ในทางคณิตศาสตร์กลุ่มกระชับ ( กลุ่มเชิงทอพอโลยี ) คือกลุ่มเชิงทอพอโลยีที่มีทอพอ โลยีที่ ทำให้กลุ่มนั้นเป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี กระชับ กลุ่มกระชับเป็นการขยายความตามธรรมชาติของกลุ่มจำกัดที่มีทอพอโลยีแบบไม่ต่อเนื่องและมีคุณสมบัติที่ถ่ายทอดมาอย่างมีนัยสำคัญ กลุ่มกระชับมีทฤษฎีที่เข้าใจได้เป็นอย่างดี โดยเฉพาะอย่างยิ่งในส่วนที่เกี่ยวข้องกับการ กระทำของกลุ่มและทฤษฎีการแทน

ต่อไปนี้เราจะถือว่ากลุ่มทั้งหมดเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ

กลุ่ม Lieเป็นกลุ่มโทโพโลยีประเภทหนึ่ง และกลุ่ม Lie กระชับมีทฤษฎีที่พัฒนามาเป็นอย่างดี ตัวอย่างพื้นฐานของกลุ่ม Lie กระชับ ได้แก่^{[ 1 ]}

• กลุ่มวงกลมTและกลุ่มทอรัสT ⁿ ,
• กลุ่มออร์โธโกนอล O( n ), กลุ่มออร์โธโกนอลพิเศษ SO( n ) และ กลุ่มสปินที่ครอบคลุมSpin( n )
• กลุ่มซิมเพล็กติกขนาดกะทัดรัด USp( n ),
• กลุ่มเอกภาพ U( n ) และกลุ่มเอกภาพพิเศษ SU( n )
• รูปแบบที่กระชับของกลุ่มLie พิเศษได้แก่G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇และE ₈

ทฤษฎีบทการจำแนกประเภทของกลุ่มลีแบบกะทัดรัดระบุว่า นอกเหนือจากส่วนขยาย จำกัด และการครอบคลุม จำกัดแล้ว ตัวอย่างทั้งหมดก็ครอบคลุมถึงกลุ่มลีแบบกะทัดรัดแล้ว (ซึ่งรวมถึงตัวอย่างที่ซ้ำซ้อนบางส่วนด้วย) การจำแนกประเภทนี้จะอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติมในหัวข้อถัดไป

กลุ่ม Lie กระชับใดๆ_G จะ_มีส่วนประกอบเอกลักษณ์G₀ซึ่งนิยามว่าเป็นส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันของกลุ่มที่สมาชิกเอกลักษณ์นั้นอยู่กลุ่มผลหารG / G₀คือกลุ่มของส่วนประกอบ π₀ ₍ G )ซึ่งต้องเป็นกลุ่มจำกัดเนื่องจากGเป็นกลุ่มกระชับ ดังนั้นเราจึงมีส่วนขยายที่จำกัด

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.}$

ในขณะเดียวกัน สำหรับกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกัน เรามีผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: ^{[ 2 ]}

ทฤษฎีบท : ทุกกลุ่มลีแบบกระชับที่เชื่อมต่อกันเป็นผลหารของกลุ่มย่อยศูนย์กลางจำกัดของผลคูณของกลุ่มลีแบบกระชับที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายกับทอรัส

ดังนั้น โดยหลักการแล้ว การจำแนกกลุ่ม Lie กระชับที่เชื่อมต่อกันสามารถลดทอนลงเหลือเพียงความรู้เกี่ยวกับกลุ่ม Lie กระชับที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย พร้อมกับข้อมูลเกี่ยวกับศูนย์กลางของกลุ่มเหล่านั้น (สำหรับข้อมูลเกี่ยวกับศูนย์กลาง โปรดดูส่วนด้านล่างเกี่ยวกับกลุ่มพื้นฐานและศูนย์กลาง)

สุดท้ายนี้ กลุ่ม Lie K ที่กระชับ เชื่อมต่อ และเชื่อมต่ออย่างง่ายทุกกลุ่ม เป็นผลคูณของกลุ่ม Lie ที่เรียบง่าย K _i ที่กระชับ เชื่อมต่อ และเชื่อมต่ออย่างง่ายจำนวนจำกัด ซึ่งแต่ละกลุ่มจะสม isomorphic กับกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งต่อไปนี้เท่านั้น:

• กลุ่มซิมเพล็กติกขนาดกะทัดรัด${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {Sp} (n),\,n\geq 1}$
• กลุ่มเอกภาพพิเศษ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {SU} (n),\,n\geq 3}$
• กลุ่มสปิน${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {หมุน} (n),\,n\geq 7}$

หรือหนึ่งในห้ากลุ่มพิเศษG ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇และE ₈ข้อจำกัดเกี่ยวกับnมีไว้เพื่อหลีกเลี่ยงไอโซมอร์ฟิซึมพิเศษระหว่างตระกูลต่างๆ สำหรับค่าn ที่มีขนาดเล็ก สำหรับแต่ละกลุ่มเหล่านี้ ศูนย์กลางเป็นที่ทราบอย่างชัดเจน การจำแนกประเภททำได้ผ่านระบบราก ที่เกี่ยวข้อง (สำหรับทอรัสสูงสุดที่กำหนดไว้) ซึ่งในทางกลับกันจะถูกจำแนกประเภทโดยแผนภาพไดน์กิน ของพวก มัน

การจำแนกกลุ่มลีแบบกระชับและเชื่อมต่ออย่างง่ายนั้นเหมือนกับการจำแนกพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายเชิงซ้อน กล่าวคือ ถ้าKเป็นกลุ่มลีแบบกระชับและเชื่อมต่ออย่างง่าย พีชคณิตลีของKจะกลายเป็นแบบเชิงซ้อนและกึ่งง่าย ในทางกลับกัน พีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายเชิงซ้อนทุกตัวจะมีรูปแบบจริงแบบกระชับที่สม isomorphic กับพีชคณิตลีของกลุ่มลีแบบกระชับและเชื่อมต่ออย่างง่าย

แนวคิดสำคัญในการศึกษาของกลุ่มลีแบบกระชับที่เชื่อมต่อกันKคือแนวคิดของทอรัสสูงสุดนั่นคือกลุ่มย่อยTของKที่สมสัณฐานกับผลคูณของสำเนาหลายๆ ชุดของและไม่ได้อยู่ในกลุ่มย่อยที่ใหญ่กว่าประเภทนี้ ตัวอย่างพื้นฐานคือกรณีซึ่งในกรณีนี้เราอาจเลือกให้เป็นกลุ่มขององค์ประกอบแนวทแยงในผลลัพธ์พื้นฐานคือทฤษฎีบททอรัสซึ่งกล่าวว่าทุกองค์ประกอบของเป็นสมาชิกของทอรัสสูงสุด และทอรัสสูงสุดทั้งหมดเป็นคู่สมกัน ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle K=\ชื่อผู้ดำเนินการ {SU} (n)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

ทอรัสสูงสุดในกลุ่มกระชับมีบทบาทคล้ายคลึงกับพีชคณิตย่อยคาร์ตันในพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายเชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เมื่อเลือกทอรัสสูงสุดแล้ว เราสามารถกำหนดระบบรากและกลุ่มเวล์ที่คล้ายกับที่เรามีสำหรับพีชคณิตลีแบบกึ่งง่ายได้ [ ^{3 ] โครงสร้าง}เหล่านี้จึงมีบทบาทสำคัญทั้งในการจำแนกกลุ่มกระชับที่เชื่อมต่อกัน (ที่อธิบายไว้ข้างต้น) และในทฤษฎีการแสดงแทนของกลุ่มดังกล่าวที่กำหนดไว้ (ที่อธิบายไว้ด้านล่าง) ${\displaystyle T\subset K}$

ระบบรากที่เกี่ยวข้องกับกลุ่มกระชับแบบง่ายที่ปรากฏในการจำแนกกลุ่มกระชับที่เชื่อมต่อแบบง่ายมีดังนี้: ^{[ 4 ]}

• กลุ่มเอกภาพพิเศษเหล่านี้สอดคล้องกับระบบราก${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {SU} (n)}$${\displaystyle A_{n-1}}$
• กลุ่มสปินคี่สอดคล้องกับระบบราก${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}$${\displaystyle B_{n}}$
• กลุ่มซิมเพล็กติกขนาดกะทัดรัดสอดคล้องกับระบบราก${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle C_{n}}$
• กลุ่มสปินคู่สอดคล้องกับระบบราก${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}$${\displaystyle D_{n}}$
• กลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัดที่โดดเด่นเหล่านี้สอดคล้องกับระบบรากที่โดดเด่นทั้งห้า ได้แก่ G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇หรือ E ₈

สิ่งสำคัญคือต้องทราบว่ากลุ่ม Lie กระชับที่เชื่อมต่อกันนั้นเป็นกลุ่มที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายหรือไม่ และหากไม่ใช่ จะต้องกำหนดกลุ่มพื้นฐาน ของกลุ่มนั้น สำหรับกลุ่ม Lie กระชับ มีวิธีการพื้นฐานสองวิธีในการคำนวณกลุ่มพื้นฐาน วิธีแรกใช้กับกลุ่มกระชับแบบคลาสสิก, , , และและดำเนินการโดยใช้การอุปมานบนวิธีที่สองใช้ระบบรากและใช้ได้กับกลุ่ม Lie กระชับที่เชื่อมต่อกันทั้งหมด ${\displaystyle \ชื่อผู้ดำเนินการ {SU} (n)}$${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$${\displaystyle n}$

