ในทฤษฎีหมวดหมู่ฟังก์ชันโมโนอิดัล (monoidal functor)คือฟังก์ชันระหว่างหมวดหมู่โมโนอิดัล ( monoidal categories) ที่รักษาโครงสร้างโมโนอิดัลไว้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ฟังก์ชันโมโนอิดัลระหว่างหมวดหมู่โมโนอิดัลสองหมวดหมู่ประกอบด้วยฟังก์ชันระหว่างหมวดหมู่เหล่านั้น พร้อมด้วยแผนที่ความสอดคล้อง (coherence map) สอง แผนที่ ได้แก่ การแปลงธรรมชาติ (natural transformation) และมอร์ฟิซึม (morphism) ที่รักษาการคูณและเอกลักษณ์ของโมโนอิดัลตามลำดับ นักคณิตศาสตร์ต้องการให้แผนที่ความสอดคล้องเหล่านี้มีคุณสมบัติเพิ่มเติมขึ้นอยู่กับว่าพวกเขาต้องการรักษาโครงสร้างโมโนอิดัลอย่างเคร่งครัดเพียงใด คุณสมบัติแต่ละอย่างจะนำไปสู่คำจำกัดความของฟังก์ชันโมโนอิดัลที่แตกต่างกันเล็กน้อย

• แผนที่ความสอดคล้องของฟังก์ชันโมโนอิดัลแบบหย่อนยานไม่เป็นไปตามคุณสมบัติเพิ่มเติมใดๆ และไม่จำเป็นต้องสามารถผกผันได้
• แผนที่ความสอดคล้องของฟังก์ชันโมโนอิดัลที่แข็งแกร่งนั้นสามารถผกผันได้
• แผนที่ความสอดคล้องของฟังก์ชันโมโนอิดัลแบบเข้มงวดคือแผนที่เอกลักษณ์

แม้ว่าเราจะแยกความแตกต่างระหว่างคำจำกัดความต่างๆ เหล่านี้ไว้ในที่นี้ แต่ผู้เขียนอาจเรียกคำจำกัดความใดๆ เหล่านี้ว่าฟังก์ชันโมโนอิดัลก็ได้

ให้และเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัลฟังก์ชันโมโนอิดัลแบบยืดหยุ่นจากไปยัง(ซึ่งอาจเรียกว่าฟังก์ชันโมโนอิดัลเฉยๆ ก็ได้) ประกอบด้วยฟังก์ชันพร้อมกับการแปลงตามธรรมชาติ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \phi _{A,B}:FA\bullet FB\to F(A\otimes B)}$

ระหว่างฟังก์ชันและมอร์ฟิซึม ${\displaystyle {\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$

${\displaystyle \phi :I_{\mathcal {D}}\to FI_{\mathcal {C}}}$,

เรียกว่าแผนที่ความสอดคล้องหรือโครงสร้างมอร์ฟิซึมซึ่งเป็นเช่นนั้นสำหรับวัตถุสามชิ้นทุก ๆ สามชิ้นและของไดอะแกรม ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

,

   และ   

สลับตำแหน่งในหมวดหมู่ ข้างต้น การแปลงธรรมชาติต่างๆ ที่แสดงโดยใช้เป็นส่วนหนึ่งของโครงสร้างโมโนอิดัลบนและ^{[ 1 ]}${\displaystyle {\mathcal {D}}}$${\displaystyle \alpha ,\rho ,\lambda }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {D}}}$

• ฟังก์ชันคู่ของฟังก์ชันโมโนอิดัลคือฟังก์ชันโคโมโนอิดัลซึ่งเป็นฟังก์ชันโมโนอิดัลที่มีแผนที่ความสอดคล้องกลับด้าน ฟังก์ชันโคโมโนอิดัลอาจเรียกอีกชื่อว่า ฟังก์ชันออปโมโนอิดัล ฟังก์ชันโคแล็กซ์โมโนอิดัล หรือฟังก์ชันโอปลา็กซ์โมโนอิดัล
• ฟังก์ชันโมโนอิดัลที่แข็งแกร่งคือ ฟังก์ชันโมโนอิดัลที่มีแผนที่ความสอดคล้องที่สามารถผกผันได้${\displaystyle \phi _{A,B},\phi }$
• ฟังก์ชันโมโนอิดัลแบบเข้มงวดคือ ฟังก์ชันโมโนอิดัลที่มีแผนที่ความสอดคล้องเป็นเอกลักษณ์
• ฟังก์ชันโมโนอิดัลแบบถักเปียคือฟังก์ชันโมโนอิดัลระหว่างหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบถักเปีย (โดยที่การถักเปียจะถูกแทนด้วย) ซึ่งแผนภาพต่อไปนี้จะสลับตำแหน่งกันได้สำหรับทุกคู่ของวัตถุA , Bใน :${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

• ฟังก์ชันโมโนอิดัลสมมาตรคือ ฟังก์ชันโมโนอิดัลแบบถักเปีย ซึ่งโดเมนและโคโดเมนเป็น หมวดหมู่โมโนอิดั ลสมมาตร

