ในทฤษฎีหมวดหมู่ ซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์หมวดหมู่กระชับแบบมีมีดสั้น ( หรือหมวดหมู่ปิดกระชับแบบมีมีด สั้น ) ปรากฏครั้งแรกในปี 1989 ในงานของ Sergio Doplicherและ John E. Roberts เกี่ยวกับการสร้างกลุ่มโทโพโลยีกระชับขึ้นใหม่จากหมวดหมู่ของการแสดงแทนเอกภาพต่อเนื่องมิติจำกัด (นั่นคือหมวดหมู่ Tannakian ) ^{[ 1 ]} นอกจากนี้ยังปรากฏในงานของJohn Baezและ James Dolan ในฐานะตัวอย่างของหมวดหมู่nแบบโมโนอิ ดัล k -tuply กึ่งเข้มงวด ซึ่งอธิบายทฤษฎีสนามควอนตัมโทโพโลยีทั่วไป^{[ 2 ]}สำหรับn = 1 และk = 3 พวกมันเป็นโครงสร้างพื้นฐานในกลศาสตร์ควอนตัมเชิงหมวดหมู่ของSamson AbramskyและBob Coecke ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

หมวดหมู่กระชับแบบมีดสั้นสามารถใช้เพื่อแสดงและตรวจสอบ โปรโตคอล ข้อมูลควอนตัม พื้นฐานบางอย่าง ได้แก่การเทเลพอร์ตการเทเลพอร์ตเกต ตรรกะ และการสลับการพันกันและแนวคิดมาตรฐาน เช่น ความเป็นเอกภาพ ผลคูณภายใน ร่องรอย ความเป็นคู่ของ Choi–Jamiolkowsky ความเป็นบวกที่สมบูรณ์สถานะเบลล์และแนวคิดอื่นๆ อีกมากมายถูกจับไว้ด้วยภาษาของหมวดหมู่กระชับแบบมีดสั้น^{[ 3 ]}ทั้งหมดนี้เป็นผลมาจากทฤษฎีบทความสมบูรณ์ด้านล่างกลศาสตร์ควอนตัมเชิงหมวดหมู่ใช้หมวดหมู่กระชับแบบมีดสั้นเป็นโครงสร้างพื้นฐานซึ่งแนวคิดกลศาสตร์ควอนตัมอื่นๆ เช่น ตัวสังเกตควอนตัมและความสมบูรณ์ของพวกมันสามารถกำหนดได้ในเชิงนามธรรม สิ่งนี้ก่อให้เกิดพื้นฐานสำหรับแนวทางระดับสูงในการประมวลผล ข้อมูลควอนตัม

หมวด หมู่คอมแพ็กต์แบบมีเครื่องหมายกริชคือหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบสมมาตรที่มีเครื่องหมายกริช ซึ่งเป็นคอมแพ็กต์ปิด ด้วยเช่น กัน พร้อมกับความสัมพันธ์ที่เชื่อมโยงโครงสร้างแบบมีเครื่องหมายกริชเข้ากับโครงสร้างแบบคอมแพ็กต์ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เครื่องหมายกริชใช้เพื่อเชื่อมต่อหน่วยกับหน่วยย่อย ดังนั้น สำหรับทุก ๆในแผนภาพต่อไปนี้จึงสลับที่ได้: ${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

สรุปประเด็นทั้งหมดได้ดังนี้:

• หมวดหมู่หนึ่งจะเรียกว่าปิดได้ก็ต่อเมื่อมีฟังก์ชัน hom ภายในกล่าวคือ ถ้าเซต homของมอร์ฟิซึมระหว่างวัตถุสองชิ้นของหมวดหมู่นั้นเป็นวัตถุของหมวดหมู่นั้นเอง (ไม่ใช่ของเซต )
• หมวดหมู่หนึ่งเรียกว่าเป็นหมวดหมู่โมโนอิดัล (monoidal)หากมีไบฟังก์ชันแบบเชื่อมโยง (associative bifunctor) ที่มีคุณสมบัติแบบเชื่อมโยงเป็นธรรมชาติและมีเอกลักษณ์ซ้ายและขวาที่สอดคล้องกับเงื่อนไขความสอดคล้อง บางประการ${\displaystyle \mathbf {C} \otimes \mathbf {C} \to \mathbf {C} }$
• หมวดหมู่โมโนอิดัลเรียกว่าหมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตรถ้าสำหรับทุกคู่AและBของวัตถุในCจะมีไอโซมอร์ฟิซึมที่เป็นธรรมชาติทั้งในAและBและเป็นไปตามเงื่อนไขความสอดคล้องบางประการ (ดู รายละเอียด ในหมวดหมู่โมโนอิดัลสมมาตร )${\displaystyle \sigma _{A,B}:A\otimes B\simeq B\otimes A}$
• หมวดหมู่โมโนอิดัล (monoidal category) เรียกว่าคอมแพ็กต์ โคลส (compact closed)ถ้าทุกวัตถุมีวัตถุคู่ (dual object ) หมวดหมู่ที่มีวัตถุคู่จะมีมอร์ฟิซึมสองตัว คือ ยูนิต ( unit ) และโคยูนิต (counit ) ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขความสอดคล้อง (coherence) หรือเงื่อนไขการดึง (yanking) บางประการ${\displaystyle A\in \mathbf {C} }$${\displaystyle A^{*}}$${\displaystyle \eta _{A}:I\to A^{*}\otimes A}$${\displaystyle \varepsilon _{A}:A\otimes A^{*}\to I}$
• หมวดหมู่หนึ่งจะเป็นหมวดหมู่แบบมีมีดสั้น (dagger category)ก็ต่อเมื่อมันมี ฟังก์ชัน ผกผัน (involutive functor ) ซึ่งเป็นเอกลักษณ์บนวัตถุ แต่แมปมอร์ฟิซึมไปยังแอดจอยต์ของมัน${\displaystyle \dagger \colon \mathbf {C} ^{op}\rightarrow \mathbf {C} }$
• หมวดหมู่โมโนอิดัลจะเป็นหมวดหมู่สมมาตรแบบมีดสั้นก็ต่อเมื่อเป็นหมวดหมู่แบบมีดสั้นและสมมาตร และมีเงื่อนไขความสอดคล้องที่ทำให้ฟังก์ชันต่างๆ เป็นธรรมชาติ

หมวดหมู่แบบกะทัดรัดที่มีสัญลักษณ์มีดสั้น คือ หมวดหมู่ที่มีคุณสมบัติตามที่กล่าวมาข้างต้น และนอกจากนี้ยังมีเงื่อนไขในการเชื่อมโยงโครงสร้างมีดสั้นเข้ากับโครงสร้างแบบกะทัดรัด โดยทำได้โดยการเชื่อมโยงหน่วยเข้ากับหน่วยย่อยผ่านทางสัญลักษณ์มีดสั้น:

${\displaystyle \sigma _{A,A^{*}}\circ \varepsilon _{A}^{\dagger }=\eta _{A}}$

ดังแสดงในแผนภาพการสลับตำแหน่งด้านบน ในหมวดหมู่FdHilbของปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัด เงื่อนไขสุดท้ายนี้สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นการกำหนดเครื่องหมายกริช (คู่ควบเฮอร์มิเชียน) ให้เป็นทรานสโพสของคู่ควบเชิงซ้อน

มีดสั้นขนาดกะทัดรัดอยู่ในหมวดหมู่ต่อไปนี้

• หมวดหมู่FdHilbของปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัดและแผนที่เชิงเส้นมอร์ฟิซึมคือตัวดำเนินการเชิงเส้นระหว่างปริภูมิฮิลเบิร์ต ผลคูณคือผลคูณเทนเซอร์ ตามปกติ และเครื่องหมายกริชในที่นี้คือตัวผกผันเฮอร์มิเชียน
• หมวดหมู่Relของเซตและความสัมพันธ์ผลลัพธ์ที่ได้คือผลคูณคาร์ทีเซียน ส่วน เครื่องหมายกริชในที่นี้คือสิ่งที่ตรงกันข้าม
• หมวดหมู่ของโมดูลเชิงโปรเจกทีฟที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด เหนือวงแหวนสลับที่เครื่องหมายกริชในที่นี้ก็คือเมทริกซ์ทรานสโพส
• หมวดหมู่n -Cobของโคบอร์ดิซึมที่นี่ โคบอร์ดิซึมมิติ nคือมอร์ฟิซึม การรวมกันแบบไม่ทับซ้อนคือเทนเซอร์ และการกลับด้านของวัตถุ (แมนิโฟลด์ปิด) คือแด็กเกอร์ทฤษฎีสนามควอนตัมเชิงทอพอโลยีสามารถกำหนดได้เป็นฟังก์ชันจากn -CobไปยังFdHilb ^{[ 6 ]}
• หมวดหมู่Span ( C ) ของช่วงสำหรับหมวดหมู่C ใดๆ ที่มีขอบเขตจำกัด