สิ่งสำคัญอีกประการหนึ่งคือการทราบศูนย์กลางของกลุ่ม Lie กระชับที่เชื่อมต่อกัน ศูนย์กลางของกลุ่มคลาสสิก สามารถคำนวณได้ง่าย "ด้วยมือ" และในกรณีส่วนใหญ่ประกอบด้วยรากของเอกลักษณ์ที่อยู่ในกลุ่มนั้น (กลุ่ม SO(2) เป็นข้อยกเว้น ศูนย์กลางคือกลุ่มทั้งหมด แม้ว่าองค์ประกอบส่วนใหญ่จะไม่ใช่รากของเอกลักษณ์ก็ตาม) ดังนั้น ตัวอย่างเช่น ศูนย์กลางของกลุ่มประกอบด้วยรากที่nของเอกภาพคูณกับเอกลักษณ์ ซึ่งเป็นกลุ่มวัฏจักรที่ มีอันดับ${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$${\displaystyle n}$

โดยทั่วไป ศูนย์กลางสามารถแสดงได้ในรูปของแลตทิซรากและเคอร์เนลของแผนที่เอกซ์โพเนนเชียลสำหรับทอรัสสูงสุด^{[ 5 ]}วิธีการทั่วไปแสดงให้เห็น ตัวอย่างเช่น ว่ากลุ่มคอมแพ็กต์ที่เชื่อมต่ออย่างง่ายซึ่งสอดคล้องกับระบบรากพิเศษมีศูนย์กลางที่ไม่สำคัญ ดังนั้นกลุ่มคอมแพ็กต์จึงเป็นหนึ่งในกลุ่มคอมแพ็กต์อย่างง่ายเพียงไม่กี่กลุ่มที่เชื่อมต่ออย่างง่ายและไม่มีศูนย์กลางพร้อมกัน (กลุ่มอื่น ๆ คือและ) ${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle G_{2}}$${\displaystyle F_{4}}$${\displaystyle E_{8}}$

ในบรรดากลุ่มที่ไม่ใช่กลุ่มลี (Lie group) และดังนั้นจึงไม่มีโครงสร้างของแมนิโฟลด์ (manifold ₎ตัวอย่างเช่น กลุ่มบวกZpของจำนวนเต็ม p-adicและการสร้างจากกลุ่มนี้ อันที่จริงกลุ่มโปรไฟไนต์ (profinite group) ใดๆ ก็ เป็นกลุ่มคอมแพ็กต์ (compact group) ซึ่งหมายความว่ากลุ่มกาโลอิส (Galois group)เป็นกลุ่มคอมแพ็กต์ ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงพื้นฐานสำหรับทฤษฎีการขยายพีชคณิตในกรณีดีกรีอนันต์

ทฤษฎีทวิภาวะของปอนทรียาจินให้ตัวอย่างมากมายของกลุ่มสลับที่กระชับ ซึ่งกลุ่มเหล่านี้มีความสัมพันธ์แบบทวิภาวะกับกลุ่มอาเบเลียนแบบ ไม่ ต่อเนื่อง

กลุ่มขนาดกะทัดรัดทั้งหมดมี การวัด แบบHaar ^{[ 6 ]}ซึ่งจะไม่เปลี่ยนแปลงโดยการแปลทั้งซ้ายและขวา ( ฟังก์ชันโมดูลัสต้องเป็นโฮโมมอร์ฟิซึม ต่อเนื่อง ไปยังจำนวนจริงบวก ( R ⁺ , ×) และดังนั้น 1) กล่าวอีกนัยหนึ่ง กลุ่มเหล่านี้เป็นกลุ่มแบบยูนิโมดูลาร์การวัดแบบ Haar สามารถทำให้เป็นมาตรฐานได้ง่ายเพื่อเป็นการวัดความน่าจะเป็น คล้ายกับ dθ/2π บนวงกลม

ในหลายกรณี การวัดแบบฮาร์ (Haar measure) นั้นคำนวณได้ง่าย ตัวอย่างเช่น สำหรับกลุ่มเชิงตั้งฉาก (orthogonal groups) นั้น อดอล์ ฟ ฮูร์วิตซ์ ( Adolf Hurwitz ) ทราบอยู่ แล้ว และในกรณีของกลุ่มลี (Lie group) นั้น สามารถกำหนดได้เสมอโดยใช้รูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่ไม่เปลี่ยนแปลง (invariant differential form ) ในกรณีโปรไฟไนต์ (profinite case) จะมีกลุ่มย่อยจำนวนมากที่มีดัชนีจำกัดและการวัดแบบฮาร์ของโคเซต (coset) จะเป็นส่วนกลับของดัชนี ดังนั้น อินทิกรัลจึงมักคำนวณได้โดยตรง ซึ่งเป็นข้อเท็จจริงที่นำไปใช้อย่างต่อเนื่องในทฤษฎีจำนวน

ถ้าเป็นกลุ่มกระชับ และเป็นมาตรวัดฮาร์ที่เกี่ยวข้องทฤษฎีบทปีเตอร์-ไวล์จะให้การแยกส่วนของ เป็นผลรวมโดยตรงเชิงตั้งฉากของปริภูมิย่อยมิติจำกัดของรายการเมทริกซ์สำหรับการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของ ${\displaystyle K}$${\displaystyle m}$${\displaystyle L^{2}(K,dm)}$${\displaystyle K}$

