/2ส่งผลให้เกิดการแสดงผลแบบสี่มิติ ซึ่งสามารถแยกออกเป็นการแสดงผลแบบสปิน-1 สามมิติ ( สถานะทริปเล็ต ) และการแสดงผลแบบสปิน-0 หนึ่งมิติ ( สถานะซิงเกล็ต )

การแสดงผลที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งได้ผลลัพธ์เป็นเมทริกซ์สปินและค่าลักษณะเฉพาะในฐาน z ดังต่อไปนี้:

กลุ่ม Pauli ทั่วไป G _nยังมีประโยชน์ในกลศาสตร์ควอนตัมของระบบหลายอนุภาคโดยกำหนดให้กลุ่มนี้ประกอบด้วย ผล คูณเทนเซอร์nเท่าของเมทริกซ์ Pauli ทั้งหมด

สูตรอนาล็อกของสูตรของออยเลอร์ในแง่ของเมทริกซ์ Pauli สำหรับสปินที่สูงกว่านั้นสามารถจัดการได้ แต่ไม่ง่ายนัก^{[ 31 ]}$${\displaystyle {\hat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {n} }})=e^{i{\frac {\theta }{2}}{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}=I\cos {\frac {\theta }{2}}+i\left({\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\right)\sin {\frac {\theta }{2}}}$$

ในตารางเลขควอนตัมสปินsสำหรับนิวเคลียสหรืออนุภาค มักจะมีเครื่องหมาย "+" หรือ "−" ต่อท้ายสปิน ซึ่งหมายถึงพาริตีโดย "+" หมายถึงพาริตีคู่ (ฟังก์ชันคลื่นไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อผกผันเชิงพื้นที่) และ "−" หมายถึงพาริตีคี่ (ฟังก์ชันคลื่นถูกกลับค่าเมื่อผกผันเชิงพื้นที่) ตัวอย่างเช่น ดูไอโซโทปของบิสมัทซึ่งในรายการไอโซโทปจะมีคอลัมน์แสดงสปินและพาริตีของนิวเคลียส สำหรับ Bi-209 ซึ่งเป็นไอโซโทปที่มีอายุยืนยาวที่สุด ค่า 9/2− หมายความว่าสปินของนิวเคลียสคือ 9/2 และพาริตีเป็นคี่

สามารถกำหนดสปินนิวเคลียร์ของอะตอมได้โดยการปรับปรุงที่ซับซ้อนขึ้นจากการทดลอง Stern–Gerlachดั้งเดิม^{[ 32 ]}ลำแสงโมเลกุล ของอะตอม ที่มีพลังงานเดียว (โมโนโครมาติก) ในสนามแม่เหล็กที่ไม่สม่ำเสมอจะแยกออกเป็นลำแสงที่แสดงถึงสถานะควอนตัมสปินที่เป็นไปได้แต่ละสถานะ สำหรับอะตอมที่มีสปินอิเล็กตรอนSและสปินนิวเคลียร์Iจะมี สถานะสปิน (2 S + 1)(2 I + 1)สถานะ ตัวอย่างเช่น อะตอม Na ที่เป็นกลาง ซึ่งมีS = 1/2ถูกส่งผ่านชุดของสนามแม่เหล็กที่ไม่สม่ำเสมอซึ่งเลือกหนึ่งในสองสถานะสปินอิเล็กตรอนและแยกสถานะสปินนิวเคลียร์ ซึ่งสังเกตเห็นลำแสงสี่ลำ ดังนั้น สปินนิวเคลียร์สำหรับ อะตอม Na ²³อะตอมจึงพบว่าเป็นI = 3/2 ^{[ 33 ] [ 34 ]}

สปินของไพอนซึ่งเป็นอนุภาคพื้นฐานชนิดหนึ่ง ถูกกำหนดโดยหลักการสมดุลโดยละเอียดที่ใช้กับการชนกันของโปรตอนที่ผลิตไพอนประจุและดิวเทอเรียม ค่าสปินที่ทราบสำหรับโปรตอนและดิวเทอเรียมช่วยให้สามารถวิเคราะห์ภาคตัดขวางการชนเพื่อแสดงให้เห็นว่ามีสปินต้องใช้วิธีการที่แตกต่างกันสำหรับไพอนที่เป็นกลาง ในกรณีนั้น การสลายตัวจะผลิต โฟตอน รังสีแกมมา สองตัว ที่มีสปินหนึ่ง ผลลัพธ์นี้เสริมด้วยการวิเคราะห์เพิ่มเติมนำไปสู่ข้อสรุปว่าไพอนที่เป็นกลางก็มีสปินศูนย์เช่นกัน^{[ 35 ] : 66} $${\displaystyle p+p\rightarrow \pi ^{+}+d}$$${\displaystyle \pi ^{+}}$${\displaystyle s_{\pi }=0}$$${\displaystyle \pi ^{0}\rightarrow 2\gamma }$$

