ในทางคณิตศาสตร์ แนวคิดเรื่องกึ่งเรียบง่าย ( semi-simpleity)เป็นที่แพร่หลายในสาขาวิชาต่างๆ เช่นพีชคณิตเชิงเส้นพีชคณิตนามธรรมทฤษฎีการแทนทฤษฎีหมวดหมู่และเรขาคณิตเชิงพีชคณิต วัตถุ กึ่งเรียบง่ายคือ วัตถุที่สามารถแยกย่อยออกเป็นผลรวมของวัตถุเรียบง่ายและวัตถุเรียบง่าย คือ วัตถุที่ไม่มีวัตถุย่อยที่ไม่ใช่วัตถุพื้นฐาน คำจำกัดความที่แน่นอนของคำเหล่านี้ขึ้นอยู่กับบริบท

ตัวอย่างเช่น ถ้าGเป็นกลุ่มจำกัดการแทนแบบมิติจำกัดที่ไม่เป็นศูนย์Vบนฟิลด์จะเรียกว่าเป็นการแทนแบบง่ายถ้าการแทนย่อยที่มันมีอยู่มีเพียง {0} หรือV เท่านั้น (สิ่งเหล่านี้เรียกว่าการแทนแบบลดทอนไม่ได้ ) ทฤษฎีบทของ Maschkeกล่าวว่า การแทนแบบมิติจำกัดใดๆ ของกลุ่มจำกัด เป็นผลรวมโดยตรงของการแทนแบบง่าย (โดยที่ลักษณะเฉพาะของฟิลด์ฐานไม่หารอันดับของกลุ่ม) ดังนั้นในกรณีของกลุ่มจำกัดที่มีเงื่อนไขนี้ การแทนแบบมิติจำกัดทุกแบบจึงเป็นแบบกึ่งง่าย โดยเฉพาะอย่างยิ่งในพีชคณิตและทฤษฎีการแทน "ความเป็นกึ่งง่าย" ยังเรียกว่าการลดทอนได้อย่างสมบูรณ์ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทของ Weyl เกี่ยวกับการลดทอนได้อย่างสมบูรณ์กล่าวว่า การแทนแบบมิติจำกัดของกลุ่ม Lie กระชับแบบกึ่งง่ายเป็นแบบกึ่งง่าย

เมทริกซ์จัตุรัส (หรืออีกนัยหนึ่งคือตัวดำเนินการเชิงเส้น ที่มีVเป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด) เรียกว่าเมทริกซ์เชิงเดี่ยวถ้าปริภูมิย่อยเชิงเส้นไม่แปรเปลี่ยนภายใต้Tมีเพียง {0} และVเท่านั้น ถ้าฟิลด์นั้นเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต (เช่นจำนวนเชิงซ้อน ) เมทริกซ์เชิงเดี่ยวจะมีขนาด 1x1 เท่านั้นเมทริกซ์กึ่งเชิงเดี่ยวคือเมทริกซ์ที่คล้ายกับผลรวมโดยตรงของเมทริกซ์เชิงเดี่ยว ถ้าฟิลด์นั้นเป็นฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต เมทริกซ์นี้จะเหมือนกับเมทริกซ์ที่สามารถทำให้เป็นเมทริกซ์ทแยงมุมได้${\displaystyle T:V\to V}$

แนวคิดเรื่องความเรียบง่ายแบบกึ่งๆ เหล่านี้สามารถรวมเข้าด้วยกันได้โดยใช้ภาษาของโมดูลแบบกึ่งเรียบง่าย และสามารถขยายไปสู่หมวดหมู่ แบบกึ่งเรียบง่าย ได้

ถ้าเราพิจารณาปริภูมิเวกเตอร์ ทั้งหมด (เหนือฟิลด์เช่นจำนวนจริง ) ปริภูมิเวกเตอร์เชิงเดี่ยวคือปริภูมิที่ไม่มีปริภูมิย่อยแท้ที่ไม่เป็นศูนย์ ดังนั้น ปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติคือปริภูมิเชิงเดี่ยว นี่จึงเป็นผลลัพธ์พื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้นที่ว่า ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดใดๆ เป็นผลรวมโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์เชิงเดี่ยว กล่าวอีกนัยหนึ่ง ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดทั้งหมดเป็นปริภูมิเวกเตอร์กึ่งเชิงเดี่ยว

