ทฤษฎีการแทนของกลุ่มจำกัด

Q: ตัวอย่าง

การแสดงผลแบบง่ายๆ นั้นกำหนดโดยสำหรับทุก ρ ( ส ) = รหัสประจำตัว {\displaystyle \rho (s)={\text{Id}}} ส ∈ จี . {\displaystyle s\in G.}

ทฤษฎีการแทนกลุ่มเป็นส่วนหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาว่ากลุ่มกระทำการอย่างไรต่อโครงสร้างที่กำหนดให้

ในส่วนนี้จะเน้นไปที่ การดำเนินการของกลุ่มบนปริภูมิเวกเตอร์เป็นพิเศษอย่างไรก็ตาม เรายังพิจารณากลุ่มที่กระทำต่อกลุ่มอื่นหรือต่อเซตด้วย สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูส่วนเกี่ยวกับการแสดงแทนด้วยการเรียงสับเปลี่ยน

นอกจากข้อยกเว้นที่สำคัญบางประการแล้ว บทความนี้จะพิจารณาเฉพาะกลุ่มจำกัดเท่านั้น และเราจะจำกัดตัวเองอยู่เฉพาะปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ เนื่องจากทฤษฎีของฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์นั้นสมบูรณ์แล้วทฤษฎีที่ใช้ได้กับฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์แบบพิเศษ จึงใช้ได้กับฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิตที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์อื่นๆ ทุกฟิลด์ด้วย ดังนั้นโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปเราสามารถศึกษาปริภูมิเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ได้ $\mathbb {C} .$

ทฤษฎีการแทนที่ใช้ในคณิตศาสตร์หลายสาขา รวมถึงเคมีควอนตัมและฟิสิกส์ เช่น ใช้ในพีชคณิตเพื่อตรวจสอบโครงสร้างของกลุ่ม นอกจากนี้ยังมีการประยุกต์ใช้ในวิเคราะห์ฮาร์มอนิกและทฤษฎีจำนวนตัวอย่างเช่น ทฤษฎีการแทนถูกนำมาใช้ในแนวทางสมัยใหม่เพื่อหาผลลัพธ์ใหม่เกี่ยวกับรูปแบบอัตโนมัติ

คำนิยาม

การแสดงผลเชิงเส้น

ให้เป็นปริมาณเวกเตอร์ และเป็นกลุ่มจำกัดการแทนเชิงเส้นของคือโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มโดยที่คือสัญลักษณ์ สำหรับกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปและ คือสัญลักษณ์ สำหรับกลุ่มออโตมอร์ฟิซึมซึ่งหมายความว่า การแทนเชิงเส้น คือ ฟังก์ชันที่สอดคล้องกับ สำหรับทุกปริมาณเวกเตอร์เรียกว่าปริมาณแทนของบ่อยครั้งที่คำว่า "การแทนของ" ถูกใช้สำหรับปริมาณแทนของ ด้วย $V$ $K$ $G$ $G$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)={\text{Aut}}(V)$ ${\text{GL}}(V)$ ${\text{อัตโนมัติ}}(V)$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ $\rho (st)=\rho (s)\rho (t)$ $s,t\in G.$ $V$ $G.$ $G$ $V.$

การแสดงกลุ่มในโมดูลแทนที่จะเป็นปริภูมิเวกเตอร์ เรียกว่า การแสดงแบบเชิงเส้น (linear representation)

เราเขียนเพื่อแสดงถึงบางครั้งเราใช้สัญลักษณ์หากชัดเจนว่าพื้นที่นั้นเป็นของ รูปแบบการแสดงผลแบบใด $(\rho ,V_{\rho })$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ $G.$ $(\rho ,V)$ $V$

ในบทความนี้ เราจะจำกัดการศึกษาของเราไว้เฉพาะปริภูมิการแสดงผลแบบมิติจำกัด ยกเว้นบทสุดท้าย เนื่องจากในกรณีส่วนใหญ่เราสนใจเพียงเวกเตอร์จำนวนจำกัดในปริภูมิการแสดงผล จึงเพียงพอที่จะศึกษาการแสดงผลย่อยที่สร้างขึ้นโดยเวกเตอร์เหล่านั้น ปริภูมิการแสดงผลของการแสดงผลย่อยนี้จึงมีมิติจำกัด $V$

ระดับของการแสดงผลคือมิติ ของปริภูมิ การแสดงผล บาง ครั้งมีการใช้ สัญลักษณ์เพื่อแสดงถึงระดับของการแสดงผล $V.$ $\dim(\rho )$ $\rho .$

ตัวอย่าง

การแสดงผลแบบง่ายๆนั้นกำหนดโดยสำหรับทุก $\rho (s)={\text{Id}}$ $s\in G.$

การแทนดีกรีของกลุ่มคือโฮโมมอร์ฟิซึมไปยังกลุ่ม การคูณ เนื่องจากสมาชิกทุกตัวของมีอันดับจำกัด ค่าของจึงเป็นรากที่สี่ของเอกภาพตัวอย่างเช่น ให้เป็นการแทนเชิงเส้นที่ไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่ม จึงต้องเป็นไปตามเงื่อนไขเนื่องจากสร้างซึ่งถูกกำหนดโดยค่าของมันบนและเนื่องจากเป็นที่ไม่เป็นศูนย์ดังนั้น เราจึงได้ผลลัพธ์ว่าภาพของภายใต้ต้องเป็นกลุ่มย่อยที่ไม่เป็นศูนย์ของกลุ่ม ซึ่งประกอบด้วยรากที่สี่ของเอกภาพ กล่าวอีกนัยหนึ่งต้องเป็นหนึ่งในสามแผนที่ต่อไปนี้: $1$ $G$ $\rho :G\to {\text{GL}}_{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }=\mathbb {C} \setminus \{0\}.$ $G$ $\rho (s)$ $\rho :G=\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \to \mathbb {C} ^{\times }$ $\rho$ $\rho ({0})=1.$ $1$ $G,\rho$ $\rho (1).$ $\rho$ $\rho ({1})\in \{i,-1,-i\}.$ $G$ $\rho$ $\rho$

{\begin{cases}\rho _{1}({0})=1\\\rho _{1}({1})=i\\\rho _{1}({2})=-1\\\rho _{1}({3})=-i\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{2}({0})=1\\\rho _{2}({1})=-1\\\rho _{2}({2})=1\\\rho _{2}({3})=-1\end{cases}}\qquad {\begin{cases}\rho _{3}({0})=1\\\rho _{3}({1})=-i\\\rho _{3}({2})=-1\\\rho _{3}({3})=i\end{cases}}

ให้และให้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่กำหนดโดย: $G=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ $\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$

\rho ({0},{0})={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{0})={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho ({0},{1})={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho ({1},{1})={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.

ในกรณีนี้คือการแสดงเชิงเส้นของดีกรี $\rho$ $G$ $2.$

การแสดงผลแบบเรียงสับเปลี่ยน

ให้เป็นเซตจำกัด และให้เป็นกลุ่มที่กระทำบนแทนกลุ่มของการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดบนโดยที่การประกอบเป็นการคูณของกลุ่ม $X$ $G$ $X.$ ${\text{Aut}}(X)$ $X$

บางครั้งกลุ่มที่กระทำบนเซตจำกัดก็ถือว่าเพียงพอสำหรับการกำหนดนิยามของการแทนด้วยการเรียงสับเปลี่ยน อย่างไรก็ตาม เนื่องจากเราต้องการสร้างตัวอย่างสำหรับการแทนเชิงเส้น ซึ่งกลุ่มกระทำบนปริภูมิเวกเตอร์แทนที่จะเป็นเซตจำกัดใดๆ เราจึงต้องดำเนินการในวิธีที่แตกต่างออกไป เพื่อสร้างการแทนด้วยการเรียงสับเปลี่ยน เราต้องการปริภูมิเวกเตอร์ที่มีฐานของสามารถจัดทำดัชนีได้โดยองค์ประกอบของการแทนด้วยการเรียงสับเปลี่ยนคือโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มที่กำหนดโดยสำหรับทุกแผนที่เชิงเส้นทั้งหมดถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยคุณสมบัตินี้ $V$ $\dim(V)=|X|.$ $V$ $X.$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ $\rho (s)e_{x}=e_{sx}$ $s\in G,x\in X.$ $\rho (s)$

ตัวอย่างให้และจากนั้นกระทำต่อผ่านการแสดงเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องคือโดยที่สำหรับ $X=\{1,2,3\}$ $G={\text{Sym}}(3).$ $G$ $X$ ${\text{Aut}}(X)=G.$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)\cong {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ $\rho (\sigma )e_{x}=e_{\sigma (x)}$ $\sigma \in G,x\in X.$

การแสดงผลแบบปกติซ้ายและขวา

ให้เป็นกลุ่ม และเป็นปริมาณเวกเตอร์มิติ ที่มีฐานซึ่งกำหนดดัชนีโดยสมาชิกของ การแสดงแทน แบบซ้ายปกติเป็นกรณีพิเศษของการแสดงแทนแบบเรียงสับเปลี่ยนโดยการเลือกซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกดังนั้น ตระกูลของภาพของจึงเป็นฐานของระดับของการแสดงแทนแบบซ้ายปกติเท่ากับอันดับของกลุ่ม $G$ $V$ $|G|$ $(e_{t})_{t\in G}$ $G.$ $X=G.$ $\rho (s)e_{t}=e_{st}$ $s,t\in G.$ $(\rho (s)e_{1})_{s\in G}$ $e_{1}$ $V.$

การแทนแบบปกติขวาถูกกำหนดบนปริภูมิเวกเตอร์เดียวกันด้วยโฮโมมอร์ฟิซึมที่คล้ายกัน: ในทำนองเดียวกันกับก่อนหน้านี้เป็นฐานของเช่นเดียวกับในกรณีของการแทนแบบปกติซ้าย ระดับของการแทนแบบปกติขวาจะเท่ากับอันดับของ $\rho (s)e_{t}=e_{ts^{-1}}.$ $(\rho (s)e_{1})_{s\in G}$ $V.$ $G.$

ทั้งสองรูปแบบการแสดงผลเป็น แบบ ไอโซมอร์ฟิกกันด้วยเหตุนี้จึงไม่ได้แยกออกจากกันเสมอไป และมักถูกเรียกว่าเป็นรูปแบบการแสดงผลแบบ "ปกติ" เหมือนกัน $e_{s}\mapsto e_{s^{-1}}.$

เมื่อพิจารณาอย่างละเอียดจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: การแสดงเชิงเส้นที่กำหนดให้จะสมสัณฐานกับการแสดงแบบซ้ายปกติก็ต่อเมื่อมีอยู่จริงที่ทำให้เป็นฐานของ $\rho :G\to {\text{GL}}(W)$ $w\in W,$ $(\rho (s)w)_{s\in G}$ $W.$

ตัวอย่างให้และโดยมีฐานเป็นจากนั้นการแสดงแทนแบบซ้ายปกติจะถูกกำหนดโดยสำหรับการแสดงแทนแบบขวาปกติจะถูกกำหนดในทำนองเดียวกันโดยสำหรับ $G=\mathbb {Z} /5\mathbb {Z}$ $V=\mathbb {R} ^{5}$ $\{e_{0},\ldots ,e_{4}\}.$ $L_{\rho }:G\to {\text{GL}}(V)$ $L_{\rho }(k)e_{l}=e_{l+k}$ $k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .$ $R_{\rho }(k)e_{l}=e_{l-k}$ $k,l\in \mathbb {Z} /5\mathbb {Z} .$

การแทนค่า โมดูล และพีชคณิตการสังเคราะห์

ให้G เป็นกลุ่มจำกัด ให้R เป็นวงแหวน สลับที่ และให้ R เป็นพีชคณิตกลุ่มของ G เหนือ R พีชคณิตนี้เป็นพีชคณิตอิสระ และฐานสามารถกำหนดดัชนีได้ด้วยสมาชิกของ R โดยส่วนใหญ่ฐานจะถูกระบุด้วยR จากนั้นสมาชิกทุกตัวสามารถแสดงได้อย่างไม่ซ้ำกันในรูป R $G$ $K$ $K[G]$ $G$ $K.$ $G.$ $G$ $f\in K[G]$

f=\sum _{s\in G}a_{s}s

กับ.

a_{s}\in K

การคูณในขยายความนั้นในเชิงการกระจาย $K[G]$ $G$

ตอน นี้ให้เป็นโมดูลและให้เป็นการแสดงเชิงเส้นของในเรากำหนดสำหรับทุกและโดยการขยายเชิงเส้นจะได้รับโครงสร้างของโมดูลซ้าย ในทางกลับกัน เราจะได้การแสดงเชิงเส้นของ โดยเริ่มต้นจากโมดูลนอกจากนี้ โฮโมมอร์ฟิซึมของการแสดงจะสอดคล้องกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตกลุ่ม ดังนั้น คำศัพท์เหล่านี้จึงสามารถใช้แทนกันได้^[¹^]^[²^]นี่เป็นตัวอย่างของ ไอโซมอ ร์ ฟิซึมของหมวดหมู่ $V$ $K$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ $G$ $V.$ $sv=\rho (s)v$ $s\in G$ $v\in V$ $V$ $K[G]$ $G$ $K[G]$ $V$

สมมติในกรณีนี้โมดูลด้านซ้ายที่กำหนดโดยตัวมันเองจะสอดคล้องกับการแสดงแทนแบบซ้ายปกติ ในทำนองเดียวกัน โมดูล ด้านขวาจะสอดคล้องกับการแสดงแทนแบบขวาปกติ $K=\mathbb {C} .$ $\mathbb {C} [G]$ $\mathbb {C} [G]$ $\mathbb {C} [G]$ $\mathbb {C} [G]$

ต่อไปนี้เราจะนิยามพีชคณิตการสังเคราะห์ (convolution algebra ) : ให้เป็นกลุ่ม และเซตเป็นปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการดำเนินการบวกและ การคูณด้วย สเกลาร์แล้วปริภูมิเวกเตอร์นี้จะสม isomorphic กับการสังเคราะห์ของสององค์ประกอบที่กำหนดโดย $G$ $L^{1}(G):=\{f:G\to \mathbb {C} \}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} ^{|G|}.$ $f,h\in L^{1}(G)$

f*h(s):=\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1}s)

สร้างพีชคณิตขึ้นมา พีชคณิตนั้นเรียกว่าพีชคณิตการสังเคราะห์ (convolution algebra ) $L^{1}(G)$ $L^{1}(G)$

พีชคณิตคอนโวลูชันเป็นอิสระและมีฐานที่กำหนดดัชนีโดยองค์ประกอบของกลุ่มโดยที่ $(\delta _{s})_{s\in G},$

\delta _{s}(t)={\begin{cases}1&t=s\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

โดยใช้คุณสมบัติของการคอนโวลูชัน เราจะได้: $\delta _{s}*\delta _{t}=\delta _{st}.$

เรากำหนดแผนที่ระหว่างและโดยการกำหนดบนฐานและขยายมันในเชิงเส้น เห็นได้ชัดว่าแผนที่ก่อนหน้านั้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง การตรวจสอบอย่างละเอียดของการสังเคราะห์ขององค์ประกอบฐานสองตัวดังที่แสดงในสมการข้างต้นเผยให้เห็นว่าการคูณในสอดคล้องกับการคูณในดังนั้น พีชคณิตการสังเคราะห์และพีชคณิตกลุ่มจึงเป็นไอโซมอร์ฟิกกันในฐานะพีชคณิต $L^{1}(G)$ $\mathbb {C} [G],$ $\delta _{s}\mapsto e_{s}$ $(\delta _{s})_{s\in G}$ $L^{1}(G)$ $\mathbb {C} [G].$

การหดตัว

f^{*}(s)={\overline {f(s^{-1})}}

กลายเป็นพีชคณิตเรามี $L^{1}(G)$ $^{*}$ $\delta _{s}^{*}=\delta _{s^{-1}}.$

การแทนกลุ่มหนึ่งขยายไปสู่โฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตโดยเนื่องจากความสามารถในการคูณเป็นคุณสมบัติเฉพาะของโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิต จึง สอดคล้องกับถ้าเป็นแบบเอกภาพ เราจะได้สำหรับนิยามของการแทนแบบเอกภาพ โปรดดูบทเกี่ยวกับคุณสมบัติในบทนั้นเราจะเห็นว่า (โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป) การแทนเชิงเส้นทุกแบบสามารถถือได้ว่าเป็นแบบเอกภาพ $(\pi ,V_{\pi })$ $G$ $^{*}$ $\pi :L^{1}(G)\to {\text{End}}(V_{\pi })$ $\pi (\delta _{s})=\pi (s).$ $\pi$ $\pi (f*h)=\pi (f)\pi (h).$ $\pi$ $\pi (f)^{*}=\pi (f^{*}).$

โดยใช้พีชคณิตคอนโวลูชัน เราสามารถใช้การแปลงฟูริเยร์กับกลุ่ม ได้ ในสาขาการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกพบว่านิยามต่อไปนี้สอดคล้องกับนิยามของการแปลงฟูริเยร์บน $G.$ $\mathbb {R} .$

ให้เป็นการแทน และให้เป็นฟังก์ชันที่มีค่าเป็น บนการแปลงฟูริเยร์ของถูกกำหนดดังนี้ $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ $f\in L^{1}(G)$ $\mathbb {C}$ $G$ ${\hat {f}}(\rho )\in {\text{End}}(V_{\rho })$ $f$

{\hat {f}}(\rho )=\sum _{s\in G}f(s)\rho (s).