ในตัวอย่างทั้งหมดที่ระบุไว้ ยกเว้นn -Cob สำหรับ nที่มีขนาดใหญ่พอสมควรวัตถุทุกชิ้นจะสมสัณฐานกับคู่ของมัน: หมวดหมู่มีดสั้นกระชับที่มีคุณสมบัตินี้เรียกว่า "คู่ตัวเอง" ถ้าเป็นกลุ่ม และRep ( ) คือหมวดหมู่ของการแสดง แทนแบบเอกภาพ บนปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัด โดยมีผลคูณเทนเซอร์ของการแสดงแทนตามปกติ แล้วRep ( ) จะเป็นมีดสั้นกระชับเสมอ แต่มันอาจจะเป็นหรือไม่เป็นคู่ตัวเองก็ได้ ขึ้นอยู่กับกลุ่ม ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

ปริภูมิฮิลเบิร์ตที่มีมิติอนันต์ไม่ใช่ปริภูมิคอมแพ็กต์แบบมีเครื่องหมายกริช และถูกอธิบายโดยหมวดหมู่โมโนอิดัลแบบสมมาตรที่มีเครื่องหมายกริช

Selinger แสดงให้เห็นว่าหมวดหมู่กระชับแบบมีดสั้นยอมรับภาษาแผนภาพสไตล์ Joyal-Street ^{[ 7 ]}และพิสูจน์ว่าหมวดหมู่กระชับแบบมีดสั้นนั้นสมบูรณ์เมื่อเทียบกับปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัด^{[ 8 ] [ 9 ]} กล่าว คือข้อความสมการในภาษาของหมวดหมู่กระชับแบบมีดสั้นจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อสามารถอนุมานได้ในหมวดหมู่เฉพาะของปริภูมิฮิลเบิร์ตมิติจำกัดและแผนที่เชิงเส้น ไม่มีความสมบูรณ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับRelหรือn - Cob

ผลลัพธ์ความสมบูรณ์นี้บ่งชี้ว่าทฤษฎีบทต่างๆ จากปริภูมิฮิลเบิร์ตขยายไปยังหมวดหมู่นี้ ตัวอย่างเช่นทฤษฎีบทห้ามโคลนนิ่งบ่งชี้ว่าไม่มีมอร์ฟิซึมการโคลนนิ่งสากล^{[ 10 ]}ความสมบูรณ์ยังบ่งชี้ถึงคุณสมบัติที่ธรรมดากว่ามากอีกด้วย เช่น หมวดหมู่คอมแพ็กต์แบบกริชสามารถมีฐานได้ในลักษณะเดียวกับที่ปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถมีฐานได้ ตัวดำเนินการสามารถแยกส่วนในฐานได้ ตัวดำเนินการสามารถมีเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะฯลฯเรื่องนี้จะได้รับการทบทวนในส่วนถัดไป

ทฤษฎีบทความสมบูรณ์บ่งชี้ว่าแนวคิดพื้นฐานจากปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถถ่ายทอดไปยังหมวดหมู่คอมแพ็กต์แบบมีเครื่องหมายกริชได้ อย่างไรก็ตาม ภาษาที่ใช้โดยทั่วไปจะเปลี่ยนแปลงไป แนวคิดของฐานจะถูกกำหนดในแง่ของโคอัลจีบราเมื่อกำหนดวัตถุAจากหมวดหมู่คอมแพ็กต์แบบมีเครื่องหมายกริช ฐานจะเป็นวัตถุโคโมนอยด์ การดำเนินการสองอย่างคือการคัดลอกหรือการคูณร่วม δ: A → A ⊗ A ซึ่งเป็นมอร์ฟิซึมที่สลับที่กันได้และเชื่อมโยงกันได้ และ การดำเนินการ ลบหรือ มอร์ฟิ ซึมโคยูนิต ε: A → Iทั้งหมดนี้เป็นไปตามสัจพจน์ห้าข้อ: ^{[ 11 ]}${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

ความสามารถในการคูณร่วม:

${\displaystyle (1_{A}\otimes \varepsilon )\circ \delta =1_{A}=(\varepsilon \otimes 1_{A})\circ \delta }$

ความสัมพันธ์ร่วมกัน:

${\displaystyle (1_{A}\otimes \delta )\circ \delta =(\delta \otimes 1_{A})\circ \delta }$

สมบัติการสลับที่:

${\displaystyle \sigma _{A,A}\circ \delta =\delta }$

ไอโซเมตรี:

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ \delta =1_{A}}$

กฎของฟรอเบนิอุส :