เมทริกซ์จัตุรัสหรือเทียบเท่ากับตัวดำเนินการเชิงเส้นT บน ปริภูมิเวกเตอร์ มิติจำกัดVเรียกว่ากึ่งง่ายถ้า ปริภูมิย่อย ที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้T ทุกปริภูมิย่อย ที่ ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ T มี ส่วน เติมเต็ม ของปริภูมิย่อยที่ ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้T ^{[ 1 ] [ 2 ]} ซึ่งเทียบเท่ากับพหุนามขั้นต่ำของTที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง

สำหรับปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตFความกึ่งเรียบง่ายของเมทริกซ์เทียบเท่ากับการทำให้เป็นแนวทแยงได้ [ ^{1 ] นี่}เป็นเพราะตัวดำเนินการดังกล่าวมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเสมอ หากเป็นกึ่งเรียบง่ายด้วยแล้ว จะมีไฮเปอร์เพลน ไม่แปรเปลี่ยนเสริม ซึ่งมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะเช่นกัน ดังนั้นโดยการเหนี่ยวนำจึงสามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ ในทางกลับกัน ตัวดำเนินการที่ทำให้เป็นแนวทแยงได้นั้นเห็นได้ง่ายว่าเป็นกึ่งเรียบง่าย เนื่องจากปริภูมิย่อยไม่แปรเปลี่ยนเป็นผลรวมโดยตรงของปริภูมิเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะ และฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะใดๆ สำหรับปริภูมิย่อยนี้สามารถขยายไปยังฐานเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของปริภูมิทั้งหมดได้

สำหรับวงแหวนR ที่กำหนดไว้ โมดูลRที่ไม่ใช่โมดูลย่อยMจะเป็นโมดูลแบบง่าย หากไม่มีโมดูลย่อยอื่นนอกจาก 0 และM โมดูล R M จะเป็นโมดูลแบบกึ่งง่ายหาก โมดูลย่อย R ทุกตัว ของMเป็นผลรวมโดยตรงของโมดูลR ของ M (โมดูลย่อย 0 เป็นโมดูลแบบกึ่งง่าย แต่ไม่ใช่โมดูลแบบง่าย) สำหรับโมดูลR MโมดูลMจะเป็นโมดูลแบบกึ่งง่ายก็ต่อเมื่อเป็นผลรวมโดยตรงของโมดูลแบบง่าย (โมดูลย่อยคือผลรวมโดยตรงที่ว่างเปล่า) สุดท้ายRเรียกว่าวงแหวนแบบกึ่งง่ายหากเป็นโมดูลแบบกึ่งง่ายในฐานะ โมดูล Rปรากฏว่าสิ่งนี้เทียบเท่ากับการกำหนดให้โมดูลR M ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ใดๆ เป็นโมดูลแบบกึ่งง่าย^{[ 3 ]}

ตัวอย่างของวงแหวนกึ่งง่าย ได้แก่ ฟิลด์ และโดยทั่วไปแล้ว ผลคูณโดยตรงแบบจำกัดของฟิลด์ สำหรับกลุ่มจำกัดG ทฤษฎีบทของ Maschkeกล่าวว่าวงแหวนกลุ่มR [ G ] เหนือวงแหวนR บางวง เป็นวงแหวนกึ่งง่ายก็ต่อเมื่อRเป็นวงแหวนกึ่งง่าย และ | G | สามารถผกผันได้ในRเนื่องจากทฤษฎีโมดูลของR [ G ] เหมือนกับทฤษฎีการแทนของGบน โมดูล Rข้อเท็จจริงนี้จึงเป็นความแตกต่างที่สำคัญ ซึ่งทำให้ทฤษฎีการแทนแบบโมดูลาร์ กล่าวคือ กรณีที่ | G | หารลักษณะเฉพาะของR ได้นั้น ยากกว่ากรณีที่ | G | หารลักษณะเฉพาะไม่ได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าRเป็นฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ ตามทฤษฎีบท Artin–Wedderburn วงแหวน Artinianที่มี เอกลักษณ์ Rเป็นวงแหวนกึ่งง่ายก็ต่อเมื่อ R เป็น (สมมาตรกับ) โดยที่แต่ละ R เป็นวงแหวนหารและR เป็นวงแหวนของ เมทริกซ์ n x nที่มีสมาชิกอยู่ในD${\displaystyle M_{n_{1}}(D_{1})\times M_{n_{2}}(D_{2})\times \cdots \times M_{n_{r}}(D_{r})}$${\displaystyle D_{i}}$${\displaystyle M_{n}(D)}$

ตัวดำเนินการTเป็นแบบกึ่งง่ายในความหมายข้างต้นก็ต่อเมื่อพีชคณิตย่อยที่สร้างขึ้นโดยกำลัง (เช่น การทำซ้ำ) ของTภายในวงแหวนของเอนโดมอร์ฟิซึมของVเป็นแบบกึ่งง่าย${\displaystyle F[T]\subseteq \operatorname {End} _{F}(V)}$

ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น ทฤษฎีของวงแหวนกึ่งง่ายนั้นง่ายกว่าทฤษฎีของวงแหวนทั่วไปมาก ตัวอย่างเช่นลำดับที่แน่นอนสั้นๆ ใดๆ

${\displaystyle 0\to M'\to M\to M''\to 0}$

ของโมดูลเหนือริงกึ่งง่ายต้องแยกออก กล่าวคือจากมุมมองของพีชคณิตเชิงโฮโมโลยีนี่หมายความว่าไม่มีส่วนขยาย ที่ไม่ใช่แบบธรรมดา ริงZของจำนวนเต็มไม่ใช่ริงกึ่งง่าย: Zไม่ใช่ผลรวมโดยตรงของn ZและZ / n${\displaystyle M\cong M'\oplus M''}$

แนวคิดเรื่องกึ่งเรียบง่ายข้างต้นหลายประการได้รับการฟื้นคืนมาโดยแนวคิดของหมวดหมู่กึ่งเรียบง่ายCกล่าวโดยย่อหมวดหมู่คือกลุ่มของวัตถุและแผนที่ระหว่างวัตถุเหล่านั้น โดยมีแนวคิดว่าแผนที่ระหว่างวัตถุเหล่านั้นจะรักษาโครงสร้างบางอย่างที่มีอยู่ในวัตถุเหล่านั้น ตัวอย่างเช่น โมดูล Rและ แผนที่เชิงเส้น Rระหว่างโมดูลเหล่านั้นก่อให้เกิดหมวดหมู่ สำหรับริงR ใด ๆ

หมวดหมู่อาเบเลียน [ ^{4 ] C}เรียกว่ากึ่งเรียบง่ายหากมีการรวบรวมวัตถุเรียบง่ายกล่าวคือ วัตถุที่ไม่มีวัตถุย่อย อื่นใด นอกจากวัตถุศูนย์ 0 และตัวมันเอง โดยที่วัตถุX ใดๆเป็นผลรวมโดยตรง (เช่น ผล คูณร่วมหรือเทียบเท่ากับผลคูณ) ของวัตถุเรียบง่ายจำนวนจำกัด เป็นผลมาจากทฤษฎีบทของ Schurว่าวงแหวนเอนโดมอร์ฟิซึม${\displaystyle X_{\alpha }\in C}$${\displaystyle X_{\alpha }}$

${\displaystyle \operatorname {End} _{C}(X)=\operatorname {Hom} _{C}(X,X)}$

ในหมวดหมู่กึ่งง่าย (semi-simple category) คือผลคูณของวงแหวนเมทริกซ์เหนือวงแหวนหาร กล่าวคือ กึ่งง่าย

นอกจากนี้ วงแหวนRจะเป็นกึ่งเรียบง่ายก็ต่อเมื่อหมวดหมู่ของ โมดูล R ที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด เป็นกึ่งเรียบง่าย