การหมุนมีนัยสำคัญทางทฤษฎีและการประยุกต์ใช้ในทางปฏิบัติมากมาย การประยุกต์ใช้ โดยตรง ที่เป็นที่ยอมรับกันดี ของการหมุน ได้แก่:

• สเปกโทรสโก ปีนิวเคลียร์แมกเนติกเรโซแนนซ์ (NMR) ในทางเคมี;
• สเปกโทรสโก ปีเรโซแนนซ์สปินอิเล็กตรอน (ESR หรือ EPR) ในวิชาเคมีและฟิสิกส์;
• การถ่ายภาพด้วยคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า (MRI) ในทางการแพทย์ เป็น NMR ประยุกต์ชนิดหนึ่ง ซึ่งอาศัยความหนาแน่นของสปินโปรตอน
• เทคโนโลยีหัวอ่านแบบแม่เหล็กต้านทานขนาดใหญ่ (GMR) ใน ฮาร์ดดิสก์สมัยใหม่

การหมุนของอิเล็กตรอนมีบทบาทสำคัญในแม่เหล็กโดยมีการประยุกต์ใช้ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์เป็นต้น การควบคุมการหมุนของนิวเคลียสด้วยคลื่นความถี่วิทยุ ( การเรโซแนนซ์แม่เหล็กนิวเคลียร์ ) มีความสำคัญในสเปกโทรสโกปีทางเคมีและการถ่ายภาพทางการแพทย์

การเชื่อมโยงระหว่างสปินและวงโคจรนำไปสู่โครงสร้างละเอียดของสเปกตรัมอะตอม ซึ่งใช้ในนาฬิกาอะตอมและในนิยามสมัยใหม่ของวินาทีการวัดค่าg -factor ของอิเล็กตรอนอย่างแม่นยำมีบทบาทสำคัญในการพัฒนาและตรวจสอบควอนตัมอิเล็กโทรไดนามิกส์สปินของโฟ ตอน เกี่ยวข้องกับการโพลาไรเซชันของแสง ( โพลาไรเซชันของโฟตอน )

การประยุกต์ใช้สปินที่กำลังเกิดขึ้นใหม่คือการเป็นตัวนำข้อมูลไบนารีในทรานซิสเตอร์สปินแนวคิดดั้งเดิมที่เสนอในปี 1990 เรียกว่าทรานซิสเตอร์สปิน Datta– Das ^{[ 36 ]}อิเล็กทรอนิกส์ที่ใช้ทรานซิสเตอร์สปินเรียกว่าสปินโทรนิกส์การจัดการสปินในวัสดุเซมิคอนดักเตอร์แม่เหล็กเจือจางเช่นZnOหรือTiO2 ที่เจือด้วยโลหะ ทำให้เกิดอิสระเพิ่มขึ้นอีกระดับ _{หนึ่ง}และมีศักยภาพที่จะช่วยอำนวยความสะดวกในการผลิตอิเล็กทรอนิกส์ที่มีประสิทธิภาพมากขึ้น^{[ 37 ]}

มี การประยุกต์ใช้และการแสดงออก ทางอ้อม มากมาย ของสปินและหลักการกีดกันของเปาลี ที่เกี่ยวข้อง โดยเริ่มต้นจากตารางธาตุในวิชาเคมี

