ในทางคณิตศาสตร์แผนภาพสตริงเป็นภาษาเชิงกราฟิกที่เป็นทางการสำหรับการแสดงมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่โมโนอิดัลหรือโดยทั่วไปแล้วคือ 2-เซลล์ใน2-หมวดหมู่มันเป็นเครื่องมือที่สำคัญในทฤษฎีหมวดหมู่ ประยุกต์ เมื่อตีความในFinVect ซึ่งเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัลของ ปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดและแผนที่เชิงเส้นที่มีผลคูณเทนเซอร์แผนภาพสตริงจะเรียกว่าเครือข่ายเทนเซอร์หรือสัญกรณ์กราฟิกของเพนโรสสิ่งนี้ได้นำไปสู่การพัฒนาของกลศาสตร์ควอนตัมเชิงหมวดหมู่ซึ่งสัจพจน์ของทฤษฎีควอนตัมถูกแสดงในภาษาของหมวดหมู่โมโนอิดัล

Günter Hotzได้ให้คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์แรกของไดอะแกรมสตริงเพื่อกำหนดรูปแบบวงจรไฟฟ้า^{อย่างเป็นทางการ [ 1 ] อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วการคิดค้นไดอะแกรมสตริงมักได้รับการยกย่องให้แก่ Roger Penrose [ 2 ] โดยมีไดอะแกรม Feynman ถูกอธิบายว่าเป็นต้นแบบเช่นกัน [ 3} ] ^{ต่อมาได้}มีการกำหนด^{ลักษณะเฉพาะ}ของไดอะแกรมสตริง^{ว่าเป็นลูก}ศรของหมวดหมู่โมโนอิดัลอิสระในบทความสำคัญโดยAndré JoyalและRoss Street [ ^{4 ] แม้ว่า}ไดอะแกรมในบทความแรกๆ เหล่านี้จะวาดด้วยมือ แต่การเกิดขึ้นของซอฟต์แวร์การจัดพิมพ์ เช่นLaTeXและPGF/TikZทำให้การเผยแพร่ไดอะแกรมสตริงแพร่หลายมากขึ้น^{[ 5 ]}

กราฟเชิงอัตถิภาวะและการให้เหตุผลเชิงแผนภาพของCharles Sanders Peirceอาจกล่าวได้ว่าเป็นรูปแบบที่เก่าแก่ที่สุดของแผนภาพสตริง โดยได้รับการตีความในหมวดหมู่โมโนอิดัลของเซตจำกัดและความสัมพันธ์กับผลคูณคาร์ทีเซียน [ ^{6 ] เส้น}เอกลักษณ์ของกราฟเชิงอัตถิภาวะของ Peirce สามารถกำหนดเป็นสัจพจน์ได้เป็นพีชคณิต Frobenius โดย ^ที่การตัดเป็นตัวดำเนินการเอกภาคบนเซตโฮมที่กำหนด สัจพจน์ของ การปฏิเสธเชิงตรรกะสิ่งนี้ทำให้แผนภาพสตริงเป็นระบบการหักล้างสองมิติที่ถูกต้องและสมบูรณ์สำหรับตรรกะลำดับที่หนึ่ง [ ^{7 ] [ 8 ]} ซึ่งคิดค้น ขึ้น โดยอิสระจากไวยากรณ์หนึ่งมิติของBegriffsschriftของGottlob Frege

แผนภาพสตริงประกอบด้วยกล่อง ซึ่งแทนกระบวนการต่างๆโดยมีรายการสายไฟที่เข้ามาทางด้านบนและด้านล่าง ซึ่งแทนระบบ อินพุตและเอาต์พุต ที่ถูกประมวลผลโดยกล่องนั้นโดยเริ่มจากชุดของสายไฟและกล่องที่เรียกว่าลายเซ็นเราสามารถสร้างชุดของแผนภาพสตริงทั้งหมดได้โดยการอุปมาน: ${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle f}$