การเปลี่ยนแปลงนี้ทำให้พึงพอใจ ${\widehat {f*g}}(\rho )={\hat {f}}(\rho )\cdot {\hat {g}}(\rho ).$

แผนที่ระหว่างการแสดงผล

แผนที่ระหว่างการแสดงแทนสองแบบของกลุ่มเดียวกันคือแผนที่เชิงเส้นที่มีคุณสมบัติที่ใช้ได้กับทุกค่ากล่าวอีกนัยหนึ่ง แผนภาพต่อไปนี้สลับที่ได้กับทุกค่า: $(\rho ,V_{\rho }),\,(\tau ,V_{\tau })$ $G$ $T:V_{\rho }\to V_{\tau },$ $\tau (s)\circ T=T\circ \rho (s)$ $s\in G.$ $s\in G$

แผนที่ดังกล่าวเรียกอีกอย่างว่าแผนที่เชิงเส้นหรือแผนที่สมมาตรเคอร์เนลภาพและโคเคอร์เนลของ ถูกกำหนดไว้ แล้วโดยค่าเริ่มต้น การประกอบกันของแผนที่สมมาตรก็จะได้แผนที่สมมาตรเช่นกัน มีหมวดหมู่ของการแสดงแทนที่มีแผนที่สมมาตรเป็นมอร์ฟิซึม ซึ่งก็ คือโมดูล ดังนั้น พวกมันจึงให้การแสดงแทนของเนื่องมาจากความสัมพันธ์ที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้า $G$ $T$ $G$ $G$

การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้และทฤษฎีบทของชูร์

ให้เป็นการแทนเชิงเส้นของให้เป็นปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ ของนั่นคือสำหรับทุกและการจำกัดเป็นไอโซมอร์ฟิซึมของบนตัวมันเอง เนื่องจากเป็นจริงสำหรับทุกการสร้างนี้จึงเป็นการแทนของในเรียกว่าการแทนย่อยของ การแทนใดๆVมีการแทนย่อยอย่างน้อยสองแบบ คือ แบบที่ประกอบด้วย 0 เท่านั้น และแบบที่ประกอบด้วยVเอง การแทน เรียกว่าการแทนแบบลดทอนไม่ได้ถ้าการแทนย่อยทั้งสองนี้เป็นเพียงการแทนย่อยเดียว ผู้เขียนบางคนเรียกการแทนเหล่านี้ว่า การแทนแบบง่าย เนื่องจากพวกมันเป็นโมดูลแบบง่าย เหนือ พีชคณิต กลุ่ม $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ $G.$ $W$ $G$ $V,$ $\rho (s)w\in W$ $s\in G$ $w\in W$ $\rho (s)|_{W}$ $W$ $\rho (s)|_{W}\circ \rho (t)|_{W}=\rho (st)|_{W}$ $s,t\in G,$ $G$ $W.$ $V.$ $\mathbb {C} [G]$

ทฤษฎีบทของ Schurกำหนดข้อจำกัดที่เข้มงวดสำหรับแผนที่ระหว่างการแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ หากและต่างก็ไม่สามารถลดทอนได้ และเป็นแผนที่เชิงเส้นที่ทำให้สำหรับทุกจะมีการแบ่งแยกแบบทวิภาคดังต่อไปนี้: $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1})$ $\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})$ $F:V_{1}\to V_{2}$ $\rho _{2}(s)\circ F=F\circ \rho _{1}(s)$ $s\in G.$

ถ้าและเป็นโฮโมเทตี (เช่นสำหรับ a ) โดยทั่วไปแล้ว ถ้าและเป็นไอโซมอร์ฟิกกัน ปริภูมิของ แผนที่เชิงเส้น Gจะมีมิติเดียว $V_{1}=V_{2}$ $\rho _{1}=\rho _{2},$ $F$ $F=\lambda {\text{Id}}$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $\rho _{1}$ $\rho _{2}$
มิฉะนั้น หากการแสดงแทนทั้งสองไม่เหมือนกันFจะต้องเป็น 0 ^{[ 3 ]}

คุณสมบัติ

การแสดงผลสองแบบจะเรียกว่าสมมูลกันหรือเป็นไอโซมอร์ฟิกกันหากมีไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์เชิงเส้นระหว่างปริภูมิการแสดงผลทั้งสอง กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแสดงผลทั้งสองจะเป็นไอโซมอร์ฟิกกันหากมีแผนที่เชิงเส้นแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงซึ่งสำหรับทุกค่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การแสดงผลที่สมมูลกันจะมีดีกรีเท่ากัน $(\rho ,V_{\rho }),(\pi ,V_{\pi })$ $G$ $T:V_{\rho }\to V_{\pi },$ $T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T$ $s\in G.$

การแทนที่เรียกว่าซื่อสัตย์ (faithful)เมื่อเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective ) ในกรณีนี้จะทำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างและภาพเนื่องจากภาพเป็นกลุ่มย่อยของเราจึงสามารถพิจารณาผ่านทางเป็นกลุ่มย่อยของ $(\pi ,V_{\pi })$ $\pi$ $\pi$ $G$ $\pi (G).$ ${\text{GL}}(V_{\pi }),$ $G$ $\pi$ ${\text{Aut}}(V_{\pi }).$

เราสามารถจำกัดช่วงและขอบเขตได้เช่นกัน:

ให้เป็นกลุ่มย่อยของให้เป็นการแทนเชิงเส้นของเราใช้สัญลักษณ์ แทนการจำกัดของบนกลุ่มย่อย $H$ $G.$ $\rho$ $G.$ ${\text{Res}}_{H}(\rho )$ $\rho$ $H.$

หากไม่มีความเสี่ยงที่จะเกิดความสับสน เราอาจใช้คำว่า "เพียงอย่างเดียว" หรือ "โดยย่อ" ${\text{Res}}(\rho )$ ${\text{Res}}\rho .$

สัญลักษณ์หรือเรียกสั้นๆว่า ยังใช้เพื่อแสดงถึงการจำกัดการแสดงแทนของบน ${\text{Res}}_{H}(V)$ ${\text{Res}}(V)$ $V$ $G$ $H.$

ให้เป็นฟังก์ชันบนเราเขียนหรือย่อๆ ว่าสำหรับการจำกัดบนกลุ่มย่อย $f$ $G.$ ${\text{Res}}_{H}(f)$ ${\text{Res}}(f)$ $H.$

สามารถพิสูจน์ได้ว่าจำนวนการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ของกลุ่ม(หรือจำนวนโมดูลเชิงเดี่ยว) เท่ากับจำนวนชั้นสมมูลของ กลุ่ม $G$ $\mathbb {C} [G]$ $G.$

การแทนค่าแบบ กึ่งง่ายหรือลดรูปได้สมบูรณ์นั้น เรียกว่าสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมโดยตรงของการแทนค่าแบบลดรูปไม่ได้ ซึ่งคล้ายคลึงกับนิยามที่สอดคล้องกันของพีชคณิตแบบกึ่งง่าย

สำหรับคำจำกัดความของผลรวมโดยตรงของการแสดงแทน โปรดดูที่หัวข้อเกี่ยวกับผลรวมโดยตรงของการแสดงแทน

เรียกว่าการแทนแบบไอโซไทปิกหากเป็นการแทนแบบบวกโดยตรงของการแทนแบบลดทอนไม่ได้ที่สมมาตรกันเป็นคู่ๆ

ให้เป็นการแทนกลุ่มที่กำหนด ให้ เป็นการแทนแบบลดทอนไม่ได้ของกลุ่มไอโซไทป์ของถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของการแทนย่อยแบบลดทอนไม่ได้ทั้งหมดของที่สมสัณฐานกับ $(\rho ,V_{\rho })$ $G.$ $\tau$ $G.$ $\tau$ $V_{\rho }(\tau )$ $G$ $V$ $\tau .$

ทุกปริภูมิเวกเตอร์เหนือสามารถมีผลคูณภายใน ได้ การแทน กลุ่มในปริภูมิเวกเตอร์ที่มีผลคูณภายในเรียกว่าการแทนแบบเอกภาพ (unitary representation) ถ้าเป็นการแทนแบบเอกภาพสำหรับทุกซึ่งหมายความว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ทุกสามารถทำให้เป็นแนวทแยงได้ (diagonalizable ) สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูบทความเกี่ยวกับการแทนแบบเอกภาพ (unitary representations ) $\mathbb {C}$ $\rho$ $G$ $\rho (s)$ $s\in G.$ $\rho (s)$

การแสดงผลแบบเอกภาพ (unitary) เมื่อเทียบกับผลคูณภายในที่กำหนด ก็ต่อเมื่อผลคูณภายในนั้นไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับการดำเนินการที่เหนี่ยวนำ กล่าวคือ ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขดังกล่าวเป็นจริงสำหรับทุก ๆ $G,$ $(v|u)=(\rho (s)v|\rho (s)u)$ $v,u\in V_{\rho },s\in G.$

ผลคูณภายในที่กำหนดสามารถแทนที่ด้วยผลคูณภายในที่ไม่เปลี่ยนแปลงได้โดยการสลับกับ $(\cdot |\cdot )$ $(v|u)$

\sum _{t\in G}(\rho (t)v|\rho (t)u).

ดังนั้น โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป เราสามารถสมมติได้ว่าการแสดงแทนทุกรูปแบบที่พิจารณาต่อไปนั้นเป็นการแสดงแทนแบบเอกภาพ

ตัวอย่างให้เป็นกลุ่มไดเฮดรัล อันดับที่สร้างขึ้นโดยซึ่งมีคุณสมบัติและให้เป็นการแสดงเชิงเส้นของที่กำหนดบนตัวสร้างโดย: $G=D_{6}=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2},\nu ,\mu \nu ,\mu ^{2}\nu \}$ $6$ $\mu ,\nu$ ${\text{ord}}(\nu )=2,{\text{ord}}(\mu )=3$ $\nu \mu \nu =\mu ^{2}.$ $\rho :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )$ $D_{6}$

\rho (\mu )=\left({\begin{array}{ccc}\cos({\frac {2\pi }{3}})&0&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\0&1&0\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&0&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{array}}\right),\,\,\,\,\rho (\nu )=\left({\begin{array}{ccc}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{array}}\right).

การแสดงแทนนี้มีความถูกต้องปริภูมิ ย่อยเป็นปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลง ดังนั้นจึงมีการแสดงแทนย่อยที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งมี ดังนั้นการแสดงแทนนี้จึงไม่สามารถลดทอนไม่ได้ การแสดงแทนย่อยที่กล่าวถึงนั้นมีดีกรีหนึ่งและไม่สามารถลดทอนได้ปริภูมิย่อยส่วนเติมเต็มของ ก็ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ การแปลงเช่นกัน ดังนั้นเราจึงได้การแสดงแทนย่อยที่มี $\mathbb {C} e_{2}$ $D_{6}$ $\rho |_{\mathbb {C} e_{2}}:D_{6}\to \mathbb {C} ^{\times }$ $\nu \mapsto -1,\mu \mapsto 1.$ $\mathbb {C} e_{2}$ $D_{6}$ $\rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}$

\nu \mapsto {\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\,\,\,\,\mu \mapsto {\begin{pmatrix}\cos({\frac {2\pi }{3}})&-\sin({\frac {2\pi }{3}})\\\sin({\frac {2\pi }{3}})&\cos({\frac {2\pi }{3}})\end{pmatrix}}.

การแสดงผลย่อยนี้ก็ไม่สามารถลดทอนได้เช่นกัน นั่นหมายความว่า การแสดงผลดั้งเดิมนั้นสามารถลดทอนได้อย่างสมบูรณ์:

\rho =\rho |_{\mathbb {C} e_{2}}\oplus \rho |_{\mathbb {C} e_{1}\oplus \mathbb {C} e_{3}}.

ทั้งสองตัวแทนย่อยเป็นแบบไอโซไทป์ และเป็นไอโซไทป์ที่ไม่เป็นศูนย์เพียงสองตัวเท่านั้นของ $\rho .$

การแสดงผลเป็นแบบเอกภาพเมื่อพิจารณาจากผลคูณภายในมาตรฐานบนเนื่องจากและเป็นแบบเอกภาพ $\rho$ $\mathbb {C} ^{3},$ $\rho (\mu )$ $\rho (\nu )$

ให้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมของปริภูมิเวกเตอร์ใดๆ แล้วซึ่งกำหนดโดยสมการสำหรับทุก ๆเป็นการแทนแบบไอโซมอร์ฟิกกับ $T:\mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} ^{3}$ $\eta :D_{6}\to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} ),$ $\eta (s):=T\circ \rho (s)\circ T^{-1}$ $s\in D_{6},$ $\rho .$

โดยการจำกัดขอบเขตของการแสดงผลให้อยู่ในกลุ่มย่อย เช่นเราจะได้การแสดงผลดังนี้ การแสดงผลนี้ถูกกำหนดโดยภาพที่มีรูปแบบที่ชัดเจนแสดงไว้ข้างต้น $H=\{{\text{id}},\mu ,\mu ^{2}\},$ ${\text{Res}}_{H}(\rho ).$ $\rho (\mu ),$

การก่อสร้าง

การแสดงผลแบบคู่

ให้เป็นตัวแทนที่กำหนดให้ตัวแทนคู่หรือตัวแทนผกผันคือ ตัวแทนของในปริภูมิเวกเตอร์คู่ของ โดยนิยามจากคุณสมบัติ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$ $\rho ^{*}:G\to {\text{GL}}(V^{*})$ $G$ $V.$

\forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \left(\rho ^{*}(s)\alpha \right)(v)=\alpha \left(\rho \left(s^{-1}\right)v\right).

เมื่อพิจารณาถึงการจับคู่ตามธรรมชาติระหว่างและคำจำกัดความข้างต้น จะได้สมการดังนี้: $\langle \alpha ,v\rangle :=\alpha (v)$ $V^{*}$ $V$

\forall s\in G,v\in V,\alpha \in V^{*}:\qquad \langle \rho ^{*}(s)(\alpha ),\rho (s)(v)\rangle =\langle \alpha ,v\rangle .

ตัวอย่างเช่น ดูได้ที่หน้าหลักในหัวข้อนี้: การแสดงผลแบบคู่ (Dual representation )

ผลรวมโดยตรงของการแสดงแทน

ให้และเป็นการแทนค่าของและตามลำดับ ผลรวมโดยตรงของการแทนค่าเหล่านี้คือการแทนค่าเชิงเส้น และถูกกำหนดดังนี้ $(\rho _{1},V_{1})$ $(\rho _{2},V_{2})$ $G_{1}$ $G_{2},$

\forall s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2},v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2}:\qquad {\begin{cases}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2})\\[4pt](\rho _{1}\oplus \rho _{2})(s_{1},s_{2})(v_{1},v_{2}):=\rho _{1}(s_{1})v_{1}\oplus \rho _{2}(s_{2})v_{2}\end{cases}}

ให้เป็นตัวแทนของกลุ่มเดียวกันเพื่อความง่าย เราจะกำหนดผลรวมโดยตรงของตัวแทนเหล่านี้เป็นตัวแทนของกล่าวคือ กำหนดให้เป็นโดยมองว่า เป็นกลุ่มย่อยแนวทแยงของ $\rho _{1},\rho _{2}$ $G.$ $G,$ $\rho _{1}\oplus \rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{1}\oplus V_{2}),$ $G$ $G\times G.$

ตัวอย่างให้ (ในที่นี้และคือหน่วยจินตนาการและรากที่สามดั้งเดิมของเอกภาพ ตามลำดับ): $i$ $\omega$

{\begin{cases}\rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )\\[6pt]\rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\omega &0\\0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}\end{cases}}

แล้ว

{\begin{cases}\rho _{1}\oplus \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}\left(\mathbb {C} ^{2}\oplus \mathbb {C} ^{3}\right)\\[6pt]\left(\rho _{1}\oplus \rho _{2}\right)(k,l)={\begin{pmatrix}\rho _{1}(k)&0\\0&\rho _{2}(l)\end{pmatrix}}&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}

เนื่องจากการพิจารณาภาพขององค์ประกอบที่สร้างขึ้นนั้นเพียงพอแล้ว เราจึงพบว่า

(\rho _{1}\oplus \rho _{2})(1,1)={\begin{pmatrix}0&-i&0&0&0\\i&0&0&0&0\\0&0&1&0&\omega \\0&0&0&\omega &0\\0&0&0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}

ผลคูณเทนเซอร์ของการแสดงแทน

ให้และ แทนเชิงเส้น เรากำหนดแทนเชิงเส้นลงในผลคูณเทนเซอร์ของและโดยที่แทนนี้เรียกว่าผลคูณเทนเซอร์ภายนอกของแทนและการมีอยู่และความเป็นเอกลักษณ์เป็นผลมาจาก คุณสมบัติของผลคูณเท น เซอร์ $\rho _{1}:G_{1}\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G_{2}\to {\text{GL}}(V_{2})$ $\rho _{1}\otimes \rho _{2}:G_{1}\times G_{2}\to {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})$ $V_{1}$ $V_{2}$ $\rho _{1}\otimes \rho _{2}(s_{1},s_{2})=\rho _{1}(s_{1})\otimes \rho _{2}(s_{2}),$ $s_{1}\in G_{1},s_{2}\in G_{2}.$ $\rho _{1}$ $\rho _{2}.$

ตัวอย่าง.เราจะทบทวนตัวอย่างที่ให้ไว้สำหรับการบวกโดยตรงอีก ครั้ง :

{\begin{cases}\rho _{1}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho _{1}(1)={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}\qquad \qquad {\begin{cases}\rho _{2}:\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{3}(\mathbb {C} )\\[6pt]\rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}1&0&\omega \\0&\omega &0\\0&0&\omega ^{2}\end{pmatrix}}\end{cases}}

ผลคูณเทนเซอร์ภายนอก

{\begin{cases}\rho _{1}\otimes \rho _{2}:\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \to {\text{GL}}(\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3})\\(\rho _{1}\otimes \rho _{2})(k,l)=\rho _{1}(k)\otimes \rho _{2}(l)&k\in \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,l\in \mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \end{cases}}

เมื่อใช้ฐานมาตรฐานเราจะได้องค์ประกอบการสร้างดังต่อไปนี้: $\mathbb {C} ^{2}\otimes \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {C} ^{6}$

\rho _{1}\otimes \rho _{2}(1,1)=\rho _{1}(1)\otimes \rho _{2}(1)={\begin{pmatrix}0&0&0&-i&0&-i\omega \\0&0&0&0&-i\omega &0\\0&0&0&0&0&-i\omega ^{2}\\i&0&i\omega &0&0&0\\0&i\omega &0&0&0&0\\0&0&i\omega ^{2}&0&0&0\end{pmatrix}}

หมายเหตุ: ผลรวมโดยตรงและผลคูณเทนเซอร์มีดีกรีต่างกัน ดังนั้นจึงเป็นการแสดงผลที่แตกต่างกัน

ให้และ เป็นตัวแทนเชิงเส้นสองแบบของกลุ่มเดียวกัน ให้เป็นสมาชิกของจากนั้นจะถูกกำหนดโดยสำหรับและเราเขียนจากนั้นแผนที่จะกำหนดตัวแทนเชิงเส้นของซึ่งเรียกว่าผลคูณเทนเซอร์ของตัวแทนที่กำหนดให้ $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})$ $s$ $G.$ $\rho (s)\in {\text{GL}}(V_{1}\otimes V_{2})$ $\rho (s)(v_{1}\otimes v_{2})=\rho _{1}(s)v_{1}\otimes \rho _{2}(s)v_{2},$ $v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2},$ $\rho (s)=\rho _{1}(s)\otimes \rho _{2}(s).$ $s\mapsto \rho (s)$ $G,$

ต้องแยกแยะสองกรณีนี้ออกจากกันอย่างเคร่งครัด กรณีแรกคือการแสดงผลคูณของกลุ่มลงในผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิการแสดงผลที่สอดคล้องกัน กรณีที่สองคือการแสดงผลคูณของกลุ่มลงในผลคูณเทนเซอร์ของปริภูมิการแสดงผลสองปริภูมิของกลุ่มเดียวกันนี้ แต่กรณีหลังนี้สามารถมองได้ว่าเป็นกรณีพิเศษของกรณีแรกโดยการพิจารณากลุ่มย่อยแนวทแยงคำจำกัดความนี้สามารถทำซ้ำได้เป็นจำนวนครั้งที่จำกัด $G$ $G\times G.$

ให้และเป็นตัวแทนของกลุ่มแล้วเป็นตัวแทนโดยอาศัยเอกลักษณ์ต่อไปนี้: ให้และให้เป็นตัวแทนบนให้เป็นตัวแทนบนและเป็นตัวแทนบนแล้วเอกลักษณ์ข้างต้นนำไปสู่ผลลัพธ์ต่อไปนี้: $V$ $W$ $G.$ ${\text{Hom}}(V,W)$ ${\text{Hom}}(V,W)=V^{*}\otimes W$ $B\in {\text{Hom}}(V,W)$ $\rho$ ${\text{Hom}}(V,W).$ $\rho _{V}$ $V$ $\rho _{W}$ $W.$

\rho (s)(B)v=\rho _{W}(s)\circ B\circ \rho _{V}(s^{-1})v

สำหรับทุกคน

s\in G,v\in V.