การหมุนถูกค้นพบครั้งแรกในบริบทของสเปกตรัมการปล่อยของโลหะอัลคาไลเริ่มต้นประมาณปี 1910 การทดลองมากมายกับอะตอมต่างๆ ได้สร้างความสัมพันธ์มากมายที่เกี่ยวข้องกับเลขควอนตัมสำหรับระดับพลังงานอะตอม ซึ่งสรุปไว้บางส่วนในแบบจำลองอะตอมของบอร์^{[ 38 ] : 106} การเปลี่ยนผ่านระหว่างระดับเป็นไปตามกฎการเลือกและกฎเหล่านั้นเป็นที่ทราบกันว่ามีความสัมพันธ์กับเลขอะตอม คู่หรือ คี่ ข้อมูลเพิ่มเติมเป็นที่ทราบจากการเปลี่ยนแปลงของสเปกตรัมอะตอมที่สังเกตได้ในสนามแม่เหล็กแรงสูง ซึ่งรู้จักกันในชื่อปรากฏการณ์ซีแมนในปี 1924 วูล์ฟกัง พอลีใช้การสังเกตเชิงประจักษ์จำนวนมากนี้เพื่อเสนอระดับความเป็นอิสระใหม่^{[ 7 ]}โดยแนะนำสิ่งที่เขาเรียกว่า "ค่าสองค่าที่ไม่สามารถอธิบายได้แบบคลาสสิก" ^{[ 39 ]}ที่เกี่ยวข้องกับอิเล็กตรอนในเปลือก นอก สุด

การตีความทางกายภาพของ "ระดับความเป็นอิสระ" ของ Pauli นั้นยังไม่เป็นที่รู้จักในตอนแรกRalph Kronigหนึ่งใน ผู้ช่วยของ Alfred Landéเสนอแนะในช่วงต้นปี 1925 ว่ามันเกิดจากการหมุนตัวเองของอิเล็กตรอน เมื่อ Pauli ได้ยินเกี่ยวกับแนวคิดนี้ เขาได้วิพากษ์วิจารณ์อย่างรุนแรง โดยสังเกตว่าพื้นผิวสมมติของอิเล็กตรอนจะต้องเคลื่อนที่เร็วกว่าความเร็วแสงเพื่อให้มันหมุนได้เร็วพอที่จะสร้างโมเมนตัมเชิงมุมที่จำเป็น ซึ่งจะขัดแย้งกับทฤษฎีสัมพัทธภาพส่วนใหญ่เนื่องจากการวิพากษ์วิจารณ์ของ Pauli ทำให้ Kronig ตัดสินใจไม่เผยแพร่แนวคิดของเขา^{[ 40 ]}

ในฤดูใบไม้ร่วงปี 1925 นักฟิสิกส์ชาวดัตช์George UhlenbeckและSamuel Goudsmitที่มหาวิทยาลัย Leiden ก็ได้คิดเช่นเดียวกัน ภายใต้คำแนะนำของPaul Ehrenfestพวกเขาได้ตีพิมพ์ผลงาน^{[ 41 ]}นักฟิสิกส์หนุ่มทั้งสองเสียใจกับการตีพิมพ์ในทันทีHendrik LorentzและWerner Heisenbergต่างชี้ให้เห็นปัญหาเกี่ยวกับแนวคิดของอิเล็กตรอนที่หมุน^{[ 42 ]}

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เปาลีไม่เชื่อมั่นในแนวคิดนี้และยังคงยืนกรานในแนวคิดเรื่องระดับความเป็นอิสระแบบสองค่า ซึ่งทำให้เขาสามารถกำหนดหลักการกีดกันของเปาลี ได้ โดยระบุว่าอิเล็กตรอนสองตัวไม่สามารถมี สถานะควอนตัมเดียวกันในระบบควอนตัมเดียวกันได้

โชคดีที่ในเดือนกุมภาพันธ์ พ.ศ. 2469 Llewellyn Thomasสามารถแก้ไขความคลาดเคลื่อนสองเท่าระหว่างผลการทดลองสำหรับโครงสร้างละเอียดในสเปกตรัมของไฮโดรเจนและการคำนวณตามแบบจำลองของ Uhlenbeck และ Goudsmit (และ Kronig ที่ยังไม่ได้ตีพิมพ์) ได้สำเร็จ^{[ 2 ] : 385} ความคลาดเคลื่อนนี้เกิดจากผลกระทบเชิงสัมพัทธภาพ ความแตกต่างระหว่างกรอบอ้างอิงที่ หมุนของอิเล็กตรอน และกรอบอ้างอิงของนิวเคลียส ผลกระทบนี้ปัจจุบันเรียกว่าThomas precession [ ^{7 ] ผลลัพธ์}ของ Thomas ทำให้ Pauli เชื่อว่าการหมุนของอิเล็กตรอนเป็นการตีความที่ถูกต้องของระดับความเป็นอิสระสองค่าของเขา ในขณะที่เขายังคงยืนยันว่าแบบจำลองประจุหมุนแบบคลาสสิกนั้นไม่ถูกต้อง^{[ 39 ] [ 6 ]}