• ฟังก์ชันพื้นฐานจากหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนไปยังหมวดหมู่ของเซตในกรณีนี้ แผนที่ส่ง (a, b) ไปยัง; แผนที่ส่งไปยัง 1${\displaystyle U\colon (\mathbf {Ab} ,\otimes _{\mathbf {Z} },\mathbf {Z} )\rightarrow (\mathbf {Set} ,\times ,\{\ast \})}$${\displaystyle \phi _{A,B}\colon U(A)\times U(B)\to U(A\otimes B)}$${\displaystyle a\otimes b}$${\displaystyle \phi \colon \{*\}\to \mathbb {Z} }$${\displaystyle \ast }$
• ถ้าเป็นริง (สลับที่ได้) แล้วฟังก์ชันอิสระจะขยายไปเป็นฟังก์ชันโมโนอิดัลที่แข็งแกร่ง(และถ้าเป็นริงสลับที่ได้เช่นกัน)${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathsf {Set}},\to R{\mathsf {-mod}}}$${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\sqcup ,\emptyset )\to (R{\mathsf {-mod}},\oplus ,0)}$${\displaystyle ({\mathsf {Set}},\times ,\{\ast \})\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes ,R)}$${\displaystyle R}$
• ถ้าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนสลับที่กันได้ ฟังก์ชันการจำกัดจะเป็นแบบโมโนอิดัล และฟังก์ชันการเหนี่ยวนำจะเป็นแบบโมโนอิดัลอย่างเข้มข้น${\displaystyle R\to S}$${\displaystyle (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)\to (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)}$${\displaystyle (R{\mathsf {-mod}},\otimes _{R},R)\to (S{\mathsf {-mod}},\otimes _{S},S)}$
• ตัวอย่างสำคัญของฟังก์ชันโมโนอิดัลสมมาตรคือแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอ พอโลยี ให้เป็นหมวดหมู่ของโคบอร์ดิซึมของ แมนิโฟลด์มิติ n-1,nที่มีผลคูณเทนเซอร์กำหนดโดยการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกัน และหน่วยเป็นแมนิโฟลด์ว่าง ทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอพอโลยีในมิติnเป็นฟังก์ชันโมโนอิดัลสมมาตร${\displaystyle \mathbf {บอร์ด} _{\langle n-1,n\rangle }}$${\displaystyle F\colon (\mathbf {Bord} _{\langle n-1,n\rangle },\sqcup ,\emptyset )\rightarrow (\mathbf {kVect} ,\otimes _{k},k)}$
• ฟังก์ชันโฮโมโลยีเป็นแบบโมโนอิดัลผ่านทางแผนที่${\displaystyle (Ch(R{\mathsf {-mod}}),\otimes ,R[0])\to (grR{\mathsf {-mod}},\otimes ,R[0])}$${\displaystyle H_{\ast }(C_{1})\otimes H_{\ast }(C_{2})\to H_{\ast }(C_{1}\otimes C_{2}),[x_{1}]\otimes [x_{2}]\mapsto [x_{1}\otimes x_{2}]}$

ถ้าและเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบปิดที่มีฟังก์ชันโฮมภายใน(เราตัดตัวห้อยออกเพื่อให้อ่านง่ายขึ้น) จะมีการกำหนดสูตรทางเลือกอื่น ${\displaystyle ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\displaystyle ({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})}$${\displaystyle \Rightarrow _{\mathcal {C}},\Rightarrow _{\mathcal {D}}}$

ψ _AB  : F ( A ⇒ B ) → FA ⇒ FB

φ _AB เป็น ฟังก์ชันที่ใช้กันทั่วไปในการเขียนโปรแกรมเชิงฟังก์ชันความสัมพันธ์ระหว่างψ _ABและφ _ABแสดงไว้ในแผนภาพการสลับตำแหน่งต่อไปนี้:

• ถ้าเป็นวัตถุโมโนอิดในแล้ว ก็เป็นวัตถุโมโนอิดใน^{[ 2 ]}${\displaystyle (M,\mu ,\epsilon )}$${\displaystyle C}$${\displaystyle (FM,F\mu \circ \phi _{M,M},F\epsilon \circ \phi )}$${\displaystyle D}$

สมมติว่าฟังก์ชันตัวหนึ่งเป็นตัวผกผันซ้ายของโมโนอิดัลแล้วจะมีโครงสร้างโคโมโนอิดัลที่เหนี่ยวนำโดยซึ่งกำหนดโดย ${\displaystyle F:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}}$${\displaystyle (G,n):({\mathcal {D}},\bullet ,I_{\mathcal {D}})\to ({\mathcal {C}},\otimes ,I_{\mathcal {C}})}$${\displaystyle F}$${\displaystyle (F,m)}$${\displaystyle (G,n)}$

${\displaystyle m_{A,B}=\varepsilon _{FA\bullet FB}\circ Fn_{FA,FB}\circ F(\eta _{A}\otimes \eta _{B}):F(A\otimes B)\to FA\bullet FB}$

และ

${\displaystyle m=\varepsilon _{I_{\mathcal {D}}}\circ Fn:FI_{\mathcal {C}}\to I_{\mathcal {D}}}$.

ถ้าโครงสร้างที่เหนี่ยวนำบนนั้นแข็งแกร่ง หน่วยและหน่วยร่วมของการเชื่อมโยงจะเป็นการแปลงธรรมชาติแบบโมโนอิดัลและการเชื่อมโยงนั้นจะเรียกว่าเป็นการเชื่อมโยงแบบโมโนอิ ดัล ในทางกลับกัน ตัวผกผันซ้ายของการเชื่อมโยงแบบโมโนอิดัลจะเป็นฟังก์ชันโมโนอิดัลที่แข็งแกร่งเสมอ ${\displaystyle F}$

ในทำนองเดียวกัน ตัวผกผันทางขวาของฟังก์ชันโคโมนอยดัลเป็นฟังก์ชันโมโนอิดัล และตัวผกผันทางขวาของการเชื่อมโยงโคโมนอยดัลเป็นฟังก์ชันโมโนอิดัลที่แข็งแกร่ง

• การเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติแบบโมโนอิดัล