ในคณิตศาสตร์ฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์และฟิสิกส์เชิงทฤษฎีเทนเซอร์สปินเป็นปริมาณที่ใช้อธิบายการเคลื่อนที่แบบหมุนของอนุภาคในปริภูมิเวลาเทนเซอร์สปินมีการประยุกต์ใช้ใน ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปและทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษรวมถึงกลศาสตร์ควอนตัม กลศาสตร์ควอนตัมเชิงสัมพัทธภาพและทฤษฎีสนามควอนตัม

กลุ่มยูคลิดพิเศษ SE( d ) ของไอโซเมตรีโดยตรงถูกสร้างขึ้นโดยการเลื่อนและการหมุนพีชคณิตลีของกลุ่มนี้เขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle {\mathfrak {se}}(ง)}$

บทความนี้ใช้พิกัดคาร์ทีเซียนและสัญกรณ์ดัชนีเทนเซอร์

กระแสโนอีเธอร์สำหรับการเคลื่อนที่ในอวกาศคือโมเมนตัม ในขณะที่กระแสสำหรับการเพิ่มขึ้นของเวลาคือพลังงาน ข้อความทั้งสองนี้รวมกันเป็นหนึ่งเดียวในปริภูมิเวลา: การเคลื่อนที่ในปริภูมิเวลา กล่าวคือ การกระจัดระหว่างสองเหตุการณ์ เกิดขึ้นจากโมเมนตัมสี่มิติPการอนุรักษ์โมเมนตัมสี่มิติแสดงโดยสมการความต่อเนื่อง :

$${\displaystyle \partial _{\nu }T^{\mu \nu }=0\,,}$$

โดยที่คือเทนเซอร์พลังงานความเครียดและ ∂ คืออนุพันธ์ย่อยที่ประกอบกันเป็นเกรเดียนต์สี่มิติ (ในพิกัดที่ไม่ใช่คาร์ทีเซียน จะต้องแทนที่ด้วยอนุพันธ์ร่วมแปร ) การอินทิเกรตเหนือปริภูมิ: ${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$

$${\displaystyle \int d^{3}xT^{\mu 0}\left({\vec {x}},t\right)=P^{\mu }}$$

ให้ เวก เตอร์ โมเมนตัมสี่มิติณ เวลาt

กระแสโนเธอร์สำหรับการหมุนรอบจุดyนั้นกำหนดโดยเทนเซอร์ลำดับที่ 3 ซึ่งเขียนแทนด้วยเนื่องจากความสัมพันธ์ ของ พีชคณิตลี${\displaystyle M_{y}^{\อัลฟา \เบต้า \mu }}$

$${\displaystyle M_{y}^{\alpha \beta \mu }(x)=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(x)+y^{\alpha }T^{\beta \mu }(x)-y^{\beta }T^{\alpha \mu }(x)\,,}$$

โดยที่เลขห้อย 0 แสดงถึงจุดกำเนิด (ต่างจากโมเมนตัมเชิงมุม โมเมนตัมเชิงมุมขึ้นอยู่กับจุดกำเนิด) และอินทิกรัล:

$${\displaystyle \int d^{3}xM_{0}^{\mu \nu }({\vec {x}},t)}$$

ให้ ค่าเทนเซอร์โมเมนตัมเชิงมุม ณ เวลาt${\displaystyle M^{\mu \nu }\,}$

เทนเซอร์การหมุนถูกกำหนดที่จุดxให้เป็นค่าของกระแสโนอีเธอร์ที่จุดxของการหมุนรอบแกน x

$${\displaystyle S^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} M_{x}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )=M_{0}^{\alpha \beta \mu }(\mathbf {x} )+x^{\alpha }T^{\beta \mu }(\mathbf {x} )-x^{\beta }T^{\alpha \mu }(\mathbf {x} )}$$

สมการความต่อเนื่อง

$${\displaystyle \partial _{\mu }M_{0}^{\alpha \beta \mu }=0\,,}$$

หมายความว่า:

$${\displaystyle \partial _{\mu }S^{\alpha \beta \mu }=T^{\beta \alpha }-T^{\alpha \beta }\neq 0}$$

ดังนั้นเทนเซอร์ความเครียด-พลังงาน จึง ไม่ใช่ เทน เซอร์ สมมาตร

ปริมาณSคือความหนาแน่นของ โมเมนตัมเชิงมุม สปิน (สปินในที่นี้ไม่ได้หมายถึงเฉพาะอนุภาคจุดเท่านั้น แต่ยังหมายถึงวัตถุที่มีขนาดใหญ่ด้วย) และMคือความหนาแน่นของโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจร โมเมนตัมเชิงมุมรวมทั้งหมดจะเป็นผลรวมของส่วนประกอบสปินและส่วนประกอบวงโคจรเสมอ

ความสัมพันธ์:

$${\displaystyle T_{ij}-T_{ji}}$$

แสดงค่า ความหนาแน่น ของแรงบิดซึ่งแสดงอัตราการแปลงระหว่างโมเมนตัมเชิงมุมวงโคจรและสปิน

ตัวอย่างของวัสดุที่มีความหนาแน่นสปินไม่เป็นศูนย์ ได้แก่ของไหลระดับโมเลกุลสนามแม่เหล็กไฟฟ้าและของไหลปั่นป่วนสำหรับของไหลระดับโมเลกุล โมเลกุลแต่ละตัวอาจกำลังหมุนอยู่ สนามแม่เหล็กไฟฟ้าอาจมีแสงโพลาไรซ์แบบวงกลมสำหรับของไหลปั่นป่วน เราอาจแยกความแตกต่างระหว่างปรากฏการณ์คลื่นยาวและปรากฏการณ์คลื่นสั้นได้ตามอำเภอใจกระแสน้ำวน ที่มีความยาวคลื่นยาว อาจถูกแปลงผ่านความปั่นป่วนไปเป็นกระแสน้ำวนที่เล็กลงเรื่อยๆ โดยขนส่งโมเมนตัมเชิงมุมไปยังความยาวคลื่นที่เล็กลงเรื่อยๆ ในขณะเดียวกันก็ลดกระแสน้ำวน ลง ซึ่งสามารถประมาณได้ด้วยความหนืดของกระแสน้ำวน

• เทนเซอร์ความเครียด-พลังงานของเบลินฟองเต-โรเซนเฟลด์
• กลุ่มปวงกาเร
• กลุ่มลอเรนซ์
• โมเมนตัมเชิงมุมสัมพัทธภาพ
• สมการ Mathisson–Papapetrou–Dixon
• เวกเตอร์เทียมของ Pauli–Lubanski

• โดย Jan Steinhoff. "การกำหนดสูตรมาตรฐานของสปินในทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป (วิทยานิพนธ์)" (PDF) . สืบค้นเมื่อ27 ตุลาคม 2013 .