ทฤษฎีบท:การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ของจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม คือการแทนแบบที่และเป็นการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ของและตามลำดับ

G_{1}\times G_{2}

\rho _{1}\otimes \rho _{2}

\rho _{1}

\rho _{2}

G_{1}

G_{2},

สี่เหลี่ยมจัตุรัสสมมาตรและสลับกัน

ให้เป็นการแทนเชิงเส้นของให้เป็นฐานของกำหนดโดยการขยายเชิงเส้น จากนั้นจะเป็นไปตามเงื่อนไขและด้วยเหตุนี้ จึงแยกออกเป็นซึ่ง $\rho :G\to V\otimes V$ $G.$ $(e_{k})$ $V.$ $\vartheta :V\otimes V\to V\otimes V$ $\vartheta (e_{k}\otimes e_{j})=e_{j}\otimes e_{k}$ $\vartheta ^{2}=1$ $V\otimes V$ $V\otimes V={\text{Sym}}^{2}(V)\oplus {\text{Alt}}^{2}(V),$

{\text{Sym}}^{2}(V)=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=z\}

{\text{Alt}}^{2}(V)=\bigwedge ^{2}V=\{z\in V\otimes V:\vartheta (z)=-z\}.

ปริภูมิย่อยเหล่านี้เป็นปริภูมิไม่เปลี่ยนแปลง และด้วยเหตุนี้จึงกำหนดการแสดงแทนย่อยที่เรียกว่ากำลังสองสมมาตรและกำลังสองสลับตามลำดับ การแสดงแทนย่อยเหล่านี้ยังถูกกำหนดไว้ในปริภูมิเวกเตอร์ด้วยเช่นกัน แม้ว่าในกรณีนี้จะใช้สัญลักษณ์ผลคูณลิ่มและผลคูณสมมาตรในกรณีที่ปริภูมิเวกเตอร์โดยทั่วไปไม่เท่ากับผลรวมโดยตรงของผลคูณทั้งสองนี้ $G$ $V^{\otimes m},$ $\bigwedge ^{m}V$ ${\text{Sym}}^{m}(V).$ $m>2,$ $V^{\otimes m}$

การแยกส่วน

เพื่อให้เข้าใจการแสดงแทนได้ง่ายขึ้น การแบ่งพื้นที่การแสดงแทนออกเป็นผลรวมโดยตรงของการแสดงแทนย่อยที่ง่ายกว่าจะเป็นที่พึงปรารถนา ซึ่งสามารถทำได้สำหรับกลุ่มจำกัดดังที่เราจะเห็นในผลลัพธ์ต่อไปนี้ คำอธิบายและบทพิสูจน์โดยละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ใน ^{[ 4 ]}และ^{[ 5 ]}

ทฤษฎีบท ( Maschke )ให้เป็นการแทนเชิงเส้น โดยที่เป็นปริมาณเวกเตอร์เหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ ให้เป็น ปริมาณ ย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลง ของแล้วส่วนเติมเต็มของจะมีอยู่ในและเป็นปริมาณย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภาย ใต้การแปลง

\rho :G\to {\text{GL}}(V)

V

W

G

V.

W^{0}

W

V

G

ตัวแทนย่อยและส่วนเติมเต็มของตัวแทนย่อยนั้น กำหนดตัวแทนได้อย่างไม่ซ้ำกัน

ทฤษฎีบทต่อไปนี้จะถูกนำเสนอในรูปแบบทั่วไปมากขึ้น เนื่องจากให้ผลลัพธ์ที่สวยงามมากเกี่ยวกับการแสดงแทนของ กลุ่ม กระชับ – และด้วยเหตุนี้จึงรวมถึงกลุ่มจำกัดด้วย:

ทฤษฎีบท:การแสดงแทนเชิงเส้นทุกรูปแบบของกลุ่มกระชับเหนือฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ เป็นผลรวมโดยตรงของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้

หรือในภาษาของโมดูล: ถ้าพีชคณิตกลุ่มเป็นแบบกึ่งง่าย กล่าวคือ เป็นผลรวมโดยตรงของพีชคณิตแบบง่าย $K[G]$ ${\text{char}}(K)=0,$ $K[G]$

โปรดทราบว่าการแยกส่วนนี้ไม่มีลักษณะเฉพาะ อย่างไรก็ตาม จำนวนครั้งที่ตัวแทนย่อยที่สมมาตรกับตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ที่กำหนดไว้ปรากฏในการแยกส่วนนี้ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกวิธีการแยกส่วน

การแยกส่วนแบบแคนอนิก

เพื่อให้ได้การแยกส่วนที่ไม่ซ้ำกัน จำเป็นต้องรวมส่วนย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดที่สมมาตรกัน นั่นหมายความว่า พื้นที่การแสดงแทนจะถูกแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของไอโซไทป์ การแยกส่วนนี้ถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน เรียกว่าการแยกส่วนแบบแคนอนิก

ให้เป็นเซตของการแสดงแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดของกลุ่มจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม ให้เป็นการแสดงแทนของและให้เป็นเซตของไอโซไทป์ทั้งหมดของการฉายภาพที่สอดคล้องกับการแยกส่วนแบบแคนอนิกกำหนดโดย $(\tau _{j})_{j\in I}$ $G$ $V$ $G$ $\{V(\tau _{j})|j\in I\}$ $V.$ $p_{j}:V\to V(\tau _{j})$

p_{j}={\frac {n_{j}}{g}}\sum _{t\in G}{\overline {\chi _{\tau _{j}}(t)}}\rho (t),

และตัวละครนั้นเป็นของใคร $n_{j}=\dim(\tau _{j}),$ $g={\text{ord}}(G)$ $\chi _{\tau _{j}}$ $\tau _{j}.$

ต่อไปนี้ เราจะแสดงวิธีการกำหนดไอโซไทป์ให้กับตัวแทนแบบไม่สำคัญ:

นิยาม (สูตรการฉายภาพ)สำหรับการแสดงแทนกลุ่ม ทุกแบบ เรากำหนดนิยามดังนี้ $(\rho ,V)$ $G$

V^{G}:=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\,\forall \,s\in G\}.

โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่เชิงเส้น เรากำหนด $\rho (s):V\to V$ $G$

P:={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\rho (s)\in {\text{End}}(V).

ดังนั้น จึงเป็นแผนที่เชิงเส้น เพราะว่า $P$ $G$

\forall t\in G:\qquad \sum _{s\in G}\rho (s)=\sum _{s\in G}\rho (tst^{-1}).

ข้อเสนอ.แผนที่นี้เป็นการฉายภาพจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

P

V

V^{G}.

ข้อเสนอแนะนี้ทำให้เราสามารถระบุไอโซไทป์ของส่วนย่อยที่ไม่สำคัญของการแทนที่กำหนดได้อย่างชัดเจน

ความถี่ ของการเกิดการแสดงแทนแบบไม่สำคัญนั้นกำหนดโดยผลลัพธ์นี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าค่าลักษณะเฉพาะของการฉายภาพมีเพียงหรือและปริภูมิลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกับค่าลักษณะเฉพาะนั้นคือภาพของการฉายภาพ เนื่องจากร่องรอยของการฉายภาพคือผลรวมของค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมด เราจึงได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้ $V$ ${\text{Tr}}(P).$ $0$ $1$ $1$

\dim(V(1))=\dim(V^{G})=Tr(P)={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\chi _{V}(s),

ซึ่งหมายถึงไอโซไทป์ของการแสดงแทนแบบไม่สำคัญ $V(1)$

ให้เป็นการแทนแบบไม่ลดทอนได้ที่ไม่ใช่แบบธรรมดาของแล้วไอโซไทป์ของการแทนแบบธรรมดาของคือปริภูมิว่าง นั่นหมายความว่าสมการต่อไปนี้เป็นจริง $V_{\pi }$ $G.$ $\pi$

P={\frac {1}{|G|}}\sum _{s\in G}\pi (s)=0.

ให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของแล้วเราจะได้ว่า: $e_{1},...,e_{n}$ $V_{\pi }.$

\sum _{s\in G}{\text{Tr}}(\pi (s))=\sum _{s\in G}\sum _{j=1}^{n}\langle \pi (s)e_{j},e_{j}\rangle =\sum _{j=1}^{n}\left\langle \sum _{s\in G}\pi (s)e_{j},e_{j}\right\rangle =0.

ดังนั้น ข้อความต่อไปนี้จึงใช้ได้กับการแสดงแทนแบบไม่ลดทอนที่ไม่ใช่แบบธรรมดา: $V$

\sum _{s\in G}\chi _{V}(s)=0.

ตัวอย่างให้เป็นกลุ่มการเรียงสับเปลี่ยนที่มีสามองค์ประกอบ ให้เป็นการแสดงเชิงเส้นของที่กำหนดบนองค์ประกอบที่สร้างขึ้นดังต่อไปนี้: $G={\text{Per}}(3)$ $\rho :{\text{Per}}(3)\to {\text{GL}}_{5}(\mathbb {C} )$ ${\text{Per}}(3)$

\rho (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0&0\\{\frac {1}{2}}&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\\0&0&1&0&0\end{pmatrix}},\quad \rho (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2&0&0&0\\-{\frac {1}{2}}&0&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.

เมื่อพิจารณาในเบื้องต้น การแสดงผลนี้สามารถแยกออกเป็นการแสดงผลแบบซ้ายปกติซึ่งจะใช้สัญลักษณ์ แทนในที่นี้ และการแสดงผลที่มี ${\text{Per}}(3),$ $\pi$ $\eta :{\text{Per}}(3)\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$

\eta (1,2)={\begin{pmatrix}-1&2\\0&1\end{pmatrix}},\quad \eta (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-1\end{pmatrix}},\quad \eta (2,3)={\begin{pmatrix}0&-2\\-{\frac {1}{2}}&0\end{pmatrix}}.

ด้วยความช่วยเหลือจากเกณฑ์ความไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งนำมาจากบทถัดไป เราจะตระหนักได้ว่า นั้นไม่สามารถลดทอนได้ แต่นั้นไม่ใช่ เนื่องจาก (ในแง่ของผลคูณภายในจากหัวข้อ“ผลคูณภายในและลักษณะเฉพาะ”ด้านล่าง) เรามี $\eta$ $\pi$ $(\eta |\eta )=1,(\pi |\pi )=2.$

ปริภูมิย่อยของ นั้นไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเทียบกับการแสดงแทนแบบซ้ายปกติ เมื่อจำกัดให้อยู่ในปริภูมิย่อยนี้ เราจะได้การแสดงแทนแบบไม่สำคัญ $\mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})$ $\mathbb {C} ^{3}$

ส่วนเติมเต็มเชิงตั้งฉากของคือเมื่อจำกัดอยู่ในปริภูมิย่อยนี้ ซึ่งก็คือปริภูมิที่ไม่เปลี่ยนแปลงดังที่เราได้เห็นข้างต้น เราจะได้การแสดงแทนที่กำหนดโดย $\mathbb {C} (e_{1}+e_{2}+e_{3})$ $\mathbb {C} (e_{1}-e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{1}+e_{2}-2e_{3}).$ $G$ $\tau$

\tau (1,2)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \tau (1,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{2}}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}},\quad \tau (2,3)={\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {3}{2}}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{pmatrix}}.

อีกครั้ง เราสามารถใช้เกณฑ์ความไม่สามารถลดทอนได้ในบทถัดไปเพื่อพิสูจน์ว่าไม่สามารถลดทอนได้และเป็นไอโซมอร์ฟิกกันเพราะสำหรับทุกใน ซึ่งกำหนดโดยเมทริกซ์ $\tau$ $\eta$ $\tau$ $\eta (s)=B\circ \tau (s)\circ B^{-1}$ $s\in {\text{Per}}(3),$ $B:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{2}$

M_{B}={\begin{pmatrix}2&2\\0&2\end{pmatrix}}.

การแยกส่วนของออกเป็นส่วนย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้คือ: โดยที่หมายถึงการแสดงแทนแบบไม่สำคัญ และ $(\rho ,\mathbb {C} ^{5})$ $\rho =\tau \oplus \eta \oplus 1$ $1$

\mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2})\oplus \mathbb {C} (e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5})

คือการแบ่งส่วนที่สอดคล้องกันของพื้นที่การแสดงผล

เราได้การแยกส่วนแบบแคนอนิกโดยการรวมตัวแทนย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิกทั้งหมดเข้าด้วยกัน: คือไอโซไทป์ของและด้วยเหตุนี้ การแยกส่วนแบบแคนอนิกจึงกำหนดโดย $\rho _{1}:=\eta \oplus \tau$ $\tau$ $\rho$

\rho =\rho _{1}\oplus 1,\qquad \mathbb {C} ^{5}=\mathbb {C} (e_{1},e_{2},e_{3}-e_{4},e_{3}+e_{4}-2e_{5})\oplus \mathbb {C} (e_{3}+e_{4}+e_{5}).

โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบทข้างต้นใช้ไม่ได้กับกลุ่มอนันต์ ตัวอย่างต่อไปนี้จะแสดงให้เห็น: ให้

G=\{A\in {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )|\,A\,\,{\text{ is an upper triangular matrix}}\}.

การคูณเมทริกซ์ร่วมกับกลุ่มอนันต์นั้นกระทำโดยการคูณเมทริกซ์กับเวกเตอร์ เราพิจารณาการแสดงแทนสำหรับทุกๆปริภูมิย่อยนี้เป็นปริภูมิย่อยที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ - อย่างไรก็ตาม ไม่มีส่วนเติมเต็มที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ - สำหรับปริภูมิย่อยนี้ สมมติฐานที่ว่ามีส่วนเติมเต็มดังกล่าวอยู่จะหมายความว่าทุกเมทริกซ์สามารถทำให้เป็น เมทริก ซ์ทแยงมุมได้เหนือซึ่งเป็นที่ทราบกันดีว่าผิดและทำให้เกิดข้อขัดแย้ง $G$ $G$ $\mathbb {C} ^{2}$ $\rho (A)=A$ $A\in G.$ $\mathbb {C} e_{1}$ $G$ $G$ $\mathbb {C} .$

ข้อคิดจากเรื่องนี้คือ หากเราพิจารณากลุ่มอนันต์ จะเห็นได้ว่ามีความเป็นไปได้ที่การแทนค่า – แม้แต่การแทนค่าที่ไม่สามารถลดทอนไม่ได้ – ก็อาจไม่สามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของการแทนค่าย่อยที่ไม่สามารถลดทอนได้

ทฤษฎีตัวละคร

คำจำกัดความ

ลักษณะของการแสดงผล ถูกกำหนด โดยแผนที่ $\rho :G\to {\text{GL}}(V)$

\chi _{\rho }:G\to \mathbb {C} ,\chi _{\rho }(s):={\text{Tr}}(\rho (s)),

ซึ่งแสดงถึงร่องรอยของแผนที่เชิงเส้น^[⁶^]

{\text{Tr}}(\rho (s))

\rho (s).

แม้ว่าอักขระดังกล่าวจะเป็นแผนที่ระหว่างสองกลุ่ม แต่โดยทั่วไปแล้วมันไม่ใช่โฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มดังตัวอย่างต่อไปนี้แสดงให้เห็น

ให้แทนที่กำหนดโดย: $\rho :\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )$

\rho (0,0)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad \rho (1,0)={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad \rho (0,1)={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \rho (1,1)={\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}}.

ตัวละครนี้ได้รับมอบโดย $\chi _{\rho }$

\chi _{\rho }(0,0)=2,\quad \chi _{\rho }(1,0)=-2,\quad \chi _{\rho }(0,1)=\chi _{\rho }(1,1)=0.

อักขระของการแสดงแทนแบบเรียงสับเปลี่ยนนั้นคำนวณได้ง่ายเป็นพิเศษ ถ้าVคือ การแสดงแทน แบบ Gที่สอดคล้องกับการกระทำทางซ้ายของบนเซตจำกัดแล้ว $G$ $X$

\chi _{V}(s)=|\{x\in X|s\cdot x=x\}|.

ตัวอย่างเช่น^{[ 7 ]}ลักษณะของการแสดงปกติ จะกำหนดโดย $R$

\chi _{R}(s)={\begin{cases}0&s\neq e\\|G|&s=e\end{cases}},

โดยที่หมายถึงองค์ประกอบที่เป็นกลางของ $e$ $G.$

คุณสมบัติ

คุณสมบัติที่สำคัญอย่างหนึ่งของตัวละครคือสูตร

\chi (tst^{-1})=\chi (s),\,\,\forall \,s,t\in G.