ทฤษฎีการแทนกลุ่มกระชับ (ไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มลีและไม่จำเป็นต้องเชื่อมต่อกัน) ก่อตั้งขึ้นโดยทฤษฎีบทปีเตอร์-ไวล์^{[ 7 ]}เฮอร์มันน์ ไวล์ได้พัฒนาทฤษฎีลักษณะ เฉพาะโดยละเอียด ของกลุ่มลีกระชับที่เชื่อมต่อกัน โดยอาศัยทฤษฎีทอรัสสูงสุด^{[ 8 ]}สูตรลักษณะเฉพาะของไวล์ที่ได้นั้นเป็นหนึ่งในผลลัพธ์ที่มีอิทธิพลของคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 20 การรวมกันของทฤษฎีบทปีเตอร์-ไวล์และสูตรลักษณะเฉพาะของไวล์ทำให้ไวล์สามารถจำแนกการแทนกลุ่มลีกระชับที่เชื่อมต่อกันได้อย่างสมบูรณ์ ทฤษฎีบทนี้จะกล่าวถึงในส่วนถัดไป

การผสมผสานงานของ Weyl และทฤษฎีบทของ Cartanทำให้ได้ภาพรวมของทฤษฎีการแทนกลุ่มกระชับG ทั้งหมด กล่าวคือ ตามทฤษฎีบท Peter–Weyl การแทนแบบเอกภาพ ที่ลดทอนไม่ได้ ρ ของGจะอยู่ในกลุ่มเอกภาพ (ที่มีมิติจำกัด) และภาพจะเป็นกลุ่มย่อยปิดของกลุ่มเอกภาพโดยคุณสมบัติความกระชับ ทฤษฎีบทของ Cartan กล่าวว่า Im(ρ) ต้องเป็นกลุ่มย่อย Lie ในกลุ่มเอกภาพ หากGไม่ใช่กลุ่ม Lie เอง ก็จะต้องมีเคอร์เนลสำหรับ ρ ยิ่งไปกว่านั้น เราสามารถสร้างระบบผกผันได้สำหรับเคอร์เนลของ ρ ที่เล็กลงเรื่อยๆ ของการแทนแบบเอกภาพที่มีมิติจำกัด ซึ่งระบุว่าGเป็นลิมิตผกผันของกลุ่ม Lie กระชับ ในที่นี้ ข้อเท็จจริงที่ว่าในลิมิต พบ การแทนแบบซื่อสัตย์ของGนั้นเป็นผลลัพธ์อีกประการหนึ่งของทฤษฎีบท Peter–Weyl

ส่วนที่ไม่ทราบแน่ชัดของทฤษฎีการแทนกลุ่มกระชับจึงถูกโยนกลับไปสู่การแทนเชิงซ้อนของกลุ่มจำกัด โดยคร่าวๆ ทฤษฎีนี้มีรายละเอียดค่อนข้างมาก แต่ในเชิงคุณภาพแล้วเข้าใจได้ดี

ตัวอย่างง่ายๆ บางส่วนของทฤษฎีการแทนของกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัดสามารถคำนวณได้ด้วยมือ เช่น การแทนของกลุ่มการหมุน SO(3)กลุ่มเอกภาพพิเศษ SU(2)และกลุ่มเอกภาพพิเศษ SU(3)ในที่นี้เราจะเน้นที่ทฤษฎีทั่วไป ดูเพิ่มเติมที่ทฤษฎีคู่ขนานของการแทนของพีชคณิต Lie กึ่งง่าย

ตลอดทั้งส่วนนี้ เราจะกำหนดกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกันKและทอรัสสูงสุดTในK ไว้คง ที่

เนื่องจากTเป็นแบบสลับที่ได้ทฤษฎีบทของ Schurจึงบอกเราว่าการแสดงแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ของT แต่ละแบบ นั้นมีมิติเดียว: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho :T\rightarrow GL(1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}.}$

เนื่องจากTเป็นเซตกระชับ (compact) จึงต้องแมปไปยังจริงๆ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$

เพื่ออธิบายการแสดงแทนเหล่านี้อย่างเป็นรูปธรรม เราให้เป็นพีชคณิตลีของTและเราเขียนจุดต่างๆเป็น ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle h\in T}$

${\displaystyle h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak {t}}.}$

ในพิกัดดังกล่าวจะมีรูปแบบ ดังนี้${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho (e^{H})=e^{i\lambda (H)}}$

สำหรับฟังก์ชันเชิงเส้นบางอย่างบน. ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

เนื่องจากแผนที่เลขชี้กำลังไม่ใช่ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ดังนั้นฟังก์ชันเชิงเส้นดังกล่าวจึงไม่ได้สร้างแผนที่ที่ชัดเจนจากTไปยังเสมอไป แต่ให้แทนเคอร์เนลของแผนที่เลขชี้กำลัง: ${\displaystyle H\mapsto e^{H}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma =\left\{H\in {\mathfrak {t}}\mid e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \right\},}$