• แต่ละช่องคือแผนภาพสตริง${\displaystyle f:x\to y}$
• สำหรับแต่ละรายการของสายไฟเอกลักษณ์ คือแผนภาพสตริงที่แสดงถึงกระบวนการที่ไม่ทำอะไรกับระบบอินพุต โดยวาดเป็นกลุ่มสายไฟขนานกัน${\displaystyle x}$${\displaystyle {\text{id}}(x):x\to x}$
• สำหรับไดอะแกรมสตริงแต่ละคู่และเทนเซอร์ ของไดอะแกรม เหล่านั้นคือไดอะแกรมสตริงที่แสดงถึงการประกอบแบบขนานของกระบวนการ โดยจะวาดขึ้นจากการต่อกันในแนวนอนของไดอะแกรมทั้งสอง${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle f':x'\to y'}$${\displaystyle f\otimes f':xx'\to yy'}$
• สำหรับไดอะแกรมสตริงแต่ละคู่และการประกอบกันของไดอะแกรมทั้งสองจะเป็นไดอะแกรมสตริงที่แสดงถึงการประกอบกันตามลำดับของกระบวนการ โดยจะวาดขึ้นจากการต่อกันในแนวตั้งของไดอะแกรมทั้งสอง${\displaystyle f:x\to y}$${\displaystyle g:y\to z}$${\displaystyle g\circ f:x\to z}$

ให้สัญลักษณ์Kleene star แทน โมโนอิดอิสระนั่นคือ เซตของลิสต์ที่มีสมาชิกอยู่ในเซต ${\displaystyle X^{\star }}$${\displaystyle X}$

ลายเซ็นโมโนอิดัล แสดงได้ดังนี้: ${\displaystyle \Sigma }$

• ชุดของวัตถุที่สร้างข้อมูลขึ้นมารายการของวัตถุที่สร้างข้อมูลขึ้นมาเหล่านี้เรียกอีกอย่างว่าประเภท${\displaystyle \Sigma _{0}}$${\textstyle \Sigma _{0}^{\star }}$
• ชุดของลูกศรสร้างหรือเรียกอีกอย่างว่ากล่อง${\displaystyle \Sigma _{1}}$
• ฟังก์ชันคู่หนึ่งซึ่งกำหนดโดเมนและโคโดเมนให้กับแต่ละกล่อง กล่าวคือ ประเภทอินพุตและเอาต์พุต${\displaystyle {\text{dom}},{\text{cod}}:\Sigma _{1}\to \Sigma _{0}^{\star }}$

มอร์ฟิซึมของลายเซ็นโมโนอิดัลคือคู่ของฟังก์ชันและซึ่งเข้ากันได้กับโดเมนและโคโดเมน กล่าวคือ โดยที่และดังนั้นเราจึงได้หมวดหมู่ของลายเซ็นโมโนอิดัลและมอร์ฟิซึมของพวกมัน ${\displaystyle F:\Sigma \to \Sigma '}$${\displaystyle F_{0}:\Sigma _{0}\to \Sigma '_{0}}$${\displaystyle F_{1}:\Sigma _{1}\to \Sigma '_{1}}$${\displaystyle {\text{dom}}\circ F_{1}\ =\ F_{0}\circ {\text{dom}}}$${\displaystyle {\text{cod}}\circ F_{1}\ =\ F_{0}\circ {\text{cod}}}$${\displaystyle \mathbf {MonSig} }$

มีฟังก์ชันลืม (forgetful functor) ที่ส่งหมวดหมู่โมโนอิดัลไปยังลายเซ็นพื้นฐาน และฟังก์ชันโมโนอิดัลไปยังมอร์ฟิซึมของลายเซ็นพื้นฐาน กล่าวคือ มันลืมเอกลักษณ์ การประกอบ และเทนเซอร์ ฟังก์ชันอิสระ ( free functor ) ซึ่งก็คือตัวผกผันซ้ายของฟังก์ชันลืม จะส่งลายเซ็นโมโนอิดัลไปยังหมวดหมู่โมโนอิดัลอิสระที่มันสร้างขึ้น ${\displaystyle U:\mathbf {MonCat} \to \mathbf {MonSig} }$${\displaystyle C_{-}:\mathbf {MonSig} \to \mathbf {MonCat} }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle C_{\Sigma }}$

ไดอะแกรมสตริง (ที่มีตัวสร้างจาก) เป็นลูกศรในหมวดหมู่โมโนอิ ดัล อิสระ^{[ 9 ]}การตีความในหมวดหมู่โมโนอิดัลถูกกำหนดโดยฟังก์ชันโมโนอิดัลซึ่งโดยความเป็นอิสระจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยมอร์ฟิซึมของลายเซ็นโมโนอิดัล ตามสัญชาตญาณ เมื่อภาพของวัตถุสร้างและลูกศรถูกกำหนดแล้ว ภาพของไดอะแกรมทุกอันที่พวกมันสร้างขึ้นจะคงที่ ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle C_{\Sigma }}$${\displaystyle D}$${\displaystyle F:C_{\Sigma }\to D}$${\displaystyle F:\Sigma \to U(D)}$

กราฟเชิงทอพอโลยี หรือ ที่เรียกว่า คอมเพล็กซ์เซลล์หนึ่งมิติคือทูเปิลของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ เซตย่อยแบบปิดและไม่ ต่อเนื่อง ของโหนดและเซตของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันที่เรียกว่าขอบ ซึ่ง แต่ละขอบมีลักษณะโฮโม มอ ร์ฟิกกับช่วงเปิดที่มีขอบเขตอยู่ในและโดยที่${\displaystyle (\Gamma ,\Gamma _{0},\Gamma _{1})}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma _{0}\subseteq \Gamma }$${\displaystyle \Gamma _{1}}$${\displaystyle \Gamma _{0}}$${\textstyle \Gamma -\Gamma _{0}=\coprod \Gamma _{1}}$

กราฟระนาบระหว่างจำนวนจริงสองจำนวนคือกราฟเชิงทอพอโลยีจำกัดที่ฝังอยู่ในโดยที่ทุกจุดเป็นโหนดและอยู่ในส่วนปิดของขอบเพียงหนึ่งเดียวในจุดเหล่านี้เรียกว่าโหนดภายนอกซึ่งกำหนดโดเมนและโคโดเมนของไดอะแกรมสตริง กล่าวคือ รายการของขอบที่เชื่อมต่อกับขอบเขตบนและล่าง โหนดอื่นๆเรียกว่าโหนด ภายใน${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle \mathbb {R} \times [a,b]}$${\displaystyle x\in \Gamma \ \cap \ \mathbb {R} \times \{a,b\}}$${\displaystyle x\in \Gamma _{0}}$${\displaystyle \Gamma _{1}}$${\displaystyle {\text{dom}}(\Gamma ),{\text{cod}}(\Gamma )\in \Gamma _{1}^{\star }}$${\displaystyle f\in \Gamma _{0}\ -\ \{a,b\}\times \mathbb {R} }$

กราฟระนาบแบบก้าวหน้า (หรือเรียกว่า แบบนอนราบ)เรียกว่า กราฟระนาบแบบก้าวหน้า เมื่อการฉายภาพในแนวตั้งเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งสำหรับทุกขอบโดยทั่วไปแล้ว ขอบในกราฟระนาบแบบก้าวหน้าจะไปจากบนลงล่างโดยไม่โค้งงอไปด้านหลัง ในกรณีนั้น แต่ละขอบสามารถกำหนดทิศทางจากบนลงล่างได้ โดยกำหนดโหนดต้นทางและปลายทาง จากนั้นเราสามารถกำหนดโดเมนและโคโดเมนของแต่ละโหนดภายในได้ โดยพิจารณาจากรายการของขอบที่มีต้นทางและปลายทาง ${\displaystyle e\to [a,b]}$${\displaystyle e\in \Gamma _{1}}$${\displaystyle {\text{dom}}(f),{\text{cod}}(f)\in \Gamma _{1}^{\star }}$${\displaystyle f}$

