ในทางคณิตศาสตร์หมวดหมู่โมโนอิดัล (หรือหมวดหมู่เทนเซอร์ ) คือหมวดหมู่ ที่มีไบฟังก์ชันเตอร์${\displaystyle \mathbf {C} }$

${\displaystyle \otimes :\mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$

ซึ่งมี คุณสมบัติการสลับ ที่ได้จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติและวัตถุIที่เป็นทั้ง เอกลักษณ์ ซ้ายและขวาสำหรับ ⊗ อีกครั้งจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ ไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติที่เกี่ยวข้องนั้นอยู่ภายใต้เงื่อนไขความสอดคล้อง บางประการ ซึ่งรับประกันว่าไดอะแกรม ที่เกี่ยวข้องทั้งหมด จะสลับที่ได้

ผลคูณเทนเซอร์แบบธรรมดาทำให้ปริภูมิเวกเตอร์กลุ่มอาเบเลียนโมดูลRหรือพีชคณิตRกลายเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัล หมวดหมู่โมโนอิดัลสามารถมองได้ว่าเป็นการวางนัยทั่วไปของตัวอย่างเหล่านี้และตัวอย่างอื่นๆ หมวดหมู่โมโนอิดัลทุกหมวดหมู่ ( ขนาดเล็ก ) อาจถูกมองว่าเป็น " การจัดหมวดหมู่ " ของ โมโนอิดพื้นฐานกล่าวคือ โมโนอิดที่มีองค์ประกอบเป็นชั้นไอโซมอร์ฟิซึมของวัตถุของหมวดหมู่ และการดำเนินการทวิภาคของมันกำหนดโดยผลคูณเทนเซอร์ของหมวดหมู่

การประยุกต์ใช้งานที่แตกต่างออกไป ซึ่งหมวดหมู่โมโนอิดัลสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นนามธรรม คือ ระบบของชนิดข้อมูลที่ปิดภายใต้ตัวสร้างชนิดที่รับสองชนิดและสร้างชนิดรวม ชนิดเหล่านั้นทำหน้าที่เป็นวัตถุ และ ⊗ คือตัวสร้างชนิดรวม ความสัมพันธ์แบบสมาคมจนถึงไอโซมอร์ฟิซึมจึงเป็นวิธีหนึ่งในการแสดงออกว่าวิธีการรวมข้อมูลเดียวกันที่แตกต่างกัน เช่นและจะเก็บข้อมูลเดียวกันแม้ว่าค่ารวมไม่จำเป็นต้องเหมือนกันก็ตาม ชนิดรวมอาจเปรียบได้กับการดำเนินการบวก ( ชนิดผลรวม ) หรือการคูณ ( ชนิดผลคูณ ) สำหรับชนิดผลคูณ วัตถุเอกลักษณ์คือหน่วยดังนั้นจึงมีเพียงสมาชิกเดียวของชนิดนั้น และนั่นคือเหตุผลที่ผลคูณกับมันจึงเป็นไอโซมอร์ฟิกกับตัวถูกดำเนินการอื่นเสมอ สำหรับชนิดผลรวม วัตถุเอกลักษณ์คือชนิดว่างเปล่าซึ่งไม่เก็บข้อมูลใดๆ และเป็นไปไม่ได้ที่จะอ้างถึงสมาชิก แนวคิดของหมวดหมู่โมโนอิดัลไม่ได้สันนิษฐานว่าค่าของชนิดรวมดังกล่าวสามารถแยกออกจากกันได้ ในทางตรงกันข้าม มันเป็นกรอบการทำงานที่รวมทฤษฎีสารสนเทศแบบคลาสสิกและควอนตัม เข้าด้วยกัน ^{[ 1 ]}${\displaystyle ((a,b),c)}$${\displaystyle (a,(b,c))}$${\displaystyle ()}$

ในทฤษฎีหมวดหมู่หมวดหมู่โมโนอิดัลสามารถใช้เพื่อกำหนดแนวคิดของวัตถุโมโนอิดและการกระทำที่เกี่ยวข้องกับวัตถุของหมวดหมู่ นอกจากนี้ยังใช้ในการกำหนดหมวดหมู่ที่เสริมด้วย

หมวดหมู่โมโนอิดัลมีแอปพลิเคชันมากมายนอกเหนือจากทฤษฎีหมวดหมู่โดยตรง มันถูกใช้เพื่อกำหนดแบบจำลองสำหรับเศษส่วนการคูณของตรรกะเชิงเส้นแบบสัญชาตญาณ นอกจากนี้ยังเป็นรากฐานทางคณิตศาสตร์สำหรับลำดับเชิงทอพอโล ยี ในฟิสิกส์สสารควบแน่นหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบถักเปียมีแอปพลิเคชันในสารสนเทศควอนตัมทฤษฎีสนามควอนตัมและทฤษฎี สตริง