สูตรนี้ได้มาจากข้อเท็จจริงที่ว่าร่องรอยของผลคูณABของเมทริกซ์จัตุรัสสองเมทริกซ์นั้นเหมือนกับร่องรอยของBAฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสูตรดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันชั้นกล่าวอีกนัยหนึ่ง ฟังก์ชันชั้นและโดยเฉพาะอย่างยิ่งอักขระนั้นคงที่ในแต่ละชั้นสมมูล นอกจากนี้ยังเป็นผลมาจากคุณสมบัติพื้นฐานของร่องรอยที่ว่าคือผลรวมของ ค่า ลักษณะเฉพาะของที่มีความซ้ำซ้อน ถ้าดีกรีของการแทนค่าคือnผลรวมจะ มีค่าเท่ากับ nถ้าsมีอันดับmค่าลักษณะเฉพาะเหล่านี้ทั้งหมดจะเป็น ราก ที่m ของเอกภาพข้อเท็จจริงนี้สามารถใช้เพื่อแสดงว่าและยังหมายความว่า $G\to \mathbb {C}$ $C_{s}=\{tst^{-1}|t\in G\}.$ $\chi (s)$ $\rho (s)$ $\chi (s^{-1})={\overline {\chi (s)}},\,\,\,\forall \,s\in G$ $|\chi (s)|\leqslant n.$

เนื่องจากร่องรอยของเมทริกซ์เอกลักษณ์คือจำนวนแถวโดยที่คือองค์ประกอบที่เป็นกลางของและnคือมิติของการแสดงแทน โดยทั่วไปแล้วเป็นกลุ่มย่อยปกติใน ตารางต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าอักขระของการแสดงแทนสองแบบที่กำหนด ให้ก่อให้เกิดอักขระของการแสดงแทนที่เกี่ยวข้องกัน ได้อย่างไร $\chi (e)=n,$ $e$ $G$ $\{s\in G|\chi (s)=n\}$ $G.$ $\chi _{1},\chi _{2}$ $\rho _{1}:G\to {\text{GL}}(V_{1}),\rho _{2}:G\to {\text{GL}}(V_{2})$

อักขระของโครงสร้างมาตรฐานหลายแบบ
การเป็นตัวแทน	อักขระ
การแสดงผลแบบคู่ $V_{1}^{*}$	$\chi _{1}^{*}={\overline {\chi _{1}}}.$
ผลรวมโดยตรง $V_{1}\oplus V_{2}$	$\chi _{1}+\chi _{2}.$
ผลคูณเทนเซอร์ของตัวแทน $V_{1}\otimes V_{2}$	$\chi _{1}\chi _{2}.$
สี่เหลี่ยมจัตุรัสสมมาตร $Sym^{2}(V)$	${\tfrac {1}{2}}\left(\chi (s)^{2}+\chi (s^{2})\right)$
สี่เหลี่ยมสลับกัน $\bigwedge ^{2}V$	${\tfrac {1}{2}}\left(\chi (s)^{2}-\chi (s^{2})\right)$

โดยโครงสร้างแล้ว จะมีการแยกส่วนผลรวมโดยตรงของบนตัวอักษร สิ่งนี้สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่า ผลรวมของนิพจน์สองตัวสุดท้ายในตารางคือ ซึ่งเป็นตัวอักษรของ $V\otimes V=Sym^{2}(V)\oplus \bigwedge ^{2}V$ $\chi (s)^{2}$ $V\otimes V$

ผลิตภัณฑ์ภายในและตัวละคร

เพื่อแสดงผลลัพธ์ที่น่าสนใจเป็นพิเศษเกี่ยวกับลักษณะเฉพาะ จึงควรพิจารณาฟังก์ชันประเภททั่วไปบนกลุ่มต่างๆ:

นิยาม (ฟังก์ชันชั้น)ฟังก์ชัน เรียกว่าฟังก์ชันชั้นถ้าฟังก์ชันนั้นมีค่าคงที่บนชั้นสมมูลของเช่น $\varphi :G\to \mathbb {C}$ $G$

\forall s,t\in G:\quad \varphi \left(sts^{-1}\right)=\varphi (t).

โปรดทราบว่าอักขระทุกตัวเป็นฟังก์ชันของคลาส เนื่องจากร่องรอยของเมทริกซ์ยังคงอยู่ภายใต้การผันแปร

เซตของฟังก์ชันชั้นทั้งหมดเป็นพีชคณิต และใช้สัญลักษณ์ แทนด้วยมิติของเซตนี้เท่ากับจำนวนชั้นสมมูลของ $\mathbb {C}$ $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ $G.$

หลักฐานของผลลัพธ์ต่อไป นี้ ในบทนี้สามารถพบได้ใน^{[ 8 ]} , ^{[ 9 ]}และ^{[ 10 ]}

สามารถกำหนด ผลคูณภายในบนเซตของฟังก์ชันชั้นทั้งหมดบนกลุ่มจำกัดได้:

(f|h)_{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}

คุณสมบัติเชิงตั้งฉากปกติ (Orthonormal property)ถ้า เป็นอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ที่แตกต่างกันของ พวกมันจะก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉากปกติสำหรับปริภูมิเวกเตอร์ของฟังก์ชันคลาสทั้งหมดโดยสัมพันธ์กับผลคูณภายในที่กำหนดไว้ข้างต้น กล่าวคือ $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$ $G$

$(\chi _{i}|\chi _{j})={\begin{cases}1{\text{ if }}i=j\\0{\text{ otherwise }}\end{cases}}.$
ฟังก์ชันของแต่ละคลาสสามารถแสดงได้ในรูปของการรวมเชิงเส้นที่ไม่ซ้ำกันของอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ $f$ $\chi _{1},\ldots ,\chi _{k}$

เราอาจตรวจสอบได้ว่าอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้นั้นสร้างขึ้นโดยการแสดงให้เห็นว่าไม่มีฟังก์ชันคลาสที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งตั้งฉากกับอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมด สำหรับการแสดงแทนและฟังก์ชันคลาส ให้กำหนดจากนั้นสำหรับอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ เราจะได้จากทฤษฎีบทของ Schurสมมติว่าเป็นฟังก์ชันคลาสซึ่งตั้งฉากกับอักขระทั้งหมด จากนั้นโดยข้างต้นเราจะได้เมื่อใดก็ตามที่ไม่สามารถลดทอนได้ แต่จากนั้นจะตามมาว่าสำหรับทุก ๆโดยการแยกส่วนได้ ให้เป็นการแสดงแทนปกติ เมื่อนำไปใช้กับองค์ประกอบฐานเฉพาะบางอย่างเราจะได้เนื่องจากสิ่งนี้เป็นจริงสำหรับทุก ๆเราจึงมี $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ $\rho$ $f$ $\rho _{f}=\sum _{g}f(g)\rho (g).$ $\rho$ $\rho _{f}={\frac {|G|}{n}}\langle f,\chi _{V}^{*}\rangle \in End(V)$ $f$ $\rho _{f}=0$ $\rho$ $\rho _{f}=0$ $\rho$ $\rho$ $\rho _{f}$ $g$ $f(g)=0$ $g$ $f=0.$

จากคุณสมบัติเชิงตั้งฉากปกติ จะได้ว่าจำนวนของการแสดงแทนแบบไม่สมมาตรที่ไม่สามารถลดทอนได้ของกลุ่มหนึ่งจะเท่ากับจำนวนของชั้นสมมูลของ กลุ่มนั้น $G$ $G.$

นอกจากนี้ ฟังก์ชันคลาสบนจะเป็นอักขระของก็ต่อเมื่อสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ที่แตกต่างกันโดยมีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ: ถ้าเป็นฟังก์ชันคลาสบนโดยที่โดยที่เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ แล้วจะเป็นอักขระของผลรวมโดยตรงของการแสดงแทนที่สอดคล้องกับ ในทางกลับกัน เป็นไปได้เสมอที่จะเขียนอักขระใดๆ ในรูปผลรวมของอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ $G$ $G$ $\chi _{j}$ $\varphi$ $G$ $\varphi =c_{1}\chi _{1}+\cdots +c_{k}\chi _{k}$ $c_{j}$ $\varphi$ $c_{1}\tau _{1}\oplus \cdots \oplus c_{k}\tau _{k}$ $\tau _{j}$ $\chi _{j}.$

ผลคูณภายในที่นิยามไว้ข้างต้นสามารถขยายไปยังเซตของฟังก์ชันที่มีค่าเป็นบนกลุ่มจำกัดได้: $\mathbb {C}$ $L^{1}(G)$

(f|h)_{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t){\overline {h(t)}}

รูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรสามารถกำหนดได้บน $L^{1}(G):$

\langle f,h\rangle _{G}={\frac {1}{|G|}}\sum _{t\in G}f(t)h(t^{-1})

แบบฟอร์มทั้งสองนี้ตรงกันในส่วนของชุดตัวอักษร หากไม่มีความเสี่ยงที่จะเกิดความสับสน ดัชนีของทั้งสองแบบฟอร์มจะถูกละเว้น $(\cdot |\cdot )_{G}$ $\langle \cdot |\cdot \rangle _{G}$

ให้และ เป็นโมดูลสองตัวโปรดสังเกตว่าโมดูล เป็นเพียงการแทนของเนื่องจากคุณสมบัติเชิงตั้งฉากปกติทำให้จำนวนการแทนแบบลดทอนไม่ได้ของเท่ากับจำนวนชั้นสมมูลของมันพอดี ดังนั้นจึงมีโมดูล ที่เรียบง่าย (โดยไม่คำนึงถึงไอโซมอร์ฟิซึม) เท่ากับจำนวนชั้นสมมูลของ $V_{1},V_{2}$ $\mathbb {C} [G]$ $\mathbb {C} [G]$ $G$ $G$ $\mathbb {C} [G]$ $G.$

เรากำหนดซึ่งเป็นปริมาณเวกเตอร์ของแผนที่เชิงเส้นทั้งหมด รูปแบบนี้เป็นแบบทวิเชิงเส้นเมื่อเทียบกับผลรวมโดยตรง $\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}:=\dim({\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})),$ ${\text{Hom}}^{G}(V_{1},V_{2})$ $G$

ต่อไปนี้ รูปแบบทวิเชิงเส้นเหล่านี้จะช่วยให้เราได้ผลลัพธ์ที่สำคัญบางประการเกี่ยวกับการแยกส่วนและการลดทอนไม่ได้ของตัวแทน

ตัวอย่างเช่น ให้และเป็นอักขระของและตามลำดับ แล้ว $\chi _{1}$ $\chi _{2}$ $V_{1}$ $V_{2},$ $\langle \chi _{1},\chi _{2}\rangle _{G}=(\chi _{1}|\chi _{2})_{G}=\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}.$

จากผลลัพธ์ข้างต้น สามารถอนุมานทฤษฎีบทต่อไปนี้ได้ พร้อมกับเลมมาของ Schur และความสามารถในการลดรูปอย่างสมบูรณ์ของการแสดงแทน

ทฤษฎีบทให้เป็นการแทนเชิงเส้นของ ที่มีลักษณะ เฉพาะ ให้โดยที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ ให้เป็นการแทนแบบแยกตัวประกอบไม่ได้ของที่มีลักษณะเฉพาะแล้วจำนวนของการแทนย่อยที่สม isomorphic กับจะไม่ขึ้นอยู่กับการแยกตัวประกอบที่กำหนด และเท่ากับผลคูณภายในกล่าวคือไอโซไทป์ของจะไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกการแยกตัวประกอบ นอกจากนี้เรายังได้:

V

G

\xi .

V=W_{1}\oplus \cdots \oplus W_{k},

W_{j}

(\tau ,W)

G

\chi .

W_{j}

W

(\xi |\chi ),

\tau

V(\tau )

V

(\xi |\chi )={\frac {\dim(V(\tau ))}{\dim(\tau )}}=\langle V,W\rangle

และด้วยเหตุนี้

\dim(V(\tau ))=\dim(\tau )(\xi |\chi ).

บทสรุป.การแสดงผลสองแบบที่มีลักษณะเดียวกันจะสมมาตรกัน ซึ่งหมายความว่าการแสดงผลทุกแบบถูกกำหนดโดยลักษณะเฉพาะของมัน

ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้ผลลัพธ์ที่มีประโยชน์มากในการวิเคราะห์การแสดงแทน:

เกณฑ์ความไม่สามารถลดทอนได้ให้เป็นลักษณะเฉพาะของการแทนแล้วเราจะได้ว่ากรณีนี้เกิดขึ้นก็ต่อเมื่อสามารถลดทอนไม่ได้ $\chi$ $V,$ $(\chi |\chi )\in \mathbb {N} _{0}.$ $(\chi |\chi )=1$ $V$

ดังนั้น โดยใช้ทฤษฎีบทแรก อักขระของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของจะก่อให้เกิดเซตเชิงตั้งฉากปกติบนโดยสัมพันธ์กับผลคูณภายในนี้ $G$ $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$

บทสรุป.ให้เป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ที่กำหนดของจะถูกบรรจุอยู่ในการแทนแบบปกติครั้ง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ถ้าแทนการแทนแบบปกติของแล้วเราจะได้ว่า: โดยที่คือเซตของการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดของ ที่ไม่สมมาตรกันเป็นคู่ๆ

V

\dim(V)=n.

V

G

n

R

G

R\cong \oplus (W_{j})^{\oplus \dim(W_{j})},

\{W_{j}|j\in I\}

G

ในแง่ของพีชคณิตกลุ่ม หมายความว่าเป็นพีชคณิต $\mathbb {C} [G]\cong \oplus _{j}{\text{End}}(W_{j})$

ผลลัพธ์เชิงตัวเลขที่ได้คือ:

|G|=\chi _{R}(e)=\dim(R)=\sum _{j}\dim \left((W_{j})^{\oplus (\chi _{W_{j}}|\chi _{R})}\right)=\sum _{j}(\chi _{W_{j}}|\chi _{R})\cdot \dim(W_{j})=\sum _{j}\dim(W_{j})^{2},

โดยที่คือการแสดงแบบปกติ และและคืออักขระที่สอดคล้องกับและตามลำดับ โปรดจำไว้ว่าแทนองค์ประกอบที่เป็นกลางของกลุ่ม $R$ $\chi _{W_{j}}$ $\chi _{R}$ $W_{j}$ $R,$ $e$

สูตรนี้เป็นเงื่อนไข "จำเป็นและเพียงพอ" สำหรับปัญหาการจำแนกประเภทการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของกลุ่มจนถึงระดับไอโซมอร์ฟิซึม มันช่วยให้เราตรวจสอบได้ว่าเราพบชั้นไอโซมอร์ฟิซึมทั้งหมดของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของกลุ่มแล้วหรือไม่

ในทำนองเดียวกัน โดยใช้ลักษณะของการแสดงผลแบบปกติที่ประเมิน ณ จุดนั้นเราจะได้สมการดังนี้: $s\neq e,$

0=\chi _{R}(s)=\sum _{j}\dim(W_{j})\cdot \chi _{W_{j}}(s).

โดยใช้คำอธิบายของการแสดงแทนผ่านพีชคณิตการสังเคราะห์ เราจะได้สูตรที่เทียบเท่ากันของสมการเหล่านี้:

สูตรการผกผันฟูริเยร์ :

f(s)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho {\text{ irr. rep. of }}G}\dim(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}(\rho (s^{-1})\cdot {\hat {f}}(\rho )).

นอกจากนี้สูตรของ Plancherelยังใช้ได้กับ:

\sum _{s\in G}f(s^{-1})h(s)={\frac {1}{|G|}}\sum _{\rho \,\,{\text{ irred.}}{\text{ rep.}}{\text{ of }}G}\dim(V_{\rho })\cdot {\text{Tr}}({\hat {f}}(\rho ){\hat {h}}(\rho )).

ในสูตรทั้งสองนั้นมีการแสดงกลุ่มในเชิงเส้นและ $(\rho ,V_{\rho })$ $G,s\in G$ $f,h\in L^{1}(G).$

ข้อสรุปข้างต้นมีผลสืบเนื่องเพิ่มเติมอีกประการหนึ่ง:

บทตั้ง.ให้เป็นกลุ่ม แล้วข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:

G

$G$ เป็นกลุ่มอาเบเลียน
ฟังก์ชันทุกฟังก์ชันบนนั้นเป็นฟังก์ชันของคลาส $G$
ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดของมีดีกรี $G$ $1.$

การแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำ

ดังที่แสดงไว้ในส่วนเกี่ยวกับคุณสมบัติของการแทนเชิงเส้นเราสามารถสร้างการแทนของกลุ่มย่อยโดยเริ่มจากการแทนของกลุ่มได้โดยการจำกัด แน่นอนว่าเราสนใจกระบวนการย้อนกลับ: เป็นไปได้หรือไม่ที่จะสร้างการแทนของกลุ่มโดยเริ่มจากการแทนของกลุ่มย่อย? เราจะเห็นว่าการแทนแบบเหนี่ยวนำที่กำหนดไว้ด้านล่างนี้ให้แนวคิดที่จำเป็นแก่เรา ยอมรับว่าการสร้างนี้ไม่ใช่การผกผัน แต่เป็นการผกผันแบบผกผันกับการจำกัด

คำจำกัดความ

ให้เป็นการแทนเชิงเส้นของให้เป็นกลุ่มย่อย และเป็นการจำกัด ให้เป็นการแทนย่อยของเราเขียนเพื่อแสดงถึงการแทนนี้ ให้ปริมาณเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับโคเซตซ้ายของ เท่านั้น ให้เป็นระบบตัวแทนของแล้ว $\rho :G\to {\text{GL}}(V_{\rho })$ $G.$ $H$ $\rho |_{H}$ $W$ $\rho _{H}.$ $\theta :H\to {\text{GL}}(W)$ $s\in G.$ $\rho (s)(W)$ $sH$ $s.$ $R$ $G/H,$

\sum _{r\in R}\rho (r)(W)

เป็นการแสดงย่อยของ $V_{\rho }.$

การแทนของin เรียกว่าถูกเหนี่ยวนำโดยการแทนของin ถ้า $\rho$ $G$ $V_{\rho }$ $\theta$ $H$ $W,$

V_{\rho }=\bigoplus _{r\in R}W_{r}.

ที่นี่สำหรับทุกคนและสำหรับทุกคนกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ การแสดงแทนนั้นเกิดขึ้นจากถ้าทุกสิ่งสามารถเขียนได้อย่างไม่ซ้ำกันดังนี้ $W_{r}=\rho (s)(W)$ $s\in rH$ $r\in R.$ $(\rho ,V_{\rho })$ $(\theta ,W),$ $v\in V_{\rho }$

\sum _{r\in R}w_{r},

ที่ซึ่งสำหรับทุกๆ $w_{r}\in W_{r}$ $r\in R.$

เราใช้สัญลักษณ์แทนการแทนของซึ่งเกิดจากการแทนของว่าหรือเรียกสั้นๆ ว่าถ้าไม่มีอันตรายจากการสับสน พื้นที่การแทนนั้นเองมักถูกใช้แทนแผนที่การแทน เช่นหรือถ้าการแทนนั้นเกิดจากการแทน $\rho$ $G$ $\theta$ $H$ $\rho ={\text{Ind}}_{H}^{G}(\theta ),$ $\rho ={\text{Ind}}(\theta ),$ $V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W),$ $V={\text{Ind}}(W),$ $V$ $W.$

คำอธิบายทางเลือกของการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำ

โดยการใช้พีชคณิตกลุ่มเราจะได้คำอธิบายทางเลือกของการแทนแบบเหนี่ยวนำ:

ให้เป็นกลุ่ม, เป็น–โมดูล และเป็น–โมดูลย่อยของที่สอดคล้องกับกลุ่มย่อยของเรากล่าวว่าถูกเหนี่ยวนำโดยถ้าโดยที่กระทำต่อปัจจัยแรก: สำหรับทุก $G$ $V$ $\mathbb {C} [G]$ $W$ $\mathbb {C} [H]$ $V$ $H$ $G.$ $V$ $W$ $V=\mathbb {C} [G]\otimes _{\mathbb {C} [H]}W,$ $G$ $s\cdot (e_{t}\otimes w)=e_{st}\otimes w$ $s,t\in G,w\in W.$

คุณสมบัติ

ผลลัพธ์ที่นำเสนอในส่วนนี้จะถูกนำเสนอโดยไม่มีการพิสูจน์ สามารถพบได้ใน ^{[ 11 ]}และ^{[ 12 ]}

ความเป็นเอกลักษณ์และการมีอยู่ของการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำ ให้เป็นการแสดงแทนเชิงเส้นของกลุ่มย่อยของแล้วจะมีการแสดงแทนเชิงเส้นของซึ่งเหนี่ยวนำโดยสังเกตว่าการแสดงแทนนี้มีความเป็นเอกลักษณ์จนถึงระดับไอโซมอร์ฟิซึม

(\theta ,W_{\theta })

H

G.

(\rho ,V_{\rho })

G,

(\theta ,W_{\theta }).

คุณสมบัติการถ่ายทอดของการอุปมานให้เป็นการแทนของและให้เป็นอนุกรมที่เพิ่มขึ้นของกลุ่ม แล้วเราจะได้ว่า

W

H

H\leq G\leq K

{\text{Ind}}_{G}^{K}({\text{Ind}}_{H}^{G}(W))\cong {\text{Ind}}_{H}^{K}(W).

บทตั้ง.ให้ถูกสร้างขึ้นโดยและให้เป็นการแสดงเชิงเส้นของทีนี้ให้เป็นแผนที่เชิงเส้นที่สอดคล้องกับคุณสมบัติที่ว่าสำหรับทุกแล้วจะมีแผนที่เชิงเส้นที่กำหนดอย่างเป็นเอกลักษณ์ซึ่งขยายและสำหรับ ซึ่งใช้ได้สำหรับทุก

(\rho ,V_{\rho })

(\theta ,W_{\theta })

\rho ':G\to {\text{GL}}(V')

G.

F:W_{\theta }\to V'

F\circ \theta (t)=\rho '(t)\circ F

t\in G.

F':V_{\rho }\to V',

F

F'\circ \rho (s)=\rho '(s)\circ F'

s\in G.

นี่หมายความว่า ถ้าเราตีความว่าเป็นโมดูล เราจะได้โดยที่คือปริมาณเวกเตอร์ของโฮโมมอร์ฟิซึมทั้งหมดของจาก ไปยังเช่นเดียวกันนี้ก็ใช้ได้กับ $V'$ $\mathbb {C} [G]$ ${\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V')\cong {\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V'),$ ${\text{Hom}}^{G}(V_{\rho },V')$ $\mathbb {C} [G]$ $V_{\rho }$ $V'.$ ${\text{Hom}}^{H}(W_{\theta },V').$

การอุปมานเกี่ยวกับฟังก์ชันชั้น ในทำนองเดียวกับที่ทำกับตัวแทน เราสามารถใช้การอุปมานเพื่อหาฟังก์ชันชั้นบนกลุ่มจากฟังก์ชันชั้นบนกลุ่มย่อยได้ ให้เป็นฟังก์ชันชั้นบนเรากำหนดฟังก์ชันบนโดย $\varphi$ $H.$ $\varphi '$ $G$

\varphi '(s)={\frac {1}{|H|}}\sum _{t\in G \atop t^{-1}st\in H}^{}\varphi (t^{-1}st).

เรากล่าวว่าถูกเหนี่ยวนำโดยและเขียนหรือ $\varphi '$ $\varphi$ ${\text{Ind}}_{H}^{G}(\varphi )=\varphi '$ ${\text{Ind}}(\varphi )=\varphi '.$

ข้อเสนอ.ฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันคลาสบนถ้าเป็นอักขระของการแสดงแทนของแล้วเป็นอักขระของการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำของ

{\text{Ind}}(\varphi )

G.

\varphi

W

H,

{\text{Ind}}(\varphi )

{\text{Ind}}(W)

G.

บทตั้ง.ถ้าเป็นฟังก์ชันคลาสบนและเป็นฟังก์ชันคลาสบนแล้วเราจะได้ว่า:

\psi

H

\varphi

G,

{\text{Ind}}(\psi \cdot {\text{Res}}\varphi )=({\text{Ind}}\psi )\cdot \varphi .

ทฤษฎีบท.ให้เป็นการแทนของที่เกิดจากการแทนของกลุ่มย่อย ให้และเป็นอักขระที่สอดคล้องกัน ให้เป็นระบบแทนของอักขระที่เกิดจากการแทนจะกำหนดโดย

(\rho ,V_{\rho })

G

(\theta ,W_{\theta })

H.

\chi _{\rho }

\chi _{\theta }

R

G/H.

\forall t\in G:\qquad \chi _{\rho }(t)=\sum _{r\in R, \atop r^{-1}tr\in H}^{}\chi _{\theta }(r^{-1}tr)={\frac {1}{|H|}}\sum _{s\in G, \atop s^{-1}ts\in H}^{}\chi _{\theta }(s^{-1}ts).

การแลกเปลี่ยนแบบฟรอเบนิอุส

โดยสรุปเบื้องต้น บทเรียนที่ได้จากหลักการแลกเปลี่ยนของฟรอเบนิอุสคือ แผนที่และเป็น แผนที่ ที่อยู่ติดกัน ${\text{Res}}$ ${\text{Ind}}$

ให้เป็นตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของและให้เป็นตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของแล้วหลักการแลกเปลี่ยนแบบฟรอเบนิอุสบอกเราว่ามีอยู่ในบ่อยเท่ากับมีอยู่ใน $W$ $H$ $V$ $G,$ $W$ ${\text{Res}}(V)$ ${\text{Ind}}(W)$ $V.$

หลักการแลกเปลี่ยนแบบฟรอเบนิอุสถ้าและเรามี

\psi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(H)

\varphi \in \mathbb {C} _{\text{class}}(G)

\langle \psi ,{\text{Res}}(\varphi )\rangle _{H}=\langle {\text{Ind}}(\psi ),\varphi \rangle _{G}.

ข้อความนี้ใช้ได้กับผลคูณภายใน ด้วยเช่น กัน

เกณฑ์ความไม่สามารถลดทอนได้ของแม็กกี้

จอร์จ แม็กกีย์ได้กำหนดเกณฑ์เพื่อตรวจสอบว่าการแทนแบบเหนี่ยวนำนั้นไม่สามารถลดทอนได้อีกต่อไป สำหรับการนี้ เราจำเป็นต้องมีคำจำกัดความและข้อกำหนดบางประการเกี่ยวกับสัญลักษณ์ก่อน

ตัวแทนสองแบบของกลุ่มเรียกว่าไม่เกี่ยวข้องกันหากไม่มีส่วนประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้ร่วมกัน กล่าวคือ ถ้า $V_{1}$ $V_{2}$ $G$ $\langle V_{1},V_{2}\rangle _{G}=0.$

ให้เป็นกลุ่ม และให้เป็นกลุ่มย่อย เรากำหนดสำหรับให้เป็นการแทนของกลุ่มย่อยซึ่งกำหนดโดยการจำกัดเป็นการแทนของเราเขียนสำหรับเรายังกำหนดการแสดงแทนอีกแบบหนึ่งของโดยการแสดงแทนทั้งสองนี้ไม่ควรสับสนกัน $G$ $H$ $H_{s}=sHs^{-1}\cap H$ $s\in G.$ $(\rho ,W)$ $H.$ ${\text{Res}}_{H_{s}}(\rho )$ $H_{s}.$ ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ ${\text{Res}}_{H_{s}}(\rho ).$ $\rho ^{s}$ $H_{s}$ $\rho ^{s}(t)=\rho (s^{-1}ts).$

เกณฑ์ความไม่สามารถลดทอนได้ของ Mackeyการแสดงแทนที่เหนี่ยวนำจะไม่สามารถลดทอนได้ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นไปตามที่กำหนด:

V={\text{Ind}}_{H}^{G}(W)

$W$ ไม่สามารถลดทอนได้
สำหรับแต่ละการแสดงแทนทั้งสองแบบและของจะไม่ทับซ้อนกัน หลักฐานของทฤษฎีบทนี้สามารถพบได้ใน^[¹³^] $s\in G\setminus H$ $\rho ^{s}$ ${\text{Res}}_{s}(\rho )$ $H_{s}$

ในกรณีของกรณีปกติ เรามีและดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: $H$ $H_{s}=H$ ${\text{Res}}_{s}(\rho )=\rho$

บทสรุป.ให้เป็นกลุ่มย่อยปกติของแล้วเป็นกลุ่มย่อยที่ไม่สามารถลดรูปได้ก็ต่อเมื่อเป็นกลุ่มย่อยที่ไม่สามารถลดรูปได้และไม่สมมาตรกับกลุ่มย่อยสังยุคของ

H

G.

{\text{Ind}}_{H}^{G}(\rho )

\rho

\rho ^{s}

s\notin H.

การสมัครเข้ากลุ่มพิเศษ

ในส่วนนี้ เราจะนำเสนอการประยุกต์ใช้ทฤษฎีที่ได้นำเสนอไปแล้วกับกลุ่มย่อยปกติ และกับกลุ่มพิเศษ ซึ่งก็คือ ผลคูณกึ่งตรงของกลุ่มย่อยกับกลุ่มย่อยปกติแบบอาเบเลียน

ข้อเสนอ.ให้เป็นกลุ่มย่อยปกติของกลุ่มและให้เป็นการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ของแล้วข้อความใดข้อความหนึ่งต่อไปนี้จะต้องเป็นจริง:

A

G

\rho :G\to {\text{GL}}(V)

G.

มีกลุ่มย่อยที่เหมาะสมซึ่งประกอบด้วยและมีการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิด $H$ $G$ $A$ $\eta$ $H$ $\rho$
หรือเป็นโมดูล ไอโซไทป์ $V$ $\mathbb {C} A$

บทพิสูจน์พิจารณาให้เป็นโมดูล และแยกส่วนออกเป็นไอโซไทป์เป็นถ้าการแยกส่วนนี้เป็นแบบไม่สำคัญ เราจะอยู่ในกรณีที่สอง มิฉะนั้นการกระทำที่ใหญ่กว่าจะสลับโมดูลไอโซไทป์เหล่านี้ เนื่องจากไม่สามารถลดทอนได้ในฐานะโมดูล การกระทำของการสลับจึงเป็นแบบถ่ายทอด (อันที่จริงเป็นแบบดั้งเดิม ) กำหนดค่าใดๆ ไว้ตัวรักษาเสถียรภาพในของจะเห็นได้โดยพื้นฐานว่ามีคุณสมบัติตามที่กล่าวอ้าง

V

\mathbb {C} A

V=\bigoplus _{j}{V_{j}}

G

V

\mathbb {C} G

j

G

V_{j}

\Box

โปรดทราบว่า ถ้าเป็นกลุ่มอาเบเลียน โมดูลไอโซไทป์ของจะเป็นโมดูลที่ไม่สามารถลดทอนได้ มีดีกรีหนึ่ง และเป็นโฮโมเทตีทั้งหมด $A$ $A$

นอกจากนี้เรายังได้รับสิ่งต่อไปนี้ด้วย

บทสรุปให้เป็นกลุ่มย่อยปกติแบบอาเบลของและให้เป็นการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ของเราใช้สัญลักษณ์ แทนดัชนีของในจากนั้น^[¹⁴^]

A

G

\tau

G.

(G:A)

A

G.

\deg(\tau )|(G:A).

ถ้าเป็นกลุ่มย่อยแบบอาเบเลียนของ(ไม่จำเป็นต้องเป็นกลุ่มย่อยปกติ) โดยทั่วไปแล้วเงื่อนไขจะไม่เป็นไปตามที่กำหนด แต่ถึงกระนั้น เงื่อนไขก็ ยังคงใช้ได้อยู่ $A$ $G$ $\deg(\tau )|(G:A)$ $\deg(\tau )\leq (G:A)$

การจำแนกประเภทของการแสดงผลิตภัณฑ์กึ่งทางตรง

ต่อไปนี้ ให้เป็นผลคูณกึ่งตรง (semidirect product) โดยที่ตัวประกอบกึ่งตรงปกติ (normal semidirect factor) เป็นกลุ่มอาเบเลียน (abelian group) การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ (irreducible representations) ของกลุ่มดังกล่าวสามารถจำแนกประเภทได้โดยการแสดงให้เห็นว่าการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดของสามารถสร้างขึ้นจากกลุ่มย่อยบางกลุ่มของ ได้นี่คือสิ่งที่เรียกว่าวิธีการของ “กลุ่มเล็ก ๆ” (the method of “little groups”) ของวิกเนอร์และแม็กกี้ $G=A\rtimes H$ $A$ $G,$ $G$ $H$

เนื่องจากเป็นกลุ่มอาเบเลียนอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ของจึงมีดีกรีหนึ่งและก่อตัวเป็นกลุ่มกลุ่มนี้กระทำต่อโดยสำหรับ $A$ $A$ $\mathrm {X} ={\text{Hom}}(A,\mathbb {C} ^{\times }).$ $G$ $\mathrm {X}$ $(s\chi )(a)=\chi (s^{-1}as)$ $s\in G,\chi \in \mathrm {X} ,a\in A.$

ให้เป็นระบบตัวแทนของวงโคจรของในสำหรับทุกให้นี่เป็นกลุ่มย่อยของให้เป็นกลุ่มย่อยที่สอดคล้องกันของตอนนี้เราขยายฟังก์ชันไปยังโดยสำหรับดังนั้นเป็นฟังก์ชันชั้น บนยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากสำหรับทุกสามารถแสดงได้ว่าเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มจากไปดังนั้น เราจึงมีตัวแทนของ ที่มีดีกรีหนึ่ง ซึ่งเท่ากับอักขระของมันเอง $(\chi _{j})_{j\in \mathrm {X} /H}$ $H$ $\mathrm {X} .$ $j\in \mathrm {X} /H$ $H_{j}=\{t\in H:t\chi _{j}=\chi _{j}\}.$ $H.$ $G_{j}=A\cdot H_{j}$ $G.$ $\chi _{j}$ $G_{j}$ $\chi _{j}(at)=\chi _{j}(a)$ $a\in A,t\in H_{j}.$ $\chi _{j}$ $G_{j}.$ $t\chi _{j}=\chi _{j}$ $t\in H_{j},$ $\chi _{j}$ $G_{j}$ $\mathbb {C} ^{\times }.$ $G_{j}$

ให้เป็นตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของจากนั้นเราจะได้ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของโดยการรวมกับการฉายภาพแบบแคนอนิกสุดท้าย เราสร้างผลคูณเทนเซอร์ของและดังนั้น เราจึงได้ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของ $\rho$ $H_{j}.$ ${\tilde {\rho }}$ $G_{j},$ $\rho$ $G_{j}\to H_{j}.$ $\chi _{j}$ ${\tilde {\rho }}.$ $\chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}$ $G_{j}.$

เพื่อให้ได้การจำแนกประเภทของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของ ในที่สุดเราใช้การแสดงแทนของซึ่งเกิดจากผลคูณเทนเซอร์ดังนั้นเราจึงได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: $G$ $\theta _{j,\rho }$ $G,$ $\chi _{j}\otimes {\tilde {\rho }}.$

ข้อเสนอ

$\theta _{j,\rho }$ ไม่สามารถลดทอนได้
ถ้าและเป็นไอโซมอร์ฟิกกันแล้วและนอกจากนี้ยังไอโซมอร์ฟิกกับ ด้วย $\theta _{j,\rho }$ $\theta _{j',\rho '}$ $j=j'$ $\rho$ $\rho '.$
ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ทุกตัวของจะมีลักษณะสมมาตรกับตัวแทนตัวใดตัวหนึ่งของ $G$ $\theta _{j,\rho }.$

ในบรรดา เกณฑ์ อื่นๆ เกณฑ์ของ Mackey และข้อสรุปที่อิงตามการแลกเปลี่ยนของ Frobenius จำเป็นสำหรับการพิสูจน์ข้อเสนอ รายละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ใน^{[ 15 ]}

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เราได้จำแนกประเภทการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ทั้งหมดของ $G=A\rtimes H.$

แหวนตัวแทน

วงแหวนแทนของถูกกำหนดให้เป็นกลุ่มอาเบเลียน $G$

R(G)=\left\{\left.\sum _{j=1}^{m}a_{j}\tau _{j}\right|\tau _{1},\ldots ,\tau _{m}{\text{ all irreducible representations of }}G{\text{ up to isomorphism}},a_{j}\in \mathbb {Z} \right\}.

ด้วยการคูณที่ได้จากผลคูณเทนเซอร์จึงกลายเป็นริง สมาชิกของริงนี้เรียกว่าตัวแทน เสมือน $R(G)$ $R(G)$

ตัวอักษรนี้กำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนในเซตของฟังก์ชันคลาสทั้งหมดบนที่มีค่าเชิงซ้อน $G$

{\begin{cases}\chi :R(G)\to \mathbb {C} _{\text{class}}(G)\\\sum a_{j}\tau _{j}\mapsto \sum a_{j}\chi _{j}\end{cases}}

ซึ่งอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้นั้นสอดคล้องกับ $\chi _{j}$ $\tau _{j}.$

เนื่องจากการแสดงแทนถูกกำหนดโดยลักษณะเฉพาะของมันจึงเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งภาพของเรียกว่าอักขระเสมือน $\chi$ $\chi$

เนื่องจากอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉากซึ่งเหนี่ยวนำให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึม $\mathbb {C} _{\text{class}},\chi$

\chi _{\mathbb {C} }:R(G)\otimes \mathbb {C} \to \mathbb {C} _{\text{class}}(G).

ไอโซมอร์ฟิซึมนี้ถูกกำหนดบนพื้นฐานจากเทนเซอร์พื้นฐาน โดยตามลำดับและขยายแบบทวิเชิงเส้น $(\tau _{j}\otimes 1)_{j=1,\ldots ,m}$ $\chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes 1)=\chi _{j}$ $\chi _{\mathbb {C} }(\tau _{j}\otimes z)=z\chi _{j},$

เราใช้สัญลักษณ์แทนเซตของอักขระทั้งหมดของและใช้สัญลักษณ์ แทนกลุ่มที่สร้างขึ้นโดยนั่นคือเซตของผลต่างทั้งหมดของอักขระสองตัว จากนั้นจึงได้ว่าและดังนั้น เราจึงมีและอักขระเสมือนจะสอดคล้องกับการแสดงแทนเสมือนในลักษณะที่เหมาะสมที่สุด ${\mathcal {R}}^{+}(G)$ $G$ ${\mathcal {R}}(G)$ ${\mathcal {R}}^{+}(G),$ ${\mathcal {R}}(G)=\mathbb {Z} \chi _{1}\oplus \cdots \oplus \mathbb {Z} \chi _{m}$ ${\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )=\chi (R(G)).$ $R(G)\cong {\mathcal {R}}(G)$

เนื่องจากเป็นจริงจึงเป็นเซตของอักขระเสมือนทั้งหมด เนื่องจากผลคูณของอักขระสองตัวให้อักขระอีกตัวหนึ่งจึงเป็นวงแหวนย่อยของวงแหวนของฟังก์ชันคลาสทั้งหมดบนเนื่องจาก เป็นฐานของเราจึงได้ เช่นเดียวกับในกรณีของไอโซมอร์ฟิซึม ${\mathcal {R}}(G)={\text{Im}}(\chi )$ ${\mathcal {R}}(G)$ ${\mathcal {R}}(G)$ $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ $G.$ $\chi _{i}$ $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ $R(G),$ $\mathbb {C} \otimes {\mathcal {R}}(G)\cong \mathbb {C} _{\text{class}}(G).$

ให้เป็นกลุ่มย่อยของข้อจำกัดนี้จึงกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนซึ่งจะใช้สัญลักษณ์หรือในทำนองเดียวกัน การอุปนัยบนฟังก์ชันของคลาสจะกำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มอาเบเลียนซึ่งจะเขียนเป็นหรือโดยย่อ $H$ $G.$ ${\mathcal {R}}(G)\to {\mathcal {R}}(H),\phi \mapsto \phi |_{H},$ ${\text{Res}}_{H}^{G}$ ${\text{Res}}.$ ${\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G),$ ${\text{Ind}}_{H}^{G}$ ${\text{Ind}}.$

ตามหลักการแลกเปลี่ยนของ Frobeniusโฮโมมอร์ฟิซึมทั้งสองนี้เป็นแอดจอยต์โดยสัมพันธ์กับรูปแบบทวิเชิงเส้นและยิ่งไปกว่านั้น สูตรยังแสดงให้เห็นว่าภาพของเป็นไอเดียลของริง $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{H}$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle _{G}.$ ${\text{Ind}}(\varphi \cdot {\text{Res}}(\psi ))={\text{Ind}}(\varphi )\cdot \psi$ ${\text{Ind}}:{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)$ ${\mathcal {R}}(G).$

ด้วยข้อจำกัดของการแทนค่า แผนที่สามารถกำหนดได้ในทำนองเดียวกันสำหรับและโดยการอุปมาน เราจะได้แผนที่สำหรับเนื่องจากความสัมพันธ์แบบผกผันของ Frobenius เราจึงได้ผลลัพธ์ว่าแผนที่เหล่านี้เป็นคู่กัน และภาพที่ได้เป็นอุดมคติของวงแหวน ${\text{Res}}$ $R(G),$ ${\text{Ind}}$ $R(G).$ ${\text{Im}}({\text{Ind}})={\text{Ind}}(R(H))$ $R(G).$

ถ้าเป็นวงแหวนสลับที่ได้ โฮโมมอร์ฟิซึมและอาจขยายไปสู่แผนที่เชิงเส้นได้: $A$ ${\text{Res}}$ ${\text{Ind}}$ $A$

{\begin{cases}A\otimes {\text{Res}}:A\otimes R(G)\to A\otimes R(H)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\tau _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Res}}(\tau _{j})\right)\end{cases}},\qquad {\begin{cases}A\otimes {\text{Ind}}:A\otimes R(H)\to A\otimes R(G)\\\left(a\otimes \sum a_{j}\eta _{j}\right)\mapsto \left(a\otimes \sum a_{j}{\text{Ind}}(\eta _{j})\right)\end{cases}}

ซึ่งประกอบด้วยการแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดจนถึงระดับไอโซมอร์ฟิซึม $\eta _{j}$ $H$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะได้ว่าและจัดหาโฮโมมอร์ฟิซึมระหว่างและ $A=\mathbb {C}$ ${\text{Ind}}$ ${\text{Res}}$ $\mathbb {C} _{\text{class}}(G)$ $\mathbb {C} _{\text{class}}(H).$

ให้และเป็นสองกลุ่มที่มีการแสดงแทนและตามลำดับ จากนั้นคือการแสดงแทนของผลคูณโดยตรงดังที่แสดงไว้ในส่วนก่อนหน้าผลลัพธ์อีกประการหนึ่งจากส่วนนั้นคือ การแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ทั้งหมดของคือการแสดงแทนโดยที่และคือการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ของและตามลำดับ สิ่งนี้ส่งต่อไปยังวงแหวนการแสดงแทนในฐานะเอกลักษณ์ซึ่งคือผลคูณเทนเซอร์ของวงแหวนการแสดงแทนในฐานะโมดูล $G_{1}$ $G_{2}$ $(\rho _{1},V_{1})$ $(\rho _{2},V_{2}).$ $\rho _{1}\otimes \rho _{2}$ $G_{1}\times G_{2}$ $G_{1}\times G_{2}$ $\eta _{1}\otimes \eta _{2},$ $\eta _{1}$ $\eta _{2}$ $G_{1}$ $G_{2},$ $R(G_{1}\times G_{2})=R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2}),$ $R(G_{1})\otimes _{\mathbb {Z} }R(G_{2})$ $\mathbb {Z}$

ทฤษฎีบทอุปนัย

ทฤษฎีบทอุปนัยเชื่อมโยงวงแหวนแทนของกลุ่มจำกัดG ที่กำหนด ให้ กับวงแหวนแทนของกลุ่มXที่ประกอบด้วยเซตย่อยH บางเซต ของGกล่าวโดยละเอียดกว่านั้น สำหรับกลุ่มย่อยดังกล่าว ฟังก์ชันอุปนัยจะให้แผนที่

\varphi :{\text{Ind}}:\bigoplus _{H\in X}{\mathcal {R}}(H)\to {\mathcal {R}}(G)

ทฤษฎีบทอุปนัยให้เกณฑ์สำหรับความเป็นทั่วถึงของแผนที่นี้หรือแผนที่ที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด

ทฤษฎีบทอุปนัยของอาร์ตินเป็นทฤษฎีบทพื้นฐานที่สุดในกลุ่มผลลัพธ์นี้ โดยกล่าวว่าสิ่งต่อไปนี้สมมูลกัน:

โคเคอร์เนลของมีค่าจำกัด $\varphi$
$G$ คือการรวมกันของคู่ควบของกลุ่มย่อยที่อยู่ในie $X,$ $G=\bigcup _{H\in X \atop s\in G}sHs^{-1}.$

เนื่องจากเป็นกลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด ดังนั้นประเด็นแรกจึงสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: ${\mathcal {R}}(G)$

สำหรับอักขระแต่ละตัวจะมีอักขระเสมือนและจำนวนเต็ม อยู่จำนวนหนึ่ง ซึ่งทำให้ $\chi$ $G,$ $\chi _{H}\in {\mathcal {R}}(H),\,H\in X$ $d\geq 1,$ $d\cdot \chi =\sum _{H\in X}{\text{Ind}}_{H}^{G}(\chi _{H}).$

Serre (1977)ให้การพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้สองวิธี ตัวอย่างเช่น เนื่องจากGเป็นการรวมกันของกลุ่มย่อยแบบวัฏจักร ดังนั้นอักขระทุกตัวของ G จึงเป็นการรวมเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ตรรกยะของอักขระที่เกิดจากอักขระของกลุ่มย่อยแบบวัฏจักรของG เนื่องจากความเข้าใจเกี่ยวกับการแสดงแทนของกลุ่มแบบวัฏจักรนั้นดี โดยเฉพาะอย่างยิ่งการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ซึ่งมีมิติเดียว ทำให้สามารถควบคุมการแสดงแทนของ G ได้ในระดับ หนึ่ง $G$ $G.$

ภายใต้สถานการณ์ข้างต้น โดยทั่วไปแล้วไม่เป็นความจริงที่ว่าเป็นฟังก์ชัน ทั่วถึง ทฤษฎีบทอุปนัยของบราวเออร์กล่าวว่าเป็นฟังก์ชันทั่วถึงก็ต่อเมื่อXคือตระกูลของกลุ่มย่อยพื้นฐาน ทั้งหมด ในที่นี้ กลุ่มHเป็นกลุ่มพื้นฐานก็ต่อเมื่อมีจำนวนเฉพาะp บางตัว ที่ทำให้Hเป็นผลคูณโดยตรงของกลุ่มวัฏจักรที่มีอันดับเป็นจำนวนเฉพาะของและกลุ่ม กล่าว อีกนัยหนึ่ง คือ อักขระ ทุกตัว ของกลุ่ม เป็นผลรวมเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มของอักขระที่เหนี่ยวนำโดยอักขระของกลุ่มย่อยพื้นฐาน กลุ่มย่อยพื้นฐานHที่เกิดขึ้นในทฤษฎีบทของบราวเออร์มีทฤษฎีการแสดงแทนที่สมบูรณ์กว่ากลุ่มวัฏจักร อย่างน้อยที่สุดก็มีคุณสมบัติที่ว่าการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ใดๆ สำหรับH ดัง กล่าว เกิดจากการแสดงแทนแบบหนึ่งมิติของกลุ่มย่อย (ซึ่งจำเป็นต้องเป็นกลุ่มพื้นฐานด้วย) (คุณสมบัติข้อหลังนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าใช้ได้กับกลุ่มซูเปอร์โซลเวเบิล ใดๆ ซึ่งรวมถึงกลุ่มนิลโพเทนต์และโดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มพื้นฐาน) ความสามารถในการเหนี่ยวนำการแทนค่าจากการแทนค่าระดับ 1 นี้ มีผลตามมาอีกประการหนึ่งในทฤษฎีการแทนค่าของกลุ่มจำกัด $\varphi$ $\varphi$ $p$ $p$ $G$ $K\subset H$

ตัวแทนที่แท้จริง

สำหรับหลักฐานและข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับการ แสดง แทนเหนือฟิลด์ย่อยทั่วไปโปรดดูที่^[¹⁶^] $\mathbb {C}$

ถ้ากลุ่มหนึ่งกระทำบนปริภูมิเวกเตอร์จริงการแสดงแทนที่สอดคล้องกันบนปริภูมิเวกเตอร์เชิงซ้อนเรียกว่า การแสดง แทนจริง ( เรียกว่าการทำให้เป็นเชิงซ้อนของ) การแสดงแทนที่สอดคล้องกันที่กล่าวถึงข้างต้นนั้นกำหนดโดยสำหรับทุก $G$ $V_{0},$ $V=V_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $V$ $V_{0}$ $s\cdot (v_{0}\otimes z)=(s\cdot v_{0})\otimes z$ $s\in G,v_{0}\in V_{0},z\in \mathbb {C} .$

ให้เป็นการแทนแบบจริง แผนที่เชิงเส้นมีค่าเป็นจำนวนจริงสำหรับทุกดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่าอักขระของการแทนแบบจริงจะมีค่าเป็นจำนวนจริงเสมอ แต่ไม่ใช่ทุกการแทนที่มีอักขระเป็นจำนวนจริงจะเป็นจำนวนจริง เพื่อให้เข้าใจชัดเจนยิ่งขึ้น ให้เป็นกลุ่มย่อยจำกัดที่ไม่สลับที่กันของกลุ่ม $\rho$ $\rho (s)$ $\mathbb {R}$ $s\in G.$ $G$

{\text{SU}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\-{\overline {b}}&{\overline {a}}\end{pmatrix}}\ :\ |a|^{2}+|b|^{2}=1\right\}.

จากนั้นจึงกระทำต่อเนื่องจากร่องรอยของเมทริกซ์ใดๆ ในเป็นจำนวนจริง ดังนั้นอักขระของการแสดงแทนจึงเป็นค่าจริง สมมติว่าเป็นการแสดงแทนแบบจริง ดังนั้นจะประกอบด้วยเมทริกซ์ค่าจริงเท่านั้น ดังนั้นอย่างไรก็ตาม กลุ่มวงกลมเป็นกลุ่มอาเบเลียน แต่ถูกเลือกให้เป็นกลุ่มที่ไม่ใช่อาเบเลียน ตอนนี้เราจำเป็นต้องพิสูจน์การมีอยู่ของกลุ่มย่อยจำกัดที่ไม่ใช่อาเบเลียนของเพื่อค้นหากลุ่มดังกล่าว ให้สังเกตว่าสามารถระบุได้ด้วยหน่วยของควอเทอร์เนียนตอนนี้ให้การแสดงแทนสองมิติของ ต่อไปนี้ไม่ใช่ค่าจริง แต่มีอักขระค่าจริง: $G\subset {\text{SU}}(2)$ $V=\mathbb {C} ^{2}.$ ${\text{SU}}(2)$ $\rho$ $\rho (G)$ $G\subset {\text{SU}}(2)\cap {\text{GL}}_{2}(\mathbb {R} )={\text{SO}}(2)=S^{1}.$ $G$ ${\text{SU}}(2).$ ${\text{SU}}(2)$ $G=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm ij\}.$ $G$

{\begin{cases}\rho :G\to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {C} )\\[4pt]\rho (\pm 1)={\begin{pmatrix}\pm 1&0\\0&\pm 1\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm i)={\begin{pmatrix}\pm i&0\\0&\mp i\end{pmatrix}},\quad \rho (\pm j)={\begin{pmatrix}0&\pm i\\\pm i&0\end{pmatrix}}\end{cases}}

ดังนั้น ภาพของ จึงไม่ใช่จำนวนจริง แต่ถึงกระนั้นก็เป็นเซตย่อยของดังนั้น ค่าของตัวแทนจึงเป็นจำนวนจริง $\rho$ ${\text{SU}}(2).$

บทตั้ง.การแสดงผลแบบลดทอนไม่ได้ของเป็นจริงก็ต่อเมื่อมีรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตร ที่ไม่เสื่อม สภาพ บน ซึ่งรักษาไว้โดย

V

G

B

V

G.

การแสดงผลแบบลดทอนไม่ได้ของบนปริมาณเวกเตอร์จริง สามารถกลายเป็นแบบลดทอนได้เมื่อขยายฟิลด์ ไปยังตัวอย่างเช่น การแสดงผลจริงต่อไปนี้ของกลุ่มวัฏจักรสามารถลดทอนได้เมื่อพิจารณาบน $G$ $\mathbb {C} .$ $\mathbb {C}$

{\begin{cases}\rho :\mathbb {Z} /m\mathbb {Z} \to {\text{GL}}_{2}(\mathbb {R} )\\[4pt]\rho (k)={\begin{pmatrix}\cos \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)&\sin \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)\\-\sin \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi ik}{m}}\right)\end{pmatrix}}\end{cases}}

ดังนั้น แม้ว่าเราจะจำแนกตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดที่เป็นจำนวนจริงเหนือเราก็ยังไม่ได้จำแนกตัวแทนจำนวนจริงที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมด แต่เราได้ผลลัพธ์ดังต่อไปนี้: $\mathbb {C} ,$

ให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์จริง ให้กระทำแบบไม่สามารถลดทอนได้บนและให้ถ้าไม่สามารถลดทอนได้ จะมีตัวประกอบที่ไม่สามารถลดทอนได้สองตัวพอดี ซึ่งเป็นตัวแทนเชิงซ้อนสังยุคของ $V_{0}$ $G$ $V_{0}$ $V=V_{0}\otimes \mathbb {C} .$ $V$ $G.$

นิยามการ แทนควอเทอร์ เนียนคือการแทน (เชิงซ้อน) ที่มีโฮโมมอร์ฟิซึมแบบแอนติลิเนียร์ที่ไม่เปลี่ยนแปลงซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขดังนั้น รูปแบบ ทวิลิ เนียร์แบบสมมาตรเฉียง ที่ไม่เสื่อมสภาพและไม่เปลี่ยนแปลงจึงกำหนดโครงสร้างควอเทอร์เนียนบน $V,$ $G$ $J:V\to V$ $J^{2}=-{\text{Id}}.$ $G$ $V.$

ทฤษฎีบท.การแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้คือการแสดงแทนแบบใดแบบหนึ่งต่อไปนี้เท่านั้น:

V

(i) เชิงซ้อน: ไม่ใช่ค่าจริงและไม่มี รูปแบบทวิเชิงเส้น ที่ไม่เสื่อมสภาพคงที่บน

\chi _{V}

G

V.

(ii) จริง: การแสดงผลจริงมีรูปแบบทวิเชิงเส้นสมมาตรที่ไม่เสื่อมสภาพและไม่เปลี่ยนแปลง

V=V_{0}\otimes \mathbb {C} ,

V

G

(iii) ควอเทอร์เนียน: เป็นของจริง แต่ไม่ใช่ของจริงมีรูปแบบทวิเชิงเส้นที่ไม่เสื่อมสภาพแบบสมมาตรเฉียงที่ไม่เปลี่ยนแปลง

\chi _{V}

V

V

G

การเป็นตัวแทนของกลุ่มเฉพาะ

กลุ่มสมมาตร

การแทนกลุ่มสมมาตร ได้รับการศึกษาอย่างเข้มข้น ชั้นสมมูลใน(และด้วยเหตุนี้ การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้) สอดคล้องกับการแบ่งส่วนของnตัวอย่างเช่นมีสามการแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ ซึ่งสอดคล้องกับการแบ่งส่วน $S_{n}$ $S_{n}$ $S_{3}$

3; 2+1; 1+1+1

3. สำหรับการแบ่งส่วนดังกล่าวตารางยัง (Young tableau ) เป็นเครื่องมือเชิงกราฟิกที่แสดงถึงการแบ่งส่วนนั้น การแสดงผลแบบลดทอนไม่ได้ที่สอดคล้องกับการแบ่งส่วนดังกล่าว (หรือตารางยัง) เรียกว่าโมดูลสเปคต์ (Specht module )

การแทนกลุ่มสมมาตรที่แตกต่างกันมีความสัมพันธ์กัน กล่าวคือ การแทนกลุ่มใด ๆ ก็ตามจะให้การแทนกลุ่มอื่นโดยการอุปมาน และในทางกลับกันโดยการจำกัด ผลรวมโดยตรงของวงแหวนการแทนทั้งหมดเหล่านี้ $S_{n}\times S_{m}$ $S_{n+m}$

\bigoplus _{n\geq 0}R(S_{n})

สืบทอดโครงสร้างของพีชคณิตฮอปฟ์ จากโครงสร้างเหล่านี้ ซึ่งปรากฏว่ามีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับฟังก์ชัน สมมาตร

กลุ่มจำกัดประเภทลี

ในระดับหนึ่ง การแสดงแทนของเมื่อnเปลี่ยนแปลงไป จะมีลักษณะคล้ายคลึงกับการแสดงแทนของ โดยกระบวนการอุปมานที่กล่าวถึงข้างต้นจะถูกแทนที่ด้วยสิ่งที่เรียกว่าการอุปมานแบบพาราโบลาอย่างไรก็ตาม ต่างจากกรณีของที่การแสดงแทนทั้งหมดสามารถหาได้โดยการอุปมานของการแสดงแทนแบบไม่สำคัญ แต่สำหรับ นั้นไม่เป็นเช่นนั้น จึงจำเป็นต้องใช้ ส่วนประกอบใหม่ที่เรียกว่าการแสดงแทนแบบคัสปิเดิล $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$ $S_{n}$ $S_{n}$ $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$

การแทน กลุ่มจำกัดประเภท Lie และโดยทั่วไปแล้ว การแทนกลุ่มจำกัดประเภท Lieได้รับการศึกษาอย่างละเอียดถี่ถ้วนBonnafé (2010)อธิบายการแทนกลุ่มคำอธิบายทางเรขาคณิตของการแทนกลุ่มที่ไม่สามารถลดทอนได้ของกลุ่มดังกล่าว รวมถึงการแทนกลุ่มแบบ cuspidal ที่กล่าวถึงข้างต้น ได้มาจากการทฤษฎี Deligne-Lusztigซึ่งสร้างการแทนกลุ่มดังกล่าวในโคฮอโมโลยี l-adicของวาไรตี้ Deligne- Lusztig $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$ $SL_{2}(\mathbf {F} _{q})$