กราฟระนาบเป็นกราฟทั่วไปเมื่อการฉายภาพแนวตั้งเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง กล่าวคือ ไม่มีโหนดภายในสองโหนดใดอยู่ที่ความสูงเดียวกัน ในกรณีนั้น เราสามารถกำหนดรายการของโหนดภายในที่เรียงลำดับจากบนลงล่างได้ ${\displaystyle \Gamma _{0}-\{a,b\}\times \mathbb {R} \to [a,b]}$${\displaystyle {\text{boxes}}(\Gamma )\in \Gamma _{0}^{\star }}$

กราฟระนาบแบบก้าวหน้าจะถูกระบุด้วยลายเซ็นโมโนอิดัลหากกราฟนั้นมีฟังก์ชันคู่หนึ่งที่เชื่อมโยงขอบกับวัตถุกำเนิด และเชื่อมโยงโหนดภายในกับลูกศรกำเนิด ในลักษณะที่สอดคล้องกับโดเมนและโคโดเมน ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle v_{0}:\Gamma _{1}\to \Sigma _{0}}$${\displaystyle v_{1}:\Gamma _{0}-\{a,b\}\times \mathbb {R} \to \Sigma _{1}}$

การเปลี่ยนรูปของกราฟระนาบคือแผนที่ต่อเนื่อง ซึ่งมีคุณสมบัติว่า ${\displaystyle h:\Gamma \times [0,1]\to [a,b]\times \mathbb {R} }$

• ภาพของกำหนดกราฟระนาบสำหรับทุกๆ${\displaystyle h(-,t)}$${\displaystyle t\in [0,1]}$
• สำหรับทุก ๆถ้าเป็นโหนดภายในสำหรับบางโหนดก็จะเป็นโหนดภายในสำหรับทุก ๆ โหนดด้วย${\displaystyle x\in \Gamma _{0}}$${\displaystyle h(x,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t\in [0,1]}$

การเปลี่ยนรูปเรียกว่าแบบก้าวหน้า (ทั่วไป มีป้ายกำกับ) ถ้าเป็นแบบก้าวหน้า (ทั่วไป มีป้ายกำกับ) สำหรับทุก ๆการเปลี่ยนรูปก่อให้เกิดความสัมพันธ์สมมูลกับก็ต่อเมื่อมีบางค่าที่และแผนภาพสตริงเป็นชั้นสมมูลของกราฟระนาบแบบก้าวหน้าที่มีป้ายกำกับอันที่จริง เราสามารถกำหนดได้ดังนี้: ${\displaystyle h(-,t)}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle \Gamma \sim \Gamma '}$${\displaystyle h}$${\displaystyle h(-,0)=\Gamma }$${\displaystyle h(-,1)=\Gamma '}$

• แผนภาพเอกลักษณ์คือชุดของเส้นขอบขนานที่ติดป้ายกำกับด้วยประเภทบางอย่าง${\displaystyle {\text{id}}(x)}$${\displaystyle x\in \Sigma _{0}^{\star }}$
• การประกอบแผนภาพสองภาพเข้าด้วยกันในแนวตั้ง โดยที่โดเมนร่วมของภาพแรกตรงกับโดเมนของภาพที่สอง
• เทนเซอร์ของไดอะแกรมสองอันในรูปการต่อกันในแนวนอน

ในขณะที่นิยามทางเรขาคณิตทำให้เห็นความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีหมวดหมู่และโทโพโลยีมิติต่ำ อย่างชัดเจน นิยามเชิงการจัดเรียงนั้นจำเป็นสำหรับการกำหนดรูปแบบไดอะแกรมสตริงในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์และใช้เพื่อกำหนดปัญหาการคำนวณ นิยาม หนึ่งดังกล่าวคือการกำหนดไดอะแกรมสตริงเป็นชั้นสมมูลของสูตรที่มีประเภทที่ดีซึ่งสร้างขึ้นโดยลายเซ็น เอกลักษณ์ การประกอบ และเทนเซอร์ ในทางปฏิบัติ การเข้ารหัสไดอะแกรมสตริงเป็นสูตรใน รูปแบบทั่วไปนั้นสะดวกกว่าซึ่งมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับกราฟระนาบก้าวหน้าทั่วไปที่มีป้ายกำกับซึ่งกำหนดไว้ข้างต้น

กำหนดลายเซ็นโมโนอิดัล เลเยอร์ถูกกำหนดให้เป็นสามสิ่งได้แก่ ชนิดทางด้านซ้าย กล่องตรงกลาง และชนิดทางด้านขวา เลเยอร์มีโดเมนและโคโดเมนที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน สิ่งนี้ก่อให้เกิดมัลติกราฟ แบบมีทิศทาง หรือที่เรียกว่าควีเวอร์โดยมีชนิดเป็นจุดยอดและเลเยอร์เป็นขอบไดอะแกรมสตริงถูกเข้ารหัสเป็นเส้นทางในมัลติกราฟนี้กล่าวคือ กำหนดโดย: ${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle (x,f,y)\in \Sigma _{0}^{\star }\times \Sigma _{1}\times \Sigma _{0}^{\star }=:L(\Sigma )}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle y}$${\displaystyle {\text{dom}},{\text{cod}}:L(\Sigma )\to \Sigma _{0}^{\star }}$${\displaystyle d}$

• โดเมนเป็นจุดเริ่มต้น${\displaystyle {\text{dom}}(d)\in \Sigma _{0}^{\star }}$
• ความยาว${\displaystyle {\text{len}}(d)=n\geq 0}$
• รายชื่อ${\displaystyle {\text{layers}}(d)=d_{1}\dots d_{n}\in L(\Sigma )}$

โดยที่และสำหรับทั้งหมดอันที่จริง รายการเลเยอร์ที่ระบุอย่างชัดเจนนั้นซ้ำซ้อน เพียงพอแล้วที่จะระบุความยาวของประเภททางด้านซ้ายของแต่ละเลเยอร์ ซึ่งเรียกว่าค่าชดเชยการสร้างหนวดของไดอะแกรมด้วยประเภทจะถูกกำหนดเป็นการเชื่อมต่อทางด้านขวาของแต่ละเลเยอร์และสมมาตรสำหรับการสร้างหนวดทางด้านซ้าย จากนั้นเราสามารถกำหนดได้ดังนี้: ${\displaystyle {\text{dom}}(d_{1})={\text{dom}}(d)}$${\displaystyle {\text{cod}}(d_{i})={\text{dom}}(d_{i+1})}$${\displaystyle i<n}$${\displaystyle d\otimes z}$${\displaystyle d=(x_{1},f_{1},y_{1})\dots (x_{n},f_{n},y_{n})}$${\displaystyle z}$${\displaystyle d\otimes z=(x_{1},f_{1},y_{1}z)\dots (x_{n},f_{n},y_{n}z)}$${\displaystyle z\otimes d}$

• แผนภาพเอกลักษณ์ที่มีและ,${\displaystyle {\text{id}}(x)}$${\displaystyle {\text{len}}({\text{id}}(x))=0}$${\displaystyle {\text{dom}}({\text{id}}(x))=x}$
• การประกอบแผนภาพสองภาพเข้าด้วยกันโดยการนำรายการเลเยอร์ของแผนภาพทั้งสองมาต่อกัน
• เทนเซอร์ของไดอะแกรมสองอันเป็นองค์ประกอบของหนวด${\displaystyle d\otimes d'=d\otimes {\text{dom}}(d')\ \circ \ {\text{cod}}(d)\otimes d'}$