หมวด หมู่โมโนอิดัล (Monoidal category)คือหมวดหมู่ที่มีโครงสร้างโมโนอิดัล โครงสร้างโมโนอิดัลประกอบด้วยสิ่งต่อไปนี้: ${\displaystyle \mathbf {C} }$

• ไบฟังก์ชัน ที่เรียกว่าผลคูณโมโนอิดัล [ ^{2 ] หรือ}ผลคูณเทนเซอร์${\displaystyle \otimes \colon \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$
• วัตถุที่เรียกว่าหน่วยโมโนอิดัล [ ^{2 ] วัตถุ}หน่วยหรือวัตถุเอกลักษณ์${\displaystyle I}$
• ไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติสามแบบภายใต้เงื่อนไขความสอดคล้อง บางประการ ที่แสดงให้เห็นถึงข้อเท็จจริงที่ว่าการดำเนินการเทนเซอร์:
  • มีคุณสมบัติการสลับที่: มีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติ (ในแต่ละอาร์กิวเมนต์ทั้งสาม, , ) เรียกว่าตัวสลับที่โดยมีส่วนประกอบ,${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha _{A,B,C}\colon A\otimes (B\otimes C)\cong (A\otimes B)\otimes C}$
  • มีเอกลักษณ์ทางซ้ายและขวา: มีไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติสองแบบ คือและซึ่งเรียกว่ายูนิเตอร์ซ้ายและยูนิเตอร์ขวา ตามลำดับ โดยมีส่วนประกอบคือและ${\displaystyle I}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \lambda _{A}\colon I\otimes A\cong A}$${\displaystyle \rho _{A}\colon A\otimes I\cong A}$

โปรดสังเกตว่าวิธีที่ดีในการจดจำคำว่า "how" และ"act" คือการใช้สัมผัสอักษร; แลมบ์ดา (Lambda ) จะหักล้างเอกลักษณ์ทางด้านซ้ายในขณะที่โร (Rho ) จะหักล้างเอกลักษณ์ทางด้าน ขวา${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho }$

เงื่อนไขความสอดคล้องสำหรับการแปลงทางธรรมชาติเหล่านี้มีดังนี้:

• สำหรับทุก, , และในแผนภาพห้าเหลี่ยม${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

การเดินทางไปทำงาน ;

• สำหรับทุกคนและในแผนภาพสามเหลี่ยม${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

การเดินทางไปทำงาน

หมวดหมู่โมโนอิดัลแบบเข้มงวดคือหมวดหมู่ที่ไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติα , λและρเป็นเอกลักษณ์ หมวดหมู่โมโนอิดัลทุกหมวดหมู่สมมูล กันในเชิงโมโนอิดัล กับหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบเข้มงวด