ตัวอย่างจากทฤษฎี Hodgeคือหมวดหมู่ของโครงสร้าง Hodgeบริสุทธิ์ที่สามารถโพลาไรซ์ได้กล่าวคือ โครงสร้าง Hodge บริสุทธิ์ที่มาพร้อมกับรูปแบบทวิเชิงเส้นบวกที่ แน่นอนที่เหมาะสม การมีอยู่ของสิ่งที่เรียกว่าการโพลาไรซ์นี้ทำให้หมวดหมู่ของโครงสร้าง Hodge ที่สามารถโพลาไรซ์ได้เป็นแบบกึ่งง่าย[ ^{5 ] อีก} ตัวอย่างหนึ่งจาก เรขาคณิต เชิงพีชคณิตคือหมวดหมู่ของโมทีฟบริสุทธิ์ของ วาไรตี้เชิงโปรเจกทีฟเรียบ เหนือฟิลด์kมอดูโลความสัมพันธ์สมมูลที่เพียงพอ ดังที่ Grothendieckได้ตั้งข้อสันนิษฐานและJannsen ได้แสดงให้เห็น หมวดหมู่นี้เป็นแบบกึ่งง่ายก็ต่อเมื่อความสัมพันธ์สมมูลเป็นสมมูลเชิงตัวเลข [ ^{6 ] ข้อเท็จจริง}นี้เป็นรากฐานเชิงแนวคิดในทฤษฎีของโมทีฟ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Mot} (k)_{\sim }}$${\displaystyle \sim }$

หมวดหมู่อาเบลแบบกึ่งง่ายยังเกิดขึ้นจากการรวมกันของโครงสร้างtและโครงสร้างน้ำหนัก ( ^ที่ เกี่ยวข้องอย่างเหมาะสม) บนหมวดหมู่สามเหลี่ยม [ ^{7 ]}

อาจมีคนตั้งคำถามว่าหมวดหมู่ของการแทนแบบมิติจำกัดของกลุ่มหรือพีชคณิตลีนั้นเป็นแบบกึ่งง่ายหรือไม่ กล่าวคือ การแทนแบบมิติจำกัดทุกแบบสามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของการแทนแบบลดทอนไม่ได้หรือไม่ คำตอบโดยทั่วไปคือไม่ใช่ ตัวอย่างเช่น การแทนของที่กำหนดโดย${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pi (x)={\begin{pmatrix}1&x\\0&1\end{pmatrix}}}$

ไม่ใช่ผลรวมโดยตรงของตัวลดทอนไม่ได้^{[ 8 ]} (มีปริภูมิย่อยคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงหนึ่งเดียว ซึ่งก็คือช่วงขององค์ประกอบฐานแรก) ในทางกลับกัน ถ้าเป็นกลุ่มกระชับการแสดงแทนมิติจำกัดทุกแบบของจะยอมรับผลคูณภายในโดยสัมพันธ์กับ ซึ่งเป็นเอกภาพ แสดงให้เห็นว่าแยกออกเป็นผลรวมของตัวลดทอนไม่ได้^{[ 9 ]}ในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายเชิงซ้อน การแสดงแทนมิติจำกัดทุกแบบของ จะเป็นผลรวมของตัวลดทอนไม่ได้^{[ 10 ]}การพิสูจน์ดั้งเดิมของ Weyl ใช้กลอุบายเอกภาพ : ทุก ดังกล่าวเป็นการทำให้ซับซ้อนของพีชคณิตลีของกลุ่มลีกระชับที่เชื่อมต่ออย่างง่ายเนื่องจากเชื่อมต่ออย่างง่าย จึงมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างการแสดงแทนมิติจำกัดของและของ^{[ 11 ]}ดังนั้น ผลลัพธ์ที่กล่าวถึงเกี่ยวกับการแสดงแทนของกลุ่มกระชับจึงใช้ได้ นอกจากนี้ ยังสามารถพิสูจน์ความกึ่งเรียบง่ายของการแทนค่าโดยตรงด้วยวิธีการทางพีชคณิตได้เช่นกัน ดังที่กล่าวไว้ในส่วนที่ 10.3 ของหนังสือของฮอลล์${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

ดูเพิ่มเติม: หมวดหมู่ฟิวชั่น (ซึ่งเป็นแบบกึ่งง่าย)

• พีชคณิตลีแบบกึ่งง่าย (Semisimple Lie algebra)คือพีชคณิตลีที่เป็นผลรวมโดยตรงของพีชคณิตลีแบบง่าย (Simple Lie algebras)
• กลุ่มพีชคณิตกึ่งง่ายคือ กลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นที่มีรากของส่วนประกอบเอกลักษณ์เป็นจำนวนน้อยมาก
• พีชคณิตกึ่งง่าย
• การแสดงผลแบบกึ่งง่าย