ความคล้ายคลึงกันของทฤษฎีการแทนของ กลุ่ม และนั้นไม่ได้จำกัดอยู่แค่กลุ่มจำกัดเท่านั้นปรัชญาของรูปแบบคัสป์เน้นให้เห็นถึงความสัมพันธ์ของแง่มุมทางทฤษฎีการแทนของกลุ่มประเภทนี้กับกลุ่มเชิงเส้นทั่วไปของฟิลด์เฉพาะที่เช่นQ _pและวงแหวนของอะเดลดูBump (2004 ) $S_{n}$ $GL_{n}(\mathbf {F} _{q})$

แนวโน้ม—การแสดงภาพของกลุ่มขนาดกะทัดรัด

ทฤษฎีการแทนกลุ่มกระชับอาจขยายไปยังกลุ่มกระชับเฉพาะที่ได้ ในระดับหนึ่ง ทฤษฎีการแทนนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งสำหรับการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกและการ ศึกษา ฟอร์มอัตโนมัติ สำหรับการพิสูจน์ ข้อมูลเพิ่มเติม และข้อมูลเชิงลึกที่ละเอียดกว่าซึ่งอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทนี้ โปรดดู^{[ 17 ]}และ^{[ 18 ]}

คำจำกัดความและคุณสมบัติ

กลุ่มเชิงทอพอโลยีคือ กลุ่มพร้อมกับทอพอโลยีที่ทำให้การประกอบกลุ่มและการผกผันของกลุ่มมีความต่อเนื่องกลุ่มดังกล่าวเรียกว่า กลุ่มกระชับ (compact group ) ถ้ากลุ่มคลุมใดๆ ของกลุ่มนั้นซึ่งเปิดในทอพอโลยี จะมีกลุ่มคลุมย่อยจำกัด กลุ่มย่อยปิดของกลุ่มกระชับก็จะเป็นกลุ่มกระชับอีกด้วย $G,$

ให้เป็นกลุ่มกระชับ และให้เป็นปริภูมิเวกเตอร์มิติจำกัดการแปลงเชิงเส้นจากไปเป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มต่อเนื่องกล่าวคือเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องในตัวแปรสองตัวคือ และ $G$ $V$ $\mathbb {C}$ $G$ $V$ $\rho :G\to {\text{GL}}(V),$ $\rho (s)v$ $s\in G$ $v\in V.$

การแทนเชิงเส้นของไปยังปริมาณเวกเตอร์แบบบานาคถูกกำหนดให้เป็นการส่งแบบโฮโมมอร์ฟิซึมของกลุ่มต่อเนื่องจาก ไปยังเซตของตัวดำเนินการเชิงเส้นแบบ หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงที่มีขอบเขต บนซึ่งมีตัวผกผันต่อเนื่อง เนื่องจาก เราสามารถละเว้นข้อกำหนดสุดท้ายได้ ในส่วนต่อไปนี้ เราจะพิจารณาการแทนของกลุ่มกระชับใน ปริมาณเวกเตอร์แบบฮิลเบิร์ตโดย เฉพาะ $G$ $V$ $G$ $V$ $\pi (g)^{-1}=\pi (g^{-1}),$

เช่นเดียวกับกลุ่มจำกัด เราสามารถกำหนดพีชคณิตกลุ่มและพีชคณิตการสังเคราะห์ได้ อย่างไรก็ตาม พีชคณิตกลุ่มไม่ได้ให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ใดๆ ในกรณีของกลุ่มอนันต์ เนื่องจากเงื่อนไขความต่อเนื่องจะหายไปในระหว่างการสร้าง ดังนั้นพีชคณิตการสังเคราะห์จึงเข้ามาแทนที่ $L^{1}(G)$

คุณสมบัติส่วนใหญ่ของการแสดงแทนของกลุ่มจำกัดสามารถถ่ายทอดไปยังกลุ่มกระชับได้โดยมีการเปลี่ยนแปลงที่เหมาะสม สำหรับการนี้ เราจำเป็นต้องมีสิ่งที่เทียบเท่ากับการหาผลรวมเหนือกลุ่มจำกัด:

การดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของมาตรวัดฮาร์

ในกลุ่มกระชับจะมีมาตรวัด เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข ดังต่อไปนี้: $G$ $dt,$

เป็นการวัดที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเลื่อนไปทางซ้าย

\forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(st)dt.

กลุ่มทั้งหมดมีหน่วยวัดเดียวกัน:

\int _{G}dt=1,

มาตรวัดแบบนอร์มที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเลื่อนไปทางซ้ายเช่นนี้ เรียกว่ามาตรวัดฮาร์ของกลุ่ม $G.$

เนื่องจากเป็นเซตกระชับ จึงสามารถแสดงได้ว่ามาตรวัดนี้ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเลื่อนไปทางขวา กล่าวคือ สามารถใช้ได้เช่นกัน $G$

\forall s\in G:\quad \int _{G}f(t)dt=\int _{G}f(ts)dt.

จากการปรับขนาดข้างต้น มาตรวัดฮาร์บนกลุ่มจำกัดจะได้รับโดยสำหรับทุก $dt(s)={\tfrac {1}{|G|}}$ $s\in G.$

นิยามทั้งหมดเกี่ยวกับการแสดงแทนของกลุ่มจำกัดที่กล่าวถึงในหัวข้อ"คุณสมบัติ"นั้น ใช้ได้กับการแสดงแทนของกลุ่มกระชับด้วยเช่นกัน แต่จำเป็นต้องมีการปรับเปลี่ยนบางประการ:

ในการกำหนดซับรีเนชัน เราจำเป็นต้องมีซับสเปซปิด ซึ่งไม่จำเป็นสำหรับปริภูมิรีเนชันที่มีมิติจำกัด เพราะในกรณีนั้น ทุกซับสเปซเป็นปิดอยู่แล้ว ยิ่งไปกว่านั้น รีเนชันสองแบบของกลุ่มคอมแพ็กต์เรียกว่าสมมูลกัน ถ้ามีตัวดำเนินการเชิงเส้นต่อเนื่องแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างปริภูมิรีเนชัน ซึ่งตัวผกผันของตัวดำเนินการนั้นก็ต่อเนื่องเช่นกัน และเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับทุก $\rho ,\pi$ $G$ $T$ $T\circ \rho (s)=\pi (s)\circ T$ $s\in G.$

ถ้าเป็นเอกภาพ (unitary) การแสดงผลทั้งสองแบบจะเรียกว่าสมมูลกันแบบเอกภาพ (unitary equivalent ) $T$

เพื่อให้ได้ผลคูณภายใน ที่ไม่ เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงจากผลคูณภายในที่ไม่ เปลี่ยนแปลง ภายใต้การแปลงเราต้องใช้การอินทิเกรตเหนือ แทนที่จะใช้ผลบวก ถ้า เป็นผลคูณภายในบนปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การแปลงแทนของแล้ว $G$ $G$ $G$ $(\cdot |\cdot )$ $V,$ $\rho$ $G,$

(v|u)_{\rho }=\int _{G}(\rho (t)v|\rho (t)u)dt

เป็นผลคูณภายในที่ไม่เปลี่ยนแปลงบนเนื่องจากคุณสมบัติของการวัดแบบฮาร์ดังนั้น เราจึงสามารถสมมติได้ว่าการแสดงแทนทุกรูปแบบบนปริภูมิฮิลเบิร์ตเป็นแบบเอกภาพ $G$ $V$ $dt.$

ให้เป็นกลุ่มกระชับ และให้เป็นปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้บนเรากำหนดตัวดำเนินการบนปริภูมินี้โดย โดยที่ $G$ $s\in G.$ $L^{2}(G)$ $G.$ $L_{s}$ $L_{s}\Phi (t)=\Phi (s^{-1}t),$ $\Phi \in L^{2}(G),t\in G.$

แผนที่นี้เป็นการแสดงแทนแบบเอกภาพของเรียกว่าการแสดงแทนแบบซ้ายปกติการแสดงแทนแบบขวาปกติถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน เนื่องจากมาตรวัดฮาร์ของก็ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเลื่อนไปทางขวาเช่นกัน ตัวดำเนินการบนจึงกำหนดโดยการแสดงแทนแบบขวาปกติจึงเป็นการแสดงแทนแบบเอกภาพที่กำหนดโดย การแสดงแทนทั้งสองและเป็นคู่กัน $s\mapsto L_{s}$ $G.$ $G$ $R_{s}$ $L^{2}(G)$ $R_{s}\Phi (t)=\Phi (ts).$ $s\mapsto R_{s}.$ $s\mapsto L_{s}$ $s\mapsto R_{s}$

ถ้ากลุ่มเป็นอนันต์ การแสดงแทนเหล่านี้จะไม่มีดีกรีจำกัดการแสดงแทนแบบซ้ายและขวาปกติที่นิยามไว้ในตอนต้นนั้น สมมาตรกับการแสดงแทนแบบซ้ายและขวาปกติที่นิยามไว้ข้างต้น ถ้ากลุ่มเป็นกลุ่มจำกัด ทั้งนี้เนื่องจากในกรณีนี้ $G$ $G$ $L^{2}(G)\cong L^{1}(G)\cong \mathbb {C} [G].$

การก่อสร้างและการสลายตัว

วิธีการต่างๆ ในการสร้างตัวแทนใหม่จากตัวแทนที่กำหนดให้ สามารถนำไปใช้กับกลุ่มกระชับได้เช่นกัน ยกเว้นตัวแทนคู่ขนานซึ่งเราจะกล่าวถึงในภายหลัง ผลรวมโดยตรงและผลคูณเทนเซอร์ที่มีจำนวนตัวบวก/ตัวประกอบจำกัดนั้น นิยามในลักษณะเดียวกันกับกลุ่มจำกัด กรณีนี้ก็เช่นเดียวกันสำหรับกำลังสองสมมาตรและกำลังสองสลับ อย่างไรก็ตาม เราต้องการมาตรวัดฮาร์บนผลคูณโดยตรงของกลุ่มกระชับ เพื่อขยายทฤษฎีบทที่กล่าวว่า ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของผลคูณของสองกลุ่ม (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) คือผลคูณเทนเซอร์ของตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ของกลุ่มตัวประกอบ ก่อนอื่น เราสังเกตว่า ผลคูณโดยตรง ของกลุ่มกระชับสองกลุ่มยังคงเป็นกลุ่มกระชับเมื่อมีโทโพโลยีผลคูณ มาตรวัดฮาร์บนผลคูณโดยตรงนั้นได้มาจากผลคูณของมาตรวัดฮาร์บนกลุ่มตัวประกอบ $G_{1}\times G_{2}$

สำหรับการแสดงแทนแบบคู่บนกลุ่มกระชับ เราต้องการคู่ทางโทโพโลยี ของปริมาณเวกเตอร์นี่คือปริมาณเวกเตอร์ของฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องทั้งหมดจากปริมาณเวกเตอร์ไปยังฟิลด์ฐาน ให้เป็นการแสดงแทนของกลุ่มกระชับใน $V'$ $V.$ $V$ $\pi$ $G$ $V.$

การแสดงผลแบบคู่ถูกกำหนดโดยคุณสมบัติ $\pi ':G\to {\text{GL}}(V')$

\forall v\in V,\forall v'\in V',\forall s\in G:\qquad \left\langle \pi '(s)v',\pi (s)v\right\rangle =\langle v',v\rangle :=v'(v).

ดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่าการแสดงแทนแบบคู่ขนานนั้นกำหนดโดยสำหรับทุก ๆแผนที่นี้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมกลุ่มต่อเนื่องอีกครั้ง และด้วยเหตุนี้จึงเป็นการแสดงแทน $\pi '(s)v'=v'\circ \pi (s^{-1})$ $v'\in V',s\in G.$ $\pi '$

ในปริภูมิฮิลเบิร์ต: ไม่สามารถลดรูปได้ก็ต่อเมื่อไม่สามารถลดรูปได้ เช่นกัน $\pi$ $\pi '$

โดยการถ่ายโอนผลลัพธ์ของการแบ่ง ส่วน ไปยังกลุ่มกระชับ เราจะได้ทฤษฎีบทต่อไปนี้:

ทฤษฎีบท:การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้ทุกรูปแบบของกลุ่มกระชับในปริภูมิฮิลเบิร์ตจะมีมิติจำกัด และมีผลคูณภายในบนปริภูมิ ฮิลเบิร์ ตอยู่จริง โดยที่ผลคูณภายในนั้นเป็นเอกภาพ เนื่องจากมาตรวัดฮาร์เป็นมาตรวัดปกติ ผลคูณภายในนี้จึงมีเพียงหนึ่งเดียว

(\tau ,V_{\tau })

V_{\tau }

\tau

การแทนกลุ่มกระชับทุกรูปแบบจะสมมูลกับการบวกโดยตรงของฮิลเบิร์ตของการแทนแบบลดทอนไม่ได้

ให้เป็นการแทนแบบเอกภาพของกลุ่มกระชับเช่นเดียวกับกลุ่มจำกัด เรากำหนดสำหรับการแทนแบบลดทอนไม่ได้ว่าไอโซไทป์หรือส่วนประกอบไอโซไทป์ใน นั้นเป็นปริภูมิย่อย $(\rho ,V_{\rho })$ $G.$ $(\tau ,V_{\tau })$ $\rho$

V_{\rho }(\tau )=\sum _{V_{\tau }\cong U\subset V_{\rho }}U.

นี่คือผลรวมของปริภูมิย่อยปิดที่ไม่เปลี่ยนแปลงทั้งหมดซึ่งมีโครงสร้างสมมาตรกับ $U,$ $G$ $V_{\tau }.$

โปรดทราบว่าไอโซไทป์ของตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ซึ่งไม่เท่ากันนั้น จะตั้งฉากกันเป็นคู่ๆ

ทฤษฎีบท.

(i) เป็นปริภูมิย่อยคงที่ปิดของ

V_{\rho }(\tau )

V_{\rho }.

(ii) เป็นไอโซมอร์ฟิกกับผลรวมโดยตรงของสำเนาของ

V_{\rho }(\tau )

G

V_{\tau }.

(iii) การแยกส่วนแบบแคนอนิก: คือผลรวมฮิลเบิร์ตโดยตรงของไอโซไทป์ซึ่งผ่านคลาสไอโซมอร์ฟิซึมทั้งหมดของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้

V_{\rho }

V_{\rho }(\tau ),

\tau

การฉายภาพที่สอดคล้องกับการแยกส่วนเชิงแคนอนิกซึ่งไอโซไทป์ของคือ สำหรับกลุ่มกระชับที่กำหนดโดย $p_{\tau }:V\to V(\tau ),$ $V(\tau )$ $V,$

p_{\tau }(v)=n_{\tau }\int _{G}{\overline {\chi _{\tau }(t)}}\rho (t)(v)dt,

โดยที่และคืออักขระที่สอดคล้องกับการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ $n_{\tau }=\dim(V(\tau ))$ $\chi _{\tau }$ $\tau .$

สูตรการฉายภาพ

สำหรับทุกการแสดงแทนของกลุ่มกระชับเรากำหนด $(\rho ,V)$ $G$

V^{G}=\{v\in V:\rho (s)v=v\,\,\,\forall s\in G\}.

โดยทั่วไปแล้วไม่ใช่เชิงเส้น ให้ $\rho (s):V\to V$ $G$

Pv:=\int _{G}\rho (s)vds.

แผนที่นี้ถูกกำหนดให้เป็นเอนโดมอร์ฟิซึมบนโดยมีคุณสมบัติ $P$ $V$

\left.\left(\int _{G}\rho (s)vds\right|w\right)=\int _{G}(\rho (s)v|w)ds,

ซึ่งใช้ได้กับผลคูณภายในของปริภูมิฮิลเบิร์ต $V.$

ดังนั้นจึงเป็นเชิงเส้น เนื่องจาก $P$ $G$

{\begin{aligned}\left.\left(\int _{G}\rho (s)(\rho (t)v)ds\right|w\right)&=\int _{G}\left.\left(\rho \left(tst^{-1}\right)(\rho (t)v)\right|w\right)ds\\&=\int _{G}(\rho (ts)v|w)ds\\&=\int (\rho (t)\rho (s)v|w)ds\\&=\left.\left(\rho (t)\int _{G}\rho (s)vds\right|w\right),\end{aligned}}

โดยเราใช้คุณสมบัติการไม่เปลี่ยนแปลงของมาตรวัดฮาร์ (Haar measure)

ข้อเสนอ.แผนที่นี้เป็นการฉายภาพจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่ง

P

V

V^{G}.

หากการแสดงแทนนั้นมีมิติจำกัด ก็สามารถหาผลรวมโดยตรงของการแสดงแทนย่อยที่ไม่สำคัญได้เช่นเดียวกับในกรณีของกลุ่มจำกัด

อักขระ บทพิสูจน์ของชูร์ และผลคูณภายใน

โดยทั่วไปแล้ว การแทนกลุ่มกระชับ (compact groups) จะถูกศึกษาในปริภูมิฮิลเบิร์ต (Hilbert space) และ ปริภูมิ บานาค (Banach space)ซึ่งส่วนใหญ่แล้วไม่ใช่ปริภูมิที่มีมิติจำกัด ดังนั้น การอ้างอิงถึงอักขระ (characters) จึงไม่เป็นประโยชน์ เมื่อพูดถึงการแทนกลุ่มกระชับ อย่างไรก็ตาม ในกรณีส่วนใหญ่ เราสามารถจำกัดการศึกษาให้เหลือเฉพาะกรณีที่มีมิติจำกัดได้

เนื่องจากการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของกลุ่มกระชับมีมิติจำกัดและเป็นแบบเอกภาพ (ดูผลลัพธ์จากหัวข้อย่อยแรก ) เราจึงสามารถกำหนดอักขระลดทอนไม่ได้ในลักษณะเดียวกับที่ทำสำหรับกลุ่มจำกัดได้

ตราบใดที่การแสดงแทนที่สร้างขึ้นยังคงมีมิติจำกัด คุณลักษณะของการแสดงแทนที่สร้างขึ้นใหม่สามารถหาได้ในลักษณะเดียวกับกลุ่มจำกัด

ทฤษฎีบทของ Schurยังใช้ได้กับกลุ่มกระชับ (compact groups) ด้วย:

ให้เป็นการแทนแบบเอกภาพที่ลดทอนไม่ได้ของกลุ่มกระชับแล้วตัวดำเนินการที่ มีขอบเขตทุกตัว ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติสำหรับทุกจะเป็นผลคูณเชิงสเกลาร์ของเอกลักษณ์ กล่าวคือ มีอยู่เช่นนั้น $(\pi ,V)$ $G.$ $T:V\to V$ $T\circ \pi (s)=\pi (s)\circ T$ $s\in G,$ $\lambda \in \mathbb {C}$ $T=\lambda {\text{Id}}.$

คำจำกัดความสูตร

(\Phi |\Psi )=\int _{G}\Phi (t){\overline {\Psi (t)}}dt.

กำหนดผลคูณภายในบนเซตของฟังก์ชันกำลังสองที่สามารถหาปริพันธ์ได้ทั้งหมดของกลุ่มกระชับในทำนองเดียวกัน $L^{2}(G)$ $G.$

\langle \Phi ,\Psi \rangle =\int _{G}\Phi (t)\Psi (t^{-1})dt.

กำหนดรูปแบบทวิเชิงเส้นบนกลุ่มกระชับ $L^{2}(G)$ $G.$

รูปแบบทวิเชิงเส้นบนปริภูมิการแทนนั้นถูกกำหนดไว้อย่างแม่นยำเช่นเดียวกับที่ใช้กับกลุ่มจำกัด และในทำนองเดียวกันกับกลุ่มจำกัด ผลลัพธ์ต่อไปนี้จึงใช้ได้:

ทฤษฎีบทให้และเป็นอักขระของตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้สองตัวที่ไม่สมมาตรกันคือ และตามลำดับ แล้วข้อความต่อไปนี้เป็นจริง

\chi

\chi '

V

V',

$(\chi |\chi ')=0.$
$(\chi |\chi )=1,$ เช่นมี "บรรทัดฐาน" $\chi$ $1.$

ทฤษฎีบทให้เป็นการแทนของที่มีอักขระสมมติว่าเป็นการแทนแบบลดทอนไม่ได้ของที่มีอักขระจำนวนการแทนย่อยของที่เทียบเท่ากับไม่ขึ้นอยู่กับการแยกส่วนใดๆ สำหรับและเท่ากับผลคูณภายใน

V

G

\chi _{V}.

W

G

\chi _{W}.

V

W

V

(\chi _{V}|\chi _{W}).

เกณฑ์ความไม่สามารถลดทอนได้ให้เป็นลักษณะเฉพาะของการแสดงแทนแล้วเป็นจำนวนเต็มบวก ยิ่งไปกว่านั้นก็ต่อเมื่อสามารถลดทอนไม่ได้

\chi

V,

(\chi |\chi )

(\chi |\chi )=1

V

ดังนั้น โดยใช้ทฤษฎีบทแรก อักขระของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของจะก่อให้เกิดเซตเชิงตั้งฉากปกติบนโดยสัมพันธ์กับผลคูณภายในนี้ $G$ $L^{2}(G)$

บทสรุป.การแสดงผลที่ไม่สามารถลดทอนได้ทุกรูปแบบของจะถูกบรรจุอยู่ในรูปแบบการแสดงผลแบบซ้ายปกติ จำนวนครั้ง

V

G

\dim(V)

บทตั้ง.ให้เป็นกลุ่มกระชับ (compact group) แล้วข้อความต่อไปนี้สมมูลกัน:

G

$G$ เป็นกลุ่มอาเบเลียน
ตัวแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมดของมีดีกรี $G$ $1.$

คุณสมบัติเชิงตั้งฉากปกติให้เป็นกลุ่ม การแสดงแทนแบบไม่สมมาตรที่ไม่สามารถลดทอนได้ของก่อให้เกิดฐานเชิงตั้งฉากปกติในโดยสัมพันธ์กับผลคูณภายในนี้

G

G

L^{2}(G)

เนื่องจากเรารู้กันอยู่แล้วว่าการแสดงแทนแบบไม่สมมาตรที่ไม่สามารถลดทอนได้นั้นเป็นแบบตั้งฉากกัน เราจึงจำเป็นต้องตรวจสอบเพียงว่ามันสร้างได้หรือไม่ ซึ่งสามารถทำได้โดยการพิสูจน์ว่าไม่มีฟังก์ชันที่สามารถหาปริพันธ์กำลังสองได้โดยไม่เป็นศูนย์บน ซึ่งตั้งฉากกับอักขระที่ไม่สามารถลดทอนได้ทั้งหมด $L^{2}(G).$ $G$

เช่นเดียวกับกรณีของกลุ่มจำกัด จำนวนของการแสดงแทนที่ไม่สามารถลดทอนได้จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมของกลุ่มจะเท่ากับจำนวนของชั้นสมมูลของ กลุ่มนั้น อย่างไรก็ตาม เนื่องจากกลุ่มกระชับโดยทั่วไปมีชั้นสมมูลเป็นอนันต์ ดังนั้นสิ่งนี้จึงไม่ให้ข้อมูลที่เป็นประโยชน์ใดๆ $G$ $G.$

การแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำ

ถ้าเป็นกลุ่มย่อยปิดที่มีดัชนี จำกัด ในกลุ่มกระชับ เราอาจนำ นิยามของการแทนแบบเหนี่ยวนำ สำหรับกลุ่มจำกัดมาใช้ได้ $H$ $G,$

อย่างไรก็ตาม การแสดงผลที่เหนี่ยวนำสามารถกำหนดได้ทั่วไปมากขึ้น ดังนั้นคำจำกัดความจึงใช้ได้โดยไม่ขึ้นอยู่กับดัชนีของกลุ่มย่อย $H.$

เพื่อจุดประสงค์นี้ ให้เป็นการแทนแบบเอกภาพของกลุ่มย่อยปิดการแทนแบบเหนี่ยวนำต่อเนื่องถูกกำหนดดังนี้: $(\eta ,V_{\eta })$ $H.$ ${\text{Ind}}_{H}^{G}(\eta )=(I,V_{I})$

ให้แทนปริภูมิฮิลเบิร์ตของฟังก์ชันที่วัดได้และหาปริพันธ์กำลังสองได้ทั้งหมดซึ่งมีคุณสมบัติสำหรับทุก โดยค่าบรรทัดฐานกำหนดโดย $V_{I}$ $\Phi :G\to V_{\eta }$ $\Phi (ls)=\eta (l)\Phi (s)$ $l\in H,s\in G.$

\|\Phi \|_{G}={\text{sup}}_{s\in G}\|\Phi (s)\|

และการแสดงผลนั้นให้ไว้ในรูปแบบการแปลที่ถูกต้อง: $I$ $I(s)\Phi (k)=\Phi (ks).$

ดังนั้น การแสดงผลที่เหนี่ยวนำจึงเป็นการแสดงผลแบบเอกภาพอีกครั้งหนึ่ง

เนื่องจากเป็นโครงสร้างกระชับ การแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำจึงสามารถแยกออกเป็นผลรวมโดยตรงของการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ของโปรดทราบว่าการแสดงแทนที่ลดทอนไม่ได้ทั้งหมดที่อยู่ในไอโซไทป์เดียวกันจะปรากฏด้วยจำนวนเท่าเท่ากับ $G$ $G.$ $\dim({\text{Hom}}_{G}(V_{\eta },V_{I}))=\langle V_{\eta },V_{I}\rangle _{G}.$

ให้เป็นการแทนของแล้วจะมีไอโซมอร์ฟิซึมแบบแคนอนิกอยู่ $(\rho ,V_{\rho })$ $G,$

T:{\text{Hom}}_{G}(V_{\rho },I_{H}^{G}(\eta ))\to {\text{Hom}}_{H}(V_{\rho }|_{H},V_{\eta }).

หลักการ แลกเปลี่ยนของ Frobeniusสามารถถ่ายทอดไปยังกลุ่มกระชับได้ พร้อมกับการแก้ไขนิยามของผลคูณภายในและรูปแบบทวิเชิงเส้น ทฤษฎีบทนี้ใช้ได้กับฟังก์ชันที่หาปริพันธ์กำลังสองได้แทนที่จะเป็นฟังก์ชันชั้น แต่กลุ่มย่อยนั้นต้องเป็นกลุ่มปิด $G$ $H$

ทฤษฎีบทปีเตอร์-เวย์ล

อีกหนึ่งผลลัพธ์ที่สำคัญในทฤษฎีการแทนกลุ่มกระชับคือทฤษฎีบทปีเตอร์-ไวล์ ซึ่งมักจะนำเสนอและพิสูจน์ในวิชาการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกเนื่องจากเป็นหนึ่งในข้อความหลักและพื้นฐานของวิชานี้

ทฤษฎีบทปีเตอร์-เวย์ลให้เป็นกลุ่มกระชับ สำหรับทุกการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ของให้เป็นฐานเชิงตั้งฉากปกติของเรากำหนดสัมประสิทธิ์เมทริกซ์สำหรับจากนั้นเราจะได้ฐานเชิงตั้งฉากปกติของ ดังต่อไปนี้ :

G

(\tau ,V_{\tau })

G

\{e_{1},\ldots ,e_{\dim(\tau )}\}

V_{\tau }.

\tau _{k,l}(s)=\langle \tau (s)e_{k},e_{l}\rangle

k,l\in \{1,\ldots ,\dim(\tau )\},s\in G.

L^{2}(G)

\left({\sqrt {\dim(\tau )}}\tau _{k,l}\right)_{k,l}

เราสามารถปรับปรุงทฤษฎีบทนี้ใหม่เพื่อให้ได้การสรุปทั่วไปของอนุกรมฟูริเยร์สำหรับฟังก์ชันบนกลุ่มกระชับได้ดังนี้:

ทฤษฎีบทปีเตอร์-เวย์ล (ฉบับที่สอง)หลักฐานของทฤษฎีบทนี้และข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับทฤษฎีการแสดงแทนของกลุ่มกระชับสามารถพบได้ใน^{[ 19 ]}มีไอโซมอร์ฟิซึม ตามธรรมชาติอยู่

G\times G

L^{2}(G)\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}{\text{End}}(V_{\tau })\cong _{G\times G}{\widehat {\bigoplus }}_{\tau \in {\widehat {G}}}\tau \otimes \tau ^{*}

โดยที่คือเซตของการแสดงแทนแบบลดทอนไม่ได้ทั้งหมดของจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม และคือปริภูมิการแสดงแทนที่สอดคล้องกับ กล่าวโดยละเอียด:

{\widehat {G}}

G

V_{\tau }

\tau .

{\begin{cases}\Phi \mapsto \sum _{\tau \in {\widehat {G}}}\tau (\Phi )\\[5pt]\tau (\Phi )=\int _{G}\Phi (t)\tau (t)dt\in {\text{End}}(V_{\tau })\end{cases}}

ประวัติศาสตร์

ลักษณะทั่วไปของทฤษฎีการแทนกลุ่มจำกัดGบนจำนวนเชิงซ้อนถูกค้นพบโดยเฟอร์ดินานด์ เกออร์ก โฟร เบนิอุส ในช่วงก่อนปี 1900 ต่อมาทฤษฎีการแทนแบบมอดูลาร์ของริชาร์ด บราวเออร์ได้รับการพัฒนาต่อยอด

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

^ ( Serre 1977 , หน้า 47)
^ (เซงกุปตะ 2012 , หน้า 62)
^บทพิสูจน์สมมติว่าไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจะเป็นจริงสำหรับทุกดังนั้น เราจะได้สำหรับทุกและและเรารู้แล้วว่าเป็น–invariant เนื่องจากไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ และเราสรุปได้ว่าตอนนี้ให้ซึ่งหมายความว่า มีอยู่เช่นนั้นและเรามีดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่าเป็นปริภูมิย่อย –invariant เนื่องจากไม่เป็นศูนย์ และไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ เราจึงมีดังนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิซึม และข้อความแรกได้รับการพิสูจน์แล้ว สมมติว่าตอนนี้เนื่องจากฟิลด์ฐานของเราคือเรารู้ว่ามีค่าลักษณะเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งค่าให้แล้วและเรามีสำหรับทุกตามการพิจารณาข้างต้น สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อเช่น $F$ $F\circ \rho _{1}(s)\,(u)=\rho _{2}(s)\circ F(u)=0$ $u\in \ker(F).$ $\rho _{1}(s)u\in \ker(F)$ $s\in G$ $u\in \ker(F).$ $\ker(F)$ $G$ $V_{1}$ $F\neq 0,$ $\ker(F)=0.$ $y\in {\text{Im}}(F).$ $v\in V_{1},$ $Fv=y,$ $\rho _{2}(s)y=\rho _{2}(s)Fv=F\rho _{1}(s)v.$ ${\text{Im}}(F)$ $G$ $F$ $V_{2}$ ${\text{Im}}(F)=V_{2}.$ $F$ $V_{1}=V_{2},\rho _{1}=\rho _{2}.$ $\mathbb {C} ,$ $F$ $\lambda .$ $F'=F-\lambda ,$ $\ker(F')\neq 0$ $\rho _{2}(s)\circ F'=F'\circ \rho _{1}(s)$ $s\in G.$ $F'=0,$ $F=\lambda .$
^เซอร์เร (1977)
^ฟุลตันและแฮร์ริส (199)
^ผู้เขียนบางท่านให้คำจำกัดความของตัวละครนี้ว่าแต่คำจำกัดความนี้ไม่ได้ถูกนำมาใช้ในบทความนี้ $\chi (s)=\dim(V){\text{Tr}}(\rho (s)),$
^โดยใช้การกระทำของ Gต่อตัวมันเองที่กำหนดโดย $G\times G\ni (g,x)\mapsto gx\in G$
^เซอร์เร (1977)
^ฟุลตันและแฮร์ริส (199)
^อัลเพอรินและเบลล์ (1995)
^เซอร์เร (1977)
^ฟุลตันและแฮร์ริส (199)
^เซอร์เร (1977)
^เซอร์เร (1977)
^เซอร์เร (1977)
^ฟุลตันและแฮร์ริส (199)
^เดียตมาร์ (2010)
^ Echterhoff & Deitmar (2009)
^ Echterhoff & Deitmar (2009)

[1] ( Serre 1977 , หน้า 47)

[2] (เซงกุปตะ 2012 , หน้า 62)

[3] บทพิสูจน์สมมติว่าไม่เป็นศูนย์ ดังนั้นจะเป็นจริงสำหรับทุกดังนั้น เราจะได้สำหรับทุกและและเรารู้แล้วว่าเป็น–invariant เนื่องจากไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ และเราสรุปได้ว่าตอนนี้ให้ซึ่งหมายความว่า มีอยู่เช่นนั้นและเรามีดังนั้น เราจึงสรุปได้ว่าเป็นปริภูมิย่อย –invariant เนื่องจากไม่เป็นศูนย์ และไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ เราจึงมีดังนั้นเป็นไอโซมอร์ฟิซึม และข้อความแรกได้รับการพิสูจน์แล้ว สมมติว่าตอนนี้เนื่องจากฟิลด์ฐานของเราคือเรารู้ว่ามีค่าลักษณะเฉพาะอย่างน้อยหนึ่งค่าให้แล้วและเรามีสำหรับทุกตามการพิจารณาข้างต้น สิ่งนี้เป็นไปได้ก็ต่อเมื่อเช่น $F$ $F\circ \rho _{1}(s)\,(u)=\rho _{2}(s)\circ F(u)=0$ $u\in \ker(F).$ $\rho _{1}(s)u\in \ker(F)$ $s\in G$ $u\in \ker(F).$ $\ker(F)$ $G$ $V_{1}$ $F\neq 0,$ $\ker(F)=0.$ $y\in {\text{Im}}(F).$ $v\in V_{1},$ $Fv=y,$ $\rho _{2}(s)y=\rho _{2}(s)Fv=F\rho _{1}(s)v.$ ${\text{Im}}(F)$ $G$ $F$ $V_{2}$ ${\text{Im}}(F)=V_{2}.$ $F$ $V_{1}=V_{2},\rho _{1}=\rho _{2}.$ $\mathbb {C} ,$ $F$ $\lambda .$ $F'=F-\lambda ,$ $\ker(F')\neq 0$ $\rho _{2}(s)\circ F'=F'\circ \rho _{1}(s)$ $s\in G.$ $F'=0,$ $F=\lambda .$

[4] เซอร์เร (1977)

[5] ฟุลตันและแฮร์ริส (199)

[6] ผู้เขียนบางท่านให้คำจำกัดความของตัวละครนี้ว่าแต่คำจำกัดความนี้ไม่ได้ถูกนำมาใช้ในบทความนี้ $\chi (s)=\dim(V){\text{Tr}}(\rho (s)),$

[7] โดยใช้การกระทำของ Gต่อตัวมันเองที่กำหนดโดย $G\times G\ni (g,x)\mapsto gx\in G$

[8] เซอร์เร (1977)

[9] ฟุลตันและแฮร์ริส (199)

[10] อัลเพอรินและเบลล์ (1995)

[11] เซอร์เร (1977)

[12] ฟุลตันและแฮร์ริส (199)

[13] เซอร์เร (1977)

[14] เซอร์เร (1977)

[15] เซอร์เร (1977)

[16] ฟุลตันและแฮร์ริส (199)

[17] เดียตมาร์ (2010)

[18] Echterhoff & Deitmar (2009)

[19] Echterhoff & Deitmar (2009)

[

[

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[

[

[ 15 ]

[

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

ทฤษฎีการแทนของกลุ่มจำกัด

คำนิยาม

การแสดงผลเชิงเส้น

ตัวอย่าง

การแสดงผลแบบเรียงสับเปลี่ยน

การแสดงผลแบบปกติซ้ายและขวา

การแทนค่า โมดูล และพีชคณิตการสังเคราะห์

แผนที่ระหว่างการแสดงผล

การแทนแบบไม่สามารถลดทอนได้และทฤษฎีบทของชูร์

คุณสมบัติ

การก่อสร้าง

การแสดงผลแบบคู่

ผลรวมโดยตรงของการแสดงแทน

ผลคูณเทนเซอร์ของการแสดงแทน

สี่เหลี่ยมจัตุรัสสมมาตรและสลับกัน

การแยกส่วน

ทฤษฎีตัวละคร

คำจำกัดความ

คุณสมบัติ

ผลิตภัณฑ์ภายในและตัวละคร

การแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำ

คำจำกัดความ

คำอธิบายทางเลือกของการแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำ

คุณสมบัติ

การแลกเปลี่ยนแบบฟรอเบนิอุส

เกณฑ์ความไม่สามารถลดทอนได้ของแม็กกี้

การสมัครเข้ากลุ่มพิเศษ

การจำแนกประเภทของการแสดงผลิตภัณฑ์กึ่งทางตรง

แหวนตัวแทน

ทฤษฎีบทอุปนัย

ตัวแทนที่แท้จริง

การเป็นตัวแทนของกลุ่มเฉพาะ

กลุ่มสมมาตร

กลุ่มจำกัดประเภทลี

แนวโน้ม—การแสดงภาพของกลุ่มขนาดกะทัดรัด

คำจำกัดความและคุณสมบัติ

การดำรงอยู่และความเป็นเอกลักษณ์ของมาตรวัดฮาร์

การก่อสร้างและการสลายตัว

สูตรการฉายภาพ

อักขระ บทพิสูจน์ของชูร์ และผลคูณภายใน

การแสดงแทนแบบเหนี่ยวนำ

ทฤษฎีบทปีเตอร์-เวย์ล

ประวัติศาสตร์

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

ข้อมูลสำคัญจากบทความ