• หมวดหมู่ใดๆ ที่มีผล คูณจำกัด สามารถถือได้ว่าเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัล โดยมีผลคูณเป็นผลคูณโมโนอิดัล และวัตถุปลายทางเป็นหน่วย หมวดหมู่ดังกล่าวบางครั้งเรียกว่าหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบคาร์ทีเซียนตัวอย่างเช่น:
  • เซตคือหมวดหมู่ของเซตที่มีผลคูณคาร์ทีเซียน โดยใช้เซตที่มีสมาชิกเพียงหนึ่งเดียวเป็นหน่วย
  • Catคือหมวดหมู่ของหมวดหมู่ย่อยที่มีหมวดหมู่ผลิตภัณฑ์โดยที่หมวดหมู่ที่มีวัตถุเพียงชิ้นเดียวและมีเพียงแผนที่ระบุตัวตนของวัตถุนั้นเท่านั้นเป็นหน่วย
• ในทำนองเดียวกัน หมวดหมู่ใดๆ ที่มีผลคูณ ร่วมจำกัด จะเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัล โดยมีผลคูณร่วมเป็นผลคูณโมโนอิดัล และวัตถุเริ่มต้นเป็นหน่วย หมวดหมู่โมโนอิดัลดังกล่าวเรียกว่าโมโนอิดัลโคคาร์ทีเซียน
• R -Modซึ่งเป็นหมวดหมู่ของโมดูลเหนือริงสลับที่Rเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัล โดยมีผลคูณเทนเซอร์ของโมดูล ⊗ _Rทำหน้าที่เป็นผลคูณโมโนอิดัล และริง R (ซึ่งคิดว่าเป็นโมดูลเหนือตัวมันเอง) ทำหน้าที่เป็นหน่วย ในกรณีพิเศษมีดังนี้:
  • K -Vectคือหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์Kโดยใช้ปริภูมิเวกเตอร์หนึ่งมิติ Kเป็นหน่วย K -FdVect (หมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด ) ก็จัดอยู่ในหมวดหมู่นี้ด้วยเช่นกัน
  • Abคือหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนโดยมีกลุ่มจำนวนเต็มZเป็นหน่วย
• สำหรับวงแหวนสลับที่ใดๆRหมวดหมู่ของพีชคณิตRจะเป็นแบบโมโนอิดัล โดยมีผลคูณเทนเซอร์ของพีชคณิตเป็นผลคูณ และRเป็นหน่วย
• หมวดหมู่ของปริภูมิจุด (จำกัดเฉพาะปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดเป็นต้น) เป็นแบบโมโนอิดัล โดยมีผลคูณแบบสแมชทำหน้าที่เป็นผลคูณ และทรงกลมจุดศูนย์ แบบมีจุด (ปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องสองจุด) ทำหน้าที่เป็นหน่วย
• หมวดหมู่ของเอนโดฟังก์ชัน ทั้งหมด ในหมวดหมู่Cเป็น หมวดหมู่โมโนอิดัล ที่เข้มงวดโดยมีองค์ประกอบของฟังก์ชันเป็นผลคูณ และฟังก์ชันเอกลักษณ์เป็นหน่วย
• เช่นเดียวกับที่สำหรับหมวดหมู่E ใดๆ หมวดหมู่ย่อยทั้งหมดที่เกิดจากวัตถุใดๆ ก็ตามจะเป็นโมโนอิด ในทำนองเดียวกัน สำหรับหมวดหมู่ 2 มิติE ใดๆ และวัตถุC ใดๆ ใน Ob( E ) หมวดหมู่ย่อย 2 มิติทั้งหมดของEที่เกิดจาก { C } จะเป็นหมวดหมู่โมโนอิด ในกรณีที่E = Catเราจะได้ ตัวอย่าง เอนโดฟังก์ชันข้างต้น
• เซมิแลตติซแบบมีขอบเขตบน เป็น หมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตรอย่างเคร่งครัด กล่าวคือ ผลคูณเป็นมีต และเอกลักษณ์เป็นองค์ประกอบบนสุด
• โมโนอิดทั่วไปใดๆ ก็ตามเป็นหมวดหมู่โมโนอิดขนาดเล็กที่มีเซตวัตถุซึ่งมีเพียงเอกลักษณ์สำหรับมอร์ฟิซึมเช่นผลคูณเทนเซอร์ และเป็นวัตถุเอกลักษณ์ ในทางกลับกัน เซตของคลาสไอโซมอร์ฟิซึม (หากสิ่งนั้นมีความหมาย) ของหมวดหมู่โมโนอิดคือโมโนอิดที่เกี่ยวข้องกับผลคูณเทนเซอร์${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle 1}$
• โมโนอิดแบบสลับที่ได้ใดๆ ก็สามารถสร้างขึ้นได้ในรูปของหมวดหมู่โมโนอิดที่มีวัตถุเดียว โปรดจำไว้ว่าหมวดหมู่ที่มีวัตถุเดียวก็คือโมโนอิดธรรมดานั่นเอง โดยอาศัยข้อโต้แย้งของเอ็กมันน์-ฮิลตันการเพิ่มผลคูณโมโนอิดอีกตัวหนึ่งลงบนจะต้องทำให้ผลคูณนั้นเป็นแบบสลับที่ได้${\displaystyle (M,\cdot ,1)}$${\displaystyle M}$

จากเงื่อนไขความสอดคล้องสามประการที่กำหนดไว้ จะเห็นได้ว่าไดอะแกรมจำนวนมาก (เช่น ไดอะแกรมที่มีมอร์ฟิซึมที่สร้างขึ้นโดยใช้เอกลักษณ์ , , , และผลคูณเทนเซอร์) สลับที่ได้: นี่คือ" ทฤษฎีบทความสอดคล้อง " ของ Mac Laneบางครั้งมีการกล่าวอ้างอย่างไม่ถูกต้องว่าไดอะแกรมดังกล่าว ทั้งหมด สลับที่ได้${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho }$