โดยที่คือองค์ประกอบเอกลักษณ์ของT (เราปรับขนาดแผนที่เลขชี้กำลังที่นี่ด้วยตัวประกอบเพื่อหลีกเลี่ยงตัวประกอบดังกล่าวในที่อื่น) จากนั้น เพื่อให้ได้แผนที่ที่กำหนดไว้อย่างดีจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle \operatorname {Id} }$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda (H)\in \mathbb {Z} ,\quad H\in \Gamma ,}$

โดยที่เซตของจำนวนเต็มคือ^{[ 9 ]} ฟังก์ชัน เชิงเส้นที่ตรงตามเงื่อนไขนี้เรียกว่าองค์ประกอบเชิงวิเคราะห์แบบอินทิกรัลเงื่อนไขอินทิกรัลนี้เกี่ยวข้องกับ แต่ไม่เหมือนกับแนวคิดขององค์ประกอบแบบอินทิกรัลในบริบทของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่าย^{[ 10 ]}${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \lambda }$

สมมติว่าTเป็นเพียงกลุ่มของจำนวนเชิงซ้อนที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับ 1 พีชคณิตลีคือเซตของจำนวนจินตนาการบริสุทธิ์และเคอร์เนลของแผนที่เอกซ์โพเนนเชียล (แบบปรับขนาด) คือเซตของจำนวนในรูปแบบโดยที่เป็นจำนวนเต็ม ฟังก์ชันเชิงเส้นจะมีค่าเป็นจำนวนเต็มบนจำนวนดังกล่าวทั้งหมดก็ต่อเมื่อมันอยู่ในรูปแบบสำหรับจำนวนเต็มบางตัวการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของTในกรณีนี้จะเป็นแบบหนึ่งมิติและอยู่ในรูปแบบ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle e^{i\theta }}$${\displaystyle H=i\theta ,\,\theta \in \mathbb {R} ,}$${\displaystyle in}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda (i\theta )=k\theta }$${\displaystyle k}$

${\displaystyle \rho (e^{i\theta })=e^{ik\theta },\quad k\in \mathbb {Z} .}$

ต่อไปนี้ เราจะใช้ แทนการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ที่มีมิติจำกัดของK (เหนือ) จากนั้นเราจะพิจารณาการจำกัดของไปยังTการจำกัดนี้จะไม่สามารถลดทอนไม่ได้เว้นแต่จะมีมิติเดียว อย่างไรก็ตาม การจำกัดนี้สามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ของT (โปรดทราบว่าการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ของT ที่กำหนด อาจเกิดขึ้นมากกว่าหนึ่งครั้ง) ตอนนี้ การแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้แต่ละรายการของTจะถูกอธิบายโดยฟังก์ชันเชิงเส้นดังในหัวข้อก่อนหน้า หาก ที่กำหนดเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งครั้งในการแยกส่วนของการจำกัดของไปยังTเราจะเรียกว่าน้ำหนักของกลยุทธ์ของทฤษฎีการแสดงแทนของKคือการจำแนกการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ตามน้ำหนักของ มัน${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Sigma }$

ต่อไปนี้เราจะอธิบายโครงสร้างที่จำเป็นในการกำหนดทฤษฎีบทโดยสังเขป รายละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ในบทความเกี่ยวกับน้ำหนักในทฤษฎีการแทนเราต้องการแนวคิดของระบบรากสำหรับK (สัมพันธ์กับทอรัสสูงสุดT ที่กำหนด ) การสร้างระบบรากนี้คล้ายคลึงกับการสร้างสำหรับพีชคณิต Lie กึ่งง่ายเชิงซ้อน มาก โดยเฉพาะอย่างยิ่ง น้ำหนักคือน้ำหนักที่ไม่เป็นศูนย์สำหรับการกระทำผกผันของTบนพีชคณิต Lie เชิงซ้อนของKระบบรากRมีคุณสมบัติปกติทั้งหมดของระบบรากยกเว้นว่าองค์ประกอบของRอาจไม่ครอบคลุม[ ^{11 ] จาก}นั้นเราเลือกฐานสำหรับRและเรากล่าวว่าองค์ประกอบจำนวนเต็มเป็น องค์ประกอบ เด่นหากสำหรับทุกสุดท้าย เรากล่าวว่าน้ำหนักหนึ่งสูงกว่าอีกน้ำหนักหนึ่งหากความแตกต่างของน้ำหนักทั้งสองสามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นขององค์ประกอบของที่มีสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นลบ ${\displaystyle R\subset {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda (\alpha )\geq 0}$${\displaystyle \alpha \in \Delta }$${\displaystyle \Delta }$

จากนั้น การแสดงแทนมิติจำกัดที่ไม่สามารถลดทอนได้ของKจะถูกจำแนกโดย ทฤษฎีบท ที่ มี น้ำหนักสูงสุด^{[ 12 ]}ซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับทฤษฎีบทที่คล้ายคลึงกันในการจำแนกแทนแทนของพีชคณิต Lie กึ่งง่ายผลลัพธ์กล่าวว่า:

1. ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดจะมีน้ำหนักสูงสุด
2. น้ำหนักสูงสุดมักจะเป็นองค์ประกอบหลักที่มีบทบาทสำคัญในเชิงวิเคราะห์เสมอ
3. ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้สองตัวที่มีน้ำหนักสูงสุดเท่ากันจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน และ
4. องค์ประกอบเด่นทุกตัวที่สามารถวิเคราะห์ได้อย่างสมบูรณ์ จะเกิดขึ้นจากน้ำหนักสูงสุดของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้

ทฤษฎีบทของน้ำหนักสูงสุดสำหรับการแสดงแทนของKนั้นเกือบจะเหมือนกับสำหรับพีชคณิต Lie กึ่งง่าย โดยมีข้อยกเว้นที่สำคัญอย่างหนึ่งคือ แนวคิดขององค์ประกอบจำนวนเต็มนั้นแตกต่างกัน น้ำหนักของการแสดงแทนนั้นเป็นจำนวนเต็มเชิงวิเคราะห์ในความหมายที่อธิบายไว้ในส่วนย่อยก่อนหน้านี้ องค์ประกอบจำนวนเต็มเชิงวิเคราะห์ทุกตัวเป็นจำนวนเต็มในความหมายของพีชคณิต Lie แต่ไม่ใช่ในทางกลับกัน^{[ 13 ]} (ปรากฏการณ์นี้สะท้อนให้เห็นว่าโดยทั่วไปแล้ว การแสดงแทน ของพีชคณิต Lie ทุกตัวไม่ได้มาจากการแสดงแทนของกลุ่มK ) ในทางกลับกัน ถ้าKเชื่อมต่อกันอย่างง่าย เซตของน้ำหนักสูงสุดที่เป็นไปได้ในความหมายของกลุ่มจะเหมือนกับเซตของน้ำหนักสูงสุดที่เป็นไปได้ในความหมายของพีชคณิต Lie ^{[ 14 ]}${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

ถ้าเป็นการแทนของKเราจะกำหนดลักษณะเฉพาะของให้เป็นฟังก์ชันที่กำหนดโดย ${\displaystyle \Pi :K\to \operatorname {GL} (V)}$${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \mathrm {X} :K\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K}$.

เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันของคลาส กล่าวคือสำหรับ ทุกและในKดังนั้น จึงถูกกำหนดโดยข้อจำกัดของมันบนT${\displaystyle \mathrm {X} (xyx^{-1})=\mathrm {X} (y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathrm {X} }$

การศึกษาลักษณะเฉพาะเป็นส่วนสำคัญของทฤษฎีการแทนของกลุ่มกระชับ (compact groups) ผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างหนึ่ง ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทปีเตอร์-ไวล์ (Peter–Weyl theorem ) คือ ลักษณะเฉพาะเหล่านี้เป็นฐานเชิงตั้งฉาก (orthonormal basis)สำหรับเซตของฟังก์ชันชั้นที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้ในKผลลัพธ์สำคัญประการที่สองคือสูตรลักษณะเฉพาะของไวล์ (Weyl character formula ) ซึ่งให้สูตรที่ชัดเจนสำหรับลักษณะเฉพาะ หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การจำกัดลักษณะเฉพาะไว้ที่Tในแง่ของน้ำหนักสูงสุดของการแทน

ในทฤษฎีการแสดงแทนที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่าย สูตรลักษณะเฉพาะของ Weyl เป็นผลลัพธ์เพิ่มเติมที่สร้างขึ้นหลังจากที่การแสดงแทนได้รับการจำแนกประเภทแล้ว อย่างไรก็ตาม ในการวิเคราะห์กรณีกลุ่มกระชับของ Weyl สูตรลักษณะเฉพาะของ Weyl เป็นส่วนสำคัญของการจำแนกประเภทนั้นเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในการวิเคราะห์การแสดงแทนของK ของ Weyl ส่วนที่ยากที่สุดของทฤษฎีบท—การแสดงให้เห็นว่าองค์ประกอบที่โดดเด่นและเป็นจำนวนเต็มเชิงวิเคราะห์ทุกตัวมีน้ำหนักสูงสุดของการแสดงแทนบางอย่าง—ได้รับการพิสูจน์ในวิธีที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงจากการสร้างพีชคณิตลีแบบปกติโดยใช้โมดูล Vermaในแนวทางของ Weyl การสร้างนั้นขึ้นอยู่กับทฤษฎีบท Peter–Weylและการพิสูจน์เชิงวิเคราะห์ของ สูตรลักษณะ เฉพาะของ Weyl ^{[ 15 ]}ในที่สุด การแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของKจะเกิดขึ้นภายในพื้นที่ของฟังก์ชันต่อเนื่องบน K