${\displaystyle (\delta ^{\dagger }\otimes 1_{A})\circ (1_{A}\otimes \delta )=\delta \circ \delta ^{\dagger }}$

เพื่อให้เห็นว่าความสัมพันธ์เหล่านี้กำหนดฐานของปริภูมิเวกเตอร์ในความหมายดั้งเดิม ให้เขียนการคูณร่วมและการนับหน่วยร่วมโดยใช้สัญกรณ์ bra–ketและทำความเข้าใจว่าสิ่งเหล่านี้เป็นตัวดำเนินการเชิงเส้นที่กระทำกับเวกเตอร์ในปริภูมิฮิลเบิร์ตH : ${\displaystyle |j\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta :H&\to H\otimes H\\|j\rangle &\mapsto |j\rangle \otimes |j\rangle =|jj\rangle \\\end{aligned}}}$

และ

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon :H&\to \mathbb {C} \\|j\rangle &\mapsto 1\\\end{aligned}}}$

เวกเตอร์เพียงชุดเดียวที่สามารถตอบสนองสัจพจน์ทั้งห้าข้างต้นได้จะต้องตั้งฉากซึ่งกันและกัน จากนั้นหน่วยร่วมจะระบุฐานได้อย่างเฉพาะเจาะจง ชื่อที่สื่อความหมาย ว่า " การคัด ลอก" และ " การลบ"สำหรับตัวดำเนินการการคูณร่วมและหน่วยร่วม มาจากแนวคิดที่ว่าทฤษฎีบทห้ามคัดลอกและทฤษฎีบทห้ามลบระบุว่า เวกเตอร์ เพียงชุดเดียวที่สามารถคัดลอกหรือลบได้คือเวกเตอร์ฐานที่ตั้งฉากกัน ${\displaystyle |j\rangle }$

จากคำจำกัดความของฐานข้างต้น ผลลัพธ์จำนวนหนึ่งสำหรับปริภูมิฮิลเบิร์ตสามารถระบุได้สำหรับหมวดหมู่มีดสั้นแบบกระชับ เราจะแสดงรายการบางส่วนเหล่านี้ไว้ด้านล่าง ซึ่งนำมาจาก^{[ 11 ]}เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น

• นอกจากนี้ ยังสามารถเข้าใจฐานว่าสอดคล้องกับสิ่งที่สังเกตได้โดยที่สิ่งที่สังเกตได้ที่กำหนดจะถูกแยกออกเป็นเวกเตอร์ฐาน (ตั้งฉาก) กล่าวคือ สิ่งที่สังเกตได้จะถูกแทนด้วยวัตถุAพร้อมกับมอร์ฟิซึมสองตัวที่กำหนดฐาน:${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$
• สถานะเฉพาะของสิ่งที่สังเกตได้คือ วัตถุใดๆที่${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \delta \circ \psi =\psi \otimes \psi }$

สถานะเฉพาะ (Eigenstates) ตั้งฉากซึ่งกันและกัน

• วัตถุนั้นจะเป็นส่วนเติมเต็มของสิ่งที่สังเกตได้ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \psi }$${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ ({\overline {\psi }}\otimes \psi )=\varepsilon ^{\dagger }}$

(ในกลศาสตร์ควอนตัม เวกเตอร์สถานะจะเรียกว่าเป็นส่วนเติมเต็มของตัวแปรที่สังเกตได้ หากผลการวัดใดๆ มีความน่าจะเป็นเท่ากัน เช่น สถานะไอเกนของ สปิ น S _xมีความน่าจะเป็นเท่ากันเมื่อวัดในฐานS _zหรือสถานะไอเกนของโมเมนตัมมีความน่าจะเป็นเท่ากันเมื่อวัดในฐานตำแหน่ง)${\displaystyle \psi }$

• ตัวแปรที่สังเกตได้สองตัวและจะเสริมกันก็ต่อเมื่อ${\displaystyle (A,\delta _{X},\varepsilon _{X})}$${\displaystyle (A,\delta _{Z},\varepsilon _{Z})}$

${\displaystyle \delta _{Z}^{\dagger }\circ \delta _{X}=\varepsilon _{Z}\circ \varepsilon _{X}^{\dagger }}$

• วัตถุที่เสริมกันจะสร้างการแปลงแบบเอกภาพนั่นคือ

${\displaystyle \delta ^{\dagger }\circ (\psi \otimes 1_{A})}$

จะเป็นเอกภาพก็ต่อเมื่อเป็นส่วนเติมเต็มของสิ่งที่สังเกตได้${\displaystyle \psi }$${\displaystyle (A,\delta ,\varepsilon )}$