โปรดสังเกตว่าเนื่องจากแผนภาพอยู่ในรูปแบบทั่วไป (กล่าวคือแต่ละชั้นมีกล่องเพียงหนึ่งกล่องเท่านั้น) นิยามของเทนเซอร์จึงมีความเอนเอียงโดยปริยาย: แผนภาพทางด้านซ้ายมืออยู่เหนือแผนภาพทางด้านขวามือ เราอาจเลือกนิยามตรงกันข้ามก็ได้ ${\textstyle d\otimes d'={\text{dom}}(d)\otimes d'\ \circ \ d\otimes {\text{cod}}(d')}$

แผนภาพสองภาพจะเท่ากัน (โดยพิจารณาจากสัจพจน์ของหมวดหมู่โมโนอิดัล) เมื่อใดก็ตามที่แผนภาพทั้งสองอยู่ในชั้นสมมูลเดียวกันของความสัมพันธ์ความสอดคล้องที่สร้างขึ้นโดยตัวสลับ : กล่าวคือ ถ้ากล่องในสองชั้นที่อยู่ติดกันไม่ได้เชื่อมต่อกัน ลำดับของกล่องเหล่านั้นสามารถสลับกันได้ โดยสัญชาตญาณแล้ว หากไม่มีการสื่อสารระหว่างกระบวนการคู่ขนานสองกระบวนการ ลำดับที่เกิดขึ้นของกระบวนการเหล่านั้นก็ไม่สำคัญ $${\displaystyle d\otimes {\text{dom}}(d')\ \circ \ {\text{cod}}(d)\otimes d'\quad =\quad {\text{dom}}(d)\otimes d'\ \circ \ d\otimes {\text{cod}}(d')}$$

ปัญหาคำศัพท์สำหรับหมวดหมู่โมโนอิดัลอิสระ กล่าวคือ การตัดสินใจว่าไดอะแกรมสองอันที่กำหนดเท่ากันหรือไม่ สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนามตัวสลับเป็นระบบการเขียนใหม่ที่ต่อเนื่อง บนเซตย่อยของ ไดอะแกรม ที่เชื่อมต่อขอบเขตกล่าวคือ เมื่อใดก็ตามที่กราฟระนาบมีส่วนประกอบที่เชื่อมต่อไม่เกินหนึ่งส่วนซึ่งไม่ได้เชื่อมต่อกับโดเมนหรือโคโดเมน และข้อโต้แย้งของ Eckmann–Hiltonไม่สามารถใช้ได้^{[ 10 ]}

แนวคิดคือการแทนโครงสร้างมิติdด้วยโครงสร้างมิติ2 มิติโดยใช้ทฤษฎีทวิภาวะของปวงกาเรดังนั้น

• วัตถุหนึ่งถูกแทนด้วยส่วนหนึ่งของระนาบ
• เซลล์ขนาด 1 ช่องจะถูกแทนด้วยส่วนของเส้นตรงแนวตั้ง—เรียกว่าเส้น —ที่แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน (ส่วนด้านขวาตรงกับAและส่วนด้านซ้ายตรงกับB )${\displaystyle f:A\to B}$
• เซลล์ 2 เซลล์แสดงด้วยจุดตัดของสตริง (สตริงที่สอดคล้องกับfเหนือลิงก์ และสตริงที่สอดคล้องกับgใต้ลิงก์)${\displaystyle \alpha :f\Rightarrow g:A\to B}$

การจัดวางแบบขนานของเซลล์ 2 เซลล์สอดคล้องกับการวางแผนภาพในแนวนอน และการจัดวางแบบลำดับสอดคล้องกับการวางแผนภาพในแนวตั้ง

ความสัมพันธ์แบบทวิภาคระหว่างแผนภาพการสลับที่ (ด้านซ้ายมือ) และแผนภาพสตริง (ด้านขวามือ)

หมวดหมู่โมโนอิดัลเทียบเท่ากับหมวดหมู่ 2 ที่มีเซลล์ 0 เพียงเซลล์เดียว โดยสัญชาตญาณแล้ว การเปลี่ยนจากหมวดหมู่โมโนอิดัลไปเป็นหมวดหมู่ 2 ก็เหมือนกับการเพิ่มสีสันให้กับพื้นหลังของแผนภาพสตริง

พิจารณาการเชื่อมโยง ระหว่างสองหมวดหมู่โดยที่เป็นตัวผกผันซ้ายของและการแปลงธรรมชาติและคือหน่วยและหน่วยร่วมตามลำดับ แผนภาพสตริงที่สอดคล้องกับการแปลงธรรมชาติเหล่านี้มีดังนี้: ${\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\leftarrow {\mathcal {D}}}$${\displaystyle G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \eta :I\rightarrow GF}$${\displaystyle \varepsilon :FG\rightarrow I}$

แผนภาพสตริงของหน่วย

แผนภาพสตริงของหน่วยย่อย

แผนภาพสตริงของเอกลักษณ์

เส้นที่สอดคล้องกับฟังก์ชันเอกลักษณ์แสดงด้วยเส้นประและสามารถละเว้นได้ นิยามของการเชื่อมโยงต้องใช้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\varepsilon F)\circ F(\eta )&=1_{F}\\G(\varepsilon )\circ (\eta G)&=1_{G}\end{aligned}}}$

ภาพแรกแสดงให้เห็นดังนี้

แผนภาพแสดงความเท่าเทียมกัน${\displaystyle (\varepsilon F)\circ F(\eta )=1_{F}}$

หมวดหมู่โมโนอิดัลที่ทุกวัตถุมีแอดจอยต์ซ้ายและขวาเรียกว่าหมวดหมู่แข็ง (rigid category ) แผนภาพสตริงสำหรับหมวดหมู่แข็งสามารถกำหนดได้ว่าเป็น กราฟระนาบ ที่ไม่ก้าวหน้า กล่าวคือ ขอบสามารถโค้งงอไปด้านหลังได้

ในบริบทของกลศาสตร์ควอนตัมเชิงหมวดหมู่สม การนี้เรียกว่าสมการงู

หมวดหมู่ของปริภูมิฮิลเบิร์ตนั้นคงที่ ข้อเท็จจริงนี้เป็นพื้นฐานของการพิสูจน์ความถูกต้องของ โปรโตคอล การส่งผ่านควอนตัมหน่วยและหน่วยย่อยของการเชื่อมโยงเป็นการสรุปของสถานะเบลล์และการวัดเบลล์ตามลำดับ หากอลิซและบ็อบแบ่งปันคิวบิต Y และ Z สองตัวในสถานะพันกันและอลิซทำการวัดพันกัน ( ที่เลือกภายหลัง ) ระหว่าง Y กับคิวบิต X อีกตัวหนึ่ง คิวบิต X นี้จะถูกส่งผ่านจากอลิซไปยังบ็อบ: การส่งผ่านควอนตัมเป็นมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์

ภาพประกอบแสดงแคลคูลัสเชิงแผนภาพ: โปรโตคอล การส่งผ่านข้อมูลควอนตัมตามแบบจำลองในกลศาสตร์ควอนตัมเชิงหมวดหมู่

สมการเดียวกันนี้ปรากฏในคำจำกัดความของไวยากรณ์กลุ่มก่อนหน้า (pregroup grammars)ซึ่งแสดงถึงแนวคิดของการไหลของข้อมูลในความหมายของภาษาธรรมชาติข้อสังเกตนี้ได้นำไปสู่การพัฒนา เฟรมเวิร์ก DisCoCatและการประมวลผลภาษาธรรมชาติเชิงควอนตัม

มีการนำส่วนขยายของไดอะแกรมสตริงจำนวนมากมาใช้เพื่อแสดงลูกศรในหมวดหมู่โมโนอิดัลที่มีโครงสร้างเพิ่มเติม ก่อให้เกิดลำดับชั้นของภาษากราฟิกซึ่งจัดประเภทไว้ในการสำรวจภาษากราฟิกสำหรับหมวดหมู่โมโนอิดัล ของเซลลิงเกอร์ ^{[ 11 ]}

• หมวดหมู่โมโนอิดัลแบบถักเปียพร้อมแผนภาพสามมิติ ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของกลุ่มถักเปีย
• หมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตรที่มีแผนภาพ 4 มิติซึ่งขอบสามารถตัดกันได้ เป็นการขยายความของกลุ่มสมมาตร
• หมวดหมู่ริบบิ้นที่มีแผนภาพสามมิติซึ่งขอบไม่มีทิศทาง เป็นการขยายแนวคิดของแผนภาพปม
• หมวดหมู่ปิดขนาดกะทัดรัดที่มีแผนภาพ 4 มิติ โดยที่ขอบไม่มีทิศทาง ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของสัญกรณ์กราฟิกของเพนโรส
• หมวดหมู่มีดสั้นที่แผนภาพทุกอันมีการสะท้อนในแนวนอน

แผนภาพสตริงถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดรูปแบบอย่างเป็นทางการของวัตถุการศึกษาต่อไปนี้

• ทฤษฎีความพร้อมกัน^{[ 12 ]}
• เครือข่ายประสาทเทียม^{[ 13 ]}
• ทฤษฎีเกม^{[ 14 ]}
• ความน่าจะเป็นแบบเบย์เซียน^{[ 15 ]}
• จิตสำนึก^{[ 16 ]}
• เคอร์เนล Markov ^{[ 17 ]}
• กราฟการไหลของสัญญาณ^{[ 18 ]}
• คำถามเชื่อมโยง^{[ 19 ]}
• การแปลงแบบสองทิศทาง^{[ 20 ]}
• กลศาสตร์ควอนตัมเชิงหมวดหมู่
• วงจรควอนตัมการคำนวณควอนตัมแบบใช้การวัดและการแก้ไขข้อผิดพลาดควอนตัมดูZX-calculus
• การประมวลผลภาษาธรรมชาติดูDisCoCat
• การประมวลผลภาษาธรรมชาติเชิงควอนตัม

• โครงข่ายพิสูจน์ (Proof nets)คือการขยายแนวคิดของแผนภาพสตริงที่ใช้เพื่อแสดงการพิสูจน์ในตรรกศาสตร์เชิงเส้น
• กราฟเชิงการดำรงอยู่ (Existential graphs ) ซึ่งเป็นต้นกำเนิดของแผนภาพสตริง (string diagrams) ที่ใช้ในการแสดงสูตรในตรรกศาสตร์ลำดับที่หนึ่ง
• สัญกรณ์กราฟิกของเพนโรสและแผนภาพของไฟน์แมนสองสิ่งที่เป็นต้นกำเนิดของแผนภาพสตริงในฟิสิกส์
• เครือข่ายเทนเซอร์การตีความแผนภาพสตริงในปริภูมิเวกเตอร์แผนที่เชิงเส้นและผลคูณเทนเซอร์

• TheCatsters (2007). แผนภาพสตริง 1 (วิดีโอสตรีมมิ่ง) . YouTube. เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อ 2021-12-19.
• แผนภาพสตริงที่n Lab
• DisCoPyคือชุดเครื่องมือ Python สำหรับการคำนวณด้วยแผนภาพสตริง

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับแผนภาพสตริงในวิกิมีเดียคอมมอนส์