ตอนนี้เราจะพิจารณากรณีของกลุ่มกระชับ SU(2) การแสดงแทนมักจะถูกพิจารณาจากมุมมองของพีชคณิตลีแต่ในที่นี้เราจะพิจารณาจากมุมมองของกลุ่ม เราถือว่าทอรัสสูงสุดเป็นเซตของเมทริกซ์ในรูปแบบ

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}.}$

ตามตัวอย่างที่กล่าวถึงข้างต้นในส่วนเกี่ยวกับการแสดงแทนของTองค์ประกอบเชิงวิเคราะห์แบบอินทิกรัลจะถูกกำกับด้วยจำนวนเต็ม ดังนั้นองค์ประกอบเชิงวิเคราะห์แบบอินทิกรัลที่โดดเด่นจึงเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบทฤษฎีทั่วไปจึงบอกเราว่าสำหรับแต่ละจะมีการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ที่ไม่ซ้ำกันของ SU(2) ที่มีน้ำหนักสูงสุด ${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

ข้อมูลจำนวนมากเกี่ยวกับการแสดงแทนค่าที่กำหนดให้จะถูกเข้ารหัสไว้ในอักขระนั้น สูตรอักขระของ Weyl กล่าวว่าในกรณีนี้อักขระนั้นกำหนดโดย ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

เราสามารถเขียนอักขระนั้นในรูปผลรวมของเลขยกกำลังได้ดังนี้:

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

(หากเราใช้สูตรผลรวมของอนุกรมเรขาคณิต จำกัด กับนิพจน์ข้างต้นและทำการลดรูป เราจะได้นิพจน์เดิม)

จากนิพจน์สุดท้ายนี้และสูตรมาตรฐานสำหรับลักษณะเฉพาะในแง่ของน้ำหนักของการแสดงแทนเราสามารถอ่านได้ว่าน้ำหนักของการแสดงแทนคือ

${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$

แต่ละตัวมีค่าความซ้ำซ้อนเท่ากับ 1 (น้ำหนักคือจำนวนเต็มที่ปรากฏในเลขชี้กำลังของเลขชี้กำลัง และค่าความซ้ำซ้อนคือสัมประสิทธิ์ของเลขชี้กำลัง) เนื่องจากมีน้ำหนัก แต่ละตัวมีค่าความซ้ำซ้อนเท่ากับ 1 มิติของการแสดงแทนจึงเท่ากับดังนั้น เราจึงสามารถกู้คืนข้อมูลเกี่ยวกับการแสดงแทนได้มาก ซึ่งโดยปกติแล้วจะได้มาจากการคำนวณพีชคณิตลี ${\displaystyle m+1}$${\displaystyle m+1}$

ตอนนี้เราจะสรุปการพิสูจน์ทฤษฎีบทของน้ำหนักสูงสุด โดยทำตามข้อโต้แย้งดั้งเดิมของHermann Weylเรายังคงให้เป็นกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัดที่เชื่อมต่อกันและทอรัสสูงสุดที่กำหนดไว้ในเรามุ่งเน้นไปที่ส่วนที่ยากที่สุดของทฤษฎีบท ซึ่งแสดงให้เห็นว่าองค์ประกอบที่โดดเด่นและเป็นจำนวนเต็มเชิงวิเคราะห์ทุกตัวมีน้ำหนักสูงสุดของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ (มิติจำกัด) บางอย่าง^{[ 16 ]}${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$

เครื่องมือที่ใช้ในการพิสูจน์มีดังต่อไปนี้:

• ทฤษฎีบททอรัส
• สูตรอินทิกรัลของเวล์
• ทฤษฎีบทปีเตอร์-ไวล์สำหรับฟังก์ชันคลาสซึ่งระบุว่าอักขระของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับปริภูมิของฟังก์ชันคลาสที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้บน${\displaystyle K}$

เมื่อมีเครื่องมือเหล่านี้แล้ว เราจะดำเนินการพิสูจน์ต่อไป ขั้นตอนสำคัญแรกในการพิสูจน์คือการพิสูจน์สูตรลักษณะเฉพาะของ Weylสูตรนี้ระบุว่า ถ้าเป็นการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งมีน้ำหนักสูงสุดแล้วลักษณะเฉพาะของจะสอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle \Pi }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mathrm {X} }$${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho ),H\rangle }}{\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot \rho ,H\rangle }}}}$

สำหรับทุกค่าในพีชคณิตลีของ นี่คือครึ่งหนึ่งของผลรวมของรากบวก (สัญลักษณ์ใช้แบบแผนของ "น้ำหนักจริง" ซึ่งแบบแผนนี้ต้องการตัวประกอบที่ชัดเจนของในเลขชี้กำลัง) การพิสูจน์สูตรอักขระของ Weyl มีลักษณะเป็นเชิงวิเคราะห์และขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าค่ามาตรฐานของอักขระคือ 1 โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากมีพจน์เพิ่มเติมใด ๆ ในตัวเศษ สูตรปริพันธ์ของ Weyl จะบังคับให้ค่ามาตรฐานของอักขระมากกว่า 1 ${\displaystyle H}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle i}$${\displaystyle L^{2}}$