ในหมวดหมู่โมโนอิดัล มีแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับวัตถุโมโนอิด ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดปกติของโมโนอิด จากพีชคณิตนามธรรมโมโนอิดปกติก็คือวัตถุโมโนอิดในหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบคาร์ทีเซียนSetนั่นเอง ยิ่งไปกว่านั้น หมวดหมู่โมโนอิดัลที่เข้มงวด (ขนาดเล็ก) ใดๆ ก็สามารถมองได้ว่าเป็นวัตถุโมโนอิดในหมวดหมู่ของหมวดหมู่Cat (ซึ่งมีโครงสร้างโมโนอิดัลที่เกิดจากผลคูณแบบคาร์ทีเซียน)

ฟังก์ชันโมโนอิดัลคือฟังก์ชันระหว่างหมวดหมู่โมโนอิดัลที่รักษาผลคูณเทนเซอร์ไว้ และการแปลงธรรมชาติโมโนอิดัลคือการแปลงธรรมชาติระหว่างฟังก์ชันเหล่านั้น ซึ่ง "เข้ากันได้" กับผลคูณเทนเซอร์

หมวดหมู่โมโนอิดัลทุกหมวดสามารถมองได้ว่าเป็นหมวดหมู่B (∗, ∗) ของไบแคตทอรีBที่มีวัตถุเพียงหนึ่งเดียว ซึ่งแทนด้วย ∗

แนวคิดของหมวดหมู่C ที่เสริมด้วยหมวดหมู่โมโนอิดัลMแทนที่แนวคิดของเซตของมอร์ฟิซึมระหว่างคู่ของวัตถุในC ด้วยแนวคิดของ วัตถุ Mของมอร์ฟิซึมระหว่างวัตถุสองชิ้นใดๆ ในC

สำหรับทุกหมวดหมู่Cสามารถสร้าง หมวด หมู่ โมโนอิดัลแบบ เข้มงวดอิสระ Σ( C ) ได้ดังนี้:

• วัตถุของมันคือรายการ (ลำดับจำกัด) A ₁ , ..., A _nของวัตถุของC ;
• จะมีลูกศรเชื่อมระหว่างวัตถุสองชิ้นA ₁ , ..., A _mและB ₁ , ..., B _nก็ต่อเมื่อm = n เท่านั้น และในกรณีนั้น ลูกศรจะเป็นรายการ (ลำดับจำกัด) ของลูกศรf ₁ : A ₁ → B ₁ , ..., f _n : A _n → B _nของC ;
• ผลคูณเทนเซอร์ของวัตถุสองชิ้น A ₁ , ..., A _nและB ₁ , ..., B _mคือการต่อกัน ของลิสต์ทั้งสอง A ₁ , ..., A _n , B ₁ , ..., B _mและในทำนองเดียวกัน ผลคูณเทนเซอร์ของมอร์ฟิซึมสองตัวจะได้จากการต่อกันของลิสต์ วัตถุเอกลักษณ์คือลิสต์ว่าง

การดำเนินการ Σ นี้ซึ่งแมปหมวดหมู่Cไปยัง Σ( C ) สามารถขยายเป็น 2- monad ที่เข้มงวด บนCatได้

• ถ้าในหมวดหมู่โมโนอิดัลและเป็นไอโซมอร์ฟิกตามธรรมชาติในลักษณะที่สอดคล้องกับเงื่อนไขความสอดคล้อง เราจะเรียกว่า หมวด หมู่โมโนอิดัลแบบถักเปียยิ่งไปกว่านั้น ถ้าไอโซมอร์ฟิกตามธรรมชาตินี้เป็นอินเวอร์สของตัวมันเอง เราจะมี หมวดหมู่โมโนอิดัล แบบสมมาตร${\displaystyle A\otimes B}$${\displaystyle B\otimes A}$
• หมวด หมู่โมโนอิดัลแบบปิดคือ หมวดหมู่โมโนอิดัลที่ฟังก์ชันมีตัวผกผันทางขวาซึ่งเรียกว่า "ฟังก์ชัน Hom ภายใน" ตัวอย่างเช่นหมวดหมู่ปิดแบบคาร์ทีเซียนเช่นSet ซึ่ง เป็นหมวดหมู่ของเซต และหมวดหมู่ปิดแบบกระชับเช่นFdVectซึ่งเป็นหมวดหมู่ของปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัด${\displaystyle X\mapsto X\otimes A}$${\displaystyle X\mapsto \mathrm {Hom} _{\mathbf {C} }(A,X)}$
• หมวดหมู่แบบอิสระ (หรือหมวดหมู่แบบปิดขนาดกะทัดรัดหรือหมวดหมู่แบบแข็ง ) คือหมวดหมู่แบบโมโนอิดั ลซึ่งมีคู่ที่มีคุณสมบัติที่ดีอยู่ พวกมันเป็นนามธรรมของแนวคิดของFdVect
• หมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตรแบบมี ดสั้น พร้อมด้วยฟังก์ชันมีดสั้นพิเศษ ซึ่งเป็นนามธรรมของแนวคิดของFdHilbปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัด ซึ่งรวมถึงหมวดหมู่คอมแพ็กต์แบบมีดสั้นด้วย
• หมวดหมู่ Tannakianคือหมวดหมู่ monoidal ที่เสริมด้วยฟิลด์ ซึ่งคล้ายคลึงกับหมวดหมู่การแทนของกลุ่มพีชคณิตเชิงเส้นมาก