ในปี ค.ศ. 1927 พอลีได้วางรากฐานทฤษฎีสปินโดยใช้ทฤษฎีกลศาสตร์ควอนตัมที่คิดค้นโดยเออร์วิน ชโรดิงเกอร์และเวอร์เนอร์ ไฮเซนเบิร์กเขาเป็นผู้บุกเบิกการใช้เมทริกซ์พอลีเป็นตัวแทน ของตัวดำเนินการสปิน และแนะนำ ฟังก์ชันคลื่น สปินเนอร์แบบสององค์ประกอบ

ทฤษฎีสปินของ Pauli ไม่ใช่ทฤษฎีสัมพัทธภาพ ในปี พ.ศ. 2461 Paul Diracได้ตีพิมพ์สมการอิเล็กตรอนสัมพัทธภาพของเขา โดยใช้สปินเนอร์สี่องค์ประกอบ (ที่รู้จักกันในชื่อ " สปินเนอร์ Dirac ") สำหรับฟังก์ชันคลื่นอิเล็กตรอน ในปี พ.ศ. 2483 Pauli ได้พิสูจน์ทฤษฎีสปิน-สถิติซึ่งระบุว่าเฟอร์มิออนมีสปินครึ่งจำนวนเต็ม และโบซอนมีสปินจำนวนเต็ม^{[ 7 ]}

เมื่อมองย้อนกลับไป หลักฐานเชิงทดลองโดยตรงชิ้นแรกของการหมุนของอิเล็กตรอนคือการทดลองของสเติร์น-เกอร์แลคในปี 1922 อย่างไรก็ตาม คำอธิบายที่ถูกต้องของการทดลองนี้ได้รับการให้ไว้ในปี 1927 เท่านั้น^{[ 43 ]} การตีความดั้งเดิมสันนิษฐานว่าจุดสองจุดที่สังเกตได้ในการทดลองนั้นเกิดจากโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจร แบบควอนตั ม อย่างไรก็ตาม ในปี 1927 โรนัลด์ จีเจ เฟรเซอร์แสดงให้เห็นว่าอะตอมของโซเดียมเป็นไอโซโทรปิกโดยไม่มีโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจร และแนะนำว่าคุณสมบัติทางแม่เหล็กที่สังเกตได้นั้นเกิดจากการหมุนของอิเล็กตรอน^{[ 44 ]}ในปีเดียวกันนั้น โทมัส เออร์วิน ฟิปส์ และจอห์น เบลลามี เทย์เลอร์ได้นำเทคนิคของสเติร์น-เกอร์แลคมาใช้กับอะตอมของไฮโดรเจน สถานะพื้นฐานของไฮโดรเจนมีโมเมนตัมเชิงมุมเป็นศูนย์ แต่การวัดก็แสดงให้เห็นยอดสองยอดอีกครั้ง^{[ 45 ]} เมื่อทฤษฎีควอนตัมได้รับการยอมรับแล้ว ก็เป็นที่ชัดเจนว่าการตีความเดิมไม่น่าจะถูกต้อง: ค่าที่เป็นไปได้ของโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรตามแกนหนึ่งจะเป็นเลขคี่เสมอ ซึ่งต่างจากการสังเกต อะตอมไฮโดรเจนมีอิเล็กตรอนตัวเดียวที่มีสถานะสปินสองสถานะทำให้เกิดจุดสองจุดที่สังเกตได้ อะตอมเงินมีเปลือกปิดซึ่งไม่ก่อให้เกิดโมเมนต์แม่เหล็ก และมีเพียงสปินของอิเล็กตรอนวงนอกที่ไม่ตรงกันเท่านั้นที่ตอบสนองต่อสนาม

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับสปิน (โมเมนตัมเชิงมุมภายใน )

• คำคมที่เกี่ยวข้องกับสปิน (ฟิสิกส์)ในวิกิคำคม
• กูดสมิทเกี่ยวกับการค้นพบสปินของอิเล็กตรอนเก็บถาวรเมื่อ 2025-05-28 ที่Wayback Machine
• Nature : "เหตุการณ์สำคัญใน 'การหมุน' ตั้งแต่ปี 1896 เก็บถาวรเมื่อ 2023-07-09 ที่ Wayback Machine "
• ECE 495N บรรยายครั้งที่ 36: การหมุน (Spin) เก็บถาวรเมื่อ 2016-08-01 ที่Wayback Machineบรรยายออนไลน์โดย S. Datta