ต่อไป เราให้แทนฟังก์ชันทางด้านขวามือของสูตรอักขระ เราจะแสดงให้เห็นว่าถึงแม้จะไม่ทราบว่า เป็นน้ำหนักสูงสุดของการแทนค่าก็ตามก็เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างดีและคงที่ภายใต้การแปลงเวล์บนซึ่งจึงขยายไปเป็นฟังก์ชันชั้นบน จากนั้นโดยใช้สูตรปริพันธ์เวล์ เราสามารถแสดงได้ว่าเมื่อครอบคลุมเซตขององค์ประกอบที่โดดเด่นและเป็นปริพันธ์เชิงวิเคราะห์ ฟังก์ชันจะก่อตัวเป็นตระกูลฟังก์ชันชั้นแบบตั้งฉากกัน เราเน้นย้ำว่าในปัจจุบันเรายังไม่ทราบว่าทุก ดังกล่าวเป็นน้ำหนักสูงสุดของการแทนค่าหรือไม่ อย่างไรก็ตาม นิพจน์ทางด้านขวามือของสูตรอักขระให้เซตของฟังก์ชัน ที่กำหนดไว้อย่างดีและฟังก์ชันเหล่านี้เป็นฟังก์ชันแบบตั้งฉากกัน ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$

มาถึงบทสรุปแล้ว เซตของทั้งหมด— โดยครอบคลุมองค์ประกอบที่โดดเด่นและเป็นจำนวนเต็มเชิงวิเคราะห์—ก่อให้เกิดเซตตั้งฉากปกติในปริภูมิของฟังก์ชันชั้นที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ แต่ตามสูตรอักขระของ Weyl อักขระของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ก่อให้เกิดเซตย่อยของและตามทฤษฎีบท Peter–Weyl อักขระของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ก่อให้เกิดฐานตั้งฉากปกติสำหรับปริภูมิของฟังก์ชันชั้นที่หาปริพันธ์กำลังสองได้ หากมีบางตัวที่ไม่ใช่น้ำหนักสูงสุดของการแสดงแทนแล้ว ที่สอดคล้องกันจะไม่ใช่อักขระของการแสดงแทน ดังนั้น อักขระจะเป็น เซตย่อย ที่แท้จริงของเซตแต่แล้วเราก็จะมีสถานการณ์ที่เป็นไปไม่ได้: ฐานตั้ง ฉากปกติ (เซตของอักขระของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้) จะถูกบรรจุอยู่ในเซตตั้งฉากปกติที่ใหญ่กว่าอย่างเคร่งครัด (เซตของดังนั้น ทุกตัวจะต้องเป็นน้ำหนักสูงสุดของการแสดงแทนจริงๆ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$${\displaystyle \lambda }$

หัวข้อของการกู้คืนกลุ่มกระชับจากทฤษฎีการแทนของกลุ่มนั้นเป็นหัวข้อของทฤษฎีทวิภาวะของทานนากะ-เครนซึ่งปัจจุบันมักถูกนำเสนอใหม่ในแง่ของทฤษฎี หมวดหมู่แบบทานนากะ

อิทธิพลของทฤษฎีกลุ่มกระชับที่มีต่อกลุ่มไม่กระชับนั้นถูกกำหนดโดย Weyl ในกลอุบายแบบเอกภาพ ของเขา ภายในกลุ่ม Lie กึ่งง่าย ทั่วไป จะมีกลุ่มย่อยกระชับสูงสุดและทฤษฎีการแทนของกลุ่มดังกล่าว ซึ่งพัฒนาขึ้นโดยHarish-Chandra เป็น ส่วนใหญ่ ใช้การจำกัดการแทนไปยังกลุ่มย่อยดังกล่าวอย่างเข้มข้น รวมถึงแบบจำลองของทฤษฎีลักษณะเฉพาะของ Weyl ด้วย

• ทฤษฎีบทปีเตอร์-ไวล์
• ทอรัสสูงสุด
• ระบบราก
• กลุ่มขนาดกะทัดรัดในท้องถิ่น
• กลุ่มp- คอมแพค
• โปรทอรัส
• การจำแนกประเภทการแสดงแทนแบบมิติจำกัดของพีชคณิตลี
• น้ำหนักในทฤษฎีการแทนของพีชคณิตลีแบบกึ่งง่าย

• Bröcker, Theodor; Tom Dieck, Tammo (1985), การแทนกลุ่ม Lie ขนาดกะทัดรัด , ตำราระดับบัณฑิตศึกษาทางคณิตศาสตร์, เล่มที่ 98, Springer
• Hall, Brian C. (2015), กลุ่มลี, พีชคณิตลี และการแทนค่า: บทนำเบื้องต้น , ตำราคณิตศาสตร์ระดับบัณฑิตศึกษา, เล่มที่ 222 (ฉบับที่ 2), Springer, ISBN 978-3319134666
• Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. (1998), โครงสร้างของกลุ่มกระชับ , เบอร์ลิน: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1