โมโน อิดแบบพรีออร์เดอร์ (Preordered monoid) คือหมวดหมู่โมโนอิดัล (monoidal category) ซึ่งสำหรับวัตถุสองชิ้นใดๆ จะมี มอร์ฟิซึมในCอยู่ได้ไม่เกินหนึ่งตัวเท่านั้นในบริบทของพรีออร์เดอร์บางครั้งมอร์ฟิซึมจะถูกเขียนแทน ด้วย คุณสมบัติ การสะท้อนกลับ (reflexivity ) และการถ่ายทอด (transitivity)ของออร์เดอร์ ซึ่งนิยามไว้ในความหมายดั้งเดิม จะถูกรวมเข้าไว้ในโครงสร้างเชิงหมวดหมู่โดยมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์และสูตรการประกอบในCตามลำดับ ถ้าและแล้ววัตถุทั้งสองจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ซึ่งเขียนแทนด้วย ${\displaystyle c,c'\in \mathrm {Ob} (\mathbf {C} )}$${\displaystyle c\to c'}$${\displaystyle c\to c'}$${\displaystyle c\leq c'}$${\displaystyle c\leq c'}$${\displaystyle c'\leq c}$${\displaystyle c,c'}$${\displaystyle c\cong c'}$

การนำโครงสร้างโมโนอิดัลมาใช้กับพรีออร์เดอร์Cเกี่ยวข้องกับการสร้าง

• วัตถุชิ้นหนึ่งเรียกว่าหน่วยโมโนอิดัลและ${\displaystyle I\in \mathbf {C} }$
• ฟังก์ชัน หนึ่งซึ่งแสดงด้วย " " เรียกว่าการคูณแบบโมโนอิดัล${\displaystyle \mathbf {C} \times \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$${\displaystyle \;\cdot \;}$

${\displaystyle I}$และต้องมีคุณสมบัติเป็นเอกภาพและสัมพันธ์กันได้ จนถึงระดับไอโซมอร์ฟิซึม ซึ่งหมายความว่า: ${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle (c_{1}\cdot c_{2})\cdot c_{3}\cong c_{1}\cdot (c_{2}\cdot c_{3})}$และ.${\displaystyle I\cdot c\cong c\cong c\cdot I}$

เนื่องจาก · เป็นฟังก์ชัน

ถ้าและแล้ว​${\displaystyle c_{1}\to c_{1}'}$${\displaystyle c_{2}\to c_{2}'}$${\displaystyle (c_{1}\cdot c_{2})\to (c_{1}'\cdot c_{2}')}$

เงื่อนไขความสอดคล้องอื่นๆ ของหมวดหมู่โมโนอิดัลนั้นได้รับการเติมเต็มผ่านโครงสร้างพรีออร์เดอร์ เนื่องจากไดอะแกรมทุกอันสามารถสลับตำแหน่งได้ในพรีออร์เดอร์

จำนวนธรรมชาติเป็นตัวอย่างของลำดับก่อนหน้าแบบโมโนอิด: การมีทั้งโครงสร้างโมโนอิด (โดยใช้ + และ 0) และโครงสร้างลำดับก่อนหน้า (โดยใช้ ≤) ก่อให้เกิดลำดับก่อนหน้าแบบโมโนอิด เนื่องจากและหมายความว่า ${\displaystyle m\leq n}$${\displaystyle m'\leq n'}$${\displaystyle m+m'\leq n+n'}$

โมโนอิดอิสระบนเซตตัวสร้างบางเซตจะสร้างพรีออร์เดอร์แบบโมโนอิด ซึ่งก่อให้เกิดระบบ เซมิ-ธู

• โครงร่าง (ทฤษฎีหมวดหมู่)
• หมวดหมู่ทรงกลม
• การกระทำหมวดหมู่โมโนอิดัล

• สื่อที่เกี่ยวข้องกับหมวดหมู่ Monoidalใน Wikimedia Commons